文档内容
专题 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:28)............................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28)............................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:40)(cid:28)............................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:44)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:28)............................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)........................................................................................................................8
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:64)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)....................................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:58)(cid:68)(cid:69)(cid:63)(cid:21)(cid:28)..................................................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:28)..........................................................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:70)(cid:71)(cid:63)(cid:21)(cid:28)......................................................................................................................16
1(cid:58)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:35)(cid:74)(cid:33)(cid:58)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)
(cid:25)(cid:55)(cid:75)(cid:44) (cid:76)(cid:21)(cid:77)(cid:78) (cid:25)(cid:79)(cid:80)(cid:81)
2022(cid:104)(cid:23)(cid:105)(cid:106)I(cid:107)(cid:10)(cid:108)15(cid:21)(cid:93)
(1)(cid:82)(cid:83)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:58)(cid:84)(cid:85) 5(cid:80) (cid:30)(cid:13)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:13)(cid:11)(cid:31)(cid:113)(cid:25)(cid:114)(cid:115)(cid:93)(cid:30)(cid:13)
(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13) 2023 (cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:107)(cid:37)(cid:17)(cid:13)(cid:40)(cid:10) (cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:35)(cid:74)(cid:33)(cid:58)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:116)
(2)(cid:90)(cid:59)(cid:41)(cid:13)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:15)(cid:83)(cid:30) (cid:108)8(cid:21)(cid:93)5(cid:80) (cid:25)(cid:31)(cid:117)(cid:55)(cid:114)(cid:115)(cid:93)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:104)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:79)(cid:121)(cid:122)
(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33) 2024(cid:104)(cid:23)(cid:105)(cid:106)I(cid:107)(cid:10)(cid:108)13(cid:21)(cid:93) (cid:123)(cid:93)(cid:124)(cid:75)(cid:125)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:93)
(3)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:7)(cid:98)(cid:99)(cid:30) 5(cid:80) (cid:54)(cid:126)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:21)(cid:58)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(cid:31)(cid:131)(cid:98)(cid:25)(cid:132)(cid:30)(cid:13)
(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:102)(cid:103)(cid:41)(cid:13) 2024 (cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:107)(cid:37)(cid:17)(cid:13)(cid:40)(cid:10) (cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:58)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:30)(cid:13)
(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:96)(cid:44)(cid:102)(cid:103)(cid:31)(cid:38)(cid:39) (cid:108)7(cid:21)(cid:93)5(cid:80) (cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:133)(cid:134)(cid:96)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:83)(cid:138)(cid:21)(cid:139)(cid:31)(cid:54)
(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13) 2024 (cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:107)(cid:37)(cid:15)(cid:13)(cid:40)(cid:10) (cid:63)(cid:140)(cid:67)(cid:25)(cid:141)(cid:93)(cid:142)(cid:21)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:139)(cid:146)(cid:147).
(cid:108)6(cid:21)(cid:93)5(cid:80)
(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:55)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:150)(cid:151)(cid:28)
1.(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:150)(cid:151)
(1)(cid:44)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:75)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:41)(cid:13)(cid:156)(cid:80)(cid:157)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:99)(cid:58)(cid:158)(cid:58)(cid:159)(cid:58)(cid:160)(cid:93)(cid:161)(cid:162)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:30).
(2)(cid:163)(cid:92)(cid:41)(cid:13)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:71)(cid:112)(cid:3)(cid:167)(cid:93)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:171)(cid:172)(cid:44)(cid:83).
(3)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:176)(cid:177)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:113)(cid:75)(cid:178)(cid:75)(cid:140)(cid:67)(cid:179)(cid:180).
(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:55)2 (cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:28)
1.(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:54)(cid:126)(cid:154)(cid:93)(cid:181)(cid:182)(cid:65)(cid:183)(cid:41)(cid:13)y=f(u)(cid:99)u=g(x)(cid:93)(cid:184)(cid:185)(cid:90)(cid:59)(cid:186)(cid:187)u,y(cid:134)(cid:127)(cid:188)(cid:189)(cid:157)x(cid:31)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:183)(cid:41)(cid:13)(cid:137)(cid:41)(cid:13)y=f(u)(cid:99)u=g(x)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:194)(cid:136)y=f(g(x)).
2.(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:30)(cid:100)(cid:101)
(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)y=f(g(x))(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:99)(cid:41)(cid:13)y=f(u),u=g(x)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:195)(cid:31)(cid:3)(cid:196)(cid:137) = (cid:93)(cid:197)y(cid:181)x(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:89)(cid:182)y
(cid:181)u(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:60)u(cid:181)x(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:198)(cid:159).
