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专题 13 一元一次方程中的难点
【思维导图】
1. 绝对值方程
例．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝
a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣
故，方程|2x+4|＝5的解为x＝ 或x＝﹣
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是 （直接写出结果）．
【答案】(1)x=2或x=
(2)12或20
(3)100【解析】
【分析】
（1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可；
（2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解；
（3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解；
(1)
解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4
当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2
当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x=
故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x=
(2)
方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16
当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12
当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20
故，方程|a+b|的值为12或20
(3)
在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20；
根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时，
取最大值，最大值为100；
故答案为：100．
【点睛】
本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．
变式．（2021·福建·晋江市季延中学七年级期中）数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记
作 ．数轴上表示数 的点与表示数 的点距离记作 ，如 表示数轴上表示数3的点与表示数5
的点的距离， 表示数轴上表示数3的点与表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数
的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答一列问题：
(1)若 ，则 ______．若 ，则 _____．
(2)若 ，则 能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当 ，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)0； 或0；
(2) ； ；
(3)最大值是15；最小值是 ；
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案；
（3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出 ， ， ，然后分解求出最大值和最小
值即可
(1)
解：∵ 表示数轴上表示x的点到表示1和 1的距离相等，
∴到1和 1距离相等的点表示的数为： ；
∵ ，
表示数轴上表示x的点到表示 和 1的距离的和等于5，
∴ 或 ；
故答案为：0； 或0；
(2)
解：∵ ，
表示数轴上表示x的点到表示 和1的距离的和等于4，
又∵ ，
∴ 能取到的数在 和1之间，即 ，
∴ 能取到的最小值是 ，最大值是 ；
故答案为： ； ；
(3)
解：根据题意，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴当 ， ， 时， 有最大值，
∴最大值为： ；
∴当 ， ， 时， 有最小值，
∴最小值为： ；
【点睛】
本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注
意理解绝对值的几何意义是关键．
2. 数轴上的动点问题
例．（2022·江苏·七年级专题练习）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，
若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．
（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；
（2）①若点P运动到原点O时，此时点P 关于A→B的“好点”（填是或者不是）；
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运
动时间；
（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．
【答案】（1）-2；（2）①不是；②1秒或10秒；（3）﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44
【解析】
【分析】
（1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离即可得到结论；
（2）①先根据数轴上两点的距离表示出PA和PB的长，再根据好点的定义即可求解；②根据题意可得PA
＝t+8，PB＝|4﹣t|，再根据好点的定义即可求解；
（3）分五种情况进行讨论：当点A是关于P→B的“好点”时；当点A是关于B→P的“好点”时；当点
P是关于A→B的“好点”时；当点P是关于B→A的“好点”时；当点B是关于P→A的“好点”时，分
别代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，
∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴P为AB的中点，
∴BP＝PA＝ AB＝6，
∴点P表示的数是﹣2；
（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，
∵PA≠3PB，
∴点P不是关于A→B的“好点”；
故答案为：不是；
②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，
PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，
∴t+8＝3|4﹣t|，
解得t＝1或t＝10，
所以点P的运动时间为1秒或10秒；
（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，
PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，
分五种情况进行讨论：
①当点A是关于P→B的“好点”时，
|PA|＝3|AB|，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；
②当点A是关于B→P的“好点”时，
|AB|＝3|AP|，
即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；
或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；
③当点P是关于A→B的“好点”时，
|PA|＝3|PB|，
即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；
④当点P是关于B→A的“好点”时，
|PB|＝3|AP|，
即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；
或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；
⑤当点B是关于P→A的“好点”时，
|PB|＝3|AB|，
即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．
综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．
【点睛】
本题考查了数轴，好点的定义，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离公式，若点A表示的数a，
点B表示的数b，则AB=|a−b|是解决本题的关键．
3. 工程问题
例．（2022·河南信阳·七年级期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布
式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，
若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元?
