文档内容
第 02 讲 二次根式的乘除
【题型1 二次根式的乘法运算】
【题型2 二次根式的除法运算】
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【题型4 最简二次根式的判定】
【题型5 化简二次根式】
【题型6 已知最简二次根式求参数】
考点1：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式
乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广
【题型1 二次根式的乘法运算】
【典例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)❑√8×❑√18． (2)❑√0.5×❑√2.5．
√ 1 √2
(3)❑1 ×❑ ． (4)❑√1.2×102×❑√3×105．
4 5【答案】(1)12
❑√5
(2)
2
❑√2
(3)
2
(4)6000
【分析】（1）根据❑√8×❑√18=❑√8×18=❑√8×2×9=❑√16×9，开方计算即可．
√1 5 √ 5
（2）根据❑√0.5×❑√2.5=❑ × =❑ ，开方计算即可．
2 2 22
√ 1 √2 √5 2 √1
（3）根据❑1 ×❑ =❑ × =❑ ，开方计算即可．
4 5 4 5 2
（4）根据
❑√1.2×102×❑√3×105=❑√1.2×102×3×10×102×102=❑√36×102×102×102，开方
计算即可．
【详解】（1）解：❑√8×❑√18
=❑√8×18
=❑√8×2×9
=❑√16×9
=12．
（2）解：❑√0.5×❑√2.5
√1 5
=❑ ×
2 2
√ 5
=❑
22
❑√5
= ．
2
√ 1 √2
（3）解：❑1 ×❑
4 5
√5 2
=❑ ×
4 5
√1
=❑
2❑√2
= ．
2
（4）❑√1.2×102×❑√3×105
=❑√1.2×102×3×10×102×102
=❑√36×102×102×102
=6000．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性
质及运算法则是解题的关键．
【变式1-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算:
√ 8 √ 1 √ b
(1)-5❑ ×❑1 ×3❑√54； (2)❑√5ab×❑ (a>0，b>0).
27 4 125a
b
【答案】(1)-30❑√5；(2) .
5
【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则结合二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）直接利用二次根式的乘法法则进行计算即可.
√ 8 √ 1 √ 8 5
【详解】(1) -5❑ ×❑1 ×3❑√54=-15❑ × ×54=-15❑√20=-15×❑√22×5=-30❑√5；
27 4 27 4
√ b √ b √ b2 b
(2) ❑√5ab×❑ =❑5ab× =❑ = .
125a 125a 25 5
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.
【变式1-2】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算：
√1 √1
(1)❑ ×❑√32； (2)4❑√xy×❑ ；
2 y
(3)6❑√8×（﹣3❑√2）； (4)3❑√5a×2❑√10b．
【答案】(1)4
(2)4❑√x
(3)-72
(4)30❑√2ab
【分析】根据二次根式的乘法进行求解各个小题即可．
√1
【详解】（1）解：原式=❑ ×32=❑√16=4
2√ 1
（2）解：原式=4❑ xy× =4❑√x
y
（3）解：原式=12❑√2×(−3❑√2)=−72
（4）解：原式=3×2×❑√5a×10b=6❑√50ab=30❑√2ab
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式1-3】（23-24八年级下·北京·期中）计算
2 √ 3 3 1
(1) ❑3 ×(−9❑√45)， (2) ❑√20⋅(−15)⋅(− ❑√18)；
3 4 2 3
【答案】(1)−45❑√3
(2)45❑√10
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可．
2 √ 3
【详解】（1）解： ❑3 ×(−9❑√45)
3 4
2 √15
= ×❑ ×(−9❑√45)
3 4
2 ❑√15
= × ×(−27❑√5)
3 2
=−45❑√3
3 1
（2） ❑√20⋅(−15)⋅(− ❑√18)
2 3
3
= ×2❑√5×15×❑√2
2
=45❑√10
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题
关键．
考点2：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
注意：
（1）a≥0，b＞0时， 才有意义；
（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数
【题型2 二次根式的除法运算】
【典例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
❑√18 √ 2 √ 5 √x
(1) ； (2)−❑1 ÷❑ ； (3)6❑√3x2÷3❑ ．
❑√6 3 54 3
【答案】(1)❑√3
(2)−3❑√2
(3)6❑√x
【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
❑√18 √18
【详解】（1） =❑ =❑√3；
❑√6 6
