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第 02 讲 分式的法运算
1. 类比分数的乘除法运算法则，探究分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘、除运
算．
2.类比分数的加减法运算法则，探究分式的加减法运算法则.
3. 掌握分式的加、减、乘、除混合运算.
4. 掌握分式的化简求值.
5. 结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质．
6. 能用科学记数法表示小于 1 的正数．
知识点1：分式的乘除
分式的乘除法运算
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分
乘法
母，即
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相
除法
乘，即
知识点2：分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
a n an
b bn n
（ 为正整数）.
⑴、 （ 是正整数） ⑵、 （ 是正整数）
⑶、 （ 是正整数）
⑷、 （ ， 是正整数， ）⑸、 （ 是正整数） ⑹、 （ ，n是正整数）
知识点3：同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
a b ab
c c c .
注意：
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，
括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
知识点4：异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd .
注意：
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母
分
式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结
果化成最简分式.
知识点5：科学记数法
科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10 n 的形式，其中 n
是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法．
注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d
的指数 n=m+1．【题型1 分式的乘除】
【典例1】（2023•赣州三模）计算： ．
【答案】 ．
【解答】解：
＝
＝ ．
【变式1-1】（2023•济南二模）计算 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：
＝
＝ ．
故选：A．
【变式1-2】（2023•河北）化简 的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
【答案】A【解答】解：x3（ ）2
＝x3•
＝xy6，
故选：A．
【变式1-3】（2023秋•栾城区校级月考）化简 • 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：原式＝ •
＝ ．
故选：B．
【典例2】（2023秋•北碚区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）6ab；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝6a2b• • ＝6ab；
（2）原式＝ • ＝ ．【变式2-1】（2023秋•娄底期中）计算．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）﹣ ；
（2） ．
【解答】解：（1）
＝ •
＝﹣ ；
（2）
＝ •
＝
＝ ．
【变式2-2】（2023春•和平区期中）计算：
（1）（ ）3• ；
（2） ．【答案】（1）﹣ ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝﹣ •
＝﹣ ；
（2）原式＝ •
＝ ．
【变式2-3】（2023秋•任城区校级月考）计算：
（1） ÷ ；
（2） ．
【答案】（1）2x﹣2y；
（2）﹣ ．
【解答】解：（1） ÷
＝ ÷
＝ •
＝2（x﹣y）
＝2x﹣2y；（2）
＝ • •
＝﹣ ．
【变式2-4】（2023春•长安区月考）计算： ．
【答案】a2﹣a﹣2．
【解答】解： • ÷
＝ • ×（a+1）（a﹣1）
＝（a﹣2）（a+1）
＝a2﹣a﹣2．
【变式2-5】（2022秋•城西区校级期末）计算： × ÷（﹣ ）．
【答案】﹣ ．
【解答】解： × ÷（﹣ ）
＝﹣ × ×
＝﹣ ．
【题型2 同分母分式的加减】【典例3】（2023秋•合浦县期中）计算： ．
【答案】a+5．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝a+5．
【变式3-1】（2023春•高陵区月考）计算： ．
【答案】m+1．
【解答】解：
＝
＝
＝m+1．
【变式3-2】（2023春•顺义区校级期中）计算： ．
【答案】 ．
【解答】解：
＝＝ ．
【变式3-3】（2023•安陆市二模）化简： ．
【答案】x+1．
【解答】解：原式＝
＝
＝x+1．
【变式3-4】（2023•陇南模拟）计算： ．
【答案】
【解答】解：
＝
＝
＝ ．
【题型3 异分母分式的加减】
【典例4】（2023春•锡山区期中）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）﹣ ．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣
＝ ；
（2）原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝﹣ ．
【变式4-1】（2022秋•泸县校级期末）计算： ．
【答案】 ．
【解答】原式＝ +
＝
＝
＝ ．
【变式4-2】（2022秋•藁城区期末）计算：（1） ； （2） ．
【答案】（1） ．
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝
＝ ．
（2）原式＝
＝
＝
＝
【变式4-3】（2022秋•大兴区期末）计算： ﹣ ．
【答案】 ．
【解答】解： ﹣
＝ ﹣
＝
＝ ．【题型4 分式混合运算】
