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第 02 讲 整式的乘除法
1. 掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘
多项式的法则，并运用它们进行运算．
2. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运
算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单
项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
知识点2：单项式乘多项式
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的
积相加．
知识点3：多项式乘多项式
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相
乘，再把所得的积相加．
知识点4：单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
知识点5：多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商
相加．
【题型1 单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是 2 x 3 y 3 ．
【答案】2x3y3．
【解答】解：2x2y•xy2＝2x3y3．
故答案为：2x3y3．
【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝ ﹣ 1 2 x 3 y 2 ．
【答案】﹣12x3y2．
【解答】解：（2x）2（﹣3xy2）
＝4x2•（﹣3xy2）
＝4×（﹣3）•（x2•x）•y2
＝﹣12x3y2．
故答案为：﹣12x3y2．
【变式 1-2】（2023 春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝ ﹣ 6 a 8 b
．
【答案】﹣6a8b．
【解答】解：2（a2）3•（﹣3a2b）
＝2a6•（﹣3a2b）
＝﹣6a8b．
故答案为：﹣6a8b．
【变式1-3】（2023春•新城区校级期末） ＝ ﹣ 3 x 4 y 5 ．
【答案】﹣3x4y5．
【解答】解：原式＝6×（﹣ ）•（x•x3）•（y3•y2）
＝﹣3x4y5，
故答案为：﹣3x4y5．
【题型2 单项式乘多项式】
【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．
【答案】﹣20a2．
【解答】解：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．
【答案】﹣4x2+18x．
【解答】解：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）
＝x+2x2+2x﹣6x2+15x
＝﹣4x2+18x．
【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．
【答案】﹣6a2+12ab．
【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a
＝﹣6a2+12ab．
【变式2-3】（2022春•平桂区 期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．
【答案】4m3．
【解答】解：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）
＝m4+m3﹣m4+3m3
＝4m3．
【题型3 多项式乘多项式】
【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：
（1）（x﹣3）（x2+4）；
（2）（3x2﹣y）（x+2y）．
【答案】（1）x3﹣3x2+4x﹣12；
（2）3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．
【解答】解：（1）（x﹣3）（x2+4）
＝x3﹣3x2+4x﹣12；
（2）（3x2﹣y）（x+2y）
＝3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．
【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．
【答案】4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．
【解答】解：原式＝4a3+12a2b+10ab2﹣6a2b﹣18ab2﹣15b3
＝4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．
【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．
【答案】10﹣7x．【解答】解：原式＝x2﹣7x+10﹣x2
＝10﹣7x．
【变式 3-3】（2023 春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3
（x3+2x2+x）．
（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．
【答案】（1）2x6﹣12x5﹣6x4；
（2）4x2﹣19．
【解答】解：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）
＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4
＝2x6﹣12x5﹣6x4
（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）
＝2x2﹣x+8x﹣4+2x2+3x﹣10x﹣15
＝4x2﹣19
【题型3 多项式乘多项式-不存在某项问题】
【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含
x2项，常数项是﹣6．
（1）求m，n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；
（2）7．
【解答】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n
＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n
＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，
由于展开式中不含x2项，常数项是﹣6，
则2m+n＝0且﹣3n＝﹣6，
解得：m＝﹣1，n＝2；
（2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2，
∴原式＝m3+n3＝（﹣1） 3+23，
＝﹣1+8＝7．
【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开
式中不含x2和x3项，求m、n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【答案】（1）m＝3，n＝8；
（2）m3+n3．
【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）
＝x4﹣3x3+x2+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n
＝x4+（﹣3+m）x3+（1﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n，
∵展开式中不含x2和x3项，
∴﹣3+m＝0，1﹣3m+n＝0，
解得：m＝3，n＝8；
（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）
＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
＝m3+n3．
【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中
不含x项，x2项的系数为﹣1，求nm的值．
【答案】36．
【解答】解：（x+m）（x2﹣3x+n）
＝x3﹣3x2+nx+mx2﹣3mx+mn
＝x3+（﹣3+m）x2+（n﹣3m）x+mn，
∵展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，
∴n﹣3m＝0，﹣3+m＝﹣1，
解得：m＝2，n＝6，
∴nm＝62＝36．
【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若 的积中不含x项与
