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专题5.2 平面向量的概念及线性运算-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·陕西渭南·高二期末（文））下列命题中正确的是（ ）
A．若⃗a=⃗b，则3⃗a>2⃗b
B．⃗BC−⃗BA−⃗DC=⃗AD
C．若 ，则 与 的方向相反
|⃗a|+|⃗b|=|⃗a+⃗b| ⃗a ⃗b
D．若 ，则
|⃗a|=|⃗b|=|⃗c| ⃗a=⃗b=⃗c
【解题思路】对于A：利用向量不能比较大小直接判断；对于B：利用向量的线性运算法则直接判断；对
于C：由 ，可以得到 与 的方向相同或 与 中有零向量.对于D： 的方向不确定.即
|⃗a|+|⃗b|=|⃗a+⃗b| ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a,⃗b,⃗c
可判断.
【解答过程】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；
对于B：⃗BC−⃗BA−⃗DC=⃗AC−⃗DC=⃗CD−⃗CA=⃗AD.故B正确；
对于C：若 ，则 与 的方向相同或 与 中有零向量.故C错误；
|⃗a|+|⃗b|=|⃗a+⃗b| ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b
对于D：若 ，但 的方向不确定.故D错误.
|⃗a|=|⃗b|=|⃗c| ⃗a,⃗b,⃗c
故选：B.
2．（5分）（2022·江苏宿迁·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若|⃑a|=|⃑b| ，则 ⃑a=⃑b 或 ⃑a=−⃑b B．若|⃑a|>|⃑b|，则 ⃑a>⃑b
C．若 ⃑a=⃑b，则 ⃑a//⃑b D．若|⃑a|=0，则⃑a=0
【解题思路】由向量、单位向量、零向量、相等向量的定义对选项一一判断，即可得出答案.
【解答过程】对于A，任何单位向量的模长都相等，但它们不全共线，故A错；
对于B，两个向量的模可以比较大小，但是两向量之间不能比较大小，故B错；
对于C，由 ⃑a=⃑b知， ⃑a,⃑b的方向相同，长度相等，故 ⃑a,⃑b共线即平行，故C正确；
对于D，0为数量，⃑a为向量，向量与数量之间不相等，故D不正确.
故选：C.
3．（5分）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的个数是（ ）①若向量⃑AB与⃑CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量⃑a与向量⃑b平行，则⃑a，⃑b方向相同或相反；
③若非零向量⃑AB与⃑CD是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若 ，则 ， 是相等向量或相反向量.
|⃑a|=|⃑b| ⃑a ⃑b
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案；
对于②，由零向量的定义和性质，可得答案；
对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案；
对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.
【解答过程】①错误，平行向量又叫共线向量，向量⃑AB与⃑CD是共线向量，则⃑AB与⃑CD平行或共线；
②错误，⃑a与⃑b至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；
④错误，由 ，只能说明 ， 的长度相等，确定不了方向.
|⃑a|=|⃑b| ⃑a ⃑b
故选：B.
4．（5分）（2022·江苏镇江·高三期中）△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，
下列表达正确的是（ ）
1 1
A．⃗CO= ⃗NO+ ⃗MO B．⃗CO=⃗NO+⃗MO
2 2
3 3
C．⃗CO= ⃗NO+ ⃗MO D．⃗CO=2⃗NO+2⃗MO
2 2
【解题思路】取AB中点E，连CE,根据三角形重心定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.
【解答过程】
取AB中点E，连CE,则点O为△ABC的重心，
1
∴⃗OE+⃗OM+⃗ON=0⃗,− ⃗OC+⃗OM+⃗ON=0⃗∴⃗OC=2⃗OM+2⃗ON，
2
即⃗CO=2⃗MO+2⃗NO，
故选：D.
