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专题 08 计数原理、概率及统计
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
2024：二项式定理指定项系数； 1. 该部分
考点1 计数原 2023：二项式定理指定项系数； 内容主要以探索创新情境与生
理 2022：奇数项与偶数项系数和； 活实践情境为载体，重在考查
（5年几考） 2021：二项式定理指定项系数； 考生的逻辑思维能力及对事件
进行分析、分解和转化的能
2020：二项式定理指定项系数；
力;
2024：用频率估计概率；离散型随机变量的均
2. 该部分
值；
考查的必备知识在选择题和填
2023：古典概型的概率；独立事件的乘法公
空题中常常考查排列组合、二
考点2 概率 式；
项式定理、抽样方法、古典概
（5年几考） 2022：频率分布表解决概率；离散型随机变量
型、用样本估计总体等,解答
的均值；
题则以利用排列组合考查离散
2021：二项分布求分布列；
型随机变量的分布列、均值、
2020：离散型随机变量分布列及均值；
方差、二项分布和正态分布等
问题为主,注重概率和其他知
识的综合考查.
3. 重点考
考点3 统计 查知识的应用性与基础性,考
2022：折线统计图
（5年几考） 查的关键能力主要是逻辑思维
能力、数学建模能力、创新能
力;考查的学科素养主要为理
性思维、数学应用和数学探
索。
考点01 计数原理
1．（2023·北京·高考真题）在 的展开式中，x的系数为（ ）
A． B．40 C． D．80【答案】D
【分析】根据题意结合二项式定理写出 的展开式的通项即可.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得
所以 的展开式中 的系数为 .
故选：D.
2．（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令 ，解出 然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，
故所求即为 .
故选：A.
3．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
4．（2020·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整
数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
5．（2021·北京·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令 的指数为零，求解并计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项
令 ，解得 ，
故常数项为 ．
故答案为： .
考点 02 概率
6．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保
单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中 估计值
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取 ，用频率估计概率后可求 的分布列及数学期望，
从而可求 .
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求 ，从而即可比较大小得解.
【详解】（1）设 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得 .
（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取 ，
由题设中的统计数据可得 ，
， ，
，
故
故 （万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为 ，
故 （万元），
从而 .
7．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变
化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表
示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案】(1)
(2)
(3)不变
【分析】（1）计算表格中的 的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第 天的情况.
【详解】（1）根据表格数据可以看出， 天里，有 个 ，也就是有 天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这 天里，有 天上涨， 天下跌， 天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是 ，
， ，
于是未来任取 天， 天上涨， 天下跌， 天不变的概率是
（3）由于第 天处于上涨状态，从前 次的 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 次，不变的
有 次，下跌的有 次，
因此估计第 次不变的概率最大.
8．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A，丙获得优秀为事件A
1 2 3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，
乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
9．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案
二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案
200人 400人 300人 100人
一
方案
350人 250人 150人 250人
二
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的
概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，该校女生支持方案一的概率为 ；
（Ⅱ） ,（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；
（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；
（Ⅲ）先求 ，再根据频率估计概率 ，即得大小.
【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，
该校女生支持方案一的概率为 ；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持
方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为： ;
（Ⅲ）
【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进
行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测
结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检
测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2） ．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 ，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .
考点 03 统计
11．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直
冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
1．（2010·陕西·高考真题） 展开式中 的系数为10，则实数a等于【】
A．-1 B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】解：∵T =C r•x5-r•（a /x ）r=arC rx5-2r，
r+1 5 5
又令5-2r=3得r=1，
∴由题设知C 1•a1=10⇒a=2．
5
故选D
2．（2024·北京通州·三模）若 ，则 （ ）
A．80 B． C．40 D．81
【答案】C
【分析】利用二项展开式即可得到答案.
【详解】由题意， .
故选：C.
3．（2023·北京西城·一模）在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二项式定理的性质.
【详解】设 的通项 ，则 ，化简得 ，
令 ，则 的系数为 ，即A正确.
