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专题19.2 二次根式的乘法与除法
（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）
【原卷版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：二次根式的乘法法则...................................................1
知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用.............................................2
知识点梳理03：二次根式的除法法则...................................................2
知识点梳理04：最简二次根式的概念 ..................................................2
题型讲练...............................................................................3
题型1：二次根式的乘法..............................................................3
题型2：二次根式的除法..............................................................3
题型3：二次根式的乘除混合运算......................................................3
题型4：最简二次根式的判断..........................................................4
题型5：化为最简二次根式............................................................4
题型6：已知最简二次根式求参数......................................................4
中考真题...............................................................................4
分层训练...............................................................................6
基础夯实...........................................................................6
培优拔高...........................................................................7
知识点梳理01：二次根式的乘法法则
√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
√a⋅√b⋅√c=√abc（a≥0,b≥0,c≥0)
（1）a√b⋅c√d=ac√bd（b≥0,d≥0)
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法
则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用
1.二次根式的乘法法则的逆用
√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
2.二次根式的乘法法则的逆用的推广
√abcd=√a⋅√b⋅√c⋅√d（a≥0,b≥0,c≥0,d≥0)
知识点梳理03：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则
√a √a
= (a≥0,b≥0)
√b b
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
√a÷√b÷√c=√a÷b÷c(a≥0,b≥0,c≥0)
【易错点拨】
√a √a
=
√b b
（1）a≥0，b＞0时， 才有意义；
（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数
知识点梳理04：最简二次根式的概念
1.最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行 √8=√4×2=2√2
开方
若被开方数中含有 √ 1 √4 √4×3 2√3
带分数，先将被开 1 = = =
方数化成假分数
3 3 √3×3 3若被开方数中含有 √ 9 √90 3√10
小数，先将小数化 √0.9= = =
10 100 10
成分数
若 被 开 方 数 时 分 √ 5a √ 5a⋅3c √15ac √15ac
化去根号下的分母 式，先将分式分母 b2 = b2 = b2c2 = 6bc
化成能转化为平方 12 c 12 ⋅3c 36
的形式，再进行开
(a＞0，b＞0，c＞0）
方运算
被开方数时多项式的要先因式分解 √x2 y2 √( x+ y ) 2
+2xy+ = =x+y
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
题型1：二次根式的乘法
√1
【典例精讲】（2025·江苏淮安·中考真题）计算：❑√12×❑ = ．
3
【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设❑√3=a，❑√11=b，则❑√3×❑√0.11可以表示为（
）
ab 10 ab
A． B．10ab C． D．
100 ab 10
【变式训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算：❑√20×❑√2= ．
题型2：二次根式的除法
【典例精讲】（2025·上海浦东新·三模）已知函数 6 ，那么
f (x)= f (❑√2)=
❑√x2+2
【变式训练1】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算❑√40÷❑√2的结果是（ ）
A．2❑√5 B．4 C．3 D．❑√6
【变式训练2】（24-25八年级下·天津静海·月考）计算：−4❑√6÷2❑√3= ．
题型3：二次根式的乘除混合运算
【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）计算：2 ❑√ab2× ( − 3 ❑√a3b ) ÷3❑ √b (b>0)
b 2 a❑√12×❑√2
【变式训练1】（2024·广东茂名·一模）计算： = ．
❑√3
√1
【变式训练2】（24-25八年级下·广东茂名·月考）计算：❑√8÷❑√2×❑ = ．
2
题型4：最简二次根式的判断
【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√2
A．❑√3 B．❑√3.2 C．❑√32 D．❑
3
【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．❑√6 B．❑√0.2 C．❑√8 D．❑√9
【变式训练2】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法中正确的是 ．（填序号）
①若❑√5=a，则❑√80等于6a；
②使❑√12n是正整数的最小整数n是3；
③❑√0.5是最简二次根式；
1
④计算3÷❑√3× 的结果是1．
❑√3
题型5：化为最简二次根式
【典例精讲】（24-25八年级下·山西朔州·期末）将❑√12化成最简二次根式的结果为 ．
【变式训练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）下列根式是最简二次根式的是（ ）
1
