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襄阳四中 2026 届高三上学期质量检测（五）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知复数 （其中i为虚数单位， ）．若 是纯虚数，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 4
2. 已知 是函数 的导函数，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 设随机变量 ， ， ， ，则（ ）
A. B.
.
C D.
5. 中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有 3名男生和2名女生，每
人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不
同的人物角色扮演方式共有（ ）
.
A 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种
6. 双曲线 上存在四点 ，使得四边形 是正方形，则双曲线离心
率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若关于 的方程 在 上恰有一个实数根 ，则
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. B. C. D. 2
8. 等差数列 前n项 和的为 ，已知 ， ，则 （
）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列关于说法正确的是（ ）
A. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B. 某人射击时命中的概率为 ，此人射击三次命中的次数 服从两点分布
C. 小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “ 个人去的景点不相同”，
事件 “小赵独自去一个景点”，则
D. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为 ，令事件 ， ，则
事件A， 独立
10. 如图， 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，且
.若点 在 外， ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 四边形 面积的最大值为 D. 四边形 面积无最大值
11. 已知正四面体 的棱长为 ，其外接球的球心为 .点 满足 ，
，过点 作平面 行于 和 ，平面 分别与该正四面体的棱 ， ，
相交于点 ， ， ，则（ ）
A. 四边形 的周长为定值
B. 四棱锥 的体积的最大值为
C. 当 时，平面 截球 所得截面的周长为
D. 当 时，将正四体 绕 旋转 后与原四面体的公共部分体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合 ， ，则集合 的子集个数为______．
13. 已知 是单调递减 的等比数列，其前 项和为 ，若 ，则 ___________．
14. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
的
15. 在 中，内角 对边分别为 .若 .
（1）若 ，求 边上的中线 的长；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围.
16. 在如图所示的五面体 中， 共面， 是正三角形，四边形 为菱形，
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学科网（北京）股份有限公司平面 ，点 为 中点.
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
（2）请在下列条件中任选一个，求平面 与平面 所成二面角的正弦值
； .
17. 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了
进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有
强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业
快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，
选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，
连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测
方式．
（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；
（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设 表示事件
“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若 恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理
水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明
理由．
18. 设 ，已知函数 .
（1）若 ，判断 在区间 上的单调性；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，判断 的零点个数，并给出证明；
（3）若 ，求正整数a的值.
19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三
角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆
，椭圆 与 的焦点在同一坐标轴上，且经过点 ，并与椭圆 相似.
（1）求椭圆 的方程.
（2）若直线 与椭圆 相切，且与椭圆 交于 两点，求证： 的面积是定值.
（3）过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点（ 在 的上方），直线 与椭圆 交于
两点（S在 的上方）.是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程，若不
存在，请说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司襄阳四中 2026 届高三上学期质量检测（五）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知复数 （其中i为虚数单位， ）．若 是纯虚数，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的乘法，写出 ，再根据纯虚数的概念求参数.
【详解】 ，
因为 是纯虚数，所以 .
故选：B
2. 已知 是函数 的导函数，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导函数，令 即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
故 ，解得 .
故选：A.
3. 已知 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出 ，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得.
【详解】由 得 ，
又因为 ，代入解得 ，
由 ，
因为 ，所以 .
故选：C.
4. 设随机变量 ， ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正态分布的性质得 ，由作差法、对数的性质比较 大小，即可得.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
5. 中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有 3名男生和2名女生，每
人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不
同的人物角色扮演方式共有（ ）
A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种
【答案】C
【解析】
【分析】根据“特殊元素（位置）优先法”，先安排生行、净行和旦行，再安排其他行即可.
【详解】由题意，生行、净行由男生扮演，则从3名男生中选2人，再全排列，有 种扮演方式；
旦行由女生扮演，则从2名女生中选1人，有 种扮演方式；
剩下 的2人有 种扮演方式，
故共有 （种）不同的人物角色扮演方式．
故选：C
6. 双曲线 上存在四点 ，使得四边形 是正方形，则双曲线离心
率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先设 ，代入双曲线方程得到 ，根据四边形 是正方形，得到
，从而得到 ，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可.