3.(cid:44)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:199)(cid:200)
(cid:108)(cid:54)(cid:199)(cid:10)(cid:80)(cid:177)(cid:10)(cid:20)(cid:128)(cid:139)(cid:195)(cid:186)(cid:187)(cid:93)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:157)(cid:204)(cid:31)(cid:114)(cid:58)(cid:174)(cid:177)(cid:41)(cid:13)(cid:205)
(cid:108)(cid:206)(cid:199)(cid:10)(cid:80)(cid:207)(cid:44)(cid:30)(cid:10)(cid:80)(cid:207)(cid:44)(cid:208)(cid:177)(cid:41)(cid:13)(cid:181)(cid:209)(cid:36)(cid:186)(cid:187)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:205)
(cid:108)(cid:120)(cid:199)(cid:10)(cid:209)(cid:198)(cid:10)(cid:155)(cid:53)(cid:210)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:211)(cid:185)(cid:209)(cid:198)(cid:205)
(cid:108)(cid:212)(cid:199)(cid:10)(cid:186)(cid:187)(cid:213)(cid:214)(cid:10)(cid:155)(cid:139)(cid:195)(cid:186)(cid:187)(cid:214)(cid:213).
(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:55)3 (cid:47)(cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)
1.(cid:44)(cid:45)(cid:46)“(cid:52)”(cid:219)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:10)
(1)(cid:44)(cid:202)(cid:41)(cid:13)y=f(x)(cid:52)x=x (cid:220)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:197)(cid:45)(cid:46)y=f(x)(cid:52)(cid:55)(x ,f(x ))(cid:220)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:205)
0 0 0
(2)(cid:52)(cid:221)(cid:148)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:99)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:31)(cid:64)(cid:223)(cid:224)(cid:93)(cid:44)(cid:225)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)y=y +f'(x )(x-x ).
0 0 0
2.(cid:44)(cid:45)(cid:46)“(cid:59)”(cid:219)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:90)(cid:100)(cid:10)
(1)(cid:226)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)T(x ,f(x ))((cid:227)(cid:202)(cid:228)y )(cid:205)
0 0 0
(2)(cid:162)(cid:27)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:201)(cid:202)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:10)y=f(x )+f'(x )(x-x )(cid:205)
0 0 0
(3)(cid:229)(cid:221)(cid:148)(cid:64)(cid:223)(cid:214)(cid:230)(cid:231)(cid:139)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:44)(cid:83).
3.(cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:10)
(1)(cid:220)(cid:15)(cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:93)(cid:90)(cid:116)(cid:162)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:47)(cid:46)(cid:58)(cid:47)(cid:55)(cid:31)(cid:120)(cid:183)(cid:3)(cid:196)(cid:232)(cid:202)(cid:62)(cid:13)(cid:31)(cid:56)(cid:57)((cid:233))(cid:234)(cid:83)(cid:202)(cid:62)(cid:13)(cid:10)(cid:235)(cid:47)
(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:112)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:205)
(cid:231)(cid:47)(cid:55)(cid:52)(cid:47)(cid:46)(cid:53)(cid:93)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:205)
(cid:239)(cid:47)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:93)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:45)(cid:46)(cid:56)(cid:57).
(2)(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:44)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:178)(cid:93)(cid:4)(cid:74)(cid:162)(cid:27)(cid:13)(cid:131)(cid:211)(cid:39)(cid:93)(cid:16)(cid:240)(cid:60)(cid:241)(cid:16)(cid:31)(cid:171)(cid:172)(cid:56)(cid:100).
4.(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)
(cid:44)(cid:65)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:31)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:184)(cid:185)(cid:243)(cid:178)(cid:25)(cid:244)(cid:65)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:245)(cid:246)(cid:135)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:93)(cid:137)(cid:82)(cid:250)(cid:171)(cid:242)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:93)(cid:54)(cid:126)
(cid:112)(cid:155)(cid:65)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:80)(cid:254)(cid:25)(cid:244)(cid:93)(cid:255)(cid:80)(cid:81)(cid:35)(cid:139)(cid:54)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:161)(cid:80)(cid:81)(cid:256)(cid:54)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:69)(cid:46)(cid:60)(cid:257)(cid:14)(cid:46)
