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专题13 一线三等角模型证全等
1．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝
90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与
N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN
与MN之间有什么关系？请说明理由．
2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你
的感知填写出来：
①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED∽ ；②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌ ；
③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若
AE＝1，CF＝2，则EF的长为 ．
【模型应用】
（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，
），则点C的坐标为 ．
【模型变式】
（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝
6cm，求BE的长．
3．直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．
（1）如图 1，∠BAC＝90°，过点 B，C 作直线 l 的垂线，垂足分别为 D、E．求证：
△ABD≌△CAE；
（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝ （ 为任意锐角或钝
角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明； α α
（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动
点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G
是CE的中点．
4．已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．
（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝ （0°＜ ＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝ ，点
D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BαD，CE之α间的数量关系为 ． α5．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．
（1）求证：CE＝AB．
（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 ．
6．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．
（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A，B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．试说明AD＝
CE；
（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点
A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3
个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M，N到达相应的终点时停止运动，过点M
作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
①CM＝ ，当N在F→C路径上时，CN＝ ；（用含t的代数式表示）
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
7．点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象
限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．
（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；
②求D点坐标．
（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．
8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，
BF，垂足分别为E，F．
（1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE+BF．
（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证明．
（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论．
9．如图，已知l ∥l ，射线MN分别和直线l ，l 交于A、B，射线ME分别和直线l ，l 交于C、
1 2 1 2 1 2
D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）
（1）如图①，如果∠PDB＝50°，∠PCA＝20°，∠CPD＝ ．
若∠PDB＝ ，∠PCA＝ ，∠CPD＝ ，请直接写出 ， ， 之间的数量关系 ．
α β γ α β γ（2）如图②，若 MN⊥l 于点 A，BD＝2，AB＝6，AC＝4，当 AP 为多少时，
1
△ACP≌△BPD，请判断此时PC与PD的数量与位置关系，并说明理由．
（3）请用尺规作图作出∠BDC的角平分线DP，其中P为角平分线与AB的交点，若此时点P
为线段AB的中点，请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路，并直接写出
线段AC、BD、CD的数量关系，不用再说明理由．
10．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC
＝∠BAC
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，CE与AD的数量关系为
；
（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由
点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间
为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请
说明理由．
11．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，
反向延长线段AH交BD于点F．
（1）如图1，当AB＝AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：CE＝2AF
（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一
线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而
借助已有经验，迅速解决问题．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB
延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN＝
DM．设OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标 （用含a的代数式表
示）；
（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基
本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的
负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，
如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．
（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度
不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．