x2项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式p2022q2023的值．【答案】（1） ；
（2）3．
【解答】解：（1）原式＝
＝ ，
∵不含x2项与x项，
∴3p﹣1＝0， ，
∴ ，q＝3；
（2）当 ，q＝3时，
原式＝
＝
＝12022×3
＝1×3
＝3．
【题型3 多项式乘多项式的实际应用】
【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为
（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，
小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【答案】（1）（3a2+11ab+6b2）平方米；
（2）196平方米．
【解答】解：（1）由题意得：
S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）
＝6a2+9ab+4ab+6b2﹣3a2﹣2ab
＝（3a2+11ab+6b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝4，
S＝3×22+11×2×4+6×42＝196（平方米）．
【变式 5-1】（2023 春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为
2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影
部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【答案】（1）2a2+3ab+b2；
（2）2a2﹣4ab+2b2；
（3）20000．
【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，
答：该长方形空地的面积为2a2+3ab+b2．
（2）（a+b﹣2b）（2a+b﹣3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）＝2a2﹣4ab+2b2．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2．
（3）当a＝200，b＝100时，这两个长方形喷泉池的总面积为 2a2﹣4ab+2b2
＝2×2002﹣4×200×100+2×1002＝20000．
即这两个长方形喷泉池的总面积为20000．
【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面
积分别记为S ，S ．
1 2（1）请通过计算比较S 与S 的大小；
1 2
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形
的面积为S ，试说明代数式S ﹣2（S +S ）的值是一个常数．
3 3 1 2
【答案】（1）S ＞S ；
1 2
（2）代数式S ﹣2（S +S ）的值是一个常数20．
3 1 2
【解答】解：（1） ， ，
∵ ，
∴S ＞S ；
1 2
（2）由题意得：正方形的边长是： ，
∴ ，
∵ ＝ 4m2+24m+36﹣ 2m2﹣
12m﹣16﹣2m2﹣12m＝20，
∴代数式S ﹣2（S +S ）的值是一个常数20．
3 1 2
【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽
为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米
的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），
（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要
多少元？【答案】（1）（3a2+2ab+4b2）平方米；
（2）5750元．
【解答】解：（1）（3a+2b）（2a+b）﹣（a+2b）（3a﹣b）
＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣（3a2﹣ab+6ab﹣2b2）
＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3a2+ab﹣6ab+2b2
＝（3a2+2ab+4b2）平方米．
故铺设地砖的面积为（3a2+2ab+4b2）平方米；
（2）当a＝3，b＝4时，
原式＝3×32+2×3×4+4×42＝3×9+24+4×16＝27+24+64＝115，
则115×50＝5750（元）．
答：完成铺设地砖需要5750元．
【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图
形的面积时，可以得到一个等式，由图 1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝
a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等
式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）如图所示：
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明
代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形
B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．
（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），
并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （ a + b ）（ a + 2 b ）＝
a 2 +3 ab +2 b 2 （答案直接填写到横线上）；
（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求
需要A，B，C三种纸片各多少张；
（3）利用上述方法，画出面积为 2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的
周长（用含a，b的代数式表示）．
【答案】（1）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；
（3）6a+6b．
【解答】解：（1）图2是长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），图2是6个部分的 面积和，即a2+3ab+2b2，
因此（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，
∵A纸片的面积为a2，B纸片的面积为b2，C纸片的面积为ab，
∴A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；
（3）由于2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
因此可以拼成长为（2a+b），宽为（a+2b）的长方形，
如图所示：
这个长方形的周长为：2×[（2b+a）+（2a+b）]＝6a+6b，
答：此长方形的周长为6a+6b．
【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面
积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面
积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： （ a + 2 b ）（ 2 a + b ）＝ 2 a 2 + 5 a b + 2 b 2
．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝
a2+4ab+3b2．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵长方形的面积＝长×宽，
∴图3的面积＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，
∴长方形的面积＝长×宽＝（a+b）（a+3b），
由此可画出的图形为：
【题型4 单项式除法运算】
【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝ 2 x y ．
【答案】2xy．
【解答】解：原式＝8x3y÷4x2
＝2xy，
故答案为：2xy．
【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝ 2 x ．
【答案】2x．
