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专题18 分式的运算重难点题型专训（13大题型）
【题型目录】
题型一 分式乘法
题型二 分式除法
题型三 分式乘除混合运算
题型四 分式乘方
题型五 含乘方的分式乘除混合运算
题型六 同分母分式加减法
题型七 异分母分式加减法
题型八 整式与分式相加减
题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母
题型十 分式加减混合运算
题型十一 分式加减的实际应用
题型十二 分式加减乘除混合运算
题型十三 分式化简求值
【知识梳理】
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
a c ac
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。 a n=an
（ ）
b bn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
a b a±b
1）同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c c
a d ac bd ac±bd
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘
除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。【经典例题一 分式乘法】
1．（2022下·河北保定·八年级统考期末）若分式“ ”可以进行约分化简，则“○”不可以是
（ ）
A．1 B．x C． D．4
2．（2022·全国·九年级专题练习）若x＜0， ，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．（2022上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）计算 ．
4．（2023下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知 ，则 ．
5．（2022上·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【经典例题二 分式除法】
1．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）若分式 能进行约分化简，则“□”内的正数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．43．（2022上·河北石家庄·八年级统考期末）计算 的结果是 ．
4．（2022·湖北武汉·统考二模）计算： ．
5．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【经典例题三 分式乘除混合运算】
1．（2023下·河南南阳·八年级统考期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022上·全国·八年级专题练习）计算： ，结果为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023上·湖南邵阳·八年级校考阶段练习）计算： ．
4．（2023下·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘
以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：
则第4次运算的结果 ．
5．（2023上·八年级课时练习）计算：(1) ．
(2) ．
(3) ．
【经典例题四 分式乘方】
1．（2021下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020上·八年级课时练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020上·八年级课时练习） ．
4．（2021·全国·八年级假期作业）计算 的结果是 ．
5．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ．【经典例题五 含乘方的分式乘除混合运算】
1．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·陕西·九年级专题练习） 的结果是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2021·全国·九年级专题练习）计算（﹣ ）3÷（﹣ ）2的结果是 ．
4．（2021上·八年级课时练习）（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
5．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ．【经典例题六 同分母分式加减法】
1．（2023·天津河西·统考一模）计算 的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）已知 ， ，其中 ，则P、Q的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（2023下·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知分式 的值为整数，则满足条件的整数 值有
个．
4．（2023·山东烟台·统考一模）对于正数 ，规定 ，例如 ，则
的值是 ．
5．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【经典例题七 异分母分式加减法】
1．（2023上·浙江杭州·八年级统考开学考试）已知分式 ， ，其中 ，则A与B的关系是( )
A． B． C． D．
2．（2022下·贵州·八年级校联考期末）有一道分式化简题： ，甲、乙两位同学的解答过程分
别如下：
甲同学： ，
乙同学：
下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确
C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确
3．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）若 ，
对任意自然数 都成立，则 ．
4．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）计算： ．
5．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任
务．
，
…第一步，
…第二步，
…第三步，
…第四步，…第五步，
…第六步．
任务一：填空：
以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 或填为： ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 ；
任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算： ．
【经典例题八 整式与分式相加减】
1．（2023下·四川成都·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·河北·统考中考真题）由 值的正负可以比较 与 的大小，下列正确的是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
3．（2022下·河南南阳·八年级统考期中）计算 的结果是 ．
4．（2021上·贵州铜仁·八年级统考期末）计算： 的结果是 ．
5．（2023上·八年级课时练习）若分式 的值是整数，求整数x的值．【经典例题九 已知分式恒等式，确定分子或分母】
1．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如果 ， ，那么，
的值为（ ）
A．36 B．16 C．14 D．3
2．（2023下·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）对于任意的 值都有
，则 ， 值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知 ，其中 ， ， ，
为常数，则 ．
4．（2022下·陕西西安·八年级西北大学附中校考期中）若 ，则 ，
．
5．（2022下·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）对于分式A与B，若 （k为常数），则称A是B的
“k级牵挂分式”，如分式 ， ， ，则A是B的“3级牵挂分式”．
(1)若分式 是分式C的“ 级牵挂分式”，则分式C为（ ）
A． B． C． D．
(2)已知分式 ， ，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”，
①求E（用含x的式子表示）；
②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值．
(3)已知分式 ， （a，b为整数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b
的值．【经典例题十 分式加减混合运算】
1．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末） 为整数，符合条件的整数 的个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．（2022下·河北保定·八年级统考期末）数学课上，老师让计算 ．佳佳的解答如下：
