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第 01 讲 分式概念与基本性质
1. 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念．
2. 了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式．
3. 类比分数的基本性质，了解分式的基本性质．
4. 能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念，了解最简公分母的概念
知识点1：分式相关概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其
中A叫做分子，B叫做分母.
1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
2. 分式有意义的条件：B≠0；
3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
知识点2：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式
的基本性质，用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
注意：
（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一
般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的
基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取
值范围有可能发生变化.例如： ，在变形后，字母 的取值范围变大了.
知识点3：分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：根据分式的基本性质有 ， .根据有理数除法的符号法则有
.分式 与 互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着
重要的作用.
知识点4：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的
值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除
外），那么这个分式叫做最简分式.
知识点5：分式通分（找最简公分母）
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：
2.取各分母所有因式的最高次幂的积
【题型1 分式的定义】
【典例1】（2023秋•平南县期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2023春•滨湖区期末）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C．x+y D．
【答案】B
【解答】解： 分母中不含字母，
则A不符合题意；
符合分式的定义，
则B符合题意；
x+y是整式，
则C不符合题意；
分母中不含字母，
则D不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2023秋•深圳校级期中）下列四个式子： ，x2+x， m， ，
其中分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有 ，
两个分母中都含有字母，所以这两个是分式，
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•高邑县期末）如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个
圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：甲、 是分式；
乙、 中， 是一个数，故不是分式；
π
丙、 是分式；
丁、 ，分母不含字母，不是分式．
综上，是分式的有甲、丙，共2个，
故选：B．
【题型2 分式的有无意义的满足条件】
【典例 2】（2023•红河州一模）若分式 有意义，则 x 的取值范围是
（ ）
A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x＝1
【答案】A
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x+1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：A．
【变式2-1】（2023春•泉州期末）要使分式 有意义，则x应满足的条件是
（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠﹣2
【答案】A
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．故选：A．
【变式2-2】（2023秋•临桂区期中）要使分式 的值存在，则x满足的条件
是（ ）
A．x＝﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2
【答案】D
【解答】解：要使分式 的值存在，
则x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：D．
【变式2-3】（2023春•青岛期末）当x＝1时，下列分式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
B，当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
C、当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，符合题意；
D、当x＝1时，x+1≠0，分式有意义，不符合题意；
故选：C．
【题型3 分式值为零的满足条件】
【典例3】（2023秋•平南县期中）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．±3
【答案】B
【解答】解：由题意得：x＝0且x+3≠0，
解得：x＝0，
故选：B．
【变式 3-1】（2022 秋•沙坪坝区期末）若分式 的值为零，则 x 的值是（
）
A．﹣2 B．2或﹣2 C．2 D．4【答案】C
【解答】解：由题意可知： ，
解得：x＝2．
故选：C．
【变式 3-2】（2022 秋•武冈市期末）若分式 的值为 0，则 x 的值为（
）
A．±3 B．0 C．﹣3 D．3
【答案】D
【解答】解：由题意得 ，
解得x＝3．
故选：D．
【变式3-3】（2023秋•东平县期中）若分式 的值为0，则x应满足的条件
是 x ＝ 1 ．
【答案】x＝1．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝1，
故答案为：x＝1．
【题型4 分式的性质】
