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考点 10 平面向量（核心考点讲与练）
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度
向量 如a，AB
(或模)
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0
给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫
单位向量 a＝
0
做向量a的单位向量，可记作a
0
向量a与b
共线(平 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共
平行记作
行)向量 线或平行
a ∥ b
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向
相等向量 如AB＝a
量
相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝ b ＋ a.
加法 求两个向量和的运算
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝ a ＋ ( b ＋ c )
减去一个向量相当于
减法 加上这个向量的相反 a－b＝a＋(－b)
向量
(1)|λa|＝ |λ | |a |；
(2)当λ＞0时，λa的方 λ(μa)＝ λμ a；
数乘 求实数λ与向量a 向与a的方向相同；当λ (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a；
的积的运算 ＜0时，λa的方向与a的
方向相反；当λ＝0时， λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
λa＝03.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b ＝ λ a.
二、向量的分解与向量的坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果e和e是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a，a，
1 2 1 2
使a＝ae ＋ a e.
1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e，e}.ae＋ae叫做向量a
1 2 1 2 1 1 2 2
关于基底{e，e}的分解式.
1 2
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ (x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ (x － x ， y － y )，λa＝ (λ x ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ (x － x ， y － y )，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b xy － x y ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
三、平面向量的数量积及其应用 ⇔
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ A OB 称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，
b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是 [ 0 ， π ]，且 〈 a ， b 〉 ＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作OA＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O，A，则 向量 O 1A1 叫做向
1 1
量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数
量.
OA＝a在轴l上正射影的坐标记作a，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦
l
定义有a＝ |a |co s__θ.
l3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝xx＋yy.
1 2 1 2
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos θ＝＝.
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 xx＋yy＝0.
1 2 1 2
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |xx＋yy|≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
4.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
1.向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相
接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形
法则要素是“起点重合”.
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是OA＋OB＋OC＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则AB＋DC＝2EF；(3)对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，满足OP＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则P，A，B共
线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是
向量的坐标表示的基础.
4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ e ＋λ e 的形式.
1 1 2 2
6.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义
的应用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
平面向量的概念及线性运算及基本定理
1.（2020安徽滁州市定远县育才学校月考）如图，D、E、F分别是 ABC的边AB、BC、CA的中点，则下
列等式中错误的是（ ） △A． ＋ ＋ ＝0 B． ＋ ＋ ＝0
C． ＋ ＋ ＝ D． ＋ ＋ ＝
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
B．向量 与向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C． 中，D是BC中点，则
D．若 ，则 使
【答案】C
【分析】根据向量共线的定义，可知 错误； 选项忽略了零向量的情况，所以错误； 选项可通过
向量加法运算得到，所以 正确.
的
【详解】 选项： 共线，则向量 方向相同或相反，可知 错误；选项： 和 共线即 ，则 未必在同一条直线上，可知 错误；
选项：根据向量线性运算中的加法运算法则，可得 ，可知 正确；
选项：若 为非零向量， 为零向量，则 ，此时不存在 ，使得 ，可知 错误.
本题正确选项：
3. （2020湖南省娄底市模拟）已知 ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【分析】根据向量模的坐标表示，可直接得出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
则 .
故选：C.
平面向量的数量积及其应用
1. （2022河北省沧州市高三9月教学监测）如图， 中， ， ， 分别是 的三
等分点，若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 3 D. 6
【答案】D
【分析】以 为基底，表示出 ，根据数量积公式代入数据化简即可.【详解】由题意得，
，所以 .
所以
，
故选:D
2.（2022湖北省黄石市高三9月调研）已知向量 的夹角为 ， ， ，则 （
）
A． B．21 C．3 D．9
【答案】C
【分析】利用平方的方法求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
3.（2022贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量 ，且 ，则 （
）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D【分析】利用 列方程，化简求得
【详解】因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以
，化简得 .
.
故选：D
4.（多选题）已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得
B．存在 ，使得
C．对于任意 ， ，
D．对于任意 ， ，
【答案】BCD
【分析】A垂直的数量积为0，列出等式，看解出的 是否在 上；
B由平行的坐标表示列出等式，看解出的 是否在 上；
C先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；
D先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.
【详解】对A： ，若 ，则 ，因为 ，此时
无解，故A错误；对B：若 ，则 ，因为 ，所以 ，故B正确；
对C： ，因为 ，所以 ， ，则 ， ，所以
， ，故C正确；
对D： ，因为 ，则 ， ，所
以 ， ，则 ， ，故D正确；
故选：BCD．
5. （2022北京八一学校高三上学期开学考试）设函数 ，其中向量 ，
．
（1）求函数 的最小正周期与单调递减区间；
（2）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，已知 ， ， 的面积为
，判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）最小正周期是 ，单调递减区间是 ；（2）直角三角形，理由见
解析．
【分析】（1）由数量积坐标运算求得 ，并由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角一个三
角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期和减区间；
（2）先求得 角，由面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，可判断三角形形状．【详解】（1） ，
所以最小正周期是 ，
，解得 ，
减区间是 ；
（2）由（1） ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
， ，
， ， ，
是直角三角形．
1. （2021年全国高考乙卷）已知向量 ，若 ，则 _________．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，解方程可得： .
故答案为： .
1. （2021年全国高考乙卷）已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3. （2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .4. （2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【 详 解 】 A ： ， ， 所 以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，
同理 ，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；故选：AC
一、单选题
1. （2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形
ABCDEFGH，如图所示，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】连接CE，由正八边形的性质与余弦定理求出AC，再由对称性得到AC与AE的关系，从而根据向
量的数量积的运算公式求得结果.