5．（5分）（2022·全国·高三专题练习）在等腰梯形ABCD中，⃑AB=2⃑DC，E,F分别为AD,BC的中点，G为EF的中点，则⃑AG等于（ ）
3 3 3 1 1 3 1 3
A． ⃑AB+ ⃑AD B． ⃑AB+ ⃑AD C． ⃑AB+ ⃑AD D． ⃑AB+ ⃑AD
8 4 8 2 2 4 4 8
【解题思路】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求
解即可.
【解答过程】因为在等腰梯形ABCD中，⃑AB=2⃑DC，E,F分别为AD,BC的中点，G为EF的中点，
1 1 1 1 1 3
所以可得：⃑AG=⃑AE+⃑EG= ⃑AD+ ⃑EF= ⃑AD+ (⃑AB+⃑DC)= ⃑AD+ ⃑AB．
2 2 2 4 2 8
故选：B.
6．（5分）（2022·全国·高一课时练习）设⃑e ，⃑e 是两个不共线的向量，已知⃑AB=⃑e +5⃑e ，
1 2 1 2
⃑BC=−2⃑e +8⃑e ，⃑CD=3⃑e −3⃑e ，则（ ）
1 2 1 2
A．A、B、C三点共线 B．B、C、D三点共线
C．A、B、D三点共线 D．A、C、D三点共线
【解题思路】根据三点共线的判断方法求得正确答案.
【解答过程】因为⃑AB=⃑e +5⃑e ，⃑BC=−2⃑e +8⃑e ，⃑CD=3⃑e −3⃑e ，
1 2 1 2 1 2
所以⃑BD=⃑BC+⃑CD=⃑e +5⃑e =⃑AB，
1 2
所以A、B、D三点共线.
⃑AB与⃑BC没有倍数关系，所以A,B,C三点不共线.
⃑BC与⃑CD没有倍数关系，所以B,C,D三点不共线.
⃑AC=⃑AB+⃑BC=−⃑e +13⃑e ，
1 2
⃑AC与⃑CD没有倍数关系，所以A,C,D三点不共线.
故选：C.
7．（5分）（2022·四川·高三阶段练习（文））已知P是△ABC所在平面内的一点，若⃑CB−⃑PB=λ⃑PA，
其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
【解题思路】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.
【解答过程】∵⃑CB−⃑PB=λ⃑PA，⃑PB=⃑PC+⃑CB
∴⃑CB−(⃑PC+⃑CB)=λ⃑PA，则−⃑PC= λ⃑PA，则⃑CP=λ⃑PA
∴⃑CP∥⃑PA
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一
( 1 )
动点，若⃑OP−⃑OA=λ ⃑AB+ ⃑BC ，λ∈[0,+∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
2
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
1
【解题思路】设出BC的中点D，利用向量的运算法则化简⃑AB+ ⃑BC；⃑OP−⃑OA据向量共线的充要条件
2
得到P在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项.
【解答过程】解：如图，取BC的中点D，连接AD，
1 1
则⃑AB+ ⃑BC=⃑AB+⃑BD=⃑AD．又⃑OP−⃑OA=λ(⃑AB+ ⃑BC)，
2 2
∴ ⃑OP−⃑OA=λ⃑AD，即⃑AP=λ⃑AD．
又λ∈[0,+∞)，
∴P点在射线AD上．
故P的轨迹过△ABC的重心．
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·广东·高二开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若⃑e ,⃑e 为单位向量，则⃑e =⃑e B．若⃗a与⃑b共线，则⃑a=⃑b或⃑a=−⃑b
1 2 1 2
C．若|→
a
|
=0
，则 ⃑a=0⃗ D．
⃑a
是与非零向量⃑a共线的单位向量
|⃑a|
【解题思路】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，向量⃑e ,⃑e 的方向不一定相同，所以A错误；
1 2
对于B中，向量⃑a与⃑b的长度不一定相等，所以B错误；
对于C中，由|⃑a|=0⃗，根据零向量的定义，可得⃑a=0⃗，所以C正确；
⃑a 1 ⃑a
对于D中，由 = ⋅⃑a，可得 与向量⃑a同向，
|⃑a| |⃑a| |⃑a|
⃑a ⃑a
又由 的模等于1，所以 是与非零向量⃑a共线的单位向量，所以D正确.
|⃑a| |⃑a|故选：CD.