√ 2 √ 5 √5 5 √5 54
（2）−❑1 ÷❑ =−❑ ÷ =−❑ × =−❑√18=−3❑√2；
3 54 3 54 3 5
√x √ 3
（3）6❑√3x 2 ❑÷3❑ =(6÷3)❑3x2× =2❑√9x=6❑√x．
❑ 3 x
【变式2-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)5❑√14÷(−❑√7) (2)2❑√18÷3❑√2
3 √8 √16
(3)− ❑√6÷2❑√3 (4)−❑ ÷❑
2 5 5
【答案】(1)−5❑√2
(2)23❑√2
(3)−
4
❑√2
(4)−
2
【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式=−5❑√14÷7
=−5❑√2；
2
（2）解：原式= ❑√18÷2
3
2
= ❑√9
3
2
= ×3
3
=2；
3
（3）解：原式=− ❑√6÷3
4
3❑√2
=− ；
4
√8 16
（4）解：原式=−❑ ÷
5 5
√8 5
=−❑ ×
5 16
√1
=−❑
2
❑√2
=− ．
2
【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关
键．
【变式2-2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算：
❑√3 √ 2 √ 5 √ b
(1)❑√72÷ ； (2)−❑1 ÷❑ ； (3)❑√3ab÷❑ （a>0，b>0
2 3 54 3a
）．
【答案】(1)4❑√6
(2)−3❑√2
(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式=2❑√72÷3
=2❑√24
=4❑√6；
√5 5
（2）解：原式=−❑ ÷
3 54
√5 54
=−❑ ×
3 5
=−❑√18
=−3❑√2；
√ b
（3）解：原式=❑3ab÷
3a
√ 3a
=❑3ab×
b
=❑√9a2
=3a．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算：
√ 2 3 √ 3 2 2❑√x2y
(1)❑ ÷ ❑1 (2)❑√12x÷ ❑√y (3) (4)
45 2 5 5 3❑√xy
a+2
．
2❑√a+2
1
【答案】(1)
9
5❑√3xy
(2)
y
2❑√x
(3)
3
❑√a+2
(4)
2
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可；
（4）利用二次根式的性质化简即可．
√ 2 √9 8
【详解】（1）解：原式=❑ ÷❑ ×
45 4 5
√ 2 √18
=❑ ÷❑
45 5
√ 2 √ 5
=❑ ×❑
45 18
√ 2 5
=❑ ×
45 18
1
= ；
9
5 √1
（2）原式=2❑√3x× ❑
2 y
5 ❑√y
=2❑√3x× ×
2 y
5❑√3xy
= ；
y
2❑√x2y
（3）
3❑√xy
2x❑√y
=
3❑√xy
2x
=
3❑√x
2❑√x
= ；
3
a+2
（4）
2❑√a+2
(❑√a+2) 2
=
2❑√a+2
❑√a+2
= ．
2
【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【典例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
√ 3 ( 1 )
(1)❑√5×❑√2×2❑√2÷2❑√5； (2)❑1 ×2❑√3× − ❑√10 ；
5 2
( 2 √ x) 1 n √ 1 ( 1 √ n3) √ n
(3)x❑√x y2÷ − ❑ ⋅ ❑√x4 y； (4) ❑ ⋅ − ❑ ÷❑ ．
3 y 2 m 2m3 m m3 2m3
【答案】(1)2
(2)−4❑√3
3
(3)− x3 y2
4
n2
(4)− ❑√m
m4
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是
解题的关键．
（1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案；
（2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可；
（3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法
计算法则计算，据此可得答案；
（4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法
计算法则计算，据此可得答案．
【详解】（1）解：原式=❑√5×2×2÷2❑√5
=4❑√5÷2❑√5
=2；
2❑√10 ( 1 )
（2）解：原式= ×2❑√3× − ❑√10
5 2
=−4❑√3；
（3）解：原式= ( −x⋅ 3 × 1) ❑ √ x y2 ⋅ y ⋅x4 y
2 2 x3
=− x❑√x4 y4
4
3
=− x⋅x2y2
4
3
=− x3 y2 ；
4
n √ 1 n3 √2m3
（4）解：原式=− ❑ ⋅ ⋅❑
m2 2m3 m3 n
n √ 1 n3 2m3
=− ❑ ⋅ ⋅
m2 2m3 m3 n
n √ n2
=− ❑
m2 m3
n
=− ❑√n2m3
m5
n
=− ⋅nm❑√m
m5
n2
=− ❑√m．
m4
【变式4-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶
√24 √14 √9 √1 √ 1 ( √1)
(1)❑ ×❑ ÷❑ ； (2)❑ ×❑1 ÷ −3❑ ．
7 3 2 3 2 8
4❑√2
【答案】(1)
3
2
(2)−
3
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．
√24 √14 √9
