15.2.1分式的乘除（讲+练）8大题型-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)（原卷版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_07专项讲练

15.2.1 分式的乘除 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用 a c ac   字母表示为：b d bd ，其中 a、b、c、d 是整式， bd 0 . 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用 a c a d ad     b d b c bc a、b、c、d bcd 0 字母表示为： ，其中 是整式， . 注意：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再 乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分 子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 题型1：分式的乘法 1.计算。 （1） • ； （2） • （3） • 【变式1-1】计算：（1） （2） ． （3） a2 4a4 a1  变式1-2】计算：（1） a2 2a1 a2 4 【 （2）计算： ． （3）计算： ． 题型2：分式的除法 2.计算：（1） ÷ （2） ÷ （3） ÷ ． 原式＝ • ＝ ． 【变式2-1】计算：（1） ÷ ；2） ÷ （ 【变式 2-2】计算：（1） ；（2）（xy﹣x2）÷ ；（3） ． 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： a n an    b bn n （ 为正整数）. a n an a n an       b bn b b 注意：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把 写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为 负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有 多项式时应先分解因式，再约分. （ 4 ） 分 式 乘 方 时 ， 应 把 分 子 、 分 母 分 别 看 作 一 个 整 体 . 如 ab 2 ab2 a2 b2      b  b2 b2 . 题型3：分式的乘方 3.计算：（ ）2的值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列计算正确的是（ ） A．x3•x3＝x9 B．x6÷x2＝x3 C． D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b 【变式3-2】下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 题型4：分式的乘除、乘方混合运算 4.计算 （1） ； （2）（2x3y）2• xy； （3）（ ）2• ． 【变式4-1】计算：  x2  2  y2  3  y 4           y   x   x （1） ； a2 b2  2  ab  2   (a2 ab)3     b  ba （2） ．  b2   b  3  1  3          2a  a2  ab 【 变 式 4-2 】 计 算 ： (1) ； (2) m2 n2 nm 2 mn     (mn)2  mn  m ． 题型5：分式乘除化简求值 5.先化简，再求值， ÷ ，其中m＝1． 【变式5-1】已知A＝ •（x﹣y）． （1）化简A； （2）若x2﹣6xy+9y2＝0，求A的值． 【变式5-2】（1）若A＝ ，化简A；（2）若a满足a2﹣a＝0，求A值． 题型6：分式乘除规律问题 6.给定一列分式： ， ， ， ，…（其中x≠0），用任意一个分式做除 法，去除它后面一个分式得到的结果是 ；根据你发现的规律，试写出第6个分 式 ． 【变式6-1】给定一列分式： ，﹣ ， ，﹣ ，……，（其中x≠0）用任意一 个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是 ；根据你发现的规律，试 写出第9个分式 ． 【变式6-2】观察下面一列单项式：x， （1）计算这列单项式中，一个单项式与它前一项的商，你有什么发现？ （2）根据你发现的规律写出第n个单项式． 题型7：分式乘除实际问题 7.老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式 的一部分，如图： ﹣ ）÷ ＝ ． （1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 【变式7-1】如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已 知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1． 求 的值．【变式7-2】如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个 边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a﹣ 1）m的正方形，两块试验田的水稻都收了600kg． （1）优选 2 号水稻的单位面积产量高； （2）“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选 1号”水稻的单位面积产量的多少 倍？ 题型8：分式乘除新定义问题 8.对于a，b，我们定义两种运算：a△b＝ ，a*b＝ ，则m△n÷2（m*n） ＝ ． 【变式8-1】正数范围内定义一种运算“*”，其规律是 ，则： （1） ＝ ， （2）当3*（x+1）＝1时．求x＝ ． 【变式8-2】定义新运算：x*y＝ ，求a*b×[b*（﹣a）]． 一、单选题 1 1．计算 ÷a的结果为（ ） a 1 A．a B． C．1 D．a2 a2 16-a2 2．计算(a-4)· 的结果是（ ） a2-8a+16 A．a+4 B．a-4 C．-a+4 D．-a-42 1 3．化简 ÷ 的结果是（ ） x2-1 x-1 A． B． C． D．2 （x+1） 1 1 1 4．a2÷b· ÷c· ÷d· 的结果是（ ） b c d a2 a2 A．a2 B． C． D． b2c2d2 bcd 1 a2b2c2d2 5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给 的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示： x2-2x x2 x2-2x 1-x x2-2x x-1 x(x-2) x-1 老师 ÷ →甲 ⋅ →乙 ⋅ →丙 ⋅ →丁 x-1 1-x x-1 x2 x-1 x2 x-1 x2 x-2 2 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 6．下列计算结果正确的有（ ） 3x x 1 3a a a2 1 1 ① · = ；②8a2b2 ⋅(- )=-6a3 ；③ ÷ = ；④a÷b· =a x2 3x x 4b2 a2-1 a2+a a-1 a A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．某数学老师模仿学生喜欢的《王牌对王牌》节目在课堂上设计了一个接力游戏，用 合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算 得到结果，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示，接力中，自 己负责的那一步出现错误的是（ ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和丙 D．乙和丙 二、填空题a2c a3 8．计算： ÷ ＝ 。 b2 b4 x+1 x 9． ⋅ = x x2+2x+1 x+ y x 10．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以 错抄成乘以 ，结 2 2 果得到(x2-xy)，则正确的计算结果是 。 y b n m 2 4 x4 3x2 11．计算分式① ÷ ，② • ，③ ÷ ，④ ÷ 等的结果仍是分式的是 x a m 2n a a 2y2 y3 （填序号）． x x4 12．计算xn+1÷（ ）n•（﹣ ），结果等于 ． y2 y4 三、解答题 13．计算： (2y2 ) 2 ( x2 ) 3 （1） - - x3 y x2-2x+1 x-1 （2） ÷ x2-1 x2+x a+1 a+2 14．若a＞0，M= ，N= ，猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想． a+2 a+3 15．已知x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）且x是整数，求证： 是整数． 四、综合题 16．计算： 2 3 （1）3a2b3÷ a3b• ab3 3 2 xz2 y2 xy （2）（ ）3（ ）4÷（ ）3． - y xz -2x1 1 17．正数范围内定义一种运算“﹡”，其规律是a*b= · ，则： a b 1 （1）(x+1)* = x+2 （2）当3﹡（x+1）=1时．求x= 18．定下面一列分式： （其中x≠0） （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．