故选：A4．（2024·北京通州·二模）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
【答案】D
【分析】写出通项，令 的次数为零，求出 ，再计算常数项即可.
【详解】展开式的通项为 ，
令 ，
所以 ，
所以常数项为240.
故选：D.
5．（2024·河北唐山·一模）在 的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】先由二项式定理求出 的展开式的通项公式，再求出常数项即可．
【详解】因为 展开式的通项公式为： ，
令 ，解得 ，
所以常数项为： .
故答案为：
6．（2024·北京通州·三模）已知随机变量 ， ，且 ， ，则
．
【答案】
【分析】根据正态分布的性质求出 ，即可得到 ，再由二项分布的期望公式计算可得.
【详解】因为 且 ，所以 ，则 ，
又 且 ，所以 ，解得 .
故答案为：
7．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一
款由 个黑白方块构成的 二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成 个不重复的二维码，为确保一个 二维码在1分钟内被破译的概率不高于 ，则
的最小值为 .
【答案】7
【分析】根据题意可得 ，即可由不等式求解.
【详解】由题意可知 的二维码共有 个，
由 可得 ，故 ，
由于 ，所以 ，
故答案为：7
8．（2024·北京朝阳·二模）在 的展开式中，若二项式系数的和等于 ，则 ，此时
的系数是 .（用数字作答）
【答案】 6 135
【分析】利用二项式系数的和等于 ，求解 值，利用通项公式求解 的系数.
【详解】由二项式系数的和等于 ，则 ， ；
通项公式为 ，
令 ，所以 的系数为 .
故答案为： ； .
9．（2024·北京房山·一模）设 ，则 ；当 时，
．
【答案】
【分析】令 可求出 ；先求出 的通项，令 和 ，求出 ，再由 ，即可求出
的值.
【详解】令 可得： ，
的通项为： ，
令 可得 ，
令 可得 ，
所以由 可得 ，所以 .
故答案为： ； .
10．（2024·北京海淀·一模）若 ，则 ； .【答案】
【分析】借助赋值法，分别令 、 、 计算即可得.
【详解】令 ，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，即 ，
则 ，
即 ，则 ，
故 .
故答案为： ； .
11．（2021·四川遂宁·三模）在 的展开式中， 的系数为 (用数字作答)
【答案】15
【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】由二项式的展开式的通项公式，得 ，令 ，则 ，所以系数为
，
故答案为：15.
12．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广
州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、
无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、
重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机
变量X的分布列和期望；
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E
（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据古典概型直接求概率；（2）根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到分布列和期望；
（3） ，运用二项分布期望公式求得 ，即可得到二者相等.
【详解】（1）10个超大城市中包含4个一线城市，
所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为 .
（2）10个超大城市中包含6个新一线城市，
X所有可能的取值为： .
； ；
； .
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（3）
理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，
随机变量 ， ，所以 .
13．（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密
联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响
应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，
随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
时间人数类
别
男 5 12 13 8 9 8
性别
女 6 9 10 10 6 4
初中 10
学段
高中 4 13 12 7 5 4(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 的概率；
(2)从该校参加体育实践活动时间在 学生中随机抽取2人，在 的学生中随机抽取1人，求其
中至少有1名初中学生的概率；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为
，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为 ， ，试比较 与 的大小关系.
（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；
（3）补全初中段的人数表格，再分别计算 ，即可得解.
【详解】（1）女生共有 人，
记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，
事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在 ”，
由题意可知， ，
因此 ，
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，
估计该学生参加体育活动时间在 的概率为 .
（2）时间在 的学生有 人，
活动时间在 的初中学生有 人，
记事件C为“从参加体育活动时间在 的学生中随机抽取2人，抽到初中学生”，
事件D为“从参加体育活动时间在 的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，
由题意知，事件C，D相互独立，
且 ,所以至少有1名初中学生的概率 ；
（3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
时间人数类
别
男 5 12 13 8 9 8
性别
女 6 9 10 10 6 4
初中 7 8 11 11 10 8
学段
高中 4 13 12 7 5 4
初中生的总运动时间 ，
高中生的总运动时间 ，
又 ， ， ，
可得由 .