【详解】设 ，在第一象限，
由题知： ，解得： ，
由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，解得 .
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
即双曲线离心率的取值范围是 ，
故选：C
7. 已知函数 ，若关于 的方程 在 上恰有一个实数根 ，则
（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.
【 详 解 】 若 关 于 的 方 程 在 上 恰 有 一 个 实 数 根 ， 则 ， 即
在 上恰有一个实数根 ，
因为 恰为 的最小正周期，且当 时， ，所以 ，
若 ，则关于 的方程 在 上有两个实数根，因为 ，所以 ，此时
，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 ，所以 ．
故选：A
8. 等差数列 前n项的和为 ，已知 ， ，则 （
）
.
A 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列性质可得 ， ，结合题意运算
求解即可.
【详解】因为数列 为等差数列，则 ，
又因为 ，即 ，解得 或 ，
若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，解得 ；
综上所述： .
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列关于说法正确的是（ ）
A. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
的
B. 某人射击时命中 概率为 ，此人射击三次命中的次数 服从两点分布
C. 小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “ 个人去的景点不相同”，
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学科网（北京）股份有限公司事件 “小赵独自去一个景点”，则
D. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为 ，令事件 ， ，则
事件A， 独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1；
对于B：此人射击三次是三次独立重复试验，命中的次数 服从二项分布 ；
对于C：由题意求得 ， ，再由公式 ，可判断C；
对于D：根据事件独立性的定义可判断D.
【详解】对于A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，所以出现正面的次数是随机
变量，故A正确；
对于B：某人射击时命中的概率为 ，此人射击三次是三次独立重复试验，命中的次数 服从二项分布
，而不是两点分布，故B不正确；
对于C：由题意得 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D：根据事件独立性的定义得出事件A、B是独立的，故D正确.
故选：ACD.
10. 如图， 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，且
.若点 在 外， ， ，则下列说法中正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. 四边形 面积的最大值为 D. 四边形 面积无最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角求出角判断AB；利用三角形面积公式及余弦定理，借助三
角函数性质求解判断CD.
【详解】在 中，由正弦定理及 ，得
，
即 ，有 ，而 ， ，解得 ，
而 ，则有 ，因此 ， ，A B正确；
显然 是等边三角形，
四边形 面积等于
，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，CD错误.
故选：AB
11. 已知正四面体 的棱长为 ，其外接球的球心为 .点 满足 ，
，过点 作平面 行于 和 ，平面 分别与该正四面体的棱 ， ，
相交于点 ， ， ，则（ ）
A. 四边形 的周长为定值
B. 四棱锥 的体积的最大值为
C. 当 时，平面 截球 所得截面的周长为
D. 当 时，将正四体 绕 旋转 后与原四面体的公共部分体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算，对A：根据面面平行的性质定理结合平
行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C：根据球的性质分析运算；对
D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运
算求解.
【详解】对于边长为2的正方体 ，则ABCD为棱长为 的正四面体，则球心O即为
正方体的中心，
连接 ，设 ，
∵ ， ，则 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 平面 ，
又∵ 平面 ， ， 平面 ，
∴平面 平面 ，
对A：如图1，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，则 ，即 ，
同理可得： ， ，
， ，
∴四边形EMGH的周长 （定值），A正确；
对B：如图1，由A可知： ， ，
， ，
∵ 为正方形，则 ，
∴ 为矩形，
根据平行可得：点A到平面 的距离 ，
故四棱锥 的体积 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
∵ ，则当 时，则 ， 在 上单调递增，
当 时，则 ， 在 上单调递减，
∴当 时， 取到最大值 ，
故四棱锥 的体积的最大值为 ，B正确；
对C：正四面体ABCD的外接球即为正方体 的外接球，
其半径 ，
设平面 截球O所得截面的圆心为 ，半径为 ，
时， ，平面 过外接球球心 ，
平面 截球 所得截面圆半径为 ，
截面圆周长为 ，C错误；
对D：如图2，将正四面体ABCD绕EF旋转 后得到正四面体 ，
设 ，
∵ ，则 分别为各面的中心，
∴两个正四面体的公共部分为 ，为两个全等的正四棱锥组合而成，
根据正方体可得： ，正四棱锥 的高为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故公共部分的体积 ，D正确；
故选：BD.
