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专题 02 二次根式的乘除（四大题型）
【题型1 二次根式的乘法运算】
【题型2 二次根式的除法运算】
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【题型4 最简二次根式的相关概念】
【题型1 二次根式的乘法运算】
1．计算 正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：C
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
2．计算 × 的结果为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘法运算法则，将被开方数相乘即可求解．
【详解】解：故选：A
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算．熟记相关运算法则即可．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C、D进行
判断．
【详解】解：A、 ，故错误；
B、 ，故正确；
C、 ，故错误；
D、 ，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算及算术平方根的定义，正确运用二次根式的乘法
法则及识别平方根与算术平方根的区别是解题的关键．
4．计算 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】把原式化为 ，再计算括号内的乘法，从而可得答案．
【详解】解：
．
故选：C．【点睛】本题考查的是积的乘方运算，平方差公式的灵活运用，二次根式的乘法运算，熟
记运算法则是解本题的关键．
5．下列各等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算再依次判断即可．
【详解】A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. 正确，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查二次根式的乘法法则，将系数相乘，根式相乘，再把结果相乘，注意根
式应化为最简根式．
6．计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键．
7．计算： ．
【答案】 /
【分析】根据 、二次根式的性质计算即可．【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则．
8．计算： ．
【答案】18
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可得出答案；
（2）根据二次根式的乘法运算法则计算即可得出答案．【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，熟练运用运算法则是解题的关
键．
10．计算：
(1) ． (2) ．
(3) ． (4) ．
【答案】(1)12
(2)
(3)
(4)6000
【分析】（1）根据 ，开方计算即可．
（2）根据 ，开方计算即可．
（3）根据 ，开方计算即可．（4）根据 ，开方计算
即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）
．【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及
运算法则是解题的关键．
11．计算：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)12
(2)0.2
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法．掌握二次根式的乘法和除法的运算法则是解题
关键．
12．计算：
(1) ． (2) ． (3) ．
【答案】(1)66
(2)20
(3)
【分析】根据二次根式的乘法运算可进行求解各个小题．
【详解】（1）解：原式= ；
（2）解：原式= ；
（3）解：原式= ．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
13．计算：
(1) × ； (2)4 × ； (3)6 ×（﹣3 ）； (4)3 ×2 ．
【答案】(1)4(2)4
(3)-72
(4)30
【分析】根据二次根式的乘法进行求解各个小题即可．
【详解】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型2 二次根式的除法运算】
14．计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】利用二次根式的乘除法法则化简即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解决本题的关键．
15．计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则及二次根式的性质化简求出即可．
【详解】解：（1）原式
；（2）原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算法则，正确掌握运算法则
是解题关键．把 反过来，就得到 ，利用它可以进行二次根
式的化简．
16．计算：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可得；
（2）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可得；
（3）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可得；
（4）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可得.
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解题关键．17．计算
（1） （2） (3)
(4)
【答案】（1）4；（2） ；（3）2；（4）
【分析】（1）首先利用二次根式除法的运算法则对其进行可得 ，接下来对其进一步
计算即可；（2）首先对已知的式子进行变形可得 ，接下来利用二次根式除法的计
算法则对其进行计算即可.
（3）首先对已知的式子进行变形可得 ，接下来利用二次根式除法的计算法则
对其进行计算即可.
（4）直接把除法转化为乘法进行计算即可.
【详解】（1） = =2
（2） = =
（3） = = =
（4） =
【点睛】此题考查二次根式的除法，解答本题的关键是熟练掌握二次根式除法的运算法则.
18．计算:
(1)- ÷ ；(2) ÷ ；
【答案】(1 -20 ；(2)-4ab.
【分析】（1）利用单项式除法法则结合二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）先确定符号，然后利用二次根式的除法法则进行计算即可.
【详解】(1) - ÷ = × = - =-20 ；
(2) ÷ =- =- =-4ab.
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键.
19．计算： .
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
【详解】 ，
= ，
= .
【点睛】在进行二次根式相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较
大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
20．计算:
(1) ÷ ; (2)- ÷ ; (3) ÷ ．【答案】（1）2 ；（2）-20 ；（3）-4ab.
【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案
【详解】（1） ÷ = =2 ；
（2）− ÷ )=-3 ÷ =-3 × =-20 ；
（3） ÷ =- =-4ab.
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
21．计算：
(1) ； (2) ； (3)－ ÷ ； (4)3 ÷ .
【答案】(1) ;(2) ；（3）-3 ；（4） .
【详解】试题分析：（1）根据二次根式的除法法则 计算即可；
（2）根据二次根式的除法法则 计算即可；（3）根据二次根式的除
法法则 计算后化为最简二次根式即可；（4）根据二次根式的除法法
则 计算后化为最简二次根式即可.
试题解析：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【题型3 二次根式的乘除法运算】
22．计算： ．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
23．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关
键，注意需要把结果化为最简二次根式．
24．计算： ．
【答案】
【分析】原式先化简各二次根式后再进行乘除运算即可．
【详解】解：
==
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确进行二次根式的化简是解答本题的关
键．
25．计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
26．计算： ．
【答案】【分析】先计算二次根式的乘除法，再计算有理数的减法即可得．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
27．计算∶ ．
【答案】
【分析】根据二次根式的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运
算法则和运算顺序．
28．计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：，
由二次根式被开方式非负可知 ，即 ，
，
．
【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非
负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运
算法则是解决问题的关键．
29．计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除运算法则求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解题的关键．
30．计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
根据 与 得： ，
∴原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最
后二次根式要化成最简二次根式．
【题型4 最简二次根式的相关概念】
31．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次
根式的定义是解题的关键．
【详解】解： 、 不是最简二次根式，不符合题意；
、 不是最简二次根式，不符合题意；
、 不是最简二次根式，不符合题意；
、 是最简二次根式，符合题意；
故选： ．
32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的化简，最简二次根式必须满足两
个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断，根据二次
根式的性质进行化简即可．
【详解】解：A项， ，本项不是最简二次根式，故不符合题意；
B项， ，本项不是最简二次根式，故不符合题意；
C项， ，本项不是最简二次根式，故不符合题意；
D项， ，不能化简，本项是最简二次根式，故符合题意；
故选：D．
33．若 与最简二次根式 能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先将 化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解： ，
与最简二次根式 能合并，
，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解
题关键．
34．已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a
的最小值为（ ）
A．23 B．21 C．15 D．5
【答案】D【分析】由 ，且与 是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即
可得答案．
【详解】解：∵ ，且与 是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
35．化简：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可．
（2）将二次根式分母去掉，即可达到化简的目的．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
36．把下列二次根式化简最简二次根式：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)4
(2)
(3)
(4)
【分析】利用二次根式化简即可．
【详解】（1）解： = =4 ；
（2）解： = = = ；
（3）解： = = ；
（4）解： ．
【点睛】本题主要考查化简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
37．化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1）27；（2） ；（3） ；（4）
【分析】根据积与商的算术平方根的性质将原式化为最简二次根式即可．
【详解】解：（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟知定义以及二次根式的性质是解题的关键．
38．化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】（1）根据最简二次根式的定义及二次根式的乘除法则化简即可；
（2）根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可；
（3）先把小数化为分数，再根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可；
（4）根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可；
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解
题关键．