14．（2020·北京·模拟预测）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要
送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必
须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到
20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日
元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12
日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日
元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b ，且b-a=6，求 最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过
4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）分布列见解析， ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)至少增加2人.
【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期
望即可．（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．
（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．
【详解】(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；
, , ,
, ，
X的分布列为：
X 9 12 15 18 24
P
故X的数学期望 ；
(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,
a,b的值可能为： ,或 ,或 .
经计算 , , ，
所以P(a≤X≤b)的最大值为 .
(Ⅲ)至少增加2人.
【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.
15．（2024·北京海淀·二模）图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发
了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作
为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真
男 女 无法识别
实性别
男 90 20 10
女 10 60 10
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；
(2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识
别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设 表示测试的次数，估计 的分布列和数学期望 ；
(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为
.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为 ）中随机抽取一张，分别用方案一､方
案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为 .试比较 的大小.（结论不要求
证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可
（2）由题意知 的所有可能取值为 ，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可
（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得
【详解】（1）根据题中数据，共有 张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以
该照片确为女性的概率为 .
（2）设事件 输入男性照片且识别正确.
根据题中数据， 可估计为 .
由题意知 的所有可能取值为 .
.
所以 的分布列为
1 2 3
所以 .
（3）由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个，
程序将男生识别正确的频率为 ，识别为女生的频率为 ，无法识别的频率为 ，
程序将女生识别正确的频率为 ，识别为男生的频率为 ，无法识别的频率为 ，
由频率估计概率得，
，
，
所以
16．（2024·北京朝阳·二模）科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1
月至12月 A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
A 地区
（单位：万 29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2
辆）
B 地区
（单位：万 7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10.0 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1
辆）
月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概
率；
(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个
月的月销量比低于5的概率；
(3)记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为 ， ，试判断 与
的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由表中数据找出符合的月份个数即可求解.
（2）先由表中数据找出月销量比超过8的月份个数和低于5的月份个数再结合组合分配情况即可求解.
（3）由表中数据和方差定义即可判断.
【详解】（1）设事件C为“A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量”，
在2023年2月至12月中，A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的月份为2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9个月，
所以 .
（2）设事件D为“这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1 个月的月销量比低于5”，
在2023年1月至12月中，月销量比超过8的只有11月和12月，月销量比低于5的只有1月和2月，
则 .
（3）A地区销售量最低有29.4万辆，最高有89.2万辆，数据波动较大；
相比之下B地区销售量最低有7.8万辆，最高有10.4万辆，数据波动幅度较小，变化较为平稳；
故 .
17．（2024·北京通州·二模）随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健
康情况v某地区一体检机构统计了 年 岁到 岁来体检的人数及年龄在 ， ， ，
的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现： 岁到 岁（不含
岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图．
组别 年龄（岁） 频率
第一
组
第二
组
第三
组
第四
组
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等 余种常见健康问题．
(1)根据上表，求从 年该体检机构 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，此人年龄不低于 岁的频率；
(2)用频率估计概率，从 年该地区 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，其中不低于 岁的人数记
为 ，求 的分布列及数学期望；(3)根据图的统计结果，有人认为“该体检机构 年 岁到 岁（不含 岁）体检人群健康问题个数平
均值一定大于 个，且小于 个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
(3)不正确，理由见解析.
【分析】（1）根据表格数据直接求解即可；
（2）由题意可知 ，根据二项分布概率公式可求得 每个取值对应的概率，从而得到分布列；
根据二项分布期望公式可得 ；
（3）根据平均数的估计方法，通过反例可说明论断错误.
【详解】（1）由表格数据知：从 年该体检机构 岁到 岁体检人群中抽取 人，
此人年龄不低于 岁的频率为： .
