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专题1.28有理数的乘方（知识讲解）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
(power)．
a a aan
n个 an a
即有： .在 中， 叫做底数， n叫做指数.
特别说明：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
2. 性质：
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
特别说明：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计
算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右
进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
特别说明：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法
是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小
括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2） ．
【答案】（1）（﹣3）3，底数为﹣3，指数为3；（2）（+ ）4，底数为+ ，指数为
4．
【分析】
（1）（2）都是相同的几个数字相乘，根据乘方的定义即可解答.
解：（1）(﹣3)×(﹣3)×(﹣3)＝(﹣3)3，底数为﹣3，指数为3；
（2） ＝ 4, 底数为+ ，指数为4.
【点拨】求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作an，其中a
叫做底数，n叫做指数.
举一反三：
【变式1】 （1） 中，底数、指数各是什么？
（2） 中 叫做什么数？8叫做什么数？ 是正数还是负数？
【答案】（1）底数是 ，指数是8；（2） 中 叫做底数，8叫做指数，
是正数．
【分析】
（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题；
（2）根据有理数的乘方的概念即可回答．
解：（1） 中，底数是 ，指数是8；
（2） 中 叫做底数，8叫做指数， 是正数．
【点拨】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数
的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
【变式2】阅读以下材料，完成下列问题.
（1）我们已经学过了乘方运算，我们知道表示2个-2相乘，即 ，那么表示 ，把 写成乘方的形式表示为 ，此时底数是 .
（2）将（1）中两个底数同为-2的幂相乘，即 ，结果共有 个-2相
乘，写成幂的形式为 ；
（3）若将（2）中算式中的底数都换为 ，则 表示 ，计算结果为
.
若将（2）中算式中的指数换为正整数 ，则 ，请用一句话概括你发
现的结论 ；
（4）利用上述结论，完成以下填空
若 ，则 ， ；
若 ， ， ，写出 的数量关系 .
【答案】（1）3个-2相乘，即 ； ； ;；（2）5； ；（3）
5个 相乘，即 ； ； ；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（4）
；25；
【分析】
（1）利用乘法和乘方的意义，得到结果；
（2）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．
（3）利用同底数幂的乘法公式，进行计算，并得到结论．
（4）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．
解：（1） 表示3个-2相乘， ，把 写成乘方的形式
表示为 ，此时底数是 .
（2）将（1）中两个底数同为-2的幂相乘，即 ，结果共有5个-2相乘，写成幂的形式为 ；
（3）若将（2）中算式中的底数都换为 ，则 表示5个 相乘，即
，计算结果为 .
若将（2）中算式中的指数换为正整数 ，则 ，请用一句话概括你发
现的结论同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（4）利用上述结论，完成以下填空
若 ，则 ， 25；
若 ， ， ，写出 的数量关系：
即： .
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用同底数幂的乘法公式的计算．
掌握公式是关键．
类型二、有理数乘方的运算
2． 计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1）-64；（2）16；（3） ．
【分析】
根据有理数乘方运算法则计算即可．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ．【点拨】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】 计算：
（1） 与 ； （2） 与 ．
【答案】（1）256；-256；（2） ．
【分析】
（1）直接运用乘方的运算法则计算即可；
（2）直接运用乘方的运算法则计算即可．
解：（1） ．
（2） ．
【点拨】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键．
【变式2】不超过 的最大整数是多少？
【答案】
【分析】首先求出 的值为 ，然后根据负数比较大小的方法即可求出最大整
数．
解：∵ ，
∴不超过 的最大整数是 ．
【点拨】此题考查了有理数的比较大小和有理数的乘方，解题的关键是求出 的
值．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
3、判断下列各式计算结果的正负：
（1） ； （2） ；（3） ； （4） ．
【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负
【分析】
根据有理数乘方的符号规律解答即可．
解：（1） 的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知 的结果
为正；
（2） 的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知 的
结果为负；
（3） 表示的是 的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知 的结果为正，
所以 的结果为负；