【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方
体，利用正方体的性质处理相关问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合 ， ，则集合 的子集个数为______．
【答案】4
【解析】
【分析】解方程组，根据方程组的解的个数可得 中元素的个数，即可得解.
【详解】解：联立 ，解得 或 ，
所以集合 中有2个元素，
所以集合 的子集个数为 个.
故答案为：4.
13. 已知 是单调递减的等比数列，其前 项和为 ，若 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列性质和韦达定理从而求得 ，则 求出 ，再求出 ，最后利用等比数
列的前 项和的公式求出 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 是单调递减的等比数列， ， ，
，
是方程 的两个根．
， ， ， ，
， ．
故答案为： .
14. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】先将等式变形，构造函数，利用函数单调性得到 ，对 变形后使用基本不等
式求解最小值.
【详解】 变形为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 恒成立，
则 ，单调递增，
又 ，所以 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为2.
故选：A
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 的对边分别为 .若 .
（1）若 ，求 边上的中线 的长；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件 结合正弦定理得 ，结合题意得 的三边长，求得
，在 中利用余弦定理求出 ；
（2）由题意知： 且 ．要使 是锐角三角形，只要 ．由 解得 ，
由余弦定理得 的表达式，进而可得 的取值范围.
【小问1详解】
在 中，由于 ，
所以 ，结合题意得 ，即
故 的三边长分别为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
故 ．
【小问2详解】
由题意知： 且 ．
要使 是锐角三角形，只要 ．
故 ，解得： ，
又 ，
由 ，得 ，所以 ，
故 的取值范围是
16. 在如图所示的五面体 中， 共面， 是正三角形，四边形 为菱形，
平面 ，点 为 中点.
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
（2）请在下列条件中任选一个，求平面 与平面 所成二面角的正弦值
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学科网（北京）股份有限公司； .
【答案】（1）存在，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意根据条件推出 平面 平面 ，再根据面面平行的判定定理证
明结论.
（2）若选 ，在 中，利用 ，求出 ，取 中点 ，连接 ，从而证
明 ，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法
求出平面 的法向量，再利用法向量求二面角即可.
若选 ，由 ，求出 ，取 中点 ，连接 ，从而证明 ，
仿照选 的方法可求二面角.
【小问1详解】
在直线 上存在一点 ，使得平面 平面 ，理由如下：
连接 交 于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
又 平面 , 平面 ，
平面 平面 ，故 ,
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学科网（北京）股份有限公司O为 的中点，点 为 中点，则 ，
，故四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ；
又点 为 中点， 为 的中点，故 ,
平面 ， 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 ，
【小问2详解】
选择 ，
四边形 为菱形， ,
则 为正三角形， ，
故在 中， ，
由余弦定理知 ，
取 中点 ，连接 ，
在 中， ，
则 ，所以 ，
因为 是正三角形，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，
第21页/共32页
学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，
故 平面 ，
以 为原点分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ,
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
,
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得平面 的法向量 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司由于平面 与平面 所成二面角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；
若选 ：
由（1）可知， ，
取 中点 ，连接 ，
在 中， ，则 ，所以 ，
因为 是正三角形，所以 ，
又 平面 ，则 平面 ，
平面 ，故 ；
因为 是正三角形，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
以 为原点分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ,
则 ，
第23页/共32页
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
,
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得平面 的法向量 ，
故 ，
由于平面 与平面 所成二面角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；
17. 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了
进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有
强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业
快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，
选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，
连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测
方式．
（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；
（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设 表示事件
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学科网（北京）股份有限公司“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若 恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理
水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明
理由．
【答案】（1）答案见解析
（2）可以；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得 的可能取值为 ，然后分别求出其所对应的概率，即可得到分
布列.
（2）根据题意，由条件可得 是以 为首项， 为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公
式即可得到结果.