【详解】（1）❑ ×❑ ÷❑
7 3 2
√24 √14 √2
=❑ ×❑ ×❑
7 3 9√32
=❑
9
4❑√2
= ；
3
√1 √ 1 ( √1)
（2）❑ ×❑1 ÷ −3❑
3 2 8
√1 √3 ( √1)
=❑ ×❑ ÷ −3❑
3 2 8
√1 ( 3❑√2)
=❑ ÷ −
2 4
1 ( 4 )
= × −
❑√2 3❑√2
2
=− ．
3
【变式3-2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算：
(3 √1) 3 √ 1 ( 1 ) (1 √2)
(1)❑√45÷ ❑ × ❑√5； (2)3❑2 × − ❑√15 ÷ ❑ ．
2 5 2 3 8 2 5
【答案】(1)15❑√5
15
(2)− ❑√14
8
【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题
的关键；
（1）按照从左至右的顺序进行计算即可；
（2）按照从左至右的顺序进行计算即可；
( 2 3)√ 1
【详解】（1）解：原式= 1× × ❑45÷ ×5
3 2 5
=❑√45×5×5
=15❑√5；
( 1 1)√7 2
（2）原式= −3× ÷ ❑ ×15÷
8 2 3 53 √7×5×5
=− ❑
4 2
15
=− ❑√14．
8
【变式3-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)❑√42÷❑√5×❑
√1
； (2)3❑√12x2y⋅(−2❑√3x)÷
2
❑√4 y(x≥0,y>0)．
5 5
❑√42
【答案】(1)
5
(2)−45x❑√x
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可．
√1
【详解】（1）解：❑√42÷❑√5×❑
5
√ 1
=❑42÷5×
5
√42
=❑
25
❑√42
=
5
2
（2）解：3❑√12x2y⋅(−2❑√3x)÷ ❑√4 y
5
5
=3×2x⋅❑√3 y⋅(−2❑√3x)×
2×2❑√y
√3x⋅3 y
=−15x⋅❑
y
=−15x⋅3❑√x
=−45x❑√x
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题
的关键，注意需要把结果化为最简二次根式．
考点3：最简二次根式
1. 最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行
开方
若被开方数中含有带
分数，先将被开方数
化成假分数
若被开方数中含有小
数，先将小数化成分
数
化去根号下的分
母
若被开方数时分式，
先将分式分母化成能
转化为平方的形式，
再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
【题型4 最简二次根式的判定】
【典例4】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A．❑√4 B．❑√81 C．❑√5 D．❑√0.12
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的
因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可．
【详解】解：A、❑√4=2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、❑√81=9，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、❑√5是最简二次根式，故本选项符合题意；
❑√3
D、❑√0.12= ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
5
故选：C．
【变式4-1】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的
是（ ）
√a
A．❑√4a3 B．❑√24 C．❑ D．2❑√mn
2
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答
案．
【详解】解：❑√4a3=2a❑√a，即A不是最简二次根式，不符合题意；
❑√24=2❑√6，即B不是最简二次根式，不符合题意；
√a ❑√2a
❑ = ，即C不是最简二次根式，不符合题意；
2 2
2❑√mn无法继续化简，故D是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【变式4-2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是
（ ）
√1
A．❑√12 B．❑√2 C．❑ D．❑√0.1
3
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并
且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．❑√12=2❑√3，不是最简二次根式；
B．❑√2是最简二次根式；
√1 1
C．❑ 中被开方数 是分数，不是最简二次根式；
3 3√ 1 ❑√10
D．❑√0.1=❑ = ，不是最简二次根式．
10 10
故选：B．
【变式4-3】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列各式是最简二次根式的是（ ）
√2
A．❑√32 B．❑√15 C．❑√0.4 D．❑
3
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开放
开的尽的因数或因式进行判断即可．
【详解】解：A、❑√32=4❑√2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、❑√15，是最简二次根式，符合题意；