解：原式 ①
②
③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（ ）
A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则
C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质
3．（2022上·福建福州·八年级校考期末）若 ， ， 都有意义，下列等式① ；②
；③ ；④ ；中一定不成立的是 ．
4．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）已知： 且 ， ， ， ，
，则 等于 ．
5．（2023上·北京石景山·八年级校考期中）阅读下列材料：
我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如： ．
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的
次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分
式”的和的形式．例如：
；
．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)请写出一个假分式：_______；
(2)请将分式 化为整式与真分式的和的形式；
(3)设 ，则当 时， 的取值范围是______．
【经典例题十一分式加减的实际应用 】
1．（2022上·山东泰安·八年级统考期中）一项工程甲单独做 天完成，乙单独做 天完成，两人合作可
比乙单独做提前（ ）天完成
A． B． C． D．
2．（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为 千米/小时，
下山速度为 千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021下·上海嘉定·六年级校考期中）已知一项工程，甲工程队单独完成需要x天，乙工程队单独完成
需要y天，则两队合作需要 天完成．
4．（2023下·河南新乡·八年级校考阶段练习）用漫灌方式给绿地浇水，a天用水12吨，改用滴灌方式后，
同样的水量可以比原来多用6天，那么滴灌比漫灌平均每天节约用水 吨（用含a的代数式表示）.5．（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一
般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差 ，若 ，则 ；若
，则 ；若 ，则 ．
【解决问题】
(1)若 ，则 ______0（填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)已知 ， ，当 时，比较A与 的大小，并说明理由；
(3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实
生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升 ．
①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式
表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】
1．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）若 （a不取0和 ）， ， ，…，
，则 （ ）
A． B． C． D．2．（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．7 D．4
3．（2022上·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知 ， ，则
．
4．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为 的橙汁和苹果汁
（如下操作，果汁均不溢出）．
（1）当 时，从甲杯取 橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比
为 ；
（2）把两杯中的果汁进行如下操作：
第一步：从甲杯取出 橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为
第二步：从乙杯取出 混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁 ，
乙杯中含橙汁 ，则 .
5．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算
(1) ；
(2) ．【经典例题十三 分式化简求值】
1．（2023上·安徽芜湖·七年级校考阶段练习）已知 ，则式子 化简的结果是
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2023上·八年级课时练习）如果 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2022下·北京·九年级校考阶段练习）如果 ，那么代数式 的值为
．
4．（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）已知a，b满足 ．
（1） 的值为 ；
（2） 的值为 ．
5．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）（1）计算： ；
（2）先化简： ，再从 ，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．【重难点训练】
1．（2023上·山东聊城·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）若 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）设 ， ，则m，n的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当 分别取 ，0，1， ，
，…， ， ， 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·八年级单元测试）若 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
6．（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）计算： ．
7．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）计算 ÷ 的结果是 ．
8．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）已知： ， ， ， ，…，，那么 的值为 ．（用含 的代数式表示）
9．（2022下·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）已知a是不等式 的最大整数
解，代数式 的值是 ．
10．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）已知 （ 且 ）， ， ，
…， ，则 等于 （用含 的代数式表示）．
11．（2023上·山东聊城·八年级校联考期中）计算：
(1)
(2) ，其中
12．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算：
(1)化简下列各式：
① ；
② ．
(2)先化简： ，再从 中选一个适合的整数代入求值．13．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中， ．
14．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数
时，我们称之为“假分式”，例如： 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，
我们称之为“真分式”，例如： 这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，
例如： ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
请
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式 是_____分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
．
(2)把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为
整数．
15．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式
的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如 ，则 和 都是
“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： ______．
(3)应用：先化简 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数．
