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§5.1 平面向量的概念及线性运算
课标要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法
运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有__________的量叫做向量，向量的大小称为向量的____________(或
称________)．
(2)零向量：长度为____________的向量，记作________．
(3)单位向量：长度等于____________的向量．
(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向
量________．
(5)相等向量：长度相等且方向____________的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向____________的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝
_________________________
_________________________
加法
______________________；
结合律：(a＋b)＋c＝
____________________
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝__________，当λ>0 λ(μa) ＝时，λa的方向与a的方向
____________； __________________；
当λ<0时，λa的方向与a的 (λ ＋ μ)a ＝
方向 ________________；
____________________； λ(a＋b)＝_________________
当λ＝0时，λa＝________
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使____________．
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接
而成的向量和为零向量．
2．在△ABC中，D为BC的中点，则AD＝(AB＋AC)．
3．在△ABC中，点P满足PA＋PB＋PC＝0 P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤ ⇔|a±b|≤|a|＋|b|.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )
(2)单位向量都相等．( )
(3)任一非零向量都可以平行移动．( )
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( )
2．下列命题正确的是( )
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C．向量AB与BA是平行向量
D．平行向量不一定是共线向量
3．(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是( )
A.AB＋AC＝BC
B.AM＋MB＋BO＋OM＝AM
C.AB＋BC－AC＝0
D.AB－AD－DC＝BC
4．(必修第二册P16T3改编)已知e ，e 为平面内两个不共线的向量，MN＝2e －3e ，NP＝
1 2 1 2
λe＋6e，若M，N，P三点共线，则λ＝________.
1 2题型一 平面向量的基本概念
例1 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．若a＝b，b＝c，则a＝c
B．若四边形ABCD满足AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．与非零向量a共线的单位向量为±
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC
上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A.AD＝BC B.AC＝BD
C.PE＝PF D.EP＝PF
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
跟踪训练1 (1)(多选)下列关于向量的说法正确的是( )
A．若|a|＝0，则a＝0
B．若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
(2)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立
的是( )
A．|AB|＝|EF|
B.AB与FH共线
C.BD与EH共线
D.CD＝FG
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 若|AB|＝7，|AC|＝4，则|BC| 的取值范围是( )A．[3,7] B．(3,7) C．[3,11] D．(3,11)
命题点2 向量的线性运算
例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则
CB等于( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
命题点3 根据向量线性运算求参数
例4 (2024·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋
μAD(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于( )
A．－ B.
C. D.
跟踪训练2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，
AE的延长线交CD于点F.若AB＝a，AD＝b，则AF等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
(2)(2023·聊城模拟)M是△ABC内的一点，若BM＝BA＋λBC，AM＝AB＋μAC，则λ＋μ等于(
)
A. B．1 C. D.
题型三 共线定理及其应用
例 5 (1)(2023·徐州模拟)已知向量 a，b 不共线，向量 8a－kb 与－ka＋b 共线，则 k＝
________.
(2)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于点D，交AC于点E，若AD＝λAB，AE
＝μAC，则＋＝________.
思维升华 利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与⇔b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的
充要条件是m＋n＝1.
跟踪训练3 (1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD
＝a＋3b，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线(2)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN的中点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值是
________．