【小问1详解】
设计算机4次生成的数字之和为 ，则 ，
则 ，
，
的可能取值为 ，
则 ，
，
，
所以 的分布列为
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学科网（北京）股份有限公司1 2 3
【小问2详解】设 表示事件第 天该企业产品检测选择的是智能检测，
表示事件第 天该企业产品检测选择的是智能检测，
由全概率公式可知
则 ， ，
即 ， ，且 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，所以 恒成立，
所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.
18. 设 ，已知函数 .
（1）若 ，判断 在区间 上的单调性；
（2）若 ，判断 的零点个数，并给出证明；
（3）若 ，求正整数a的值.
【答案】（1） 在区间 上单调递增．
（2）有且仅有1个零点，证明见解析
（3）1
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先求出导函数，然后结合指数函数的单调性及余弦函数的最值判断 ，即可得解.
（2）求出 的导函数，按照 和 ，分别研究函数 的单调性，结合零点存在性定理
判断零点个数.
（3）设 ，分 ， ， 三种情况讨论，利用
导数法研究其单调性求出其最值即可判断 成立.
【小问1详解】
，则 ，所以 .
当 时， ， ，
所以 在区间 上单调递增．
【小问2详解】
，则 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增．
又 ，
故 在 上存在唯一零点．
当 时， 恒成立．
综上，若 有且仅有1个零点．
【小问3详解】
第27页/共32页
学科网（北京）股份有限公司设 ，
①若 ，令 ，令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
所以， ，即 ．
同理，令 ，令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
所以， ，即 ．
，
所以 满足题意．
②若 ，令 ，则 ，记 ，
由 得故 在 上单调递增，又 ，
所以， 时， 在 上单调递增．
又 ，所以 ，
所以 不合题意．
③若 ，
第28页/共32页
学科网（北京）股份有限公司当 ，
又 ，所以 ，
所以 不合题意．
综上，正整数a的值为1．
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，
借助数形结合思想分析解决问题.
19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三
角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆
，椭圆 与 的焦点在同一坐标轴上，且经过点 ，并与椭圆 相似.
（1）求椭圆 的方程.
（2）若直线 与椭圆 相切，且与椭圆 交于 两点，求证： 的面积是定值.
（3）过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点（ 在 的上方），直线 与椭圆 交于
两点（S在 的上方）.是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程，若不
存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用相似性质，可知两椭圆离心率相等，即可求解；
（2）先考虑斜率不存在时，求得 的面积为 ；在斜率存在时设直线方程为 ，与椭圆
第29页/共32页
学科网（北京）股份有限公司联立，由两者相切推得 ，再由 与椭圆 联立，利用
弦长公式求得 和 到直线 的距离 ，化简后代入 的面积公式，计算即得证；
（3）联立直线与椭圆方程说明 的中点也是 的中点，然后将 转化为 的
数量关系，借助弦长公式完成计算.
【小问1详解】
由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为 ，底边长为 ，
那么两个“特征三角形”相似比即两椭圆的长半轴长之比或者焦距之比，从而这两个椭圆的离心率相等.
由椭圆 的离心率为 ，
可知过点 且与椭圆 相似的椭圆 的离心率 ，
设所求椭圆为 ，代入点 得：
又由 ，可得 ，②
联立两式解得： ，
所以所求椭圆方程为： .
【小问2详解】
当直线 的斜率不存在时，又与椭圆 相切，则切线方程为 ，
由对称性不妨取 ，代入椭圆 ，可得两交点坐标为 ，
此时 ，故 ；
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学科网（北京）股份有限公司当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ，代入椭圆 ，
消去 ，可得 ，
因直线 与椭圆 相切，可得： ，整理得 .
再将 代入 ，消去 ，可得 ，
整理得 ，因 ，
将 代入，化简得 ，
设 ，则 ，
故
，
将 代入上式，化简得
，
又点 到直线 的距离为 ，
则 为定值.
【小问3详解】
假设直线 存在；设直线 的方程为： ，且 .
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学科网（北京）股份有限公司由 消去 ，可得 ，则有 ，
又由 消去 ，可得 ，则有 ，
可得 ，即 中点的横坐标相同，
又因为 四点共线，所以 的中点即为 的中点，
因 ，则 ，化简得 （*），
因 ，
，
代入（*），可得 ，化简得 ，解得
，符合题意.
故存在直线 满足条件.
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