10．（5分）（2022·安徽省高一阶段练习）在△ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，点G
为△ABC的重心，则下列结论中正确的是（ ）
1
A．⃑AB−⃑BC=⃑CA B．⃑AG= (⃑AB+⃑AC)
3
C．⃑AF+⃑BD+⃑CE=0 D．⃑GA+⃑GB+⃑GC=0⃑
【解题思路】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．
【解答过程】解：如图：
对于选项A，⃑AB−⃑BC=⃑AB+⃑CB=2⃑EB≠⃑AC，即选项A错误；
2 2 1 1
对于选项B，点G为△ABC的重心，则⃑AG= ⃑AD= × (⃑AB+⃑AC)= (⃑AB+⃑AC)，即选项B正确；
3 3 2 3
1
对于选项C，⃑AF+⃑BD+⃑CE= (⃑AB+⃑BC+⃑CA)=0⃗，即选项C正确；
2
1
对于选项D，⃑GA=−2⃑GD=−2× (⃑GB+⃑GC)，即⃑GA+⃑GB+⃑GC=0⃗，即选项D正确，
2
故选：BCD．
11．（5分）（2022·吉林·高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．⃑a与⃑b是非零向量，则⃑a与⃑b同向是⃑a=⃑b的必要不充分条件
B．A,B,C是互不重合的三点，若⃑AB与⃑BC共线，则A,B,C三点在同一条直线上
C．⃑a与⃑b是非零向量，若⃑a与⃑b同向，则⃑a与−⃑b反向
D．设λ,μ为实数，若λ⃑a=μ⃑b，则⃑a与⃑b共线
【解题思路】A选项：根据相等向量的定义即可判断；
B选项：根据向量共线的性质，可知A、B、C三点共线；
C选项：⃑a与⃑b同向，则⃑a与−⃑b反向，显然正确;
D选项：如果λ=μ=0，则无法得知⃑a与⃑b共线.
【解答过程】 与 同向，但 不一定与 相等， ，若 ，则 与 同向，
⃑a ⃑b |⃗a| |⃗b| ∴⃑a≠⃑b ⃑a=⃑b ⃑a ⃑b
且有 = ， 与 同向是 的必要不充分条件，A正确.
|⃗a| |⃗b| ∴⃑a ⃑b ⃑a=⃑b⃑AB与⃑BC共线，则有⃑AB=λ⃑BC，故一定有A,B,C三点在同一条直线上，B正确.
⃑a与⃑b同向，则⃑a与−⃑b反向，C正确.
λ=μ=0时，⃑a与⃑b不一定共线，D错误.
故选：ABC.
12．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若⃗AM=2⃗AB−⃗AC，则点M在直线BC上
1 1
B．若⃗AM＝ ⃗AB＋ ⃗AC，则点M是三角形的重心
3 3
C．若⃗AM=λ ( ⃗AB + ⃗AC ) (λ∈R) ，则点M在边BC的中线上
|⃗AB| |⃗AC|
1 1
D．若⃗AM=x⃗AB+ y⃗AC，且x＋y＝ ，则△MBC的面积是△ABC面积的
2 2
【解题思路】对选项A，根据题意得到⃗BM=⃗CB，从而得到B,C,M三点共线，即可判断A正确，对选项
2
B，设D为BC的中点，根据条件得到⃗AM= ⃗AD，即可判断B正确，对选项C，根据题意得到M在
3
∠BAC的平分线上，即可判断C错误，对选项D，设⃗AN=2⃗AM，根据题意得到N,B,C三点共线，即
可判断D正确.
【解答过程】对选项A，⃗AM=2⃗AB−⃗AC，所以⃗AM−⃗AB=⃗AB−⃗AC，即⃗BM=⃗CB.
