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专题 08 计数原理、概率及统计
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
2024：二项式定理指定项系数； 1. 该部分
考点1 计数原 2023：二项式定理指定项系数； 内容主要以探索创新情境与生
理 2022：奇数项与偶数项系数和； 活实践情境为载体，重在考查
（5年几考） 2021：二项式定理指定项系数； 考生的逻辑思维能力及对事件
进行分析、分解和转化的能
2020：二项式定理指定项系数；
力;
2024：用频率估计概率；离散型随机变量的均
2. 该部分
值；
考查的必备知识在选择题和填
2023：古典概型的概率；独立事件的乘法公
空题中常常考查排列组合、二
考点2 概率 式；
项式定理、抽样方法、古典概
（5年几考） 2022：频率分布表解决概率；离散型随机变量
型、用样本估计总体等,解答
的均值；
题则以利用排列组合考查离散
2021：二项分布求分布列；
型随机变量的分布列、均值、
2020：离散型随机变量分布列及均值；
方差、二项分布和正态分布等
问题为主,注重概率和其他知
识的综合考查.
3. 重点考
考点3 统计 查知识的应用性与基础性,考
2022：折线统计图
（5年几考） 查的关键能力主要是逻辑思维
能力、数学建模能力、创新能
力;考查的学科素养主要为理
性思维、数学应用和数学探
索。
考点01 计数原理
1．（2023·北京·高考真题）在 的展开式中，x的系数为（ ）
A． B．40 C． D．802．（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
4．（2020·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
5．（2021·北京·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
考点 02 概率
6．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保
单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
7．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变
化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表
示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
8．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
9．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案
二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案
200人 400人 300人 100人
一
方案
350人 250人 150人 250人
二
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的
概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年
级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
10．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进
行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测
结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检
测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
考点 03 统计
11．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直
冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
1．（2010·陕西·高考真题） 展开式中 的系数为10，则实数a等于【】
A．-1 B． C．1 D．2
2．（2024·北京通州·三模）若 ，则 （ ）
A．80 B． C．40 D．813．（2023·北京西城·一模）在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京通州·二模）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
5．（2024·河北唐山·一模）在 的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
6．（2024·北京通州·三模）已知随机变量 ， ，且 ， ，则
．
7．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一
款由 个黑白方块构成的 二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器
每秒能随机生成 个不重复的二维码，为确保一个 二维码在1分钟内被破译的概率不高于 ，则
的最小值为 .
8．（2024·北京朝阳·二模）在 的展开式中，若二项式系数的和等于 ，则 ，此时
的系数是 .（用数字作答）
9．（2024·北京房山·一模）设 ，则 ；当 时，
．
10．（2024·北京海淀·一模）若 ，则 ； .
11．（2021·四川遂宁·三模）在 的展开式中， 的系数为 (用数字作答)
12．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广
州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、
无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、
重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机
变量X的分布列和期望；
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E
（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）13．（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密
联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响
应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，
随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
时间人数类
别
男 5 12 13 8 9 8
性别
女 6 9 10 10 6 4
初中 10
学段
高中 4 13 12 7 5 4
(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 的概率；
(2)从该校参加体育实践活动时间在 学生中随机抽取2人，在 的学生中随机抽取1人，求其
中至少有1名初中学生的概率；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为
，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为 ， ，试比较 与 的大小关系.
（结论不要求证明）
14．（2020·北京·模拟预测）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要
送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必
须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到
20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日
元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12
日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日
元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b ，且b-a=6，求 最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过
4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）15．（2024·北京海淀·二模）图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发
了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作
为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性
男 女 无法识别
别
男 90 20 10
女 10 60 10
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；
(2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识
别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设 表示测试的次数，估计 的分布列和数学期望 ；
(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为
.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为 ）中随机抽取一张，分别用方案一､方
案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为 .试比较 的大小.（结论不要求
证明）
16．（2024·北京朝阳·二模）科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1
月至12月 A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
A 地区
（单位：万 29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2
辆）
B 地区
（单位：万 7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10.0 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1
辆）
月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；
(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个
月的月销量比低于5的概率；
(3)记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为 ， ，试判断 与
的大小.（结论不要求证明）
17．（2024·北京通州·二模）随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健
康情况v某地区一体检机构统计了 年 岁到 岁来体检的人数及年龄在 ， ， ，
的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现： 岁到 岁（不含
岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图．
组别 年龄（岁） 频率
第一
组
第二
组
第三
组
第四
组
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等 余种常见健康问题．
(1)根据上表，求从 年该体检机构 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，此人年龄不低于 岁的频率；
(2)用频率估计概率，从 年该地区 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，其中不低于 岁的人数记
为 ，求 的分布列及数学期望；
(3)根据图的统计结果，有人认为“该体检机构 年 岁到 岁（不含 岁）体检人群健康问题个数平
均值一定大于 个，且小于 个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．18．（2024·北京房山·一模）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我
国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
二级运动
项目 国际级运动健将 运动健将 一级运动员 三级运动员
员
男子跳
8.00 7.80 7.30 6.50 5.60
远
女子跳
6.65 6.35 5.85 5.20 4.50
远
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为
预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下
数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望
；
(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比
赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：
第1跳 第2跳 第3跳 第4跳 第5跳 第6跳
甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49
丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86 a
若丙第6次试跳的成绩为a，用 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当 时，写出a的值．
（结论不要求证明）
19．（2024·北京海淀·一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，
并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相
应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩
科普过程性积分 人数
x
4 103 a
2 b
1 23
0 2
(1)当 时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，
估计X的数学期望 ；
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，上述100名学生科
普测试成绩的平均值记为 .若根据表中信息能推断 恒成立，直接写出a的最小值.
20．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展
学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由
两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文
中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.
序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分
1 67 82 74.5
2 80 86 83
3 61 76 68.5
4 78 84 81
5 70 85 77.5
6 81 83 82
7 84 86 85
8 68 74 71
9 66 77 71.5
10 64 82 73
(1)从这 篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过 的概率；
(2)从这 篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过 的篇数记为
，求 的分布列及数学期望；(3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分
的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得
分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）