（4） 的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知 的结果
为负．
【点拨】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为
负成为解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】在“数学晚会”上，七年级的10个同学藏在10个大盾牌后面，男同学盾牌
前面的结果是一个正数，女同学盾牌前面的结果是一个负数，这10个盾牌如图所示，请你
通过计算，求出盾牌后面男、女同学各有多少人．
【答案】盾牌后面有4个男同学，6个女同学
【分析】
各项计算得到结果，即可做出判断．
解：（-15）16=1516>0；5÷（-25）= <0；
因为任何数的平方是非负数，所以x2≥0，所以x2+1>0；
8÷（7-77）=8÷（-70）= <0；
1-2-3=-4<0；
-1×|-62|=-1×36=-36<0；
5×（-1）2015=5×（-1）=-5<0；
-[-（+8）]=-（-8）=8>0；
-23+（-32）=-8+（-9）=-17<0；
（-28）3×（-7）5=283×75>0．
则正数有4个，负数有6个，所以盾牌后面有4个男同学，6个女同学．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】 记a＝﹣2，a＝（﹣2）×（﹣2），a＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……
1 2 3
an＝n个-2相乘．
（1）填空：a＝ ，a 是一个 （填“正”或“负”）；
4 23
（2）计算：a+a；
5 6
（3）请直接写出2020an+1010an 的值．
+1
【答案】（1）16，负；（2）32；（3）0．
【分析】
（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）利用规律计算即可；
（3）对原式进行变形，得出与规律有关的式子，即可得出结果．
解：（1）根据规律可知：a＝(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)＝16，
4
a 是23个﹣2相乘，是负数；
23
（2）由规律可总结出： ，
；
（3）
==
=
=
=
【点拨】本题考查规律型：数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问
题．
类型四、有理数乘方的应用
4、若 ，求 的
值．
【答案】 ．
【分析】先由非负数的和为0求出x、y的值，再代入后利用“裂项相消”计算即可．
解：∵
∴
∴ ， ，
代入得：原式=
【点拨】本题考查有理数的简便运算，解题的关键是能想到“裂项相消” ．
举一反三：
【变式1】阅读材料：求 的值．
解：设
将等式两边同时乘以2，得：
；
将下式减去上式得：，即 ，即 ；
请你仿照此法计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）设 ，从而可得 的值，再计算 ，
由此即可得；
（2）设 ，从而可得 的值，再计算 ，由此即可得．
解：（1）设 ，
将等式两边同乘以 得： ，
将上式减去下式得： ，即 ，
则 ，
即 ；
（2）设 ，
将等式两边同乘以3得： ，
将下式减去上式得： ，即 ，则 ，
即 ．
【点拨】本题考查了有理数乘方的应用，掌握理解阅读材料中的求解方法是解题关键．
【变式2】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面
积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
（1）阴影部分的面积是多少？
（2）受此启发，你能求出 的值吗？
【答案】（1） ； （2） ．
【分析】
（1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根
据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果．
解：（1）由题意可知，
部分①面积是 ，
部分②面积是（ ）2，
部分③面积是（ ）3，
…，
则阴影部分的面积是（ ）6= ，
阴影部分的面积是 ；（2）原式= + ．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规
律．
类型五、程序流程与有理数的运算
5、（1）输入 后，得到的输出结果是________．
（2）输入 后，得到的输出结果是________．
（3）如果输出的结果是 ，请你求出输入的数．
【答案】（1） ；（2） ；（3）输入的数是 或 ．
【分析】
（1）（2）根据题意列式计算；
（3）分两种情况分别计算．
解：（1）∵ ＞ ，
∴ × = ，
故答案为： ；
（2） ＜ ，
∴ + = ，故答案为： ；
（3）①输入的数小于 ，
得 - = ，
②输入的数大于 ，
得 ÷ = ，
综上所述：输入的数是 或 ．
【点拨】本题主要考查了有理数的四则混合运算、代数式的求值，掌握混合运算的顺
序，理解题意把输入的值代入那个式子是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，这是一个数值转换机的示意图．
（1）若输入x的值为2，输入y的值为﹣5，求输出的结果；
（2）若输入x的值为﹣5，输出的结果为﹣2，则输入y的值为多少？
【答案】（1）3 ； （2）
【分析】
（1）根据数值转换机的示意图，直接计算出结果；
（2）根据数值转换机的示意图和题意，列出关于y的方程，求解即可．
解：（1）根据题意，输出结果是（2×2＋|−5|）÷3＝3；
（2）根据题意，得（－5×2＋|y|）÷3＝－2，
即－10＋|y|＝－6，∴|y|＝4，
∴y＝±4．
【点拨】本题考查了有理数的运算和一元一次方程，理解数值转换机的示意图是关键．
【变式2】小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题．
（1）当小鹏输入的数为5时，求输出的结果n；
（2）若小鹏某次输入数m（m是非负数）后，输出的结果n为0．请你写出m可能的
两个值．
【答案】（1）-1；（2）2或4（答案不唯一），只要大于或等于0，且是偶数即可．
【分析】
（1）根据程序图把 代入计算，即可求解；
（2）根据输出的结果n为0，再把程序图逆推，即可求解．
解：（1）根据题意可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴输出1的相反数是 ，即输出的结果 ；
（2）把程序图逆推可知 ，或 ，
∴m可能为2或4（答案不唯一），只要大于或等于0，且是偶数即可．
【点拨】本题主要考查了有理数的减法运算，以及大小比较，熟练掌握有理数的运算
法则是解题的关键．