(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按
整周计算）
【答案】(1)甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元
(2)选择先由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金
【解析】
【分析】（1）设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成，根据“甲工程队单独施工需要3周”、“由乙工程队单
独施工需要6周”可列方程求解；
（2）设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成，根据“甲的工作量+乙的工作量=1”列出
方程并解答；然后根据甲、乙两队的每周耗资作出方案的选择．
（1）解：设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成．根据题意，得( + )x=1．解得x=2．所以（8+3）
×2=22（万元）．答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元；
（2）解：设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成．根据题意，得 ，
解得y=1，所以4-1=3，所以（8+3）×1+3×3=20（万元）．所以选择先由甲和乙两工程队合作施工1周，
剩下的由乙单独施工3周最节省资金．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，关键是根据工作量=工作时间×工作效率列方程求解．
变式1．（2022·浙江台州·一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年
2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩
油菜．
(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜
收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
【答案】(1)该合作社按计划10天可收割完这些油菜
(2)该合作社能完成抢收任务，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设该合作社按计划 天可收割完这些油菜，再根据“工作效率 工作时间=工作总量”列一元一次方
程并解答即可；
（2）先求出增加3台油菜收割机后一天的收割量，再求出三天的收割量，然后和1000亩进行比较即可．
(1)
解：设该合作社按计划 天可收割完这些油菜
解得：
答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；(2)
解：原来一天的收割量： （亩），
现在一天的收割量： （亩），
现在三天可完成的收割量： （亩） 亩．
答：该合作社能完成抢收任务．
【点睛】
本题考查了一元一次方程应用中的工程问题，找到等量关系是解答本题的关键．
变式2．（2022·广西河池·七年级期末）为优化育人环境，某校需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工
程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队与乙队合作一天能完成
400平方米的绿化改造面积．
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该校需要进行绿化改造的区域共有6000平方米，甲队每天的施工费用为500元，乙队每天的施工费用
为290元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种
方案的施工费用最少？
【答案】(1)甲工程队每天能完成250平方米，乙工程队每天能完成150平方米
(2)选择方案②的施工费用最少．
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天能完成 平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成 平方米的绿化改造
面积，然后根据与乙队合作一天能完成400平方米的绿化改造面积列出方程求解即可；
（2）分别计算出三种方案的费用进行比较即可．
(1)
解：设乙工程队每天能完成 平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成 平方米的绿化改造
面积，
依题意得： ，
解得： ，
∴ ．
答：甲工程队每天能完成250平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成150平方米的绿化改造面积．
(2)解：选择方案①所需施工费用为 （元）；
选择方案②所需施工费用为 （元）；
选择方案③所需施工费用为 （元）．
∵
∴选择方案②的施工费用最少．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
4. 销售问题
例．（2023·江苏·七年级专题练习）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以
每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，
将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：
(1)降价前每件衬衫的利润率为多少？
(2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
【答案】(1)50%
(2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标
【解析】
【分析】
（1）根据利润公式计算即可求解
（2）每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的 的预期目标，根据销售收入 – 进货成
本 = 利润，即可的出关于x的一元一次方程，解之即可． %
（1）（120﹣80）÷80×100%＝40÷80×100%＝50%．故降价前每件衬衫的利润率为50%；
（2）设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，根据题意得：
120×400+（120﹣x）×（500﹣400）﹣80×500＝80×500×45%，解得：x＝20．解得：x＝20． 每件衬衫降
价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． ∴
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程时解题关键．
变式1．（2022·河南三门峡·七年级期末）某商场出售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价80元，利润是
75%，乙种商品每件进价100元，利润是50%．(1)求甲、乙两种商品的售价分别是多少？
(2)“双11”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过800元 不优惠