【解答】解：原式＝2x，
故答案为：2x．
【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝ ﹣ 4 a 2 ．
【答案】﹣4a2．
【解答】解：﹣28a3÷7a＝﹣4a2，
故答案为：﹣4a2．
【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝ 3 a ．
【答案】3a．
【解答】解：6a2b÷2ab＝3a，故答案为：3a．
【变式7-4】（2023•城阳区三模） ＝ ﹣ a 4 b 5 ．
【答案】﹣ a4b5
【解答】解：﹣ a6b7÷（ a2b2）＝[﹣ ÷（ ）]•a6﹣2b7﹣2＝﹣ a4b5，
答案为：﹣ a4b5
【题型5 多项式除法运算】
【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，
其中a＝﹣1．
【答案】4a2﹣2a+1，原式＝7．
【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a
＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣2a+1，
当a＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1＝4×1+2+1＝4+2+1＝7．
【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．
【答案】b2﹣2ab+1．
【解答】解：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab
＝ab3÷ab﹣2a2b2÷ab+ab÷ab
＝b2﹣2ab+1．
【变式 8-2】（2023 春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣
3x2）．
【答案】﹣5x2y2+4y3+1．
【解答】解：原式＝15x4y2÷（﹣3x2）﹣12x2y3÷（﹣3x2）﹣3x2÷（﹣3x2）
＝﹣5x2y2+4y3+1；
【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．
【答案】﹣a3b+3ab2c．
【解答】解：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）
＝（2a4b3c﹣6a2b4c2）÷（﹣2ab2c）
＝﹣a3b+3ab2c．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、
长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方
形，需要 1 张 A 类纸片、1 张 B 类纸片和 2 张 C 类纸片．若要拼一个长为
3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．
故选：C．
2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（ ）
A．2 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣2a
【答案】B
【解答】解：原式＝a2+2a﹣2a
＝a2．
故选：B．
3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（ ）
A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab
【答案】D
【解答】解：2a（a2+2b）
＝2a•a2+2a•2b
＝2a3+4ab．故选：D．
4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（ ）
A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2
【答案】A
【解答】解：a（a﹣2）+4a＝a2﹣2a+4a＝a2+2a，
故选：A．
5．（2021•凉山州）阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明
对数是在指数书写方式之前，直到 18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣
1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的
对数，记作x＝log N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 16，对数
a 2
式2＝log 9可以转化为指数式32＝9．
3
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
a a a
设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝log （M•N）．
a
又∵m+n＝log M+log N，
a a
∴log （M•N）＝log M+log N．
a a a
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①log 32＝ 5 ，②log 27＝ 3 ，③log 1＝ 0 ；
2 3 7
（2）求证：log ＝log M﹣log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
a a a
（3）拓展运用：计算log 125+log 6﹣log 30．
5 5 5
【答案】（1）5，3，0；
（2）见解答；
（3）2．
【解答】解：（1）log 32＝log 25＝5，log 27＝log 33＝3，log 1＝log 70＝0；
2 2 3 3 7 7
故答案为：5，3，0；
（2）证明：设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a∴ ＝ ＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log ，
a
又∵m﹣n＝log M﹣log N，
a a
∴log ＝log M﹣log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
a a a
（3）原式＝log （125×6÷30）
5
＝log 25
5
＝2．
1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片 A，B
和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，
共需要C类卡片（ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【答案】A
【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
则需要C类卡片张数为3张，
故选：A．
2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的
正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底
部长方形的周长为（ ）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
【答案】D
【解答】解：根据题意，得
纸盒底部长方形的宽为 ＝4a，
∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．
故选：D．
3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（ ）
A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x
【答案】D
【解答】解：x（x﹣2）+4x
＝x2﹣2x+4x
＝x2+2x．
故选：D．
4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（ ）
A．a2+5ab+5b2 B．a2+5ab+6b2 C．a2+5b2 D．a2+6b2
【答案】B
【解答】解：原式＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，
故选：B．
5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，
则p与q的关系是（ ）
A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p
【答案】C
【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q，