C、❑√0.4，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
√2
D、❑ ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
3
故选：B．
【题型5 化简二次根式】
【典例5】（23-24八年级下·浙江台州·期末）若❑√2=a，❑√35=b，则❑√7000可以表示为
（ ）
A．10❑√ab B．100❑√ab C．10ab D．100ab
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二
次根式❑√7000，进而得出答案．
【详解】解；∵❑√2=a，❑√35=b，
∴❑√7000可以表示为；❑√7000=10×❑√2×❑√35=10ab．
故选：C．
【变式5-1】（23-24八年级下·广西百色·期中）化简❑√20的结果是（ ）
A．10 B．4❑√5 C．2❑√5 D．5❑√2
【答案】C
【分析】考查了二次根式的性质与化简．化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；③
化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．将20转
化为22×5的形式，然后化简即可．【详解】解：❑√20=❑√22×5=2❑√5．
故选：C．
【变式5-2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若y>0，则二次根式 ❑√−81x3y3化为
最简二次根式为 ．
【答案】−9xy❑√−xy
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次
根式有意义的条件判断x≤0，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根
式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵二次根式❑√−81x3y3中−81x3y3≥0，y>0，
∴x≤0，
∴ ❑√−81x3y3=❑√−92x2x y2y=9(−x)y❑√−xy=−9xy❑√−xy，
故答案为：−9xy❑√−xy．
【变式5-3】（24-25八年级上·山西太原·期中）将❑√18化成最简二次根式为 ．
【答案】3❑√2
【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接
利用二次根式性质化简即可．
【详解】解：❑√18=❑√32×2=3❑√2，
故答案为：3❑√2．
【题型6 已知最简二次根式求参数】
【典例6】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知最简二次根式❑√2a−4与二次根式❑√8能
够合并，则a的值可以是（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式、解一元一次方程，根据最简二次根式的定义可得
2a−4=2，再求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式❑√2a−4与二次根式❑√8能够合并，❑√8=2❑√2，
∴2a−4=2，解得a=3，
故选：B．
【变式6-1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若❑√8和最简二次根式❑√3m−7是同类二次
根式，则m的值为（ ）
A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6
【答案】B
【分析】把❑√8化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于
m的方程，解方程即可．
【详解】∵❑√8=2❑√2，而最简二次根式❑√3m−7与❑√8是同类二次根式，
∴3m−7=2，
解得：m=3；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，
要把❑√8化成最简二次根式．
【变式6-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）若❑√8与最简二次根式❑√m+1能合并，则m
的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先将❑√8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解：❑√8=2❑√2，
∵2❑√2与最简二次根式❑√m+1能合并，
∴m+1=2，
解得m=1，
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是
解题关键．
【变式6-3】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式❑√1−a和3❑√3可以合并，
则❑√a2的值为 ．
【答案】2
【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可．
【详解】解：由题意得：1−a=3，解得：a=−2．
所以a2=(−2) 2=4，
∴❑√a2=❑√4=2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是
同类二次根式成为解答本题的关键．
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√64 B．❑√15 C．❑√0.3 D．❑
5
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，熟知最简二次根式的定义是解题的关