超过800元但不超过1300元 全部打九折
超过1300元 全部打八折
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款560元，第二天只购买乙种商品打折后一次性
付款1080元，求这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)甲种商品的售价是140元，乙种商品的售价是150元
(2)12件或13件
【解析】
【分析】
（1）根据公式售价=进价×（1+利润率），即可得出答案；
（2）首先判断一次性付款额是否是经过打折，判断方法是与打折后的金额进行比较，然后设未知数，计
算出结果即可．
（1） （元）， （元）答：甲种商品的售价是140元，乙种商品的售
价是150元．
（2）∵ （元）， ，∴第一天没有打折， （件），∵
（元）， （元），∴第二天的1080元可能是打了八折，也可能是打了
九折，设第二天买了乙商品x件，则 或 ，解得 或8，∴
（件）或 （件），答：购买甲、乙两种商品一共12件或13件．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用之打折销售问题，明白利润，进价，售价，利润率之间的关系是本题的关
键．
变式2．（2021·贵州黔东南·七年级期末）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，盈利
50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件的进价为____元，每件乙种商品盈利_____%．
(2)该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，若全部销售完获得总利润为1200元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场对甲乙两种商品进行如下图优惠促销活动：按原价一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元 按原价的九折
超过600元 其中600元部分仍按九折优惠，超过600元的部分打八折优惠
按上述优惠条件，若小华第一次购买甲商品花了352元，第二次购买乙商品花了682元，请你帮忙计算如
果甲、乙两种商品合超来一次性购买，是否更节省？若更节省请算一算节省多少钱？若不节省，请说明理
由．
【答案】(1)40，60
(2)30件
(3)一次性购买更节省，节省了70.4元
【解析】
【分析】
（1）设甲的进价为a元/件，根据甲的利润率为50%，求出a的值即可，乙的利润率根据乙的利润和成本
即可求解；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（500-x）件，再由总进价是1200元，列出方程求解即可；
（3）根据题意可知：小华第一次购买甲种商品不享受优惠，第二次购买乙商品超过600元，然后根据题意
列方程求解即可．
（1）解：设每件甲的进价为a元，可得60－a＝50%a解得a＝40每件乙的利润率为：（80－50） 50
＝ 故答案为：40；60
（2）设购进甲种商品 件，乙商品（ ）件，由题意得 解得 答：
购进甲种商品30件．
（3）由题意知：小华第一次购买甲种商品不享受优惠，第二次购买乙商品超过600元．设乙商品的原价为
元，由题意得 解得 联合购买应花费：
（元） （元）答：一次性购买更节省，节省了
70.4元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出关系式是解题的关键．设未知
数时注意一道大题若多次设元，不同的对象用不同的字母表示．◎考点题型5 电费水费问题
例．（2022·辽宁大连·七年级期末）对节约用水，合理运用水资源，某市规定了如下用水收费标准：每户
每月的用水量不超过18立方米时，按每立方米m元收费；若超过18立方米时，不超过的部分仍按每立方
米m元收费，超过的部分每立方米按n元收费．该市一用户去年10、11月份的用水量和缴水费如下表所示：
月份 用水量（立方米） 缴水费（元）
10 24 42
11 16 24
(1)求出m，n的值；
(2)该用户去年12月份用水量21立方米，需要缴水费多少元？
(3)若该用户今年1月份用水量为x立方米，试用x来表示需要缴水费．
【答案】(1)m=1.5；n=2.5
(2)该用户12月份应缴水费34.5元；
(3)当 时，应缴水费是1.5x（元）；当 时，应缴水费是 （元）．
【解析】
【分析】
（1）先根据11月份的用水情况列方程求出m，再根据10月份的用水情况列方程求出n即可；
（2）根据用水收费标准列式计算即可；
（3）分 时和 时两种情况，分别根据用水收费标准列式即可；
（1）解：该用户11月份用水16立方米小于18立方米，所以 （元/立方米），10月份用水
24立方米超过18立方米，所以有： ，解得： （元/立方米）；
（2） ，答：该用户12月份应缴水费34.5元；
（3）由题意得：当 时，应缴水费是1.5x（元），当 时，应缴水费是
（元）．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用以及列代数式，正确理解用水收费标准是解题的关键．
变式1．（2022·福建福州·七年级期末）为鼓励居民节约用电，国家发改委发布文件在全国实行“阶梯电
价”收费，福清市政府为响应节能与循环经济的号召，决定对居民用电电费调整如下：
每户每月用电量 电费价格（单位：元/度）
不超过200度（含） 0.5
超过200度且不超过500度的部分 a
超过500度的部分 0.8
(1)小杰家今年2月份用电量是300度，缴费160元，请求出a的值；
(2)小杰家今年8月份用电量增大，8月份的平均电价为0.7元/度，请求出他家8月份的月电量是多少度?
【答案】(1)a的值为0.6元
(2)他家8月份的用电量是1200度
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的信息列出关于a的方程，进行计算即可；
（2）先根据平均电费超过0.6元/度，得出用电量应该超出500度，设他家8月份的用电量是x度，根据等
量关系列出方程，解方程即可．
(1)
解： ，
解得： ，
答：a的值为0.6元．
(2)
解：∵平均电费超过0.6元，
∴用电量应该超出500度，
设他家8月份的用电量是x度，由题意得：
，
解得： ，
答：他家8月份的用电量是1200度．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键．变式2．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各
自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购
买商品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（ ）的商品．
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；
(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；
(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
【答案】(1)甲超市 元，乙超市 元
(2)甲超市，理由见解析
(3) 元
【解析】
【分析】