【典例5】（2023秋•昌平区期中）计算： ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）× ＝ ．
【变式5-1】（2022秋•密云区期末） ﹣ ÷ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解： ﹣ ÷
＝ ﹣ ×
＝ ﹣
＝
＝ ．
【变式5-2】（2023•东海县三模）化简： ．
【答案】 ．
【解答】解：
＝
＝
＝ ．【变式5-3】（2023•漳浦县模拟）化简： ．
【答案】 ．
【解答】解：
＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ •
＝ ．
【变式5-4】（2023秋•新城区校级月考）化简： ．
【答案】 ．
【解答】解：
＝
＝ •
＝ ．
【题型5 分式化简求值】【典例6】（2023秋•平南县期中）先化简，再求值： ，
其中a＝1．
【答案】 ，﹣1．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ ，
当a＝1时，原式＝ ＝﹣1．
【 变 式 6-1 】 （ 2023 春 • 兴 宁 区 校 级 期 中 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ：
，其中a＝2023．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝2023时，原式＝ ＝ ．
【 变 式 6-2 】 （ 2023• 城 厢 区 校 级 模 拟 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ：，其中 ．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝ ﹣1时，
原式＝ ＝ ．
【变式 6-3】（2023 秋•裕华区校级期中）先化简、再求值： ÷（1+
），其中其中m＝ ﹣3．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
当m＝ ﹣3时，
原式＝ ＝ ＝ ．
【典例7】（2023•新邵县校级一模）先化简，再求值： ，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】 ，﹣1．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ ，
要使分式有意义，x不能取﹣1，1，
则当x＝0时，原式＝ ＝﹣1．
【变式7-1】（2023春•甘州区校级期末）先化简 ，然后在
0，1，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．
【答案】 ，﹣2．
【解答】解：原式＝ • ＝ ，
当x＝0时，原式＝﹣2．
【变式7-2】（2023•利川市模拟）先化简，后求值： ，
然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ ÷＝ •
＝ ，
∵x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x≠1且x≠2，
∴x＝0，
则原式＝1．
【变式 7-3】（2023 秋•长安区期中）先化简： ，再从
0，1，﹣1， 中选取一个合适的数代入求值．
【答案】 ，8．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝ ，
∵x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，
∴x≠±1，0，
∴当x＝ 时，原式＝ ＝8
【题型6 科学计数法】
【典例8】（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年9月9日，上海微电子研发的
28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．
已知 28nm 为 0.000000028 米，数据 0.000000028 用科学记数法表示为
（ ）
A．2.8×10﹣10 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣6 D．2.8×10﹣9
【答案】B【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故选：B．
【变式8-1】（2023秋•让胡路区校级期中）光刻机采用类似照片冲印的技术，
把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装
备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光
源波长用科学记数法表示为（ ）
A．193×106米 B．193×10﹣9米
C．1.93×10﹣7米 D．1.93×10﹣9米
【答案】C
【解答】解：0.000000193米＝1.93×10﹣7米．
故选：C．
【变式8-2】（2023秋•东城区校级期中）一棵小草一天能释放的氧气是微乎其
微的，每平方米的绿草每天可以放出大约 0.015千克的氧气，同时吸收二氧
化碳和灰尘，减少空气中的细菌含量，净化空气．用科学记数法表示 0.015
为（ ）
A．0.15×10﹣1 B．15×10﹣3 C．1.5×10﹣2 D．1.5×102
【答案】C
【解答】解：0.015＝1.5×10﹣2．
故选：C．
【变式8-3】（2022秋•朔城区期末）银农科技董事长钱炫舟公开宣布：银农科
技的终极目标——做真正的纳米农药，发挥更好的药效，创造更多的价值！
银农的粒径新标准达到600﹣900纳米（1纳米＝10﹣9米），也标志着银农产
品正式步入纳米时代．将600纳米用科学记数法表示为（ ）
A．0.6×10﹣11米 B．0.6×10﹣9米
C．6×10﹣9米 D．6×10﹣7米
【答案】D
【解答】解：∵1纳米＝10﹣9米，∴600纳米＝600×10﹣9＝6×10﹣7米．
故选：D．
【题型7 负指数整数幂】
【 典 例 9 】 （ 2023 秋 • 冷 水 滩 区 校 级 期 中 ） 计 算 ：
．
【答案】﹣10．
【解答】解：原式＝1×（﹣1）﹣9
＝﹣1﹣9
＝﹣10．
【 变 式 9-1 】 （ 2023 秋 • 长 沙 期 中 ） 计 算 ：
．
【答案】6．
【解答】解：
＝﹣1﹣3+9+1
＝6．
【变式9-2】（2023秋•秦安县期中）计算： ．
【答案】﹣2．
【解答】解：
＝﹣1﹣4+1+2
＝﹣2．
【变式9-3】（2023•长安区校级二模） ．
【答案】﹣2﹣ ．【解答】解：原式＝4× ﹣6+3﹣
＝1﹣6+3﹣
＝﹣2﹣
1．（2023•广东）计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：