键．
根据最简二次根式的定义进行逐一判断即可：（1）被开方数不能含有开得尽方的因数
或因式，（2）被开方数不能含有分母．
【详解】解：A、❑√64=8，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，不符
合题意；
B、❑√15是最简二次根式，符合题意；
√ 3 ❑√30
C、❑√0.3=❑ = ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
10 10
√1 ❑√5
D、❑ = ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
5 5
故选：B．
2.（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（ ）
A．❑√3×2❑√3=5❑√3 B．5❑√3×5❑√2=5❑√6
C．4❑√3×2❑√2=6❑√5 D．4❑√3×2❑√2=8❑√6【答案】D
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A、❑√3×2❑√3=6，故原式计算错误，不符合题意；
B、5❑√3×5❑√2=25❑√6，故原式计算错误，不符合题意；
C、4❑√3×2❑√2=8❑√6，故原式计算错误，不符合题意；
D、4❑√3×2❑√2=8❑√6，故原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简❑√75÷❑√3正确的是（ ）
A．2❑√5 B．❑√5 C．❑√15 D．5
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案．
本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本
题属于基础题型
√75
【详解】解：原式=❑ =5，
3
故选：D．
4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）若x=❑√2−1，则x2+2x+1的值为 （ ）
A．2 B．2+❑√2 C．❑√2−1 D．❑√2
【答案】A
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的乘法运算，把x=❑√2−1化为
x+1=❑√2，再结合完全平方公式可得答案．
【详解】解：∵x=❑√2−1，
∴x+1=❑√2，
∴x2+2x+1=(x+1) 2=2，
故选A
5．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知数列❑√3，❑√7，❑√11，❑√15，…，则3❑√11是它
的（ ）
A．第19项 B．第22项 C．第25项 D．第28项
【答案】C
【分析】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知
数列的规律．通过观察得出第n项为：❑√4n−1，再根据3❑√11=❑√99，得出方程4n−1=99，解出
即可得出答案．
【详解】解：∵数列①❑√3=❑√4×1−1，②❑√7=❑√4×2−1，③❑√11=❑√4×3−1，④
❑√15=❑√4×4−1，…，
∴通过观察可得：第n项为❑√4n−1，
∵3❑√11=❑√9×❑√11=❑√9×11=❑√99，
∴4n−1=99，
解得：n=25，
∴3❑√11是它的第25项．
故选：C．
二、填空题
6．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式❑√x+1与2❑√2x能合并，则x=
．
【答案】1
【分析】由最简二次根式❑√x+1与2❑√2x能合并可得x+1=2x，计算即可.
【详解】解：∵最简二次根式❑√x+1与2❑√2x能合并，
∴x+1=2x，
解得x=1 ,
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解
决本题的关键.
√1
7．（22-23九年级下·山西长治·阶段练习）计算：❑√20×❑ = ．
5
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根
式的乘法计算法则计算即可．
√1 √ 1
【详解】解：❑√20×❑ =❑20× =2，
5 5
故答案为：2．
8．（24-25八年级上·上海普陀·期中）化简：❑√48= ．【答案】4❑√3
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，逆用二次根式的乘法，根据
二次根式的性质化简即可．
【详解】解：❑√48=❑√16×3=❑√16×❑√3=4❑√3，
故答案为：4❑√3．
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简：(2+❑√3)(2−❑√3)= ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接根据平方差公式求解即可．
【详解】解：(2+❑√3)(2−❑√3)=4−3=1，
故答案为：1．
三．解答题
3 √a3
10．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算：12❑√a2b3÷ ❑√a3b×❑
2 b
【答案】8a❑√b
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直
接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可．
3 √a3
【详解】解：12❑√a2b3÷ ❑√a3b×❑
2 b
= ( 12× 2 ×1 ) ❑ √ a2b3× 1 × a3
3 a3b b
=8❑√a2b
=8a❑√b．