（1）分别按照甲乙超市的优惠方法：甲：200+超过200元的部分×0.8，乙：100+超过100元的部分×0.9；
列代数式即可；
（2）把 代入（1）中的代数式进行计算，再比较即可；
（3）利用两家超市的费用相等构建方程，再解方程即可．
(1)
解：顾客在甲超市购物应付的费用为 元；
在乙超市购物应付的费用为 元；
(2)
他应该去甲超市．理由如下：
当 时，甲： ，
乙： ．
∵ ，
∴他应该去甲超市；
(3)
根据题意，得 ，
解这个方程，得
答：小明购买 元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．
【点睛】
本题考查的是分段计费的问题，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确的列出代数式是解本题的关键．
◎考点题型6 行程问题
例．（2022·山东枣庄·七年级期末）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得
形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别
对应的数字为a、b，且a，b满足|3b＋12|＋（a﹣3）2＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)P从B出发，以每秒2个长度的速度沿数轴负方向运动4秒，此时P点与A点之间的距离为 ；
(3)应用：
小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距
学校300米．
①画出如图的数轴（学校为原点，小华家为A点，小明家为B点），数轴的单位长度为实际的 米．
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，求几分钟后两人相距100米？并直接
写出此时小明在数轴上的位置对应的数．
【答案】(1)3，﹣4
(2)15
(3)①100；②7或9分钟，0.5或1.5
【解析】
【分析】
(1)根据非负数的性质即可求解；
(2)根据B点对应的数字及P点运动时间可得P点表示的数，根据A点对应的数字即可得P点与A点之间的
距离；
(3)①利用数轴结合实际意义可得答案；②设x分钟后两人相遇100米，根据题意分两种情况，利用等量关
系列出方程，再解方程即可求得．
(1)
解：∵|3b+12|+(a−3)2=0，
∴3b+12=0，a−3=0，
解得a=3，b=−4；故答案为：3，-4；
(2)
解：根据题意，得P点表示的数为：−4-2×4=-12，
P点与A点之间的距离为：3-(-12)=15，
故答案为：15；
(3)
解：①由题意可知：数轴的单位长度为实际的100米，
故答案为：100；
②设x分钟后两人相遇100米，由题意得：
相遇前：50x+50x=300+500−100，
解得：x=7，
相遇后：50x+50x=300+500+100，
解得：x=9，
∴7或9分钟后两人相距100米；
此时小明在数轴上的位置对应的数为：−3+0.5×7=0.5或−3+0.5×9=1.5．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出
方程．
变式1．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，点C在线段AB上．点P从点C出发向点B
运动，速度为2cm/s；同时，点Q也从点C出发，速度为4cm/s，用1s到达A处，并在A处停留2s，然后
按原速度向点B运动．最终，点Q比点P早1s到达B处．设点P运动的时间为ts．
(1)线段AC的长为 cm；
(2)求线段BC的长；
(3)从P，Q两点同时出发至点P到达点B处的这段时间内，t为何值时，P，Q两点相距1cm？
【答案】(1)4
(2)BC=20；
(3)t为 s或 s或 s或 s时，P，Q两点相距1cm．
【解析】【分析】
（1）根据路程=速度×时间即可求解；
（2）通过点P的运动时间表示出点Q的运动时间，在根据点P和点Q从C-B的距离相等列出方程求出t，
即可求出BC的距离；
（3）已知点P，Q的速度，根据数轴的特点，分为四种情况下讨论PQ的位置特点，在结合两点之间的距
离为1，根据时间×速度=路程，即可求出t的值．
(1)
解：AC=4×1=4cm；
故答案为：4；
(2)
解：∵点P运动的时间为ts，
∴点Q运动的时间是（t-1），
点P从C-B所走的路程为：2t，
∵点Q先到了A点用时1s，又在点A处停留2s，
∴点Q从C-B所用时间是：（t-1-2-1-1）=t-5，
∴点Q从C-B所走的路程为：4（t-5），
∴2t=4（t-5），
解得：t=10，
∴BC=2t=2×10=20；
(3)
解：①：当点Q在AC上时：
PQ=CP+CQ=4t+2t=1，
解得：t= ；
②当点Q在CB上且在点P的左侧时：
PQ=CP-CQ=2t-4（t-4）=1，
解得：t= ；
③当点Q在CB上且在点P的右侧时：
PQ=CQ-CP=4（t-4）-2t=1，
解得：t= ；④当点Q到达点B处时：
PQ=CB-CP=20-2t=1，
解得：t= ；
答：当P，Q两点同时出发至点P到达点B处的这段时间内，t为 s或 s或 s或 s时，P，Q两点相
距1cm．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴与两点间的距离，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，
注意分类思想的应用是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的
数为 ，点B对应的数80，
(1)请直接写出AB的中点M对应的数______；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好
从点B出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请求出点C对应
的数；
(3)若当电子蚂蚁P从点A出发时，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点B
出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度？
【答案】(1)30
(2)20
(3)15秒或25秒
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数为 ，计算求解即可；
（2）方法一：根据路程、速度与时间的关系求出相遇的时间，然后根据数轴上两点的距离求出C点对应
数即可；方法二：由题意知，P表示为 ，Q表示 ，则 ，求出 的值，进而可
求C点对应数；（3）由题意知，第一次相距 个单位长度的时间为 （秒）；第二次相距 个单位长度
时间为 （秒）．
(1)
解：AB的中点M所对应的数为 ，
故答案为：30．
(2)
解：方法一：∵ ，
∴ （秒），
∴ ，
∴C点对应数为20；
方法二：由题意知，P表示为 ，Q表示 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
∴C点对应数为20．
(3)
解：由题意知，第一次相距 个单位长度的时间为 （秒）；
第二次相距 个单位长度时间为 （秒）；
∴经过15秒或25秒时，P、Q相距25个单位长度．
【点睛】
本题考查了数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离等知识．解题的关键在于根据题意列方程．