【典例 4-1】（2023 秋•莱西市期中）下列各式从左到右的变形正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．分子、分母同时减a，不符合分式的性质，故A错误，不符
合题意；B．分子乘了y，分母乘了x，不符合分式的性质，故B错误，不符合题意；
C． ，故C错误，不符合题意；
D．分子、分母同时乘了一个不为零的数a，分式的值不变，故D正确，符
合题意．
故选：D．
【典例4-2】（2023秋•正定县期中）若分式 中的x，y都扩大原来的3倍
那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小到原来的
【答案】C
【解答】解：分式的 x，y 都扩大原来的 3 倍变为： ＝
＝ ，
即x，y都扩大原来的3倍后分式的值不变，
故选：C．
【变式4-1】（2023秋•通州区期中）把分式 中的a、b都扩大3倍，则分式
的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．扩大9倍
【答案】B
【解答】解：原式＝ ＝
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•沂水县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解答】解：A． ＝ ＝ ，故本选项符合题意；
B． ≠ ，故本选项不符合题意；
C． ＝ ＝x+y，故本选项不符合题意；
D． ＝ ＝﹣ ，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式4-3】（2023春•蒸湘区校级期末）下列等式从左到右的变形一定正确的
是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】C
【解答】解：A、 ≠ （m≠0），所以A选项不正确；
B、若c＝0，则 ≠ ，所以B选项不正确；
C、 ＝ ，所以C选项正确；
D、 ＝ ，所以D选项不正确．
故选：C．
【变式4-4】（2023春•凤翔县期末）将分式 中的x，y的值同时扩大为原来
的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍【答案】B
【解答】解：∵把分式 中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为： ＝ ＝9× ，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
【题型5 分式的约分】
【典例5】（2022秋•大洼区期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：
＝
＝
＝ ，
故选：B．
【变式5-1】（2023秋•昌黎县期中）约分 的结果是（ ）
A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y
【答案】B
【解答】解： ，
故选：B．【变式5-2】（2022秋•顺平县期末） ，则？等于（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x+2 D．x﹣2
【答案】B
【解答】解：∵ ，
∴？等于x﹣1，
故选：B．
【变式5-3】（2023春•濉溪县校级月考）计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．x﹣y
【答案】A
【解答】解：
＝
＝ ，
故选：A．
【题型6 最简分式】
【典例6】（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、 ＝ ，不是最简分式，不符合题意；
B、 ＝ ＝ ，不是最简分式，不符合题意；C、 是最简分式，符合题意；
D、 ＝ ＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【变式6-1】（2023春•鄄城县期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、原式＝ ，不是最简分式，不符合题意；
B、原式＝ ，不是最简分式，不符合题意；
C、原式＝ ，不是最简分式，不符合题意；
D、 是最简分式，符合题意；
故选：D．
【变式6-2】（2023秋•昌黎县期中）下列各式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、A的分子分母有最大公约数17，不是最简分式；
B、B的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
C、 ＝ ＝y﹣x；D、 ＝ ＝ ；
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•雷州市期末）下列各式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、原式＝ac，不符合题意；
B、原式＝ ，不符合题意；
C、原式为最简分式，符合题意；
D、原式＝ ＝x﹣1，不符合题意．
故选：C．
【题型7 最简公分母】
【典例 7】（2023 秋•新田县期中）分式 与 的最简公分母是
（ ）
A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5）
C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）
【答案】D
【解答】解：分式 与 的最简公分母是x（x+5）（x﹣5）．
故选：D．
【变式7-1】（2023秋•兴宾区期中）分式 与 的最简公分母是（ ）
A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3
【答案】C【解答】解：分式 与 的最简公分母是6x2．
故选：C．
【变式7-2】（2022秋•灵宝市期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A．x﹣1 B．x2﹣1 C．2（x﹣1） D．2（x﹣1）2
【答案】C
【解答】解：∵2x﹣2＝2（x﹣1），
∴ 与 的最简公分母是2（x﹣1），
故选：C．
【变式7-3】（2023秋•印江县校级月考）分式 ， ，﹣ 的最
简公分母是（ ）
A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2
C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝
（x+1）2，
∴分式 ， ，﹣ 的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2．
故选：C．
【变式7-4】（2023春•朝阳区校级期中）分式 ， 的最简公分母是
（ ）
A．x2﹣y2 B．x2+xy
C．（x+y）（x﹣y） D．x（x+y）（x﹣y）
【答案】D【解答】解： ＝ ， ＝ ，
∴分式 ， 的最简公分母是x（x+y）（x﹣y），
故选：D．
【题型8 分式的通分】