∵结果不含x的一次项，
∴q+3p＝0．
故选：C．
6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分
别是（ ）
A．4，﹣3 B．﹣7，4 C．﹣5，18 D．4，7
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，
∴x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+mx﹣21，
即x2+（n﹣3）x﹣3n＝x2+mx﹣21，
∴n﹣3＝m，﹣3n＝﹣21，
∴m＝4，n＝7，
故选：D．
7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不
含x2项，则a的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：（x2+ax）（x﹣2）
＝x3﹣2x2+ax2﹣2ax
＝x3+（a﹣2）x2+ax2﹣2ax
由题意得，a﹣2＝0，
解得a＝2，
故选：A．
8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为
（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1
【答案】A
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，
∴m＝﹣3，n＝2，∴m+n＝﹣1，
故选：A．
9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：
（1）x2•（﹣2xy2）3；
（2）（2m+1）• ．
【答案】（1）﹣8x5y6；
（2）﹣2m3﹣ m﹣1．
【解答】解：（1）x2•（﹣2xy2）3
＝x2•（﹣8x3y6）
＝﹣8x5y6；
（2）（2m+1）•
＝﹣2m3+m2﹣2m﹣m2+ m﹣1
＝﹣2m3﹣ m﹣1．
10．（2022秋•河北区期末）计算：
（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；
（2）（2x+1）（x﹣2）．
【答案】（1）﹣6a6；
（2）2x2﹣3x﹣2．
【解答】解：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3
＝a6+a6﹣8a6
＝﹣6a6；
（2）（2x+1）（x﹣2）
＝2x2﹣4x+x﹣2
＝2x2﹣3x﹣2．
11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3．
12．（2022春•临湘市校级月考）计算：
（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝﹣8a6b3+8a6b3＝0；
（2）原式＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1．
13．（2022 秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为
（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建
一座雕像．
（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝
6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2+3ab）平方米．
则绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；
（2）当a＝10，b＝8时，原式＝500+240＝740（平方米），
740×100＝74000（元）．
故绿化需要74000元费用．
14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3
项，求m和n的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m）x2+mnx，根据展开式中不含x2和x3项得： ，
解得： ．
故m的值是3，n的值是9．
15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的
宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草
坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）剩余草坪的面积是多少平方米？
（3）若修两横一竖，宽度均为 b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草
坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）S ＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2
通道
＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2
＝（6ab+5b2）（平方米）．
答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；
（2）S ＝（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2）
草坪
＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣（2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2）
＝8a2+18ab+9b2﹣6ab﹣5b2
＝（8a2+12ab+4b2）（平方米）．
答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米；
（3）S ＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]
草坪
＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）
＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2＝8a2+10ab+2b2，
∵a＝2b，
∴32b2+20b2+2b2＝54b2＝216，
∴b2＝4，
∴b＝2（米）．
答：通道的宽度是2米．
16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整
数），其面积分别为S ，S ．
1 2
（1）填空：S ﹣S ＝ 2 m ﹣ 1 （用含m的代数式表示）；
1 2
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．
①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；
②设该正方形的面积为S ，试探究：S 与2（S +S ）的差是否是常数？若是
3 3 1 2
常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
【答案】（1）2m﹣1；
（2）①2m+7；
②S 与 2（S +S ）的差是常数19．
3 1 2
【解答】解：（1）S ﹣S
1 2
＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）
＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8）
＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8
＝2m﹣1，
故答案为：2m﹣1；
（2）①根据题意得：
4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），
解得：x＝2m+7，
答：x的值为 2m+7；
②∵S +S
1 2＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2）
＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8）
＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8
＝2m2+14m+15，
∴S ﹣2（S +S ）
3 1 2
＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）
＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30
＝19，
答：S 与 2（S +S ）的差是常数19．
3 1 2
