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第 02 讲 二次根式的乘除
【题型1 二次根式的乘法运算】
【题型2 二次根式的除法运算】
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【题型4 最简二次根式的相关概念】
考点1：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式
乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广
【题型1 二次根式的乘法运算】
【典例1】计算：
(1) (2) (3) (4) ．
【答案】(1)(2)3
(3)
(4)8
【分析】（1）把被开方数相乘即可，
（2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可，
（3）把被开方数相乘即可，
（4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
【变式1-1】计算 的结果为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案．
【详解】解： ．
故选：D．
【变式1-2】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)4(2)
【分析】（1）运用二次根式的乘法公式计算即可．
（2）运用完全平方公式，根式的性质计算即可．
【详解】（1）
．
．
（2）
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法公式，完全平方公式，根式的性质，熟练掌握公式和
性质是解题的关键．
【典例2】计算:
(1) ;
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【变式2-1】计算： ．
【答案】
【分析】把系数相乘，被开方数相乘，最后化成最简二次根式即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
考点2：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
注意：
（1）a≥0，b＞0时， 才有意义；
（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数
【题型2 二次根式的除法运算】
【典例3】计算：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】根据二次根式的除法法则 ， （a≥0，b＞0）可得答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键．
【变式3-1】计算：
(1) ； (2) ； (3) （ ， ）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；（3）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式3-2】计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） （8） ；
【答案】（1） ；（2） ； （3） ；（4） （5） ；（6） ；（7）
；（8）4
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） = ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，掌握乘除法的运算法则是解题的关键．
【变式3-3】计算：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1）3；（2） ；（3） ；（4）
【分析】分别利用二次根式的除法法则以及二次根式的性质计算即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的除法法
则以及二次根式的性质．
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【典例4】计算： ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即
可求解．
【详解】解：
【变式4-1】计算：
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【变式4-2】计算： ．【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．利用运算法则计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
．
【变式4-3】计算：
【答案】24
【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，
．
【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考点3：最简二次根式
1. 最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行
开方
若被开方数中含有带
分数，先将被开方数
化成假分数
若被开方数中含有小
数，先将小数化成分
数
化去根号下的分
母
若被开方数时分式，
先将分式分母化成能
转化为平方的形式，
再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
【题型4 最简二次根式】
【典例5】下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数
中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解
题的关键．【详解】A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 符合题意；
故选D．
【变式5-1】下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式．“被开方数不含分母或被开方数不含开得尽方的因数或
因式，这样的二次根式即为最简二次根式”，据此进行判断即可．
【详解】解： 含有c3可以开方，则A不符合题意；
符合最简二次根式的定义，则B符合题意；
，则C不符合题意；
中被开方数含有分母，不是最简二次根式，则D不符合题意；
故选：B．
【变式5-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的判定．最简二次根式是指被开方数不能化简的二次根
式．据此判定即可．【详解】解：A、 ，可化简，原式不是最简二次根式；
B、 ，可化简，原式不是最简二次根式；
C、 ，可化简，原式不是最简二次根式；
D、 不可化简，原式是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【变式5-3】将 化成最简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不
含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做
最简二次根式，根据最简二次根式的定义化简即可得到答案．
【详解】解：将 化成最简二次根式的结果为 ，
故选：A．
一、单选题
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，不含分母”，进
行判断即可．
【详解】解：A、 ，不符合题意；B、 ，不符合题意；
C、 ，是最简二次根式，符合题意；
D、 ，不符合题意；
故选C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，利用
幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，二次根式的加法，乘法法则进行计算，逐一
判断即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 与 不能合并，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D．
3．一个长方形，面积为 ，一边长为 ，那么这条边的邻边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的应用，用长方形的面积除以一边的长即可求得另一边的长，
解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则．
【详解】解：由题意得： ，
故选： ．4．计算 的结果是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得
出答案．
【详解】解： ．
故选：A．
5．若 ， ，则 用含a，b的式子表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的乘法和性质变形得出答案．
【详解】解： ， ，
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法和性质，正确将二次根式变形是解题关键．
6．下列计算正确的有（ ）
①
②
③
④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断，即可得到答案．
【详解】解： ，即①计算错误，②计算正确；，即③计算正确，④原计算错误；
则正确的个数为2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质是解题关键．
二、填空题
7．化简： ； ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ， ．
8．将 化成最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用
二次根式性质化简即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
9．矩形的长和宽分别是 和 ，则矩形的面积是 ．
【答案】
【分析】根据矩形的面积=长×宽即可得出结果．
【详解】解：矩形面积 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查的是矩形面积公式以及二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法是解
题的关键．
10．计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为：2．
11．若 为正整数，则满足条件的 的最小正整数值为 ．
【答案】5
【分析】先将已知二次根式化简，然后根据题意找出最小被开方数即可得到结果．
【详解】解： ，且结果为正整数，
是某数的平方，
又 ， 是根号内满足条件的最小被开方数， 为正整数，
当 时满足题意．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的化简，首先知道被开方数为平方数的时候开方的结果才是正
整数．将本题先化简再探讨是解决本题的关键．
12．若 的整数部分是a，小数部分为b，则 ， ．
【答案】 1 /
【分析】首先根据无理数的估算得到 ，然后求出a和b的值，然后利用二次根式
的运算法则化简即可求出 ．
【详解】∵
∴
∵ 的整数部分是a，小数部分为b，∴ ，
∴ ．
故答案为：1， ．
【点睛】此题考查了无理数的估算，二次根式的运算，平方差公式等知识，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
13．计算 的值为 ．
【答案】 /
【分析】根据幂的运算公式： ， 的逆用， ，
进行计算，即可求解．
【详解】解：原式
；
故答案： ．
【点睛】本题考查了二次根式运算，平方差公式，积的乘方公式逆用，同底数幂的乘法公
式逆用，会利用公式进行计算是解题的关键．
三、解答题
14．
【答案】
【分析】根据平方差公式和二次根式运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题的关键．
15．计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
16．计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，则 ，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关
键．17．计算：
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．计算：
【答案】
【分析】利用二次根式的性质，进行化简，再计算．
【详解】解： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除，熟练进行二次根式的化简和计算
是解题的关键．