所以⃗BM//⃗CB，又因为B为公共点，所以B,C,M三点共线，即点M在直线BC上，
故A正确.
1 1 1 2
对选项B，设D为BC的中点，所以⃗AM= ⃗AB+ ⃗AC= (⃗AB+⃗AC)= ⃗AD，
3 3 3 3
所以点M是△ABC的重心，故B正确.
对选项C，因为⃗AM=λ ( ⃗AB + ⃗AC ) (λ∈R) ，则 M 在 ∠BAC 的平分线上，
|⃗AB| |⃗AC|
M不一定在BC的中线上，故C错误.
1
对选项D，因为⃗AM=x⃗AB+ y⃗AC，且x+ y= ，
2
所以2⃗AM=2x⃗AB+2y⃗AC，且2x+2y=1，
设⃗AN=2⃗AM，则⃗AN=2x⃗AB+2y⃗AC，且2x+2y=1，
即N,B,C三点共线.又因为⃗AN=2⃗AM，所以M为AN的中点，如图所示：
1
所以S = S ，故D正确.
△MBC 2 △ABC
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·吉林·高一阶段练习）化简 .
4(⃑a−3⃑b)−6(−2⃑b−⃑a)= 10⃑a
【解题思路】根据向量的线性运算直接求解即可.
【解答过程】 .
4(⃑a−3⃑b)−6(−2⃑b−⃑a)=4⃑a−12⃑b+12⃑b+6⃑a=10⃑a
故答案为:10⃑a.
14．（5分）（2022·全国·高二课时练习）下列向量中，真命题是 ① ．（填序号）
①若A、B、C、D在一条直线上，则⃗AB与⃗CD是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则⃗AB与⃗CD不是共线向量；
③向量⃗AB与⃗CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量⃗AB与⃗CD是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
【解题思路】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.
【解答过程】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则⃗AB与⃗CD是共线向量，故①正确；
对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是⃗AB与⃗CD是共线向量，
故②不正确；
对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是⃗AB与⃗CD是共线向量，
故③不正确；
对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是⃗AB与⃗CD是共线向量，故④
不正确；
故答案为：①.
15．（5分）（2022·上海市高三期中）在△ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，则S 的取值范围为 4 1 ．
△APQ S △ABC S ⃗AP=λ⃗AB,⃗AQ=μ⃗AC 1 [ , ]
1 2 S 9 2
2
【解题思路】利用三角形面积公式求得面积比与参数λ,μ之间的等量关系，结合向量共线定理的推论，找
到λ,μ之间的关系，构造函数，即可求得取值范围.
【解答过程】根据题意，连接AG，作图如下：
1
sin A×AP×AQ
S 2
1= =λμ，
S 1
2 sin A×AB×AC
2
1
在三角形ABC中，因为G为其重心，故可得⃗AG= (⃗AB+⃗AC)
3
1 1 1
结合已知条件可得：⃗AG= ( ⃗AP+ ⃗AQ)，
3 λ μ
1 1 1 1
因为P,G,Q三点共线，故可得 + =1，即 + =3，
3λ 3μ λ μ
由题设可知μ∈(0,1]，λ∈(0,1]，
λ 1
又μ= ∈(0,1]，得λ∈[ ,1]，
3λ−1 2
故S λ2 ，令 ，可得 1 ， 1 ，
1=λμ= 3λ−1=t t∈[ ,2] λ= (t+1)
S 3λ−1 2 3
2
则S 1= 1( t+ 1 +2 ) ,t∈[ 1 ,2] ，又 y=t+ 1在 ( 1 ,1) 单调递减， (1,2) 单调递增，
S 9 t 2 t 2
2
当 时，S 4，当 1时，S 1，当 时，S 1，
t=1 1= t= 1= t=2 1=
S 9 2 S 2 S 2
2 2 2
故S 4 1 .
1∈[ , ]
S 9 2
24 1
故答案为：[ , ].