【详解】连接CE，因为正八边形ABCDEFCH的每一个内角都是135°，且 ，
所以 ,
由正八边形的对称性知 ，且 ，所以 ，则 ，
故选:D.
2. （2022·全国·模拟预测） 已知抛物线 ，P为直线 上一点，过P作抛物线的两条切线，切
点分别为A，B，则 的最小值为（ ）
A. B. -1 C. D. -2
【答案】A
【分析】 设 ， ，利用导数的几何意义可求直线 ， ，进而可得
，然后利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.
【详解】设 ， .由 求导得 ，
则直线 ，直线 ，
联立方程可得 ，
由P在直线 上，得 ，且 ，即 .
因而.
故选：A.
3. （2022·山东济宁·一模）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则
的最大值为（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 11
【答案】C
【分析】以O为原点，AO所在直线为 轴，建立直角坐标系，求出 的坐标，因为点P是该圆上的
动点，设 ，表示出 ，用辅助角求出最值即可.
【详解】如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为
轴，建立直角坐标系.因为 ，所以 ，等边三角形ABC的边长为 ，则
，所以 ，则 .
又因为P是该圆上的动点，所以设 ， ，
,
，因为 ，
，所以当 时， 的最大值为8.
故选：C.4. （2022·辽宁大东·模拟预测） 中 ， ，D为AB的中点， ，则
（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -4
【答案】A
【分析】取 为基底，表示出 即可求解.
【详解】在 中，D为AB的中点， ，取 为基底，
所以 ,
.
所以 .
因为 ， ，所以 .
即 .故选：A
5. （2022·山东临沂·一模）设向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. －3 B. 0 C. 3 D. 3或－3
【答案】D
【分析】根据向量平行的坐标表示可得 求解即可.
【详解】由题设，有 ，可得 .
故选：D
6. （2022·全国·模拟预测）已知等边△ 的边长为 ，点 ， 分别为 ， 的中点，若
，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由题意画出图形，把向量 用向量 和 表示，结合 可求得 的值.
【详解】由已知条件,图形如下图所示：,
解得 .
故选： .
7. （2022·广东高州·二模）已知向量 ， ，且 ，则m的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标，即可求解.
【详解】 ， ， ，
，解得： .
故选：A
8. （2022·浙江·模拟预测）《跳舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳
聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点．玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转 ，且
为顺时针、逆时针交替转向．如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从 点前进到 点有两条路径：①
和②．假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证．这个定理
是（ ）A. 平面向量基本定理 B. 共线向量基本定理
C. 有一内角为直角的平行四边形是矩形 D. 两直线平行，同旁内角互补
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本定理可得出结论.
【详解】由图可知，从点 到点 的两条路径①和②，这两条路径的起点和终点都相同，
由平面向量的基本定理可知，若转弯不改变线条的速度，
结合图形可知，两条路径在行进的两个方向的路程相同，则两条路径所需时间一定相同.
故选：A.
二、多选题
9. （2022·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ， ，则下列说法正确的是（
）
A. 若 ，则 有最小值
B. 若 ，则 有最小值
C. 若 ，则 的值为
D. 若 ，则 的值为1
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算，求得 ，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项
进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】∵ ， ，∴ ．
对A：若 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， ，取得等号，故选项A正确；
对B：若 ，则 ，
当且仅当 ， ，取得等号，故选项B错误；
对C：若 ，则 ，即 ，
则 ，故选项C错误；
对D：因为 ,
所以 ， ，则D不正确.
故选：A．
10. （2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中， ，E是BC的中点，
连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.
【详解】对于A选项，
，故A选项正确；
对于B选项，因为B，F，D三点共线，设 ，由 ，所以存在唯一实数 ，
使得 ，结合A可知，
，因为 不共线，所以
，所以 ，故B选项正确；
对于C选项，结合B， ，故C选项错误；
对于D选项，结合B， ，故D选项正
确.
故选：ABD.
11. （2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A. B. C. D.【答案】BD
【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.
【详解】如图，
A： ，故A错误；
B： ，故B正确；
C： ，故C错误；
D： ，
由 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
12. （2022·广东韶关·一模）已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则向量 可以表示平面内任一向量
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 与 的夹角是锐角
【答案】BC
【分析】A选项，根据平行得到k的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，
列出不等式，求出k的范围；D选项，举出反例.【详解】当 与 不共线， 可以表示平面内任一向量，所以 ，
解得: 且 A错误；
若 ，则 ，所以 ，得： ，B正确；
若 ，有 ，解得： ，C正确；
当 时， 与 平行，夹角不是锐角， 错误.
故选： .
13. （2022·重庆·模拟预测）已知 中， 在 方向上的投影为 为 的中点， 为
的中点，则下列式子有确定值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【分析】如图，以 为原点， 的方向为 轴正方向建立平面直角坐标系，根据题意设出点的坐标，然
后逐个计算即可
【详解】如图，以 为原点， 的方向为 轴正方向建立平面直角坐标系，
因为 在 方向上的投影为3，
所以点 的横坐标为5，设 点坐标为 ，
，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 ， ,对于A， ，所以A正确，
对于B， ，所以B错误，
对于C， ，所以C正确，
对于D， ，所以D错误，
故选：AC
三、填空题
14. （2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则
______.
【答案】 ##0.5
【分析】根据向量的数量积公式 即可求出 .
【详解】由题可得 ，
故 .故答案为： .
15. （2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
___________.
【答案】
【分析】由题意得 ，直接平方即得结果.
【详解】由题 ，两边同时平方得 ， ，得 .
故答案为： .
16. （2022·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，则实数
______．
【答案】2
【分析】由题可得 ，再利用数量积的坐标公式即求.
【详解】因为 ， ，
所以 ．又 ， ，
所以 ，解得 ．
故答案为：2.