＝
＝ ．
故本题选：C．
2．（2023•攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.23×10﹣7 B．2.3×10﹣8 C．2.3×10﹣9 D．23×10﹣9
【答案】B
【解答】解：0.000000023＝2.3×10﹣8．
故选：B．
3．（2023•河南）化简 的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．a﹣2
【答案】B
【解答】解：原式＝ ＝1．
故选：B．4．（2023•赤峰）化简 +x﹣2的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：原式＝ +
＝
＝ ，
故选：D．
5．（2023•武汉）已知 x2﹣x﹣1＝0，计算 的值是
（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ ，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴原式＝ ＝1．
故选：A．
6．（2023•邵阳）下列计算正确的是（ ）A． ＝a2 B．（a2）3＝a5
C． ＝a+b D．（﹣ ）0＝1
【答案】D
【解答】解：A、 ＝a3，原计算错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，不符合题意；
C、 + ＝ ，原计算错误，不符合题意；
D、（﹣ ）0＝1，正确，符合题意．
故选：D．
7．（2023•绥化）化简：（ ﹣ ）÷ ＝ ．
【答案】 ．
【解答】解：（ ﹣ ）÷
＝[ ﹣ ]•
＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ ，故答案为： ．
8．（2023•福建）已知 + ＝1，且a≠﹣b，则 的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵ + ＝1，
∴ + ＝ ＝1，
∴ab＝2a+b，
∴ ＝ ＝ ＝1．
故答案为：1．
9.（2023•衡阳）已知x＝5，则代数式 ﹣ 的值为 ．
【答案】 ．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝
＝
＝ ，
当x＝5时，原式＝ ＝ ，
故答案为： ．
10．（2023•重庆）计算：2﹣1+30＝ ．
【答案】 ．
【解答】解：2﹣1+30＝ +1
＝ ，
故答案为： ．
11．（2023•深圳）先化简，再求值：（ +1）÷ ，其中x＝3．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝ ．
12．（2023•大庆）先化简，再求值： ，其中x＝1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝ ﹣ +
＝
＝
＝
＝ ，当x＝1时，原式＝ ＝ ．
13．（2023•通辽）以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：原式＝ ……第一步
＝ ……第二步
＝ ……第三步
……
（1）上面的运算过程中第 一 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）一；
（2） ．
【解答】解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；
故答案为：一；
（2）原式＝ ÷
＝ •
＝ ．
1．（2023春•大埔县期末）计算 的结果是（ ）
A．﹣9 B． C． D．9
【答案】D【解答】解： ＝9；
故选：D．
2．（2023•岳麓区校级二模）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，
中国自主研发的 5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是 0.000000005米．数据
0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．50×10﹣9
【答案】B
【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9．
故选：B．
3．（2022 秋•双峰县期末）计算 的结果是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：原式＝﹣ • ÷ ＝﹣ • • ＝﹣ ，
故选：B．
4．（2023春•成都期末）化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ．故选：D．
5．（2023春•内乡县期末）若a＝﹣2﹣2， ， ，则下列关系
正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】B
【解答】解： ， ， ，
∵ ，
∴a＜c＜b，
故选：B．
6．（2023春•安徽期末）化简 的结果是（ ）
A．m﹣1 B．m C． D．
【答案】B
【解答】解：原式＝ • ＝m．
故选：B．
7．（2023•和平区三模）化简 + 的结果是（ ）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
【答案】A
【解答】解：原式＝ ﹣ ＝ ＝x，
故选：A．
8．（2022秋•滨海新区校级期末）（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解答】解：（1）原式＝
＝ ；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝ ．
9．（2022春•济南期末）化简： ．
【答案】 ．
【解答】解：
＝
＝
＝ ．
10．（2022秋•连平县校级期末）计算： ．【答案】9．
【解答】解：
＝7﹣1+3
＝6+3
＝9．
11．（2023•高平市一模）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1）﹣7；（2） ．
【解答】解：（1）
＝ ﹣1×3×3﹣（﹣ ）×4
＝ ﹣9+
＝﹣7；
（2）
＝ •
＝ ．
12．（2023秋•临湘市期中）先化简，再求值： ，其
中﹣1≤x＜2且x为整数．请你选一个合适的x值代入求值．
【答案】x﹣1，当x＝0时，原式＝﹣1．【解答】解：
＝ •
＝ •
＝ •
＝x﹣1，
∵﹣1≤x＜2且x为整数，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝0﹣1＝﹣1．