（2）用频率估计概率，从 年该地区 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，此人年龄不低于 岁的
概率为 ，则 ；
所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
数学期望 .
（3）这种说法不正确，理由如下：
假设在体检人群年龄 岁到 岁（不含 岁）中， 、 、 、 体检人群所占频
率分别为 、 、 、 ，
则 岁到 岁（不含 岁）体检人群健康问题平均值为 个，
与该说法结论不同，
该说法是不正确的．
18．（2024·北京房山·一模）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
二级运动
项目 国际级运动健将 运动健将 一级运动员 三级运动员
员
男子跳
8.00 7.80 7.30 6.50 5.60
远
女子跳
6.65 6.35 5.85 5.20 4.50
远
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为
预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下
数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望
；
(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比
赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：
第1跳 第2跳 第3跳 第4跳 第5跳 第6跳
甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49
丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86 a
若丙第6次试跳的成绩为a，用 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当 时，写出a的值．
（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3) 或 .
【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；
（2）由X的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望 ；
（3）当两人成绩满足 的模型，方差相等.
【详解】（1）甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为 ；
（2）设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件 ，
以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有 ， ， ，
X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，
则X可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
估计X的数学期望 ；
（3）甲的6次试跳成绩从小到大排列为： ，
设这6次试跳成绩依次从小到大为 ，
丙的5次试跳成绩从小到大排列为： ，
设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为 ，
当 时，满足 ， 成立；
当 时，满足 ， 成立.
所以 或 .
19．（2024·北京海淀·一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，
并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相
应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x 科普过程性积分 人数
4 10
3 a
2 b
1 23
0 2(1)当 时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，
估计X的数学期望 ；
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，上述100名学生科
普测试成绩的平均值记为 .若根据表中信息能推断 恒成立，直接写出a的最小值.
【答案】(1)（i） ；（ⅱ） ；
(2)7.
【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；
（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期
望即得.
（2）求出 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值 的最小值，由题设信息列出不等式求解
即得.
【详解】（1）当 时，
（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为 ，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为 ，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为 .
（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频
率为 ，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概
率估计为 ，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的
概率估计为 ，
的所有可能值为6，7，8，
， ， ，
所以 的数学期望 .
（2）由表知， ，则 ，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，则 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为 ，要 恒成立，当且仅当 ，
显然 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此 ，则 ，解得 ，
所以根据表中信息能推断 恒成立的a的最小值是7.
20．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展
学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由
两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文
中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.
序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分
1 67 82 74.5
2 80 86 83
3 61 76 68.5
4 78 84 81
5 70 85 77.5
6 81 83 82
7 84 86 85
8 68 74 71
9 66 77 71.5
10 64 82 73
(1)从这 篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过 的概率；
(2)从这 篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过 的篇数记为
，求 的分布列及数学期望；
(3)对于序号为 的论文，设评委甲的评分为 ，评委乙的评分为 ，分别记甲、乙两位评委
对这10篇论文评分的平均数为 ， ，标准差为 ， ，以 作为序号为 的论文的标
准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种
排名结果是否相同?（结论不要求证明）
【答案】(1)(2)分布列见解析，
(3)相同
【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可；
（2） 的可能取值为 ， ， ，利用超几何分布分别求出概率，然后再求期望即可；
（3）计算序号为2的论文和序号为3的论文的标准化得分的排名即可.
【详解】（1）设事件 为从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过 ，
又在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过 的有 篇，
所以 ；
（2）由已知 的可能取值为 ， ， ，
， ，
所以 的分布列为
所以 的数学期望为 ；
（3）根据数据序号为2的论文初评得分排名为第 ，
由已知 ，
，
明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第 ，标准化得分排名仍然为第 ，
现在就看初评得分排名为第 的序号为 的论文其标准化得分排名是否会发生变化，
根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故 ，
所以 ，即 ，
所以序号为2的论文标准化得分排名为第 ，
所以序号为2的论文的两种排名结果相同.