A．❑√8 B．❑√3 C． D．❑√12
❑√3
【变式训练2】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列二次根式中不能再化简的二次根式是（
）
√1 ❑√3
A．❑√1.5 B．❑ C．❑√9 D．
3 3
题型6：已知最简二次根式求参数
【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知❑√6m与❑√2是同类二次根式，则m的最小整数值
为 ．
【变式训练1】（24-25八年级下·河北承德·期末）若❑√3m−6是最简二次根式，则整数m的最小值为
．
【变式训练2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数a的值： ，使❑√a+1是最简二次根式．
1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC，则BD=
（ ）
9❑√13
A．2❑√13 B． C．4❑√13 D．2❑√26
2
2．（2024·全国·中考真题）下列式子是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√0.3 B．❑ C．❑√3 D．❑√8
2
3．（2024·山东烟台·中考真题）计算 的结果为 ．
(2−❑√5) 2025 ×(❑√5+2) 2026
4．（2024·福建厦门·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E在边AD上，且ED=3，
M、N分别是边AB、BC上的动点，且AM=CN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若
PM+PN取最小值，则线段PC的长为 ．
5．（2024·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当
， 时，有 ，所以 ，当且仅当 时取等号．请利用上述结
a>0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b a+b≥2❑√ab a=b
论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为_______；当x<0时，x+ 的最大值为________；
x x
x2+3x+16
(2)当x>0时，求代数式 的最小值，并求出此时x的值．
x基础夯实
1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√8 B．❑ C．❑√100 D．❑√5
3
2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√8 C．❑√5 D．❑√12
3
3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（ ）
❑√2a 1
A．❑√(−2) 2=−2 B．❑√2+❑√5=❑√7 C．❑√2×❑√3=❑√6 D． =
2ab b
4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）计算❑√6×❑√7的结果为 ．
5．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与❑√8的积是一个有理数，则a的值可以是
．（写出一个即可）
6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若 和 都是最简二次根式，则 ，
❑√2m+n−2 ❑√33m−2n+2 m= n=
．
7．（2024·广东·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC的中点，
AD=4，BE=3，则AB= ．
8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和25的两个小正方形．(1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ；
(2)求留下部分的面积．
9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算： ❑√50÷❑√2+(❑√3−1) 0 − (1) −2
2
10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：
❑√8×❑√2+
(1) −1
−|−4)−(❑√2025)
0．
3
培优拔高
11．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（ ）
A．3❑ √2 =❑√2 B．❑ √ 2 2 =2❑ √2 C．❑ √ 4 1 =2 1 D．(−2❑√5) 2=10
3 3 3 9 3
12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（ ）
√ 5
A．❑√1.5a B．❑√6 y3 C．❑ D．❑√a2+4
13
13．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
√1
A．❑ B．❑√3 C．❑√(−1) 2 D．❑√24
2
14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）平行四边形ABCD的面积是12，M，N分别是AB，AD的中点，
P是直线BC上一点且PN⊥AD，若AD=4，CP=1，则PM= ．
15．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图（1）是一把折叠桌实物图，支架AB与CD交于点O，
OD=OB．如图（2）是桌子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），桌面MN与地面水平线l平行，
BD=2AC，∠BOD=60°，BD=20cm．那么展开后桌子的高度约为 cm．16．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，
这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是 m．
17．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，矩形ABCD中，点H，F分别在边BC，CD上，连接
AF，AH，将△ADF沿AF折叠，点D恰好落在线段BC上的点E处，同时将△ABH沿AH折叠，点B恰
好落在线段AE上的点G处．连接FG，若AB=6，CE=2，则AD= ，FG= ．
18．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC为锐角，作AD⊥AB
交BC的延长线于点D．
(1)若∠D=20°，则∠BAC的度数为_____．
(2)求证：∠BAC=2∠D．
(3)已知∠D=22.5°,AC=❑√2，求BC2的值．19．（24-25八年级下·全国·期末）计算：
(1)( √1 ) ；
❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
(2) (√1 )．
(4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6
8
20．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C
处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度
是AC的3倍．（结果保留根号）
(1)求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；
(2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距
离．
