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第 02 讲 整式的乘除法
1. 掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘
多项式的法则，并运用它们进行运算．
2. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运
算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单
项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
知识点2：单项式乘多项式
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的
积相加．
知识点3：多项式乘多项式
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相
乘，再把所得的积相加．
知识点4：单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
知识点5：多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商
相加．
【题型1 单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是 ．
【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝ ．
【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝ ．
【变式1-3】（2023春•新城区校级期末） ＝ ．
【题型2 单项式乘多项式】
【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．
【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．
【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．
【变式2-3】（2022春•平桂区 期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．
【题型3 多项式乘多项式】
【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：
（1）（x﹣3）（x2+4）；
（2）（3x2﹣y）（x+2y）．
【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．
【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【变式 3-3】（2023 春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3
（x3+2x2+x）．
（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．
【题型4 多项式乘多项式-不存在某项问题】
【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含
x2项，常数项是﹣6．
（1）求m，n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开
式中不含x2和x3项，求m、n的值．
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中
不含x项，x2项的系数为﹣1，求nm的值．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若 的积中不含x项与
x2项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式p2022q2023的值．
【题型5 多项式乘多项式的实际应用】
【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为
（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，
小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．
【变式 5-1】（2023 春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为
2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部
分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面
积分别记为S ，S ．
1 2
（1）请通过计算比较S 与S 的大小；
1 2
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形
的面积为S ，试说明代数式S ﹣2（S +S ）的值是一个常数．
3 3 1 2
【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽
为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米
的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），
（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？
【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图
形的面积时，可以得到一个等式，由图 1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝
a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等
式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明
代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形
B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．
（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （ a + b ）（ a + 2 b ）＝
a 2 +3 ab +2 b 2 （答案直接填写到横线上）；
（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求
需要A，B，C三种纸片各多少张；
（3）利用上述方法，画出面积为 2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的
周长（用含a，b的代数式表示）．
【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面
积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面
积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝
a2+4ab+3b2．
【题型6 单项式除法运算】
【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝ ．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝
【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝ ．
【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝ ．
【变式7-4】（2023•城阳区三模） ＝ ．
【题型7 多项式除法运算】
【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，
其中a＝﹣1．
【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．
【变式 8-2】（2023 春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣
3x2）．
【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．
1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方
形，需要 1 张 A 类纸片、1 张 B 类纸片和 2 张 C 类纸片．若要拼一个长为
3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（ ）
A．2 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣2a
3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（ ）
A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab
4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（ ）
A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2
5．（2021•凉山州）阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明
对数是在指数书写方式之前，直到 18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣
1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的
对数，记作x＝log N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 16，对数
a 2
式2＝log 9可以转化为指数式32＝9．
3
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
a a a
设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝log （M•N）．
a
又∵m+n＝log M+log N，
a a
∴log （M•N）＝log M+log N．
a a a
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①log 32＝ ，②log 27＝ ，③log 1＝ ；
2 3 7
（2）求证：log ＝log M﹣log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
a a a（3）拓展运用：计算log 125+log 6﹣log 30．
5 5 5
1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片 A，B
和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，
共需要C类卡片（ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的
正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底
部长方形的周长为（ ）
A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（ ）
A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x
4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（ ）
A．a2+5ab+5b2 B．a2+5ab+6b2 C．a2+5b2 D．a2+6b2
5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，
则p与q的关系是（ ）A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p
6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分
别是（ ）
A．4，﹣3 B．﹣7，4 C．﹣5，18 D．4，7
7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不
含x2项，则a的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．﹣2
8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为
（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1
9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：
（1）x2•（﹣2xy2）3；
（2）（2m+1）• ．
10．（2022秋•河北区期末）计算：
（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；
（2）（2x+1）（x﹣2）．
11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）
12．（2022春•临湘市校级月考）计算：
（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）．13．（2022 秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为
（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建
一座雕像．
（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？
14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3
项，求m和n的值．
15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的
宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草
坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？
（3）若修两横一竖，宽度均为 b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草
坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？
16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整
数），其面积分别为S ，S ．
1 2
（1）填空：S ﹣S ＝ （用含m的代数式表示）；
1 2
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．
①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；
②设该正方形的面积为S ，试探究：S 与2（S +S ）的差是否是常数？若是
3 3 1 2
常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