9 2
16．（5分）（2022·全国·高二开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为
《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的
正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形
拼成的一个大等边三角形，且DF=2AF，点M为AB的中点，点P是△≝¿内（含边界）一点，且
⃗MP=λ⃗MD−⃗MB，则λ的最大值为 2 .
【解题思路】由题设⃗MB=−⃗MA，易得λ⃗MD=⃗MP+⃗MB=⃗MP−⃗MA=⃗AP，过A作MD的平行线交ED
于点Q，即可判断P与Q重合时λ的值最大，进而求最大值.
【解答过程】由⃗MP=λ⃗MD−⃗MB得：⃗MP+⃗MB=λ⃗MD，
又M为AB的中点，所以⃗MB=−⃗MA，
所以⃗MP−⃗MA=⃗AP=λ⃗MD，过A作MD的平行线交ED于点Q，
当P与Q重合时，λ的值最大.
因为M为AB的中点，且MD//AQ，
所以D为BQ的中点，此时⃗AQ=2⃗MD，
所以λ的最大值为2.
故答案为：2.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)⃑DG+⃑EA+⃑CB；
(2)⃑EG+⃑CG+⃑DA+⃑EB.
【解题思路】（1）（2）根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.
【解答过程】（1）
⃗DG+⃗EA+⃗CB=⃗GC+⃗BE+⃗CB=⃗GB+⃗BE=⃗GE；
（2）
⃗EG+⃗CG+⃗DA+⃗EB=⃗EG+⃗GD+⃗DA+⃗AE=⃗ED+⃗DE=0⃗.
18．（12分）（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的
中点.
(1)写出与向量⃗FC共线的向量；
(2)求证：⃗BE=⃗FD.
【解题思路】(1)根据条件，可得四边形AFCE为平行四边形，即可写出与向量⃑FC共线的向量；
(2)根据题意可得出四边形BFDE是平行四边形，从而得出BE=FD，BE//FD，进而得出结论.
【解答过程】（1）
解：因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，CE//AF，CE=AF，
所以四边形AFCE为平行四边形，所以CF//AE.
所以与向量⃑FC共线的向量为：⃑CF，⃑AE，⃑EA.
（2）
证明：在平行四边形ABCD中，AB//DC，AB=DC.因为E，F分别是DC，AB的中点，
所以ED//BF且ED=BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE=FD，BE//FD，
故⃑BE=⃑FD.
19．（12分）（2022·贵州·高二开学考试）已知向量 ．
⃑AB=⃗a+5⃗b,⃑BC=−2⃗a+8⃗b,⃑CD=3(⃗a−⃗b)
(1)求证：A,B,D三点共线．
(2)若⃑CA=x⃑CB−⃑BD，求x的值．
【解题思路】（1）求出⃑BD，由⃑BD=λ⃑AB, λ∈R证明即可；
（2）⃑CA=−(⃑AB+⃑BC)，x⃑CB−⃑BD=−x⃑BC−⃑BD，根据向量相等列方程组求解即可.
【解答过程】（1）
证明：∵⃑BD=⃑BC+⃑CD=⃗a+5⃗b=⃑AB，故A,B,D三点共线；
（2）
， ，
⃑CA=−(⃑AB+⃑BC)=⃗a−13⃗b x⃑CB−⃑BD=−x⃑BC−⃑BD=(2x−1)⃗a−(8x+5)⃗b
则有 ，即 ，解得 .
⃗a−13⃗b=(2x−1)⃗a−(8x+5)⃗b ¿ x=1
2 1
20．（12分）（2022·上海市高三阶段练习）已知△ABC中，AB=2BC，点D满足⃗BD= ⃗BC+ ⃗BA.
3 3
(1)求△BDC与△ABD面积之比；
π
(2)若∠ABD= ，DC=√7，求边BC长.
3
2 1
【解题思路】（1）由⃗BD= ⃗BC+ ⃗BA可知AD=2DC，即可求得△BDC与△ABD面积之比.