【典例8】（2022•丰顺县校级开学）通分：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1） ， ， ；
（2） ， ， ．
【变式8-1】（2022秋•东湖区期末）把 ， 通分，下列计算正确的是
（ ）
A． ＝ ， ＝ B． ＝ ， ＝
C． ＝ ， ＝ D． ＝ ， ＝
【答案】B
【解答】解：两分式的最简公分母为3a2b2，
A、通分后分母不相同，不符合题意；B、 ＝ ， ＝ ，符合题意；
C、通分后分母不相同，不符合题意；
D、通分后分母不相同，不符合题意，
故选：B．
【变式8-2】（2022秋•韩城市校级月考）将下列各分式通分：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
【答案】答案见解答过程．
【解答】解：（1）最简公分母是2a2b2，
∴ ＝ ， ＝ ；
（2）最简公分母是（x+5）（x﹣5），
∴ ＝ ， ＝ ．
【变式8-3】（2022秋•丹江口市期中）通分 ， ， ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3），
，
，
．1．（2023•广西）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
【答案】A
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
2．（2023•凉山州）分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【答案】A
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
3．（2023•兰州）计算： ＝（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【答案】D
【解答】解：
＝
＝a，故选：D．
4．（2022•怀化）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：分式有： ， ， ，
整式有： x， ，x2﹣ ，
分式有3个，
故选：B．
5．（2021•雅安）若分式 的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【答案】A
【解答】解：由题意得：|x|﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1，
故选：A．
6．（2021•百色）当x＝﹣2时，分式 的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】A
【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
当x＝﹣2时，原式＝
＝
＝﹣15．
故选：A．
15．（2023•自贡）化简： ＝ x ﹣ 1 ．
【答案】x﹣1．
【解答】解：原式＝
＝x﹣1．
故答案为：x﹣1．
16．（2021•福建）已知非零实数x，y满足y＝ ，则 的值等于 4
．
【答案】4．
【解答】解：由y＝ 得：xy+y＝x，
∴x﹣y＝xy，
∴原式＝
＝
＝4．
故答案为：4．
1．（2023秋•东平县期中）在代数式 3+ ， ， ， ， ， 中，
分式有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解： ， ， ， 的分母中含有字母，属于分式．
故选：A．
2 ． （ 2023 秋 • 香 坊 区 校 级 期 中 ） 根 据 分 式 的 基 本 性 质 ， 把 分 式
中的分子、分母的 x，y同时扩大2倍，那么分式的值（
）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变 D．不改变
【答案】D
【解答】解：根据题意得： ＝ ＝ ，
即分式的值不改变．
故选：D．
3．（2023秋•裕华区校级期中）如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3
倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的9倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍
【答案】C
【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式＝ ＝ ，
约分后缩小到原来的 ，
故选：C．
4．（2023秋•覃塘区期中）下列分式变式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解答】解：A、 ＝ ，故A不符合题意；
B、 ＝ ＝﹣1，故B不符合题意；
C、 ≠ ，故C不符合题意；
D、 ＝ ＝ ，故D符合题意；
故选：D．
5．（2023秋•宁阳县期中）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、 ＝ ，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
B、 是最简分式，故此选项符合题意；
C、 ＝ ＝ ，则原分式不是最简分式，故此选项不合题
意；
D、 ＝﹣ ＝﹣ ，则原分式不是最简分式，故此选项不合
题意；
故选：B．
6．（2023秋•合浦县期中）若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵ ＝ ，
∴b＝ ，
则 ＝ ＝ ．
故答案为：A．
7．（2023秋•常德期中）若分式 的值为0，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝2或﹣3 C．a＝﹣3 D．a＝﹣2或3
【答案】C
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴a2+a﹣6＝0且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣3．
故选：C．
8．（2022秋•祁阳县期末）下列变形从左到右一定正确的是（ ）
A． B． C． D． ＝
【答案】D
【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的
值不变，故A错误；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故 C
错误；
D、分子分母都除以x，分式的值不变，故D正确；
故选：D．9．（2023春•宿豫区期中）按照下列要求解答：
（1）约分： ； （2）通分： 与 ．
【答案】（1） ；
（2） ， ．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ；
（2） ＝ ， ＝ ．
10．（2022秋•大兴区期末）若 ，求分式 的值．
【答案】 ．
【解答】解：∵ ，
∴
＝ +1
＝ +1
＝ ．
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