3 3
π
（2）由△BDC与△ABD面积之比可求得∠CBD= ，再通过余弦定理即可求得BC.
3
【解答过程】（1）
2 1
因为⃗BD= ⃗BC+ ⃗BA，
3 3
所以3⃗BD=2⃗BC+⃗BA，即2⃗BD+⃗BD=2⃗BC+⃗BA，
即2⃗CD=⃗DA，即AD=2DC，
1
所以S :S =DC:AD= .
△BDC △ABD 2（2）
1
×BC×BD×sin∠CBD
S 2 1
由 △BDC = = ，且 AB=2BC ，
S 1 2
△ABD ×BD×AB×sin60°
2
√3 π 2π
可得sin∠CBD= ，即∠CBD= 或 （舍），
2 3 3
2π
所以∠ABC= ，因为DC=√7，所以AC=3√7，
3
2π
a2+c2-(3√7)2
在△ABC中由余弦定理得：cos = ，而c=2a，
3 2ac
解得：a=3,c=6.
所以BC=3.
21．（12分）（2022·陕西·高一阶段练习）如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足⃗AO=2⃗OD，
过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点.
(1)若⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC，求λ，μ的值；
1 1
(2)设⃗AM=m⃗AB，⃗AN=n⃗AC，m>0，n>0，求 + 的值；
m n
【解题思路】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将⃗AO用⃗AB,⃗AC表示，进而即得；
1 1
（2）由⃗AO= ⃗AB+ ⃗AC，将⃗AO用⃗AM,⃗AN表示，利用M,O,N三点共线即得.
3 3
【解答过程】（1）因⃗AO=2⃗OD，
2
所以⃗AO= ⃗AD，
3
又因D为BC的中点，
1
所以⃗AD= (⃗AB+⃗AC)，
2
2 1 1
所以⃗AO= ⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC，又⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC，
3 3 3
1 1
所以λ= ，μ= ；
3 3（2）因⃗AM=m⃗AB，⃗AN=n⃗AC，m>0，n>0，
1 1 1 1
所以⃗AB= ⃗AM，⃗AC= ⃗AN，又因⃗AO= ⃗AB+ ⃗AC，
m n 3 3
1 1
所以⃗AO= ⃗AM+ ⃗AN，
3m 3n
又因M，O，N三点共线，
1 1 1 1
所以 + =1，即 + =3.
3m 3n m n
22．（12分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，
则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得⃗AP=λ⃗AM+(1−λ)⃗AN”．此结论往往称为
向量的爪子模型．
(1)给出这个结论的证明；
1 1
(2)在△OAB的边OA、OB上分别取点E、F，使⃗OE= ⃗OA，⃗OF= ⃗OB，连结BE、AF交于点G．设
3 4
⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b．利用上述结论，求出用⃗a、⃗b表示向量⃗OG的表达式．
【解题思路】（1）根据向量共线的判定定理结合充要条件理解证明；
（2）利用题中结论结合平面向量基本定理运算求解.
【解答过程】（1）
先证充分性．
若⃗AP=λ⃗AM+(1−λ)⃗AN，
则⃗AP=λ(⃗AM−⃗AN)+⃗AN，⃗AP−⃗AN=λ(⃗AM−⃗AN)，
即⃗NP=λ⃗NM，⃗NP∥⃗NM，故M，P，N三点共线．
再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数λ，使得⃗NP=λ⃗NM，
即⃗AP−⃗AN=λ(⃗AM−⃗AN)，⃗AP=λ(⃗AM−⃗AN)+⃗AN，
故⃗AP=λ⃗AM+(1−λ)⃗AN．
综上知，结论成立．
（2）
利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数λ，μ使得
1 1
⃗OG=λ⃗a+(1−λ)( ⃗b)=u( ⃗a)+(1−u)⃗b，
4 31 3
λ= u λ=
则 3 ，解得 11．
{ {
1 9
(1−λ)=1−u u=
4 11
3 2
故⃗OG= ⃗a+ ⃗b．
11 11