(cid:209)(cid:47)(cid:134)(cid:27)(cid:258)(cid:207)(cid:98)(cid:100).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:260)(cid:261)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)lim (2 )3 23 =(cid:37) (cid:40)
+Δ𝑥 −
Δ𝑥
A(cid:266)72 B(cid:266)12 Δ𝑥→0 C(cid:266)8 D(cid:266)4
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:267) ( )= 3(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:93)(cid:134)(cid:44)(cid:83).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:267)𝑓(𝑥)=𝑥3(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:93)
lim (2 )3 = l𝑓im𝑥(2 𝑥)3 23 = lim (2 ) (2) = (2)(cid:93)
+Δ𝑥 −8 +Δ𝑥 − 𝑓 +Δ𝑥 −𝑓
′
Δ𝑥 Δ𝑥 Δ𝑥 𝑓
Δ𝑥 ( →0 )=3 2(cid:93)(cid:270)Δ(cid:127)𝑥→0 (2)=12. Δ𝑥→0
′ ′
𝑓 𝑥 𝑥 𝑓(cid:236)(cid:20)(cid:10)B(cid:266)
( ) ( )
(cid:22)(cid:186)(cid:98)1-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:274)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52) (cid:220)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:137) ( )(cid:93)(cid:101)lim 0 0 (cid:89)(cid:182)
0 0
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 −𝑚𝛥𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝛥𝑥
(cid:37) (cid:40) 𝛥𝑥→0
1 1
A(cid:266) ( ) B(cid:266) ( ) C(cid:266) ( ) D(cid:266) ( )
0 0 0 0
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171) 𝑚 (cid:242) 𝑓′ (cid:28)𝑥(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32) − (cid:33) 𝑚 (cid:197) 𝑓′ (cid:134)𝑥(cid:44)(cid:202)(cid:266) −𝑚𝑓′ 𝑥 𝑚𝑓′ 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)lim ( 0 ) ( 0 ) = lim ( 0 ) ( 0 ) = ( )(cid:93)
( ) 0
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 −𝑚𝛥𝑥 𝑓 𝑥 0−𝑚𝛥𝑥 −𝑓 0𝑥
′
𝛥𝑥 𝑚 𝑥 −𝑚𝛥𝑥 −𝑥 𝑚𝑓 𝑥
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A(cid:266) 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥→0
(1) ( )
(cid:22)(cid:186)(cid:98)1-2(cid:28)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)(cid:224)·(cid:271)(cid:272)(cid:275)(cid:276)·(cid:277)(cid:139)(cid:40)(cid:226) ( )(cid:278)(cid:52)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:279)(cid:237)(cid:238)lim = (cid:93)(cid:101)(cid:45)(cid:46)
2
𝑓 −𝑓 1−2Δ𝑥
𝑓 𝑥 Δ𝑥 −1
= ( )(cid:53)(cid:31)(cid:55)( (1))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)(cid:37) (cid:40) Δ𝑥→0
𝑦 𝑓A(cid:266)𝑥 1,𝑓 B(cid:266) C(cid:266)1 D(cid:266)2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)−(cid:242)1(cid:28)(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)−(cid:34)2(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:83).
(1) ( ) (1) ( )
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:83)(cid:10)(cid:280)(cid:137) ( )(cid:278)(cid:52)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:279)(cid:237)(cid:238)lim = lim = (cid:93)
2 ( )
𝑓 −𝑓 1−2Δ𝑥 𝑓 −𝑓 1−2Δ𝑥
𝑓 𝑥 Δ𝑥 1− 1−2Δ𝑥 −1
(cid:270)(cid:127) (1)= (cid:93)(cid:197)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:53)(cid:31)(cid:55)( (1Δ)𝑥)→(cid:220)0(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)Δ𝑥→0(cid:93)
′
(cid:236)(cid:20)(cid:10)𝑓 A. −1 𝑦 𝑓 𝑥 1,𝑓 −1
(cid:22)(cid:186)(cid:98)1-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:260)(cid:261)(cid:281)(cid:282)(cid:283)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:284)(cid:32)(cid:33)(cid:52) (cid:53)(cid:31)(cid:41)(cid:13) (cid:237)(cid:238) = (cid:93)(cid:35)(cid:30)(cid:41)(cid:13) (cid:237)(cid:238)
′ ′
> >1(cid:93)(cid:101) 1 (cid:60) 1 (cid:285)(cid:286)(cid:3)(cid:196)(cid:54)(cid:32)(cid:112)(cid:37) (cid:40) 𝑅 𝑓(𝑥) 𝑓(0) −1 𝑓(𝑥) 𝑓
(𝑥) A(cid:266) 𝑘 1 𝑓 𝑘1−1 𝑘−1 B(cid:266) 1 1
C(cid:266) 𝑓 𝑘− 1 1 > ≥𝑘− 1 1 D(cid:266) 𝑓 𝑘− 1 1 ≤ < 𝑘− 1 1
𝑓 𝑘−1 𝑘−1 ( ) 𝑓 1 𝑘−1 𝑘−1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:93)(cid:211)(cid:39)(cid:21)(cid:74)(cid:225)(cid:202) > >1(cid:93)(cid:267) = (cid:93)(cid:287)(cid:15)(cid:16)(cid:102)(cid:197)(cid:134)(cid:225)(cid:175)(cid:288)(cid:153)(cid:138)(cid:289).
𝑓 𝑥 +
( ) (0) 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘−1
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28) ( )=lim (cid:279) > >1(cid:93)
𝑓 𝑥 −𝑓
′ ′
∵𝑓 𝑥 𝑥−0 𝑓(𝑥) 𝑘
𝑥→0
( ) (0) ( ) 1
> >1(cid:93)(cid:197) > >1.
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑓 𝑥 +
∴ 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘
(cid:267) = 1 (cid:93)(cid:225)(cid:10) 1 +1> × 1 = (cid:93)
𝑘
𝑥 1 𝑘−1 > 𝑓 = 𝑘−11 (cid:93)(cid:270)(cid:127) 𝑘 𝑘 1 −1 > 𝑘− 1 1 .
𝑘
∴ (cid:236) 𝑓 (cid:20)𝑘(cid:10)−1C. 𝑘−1−1 𝑘−1 𝑓 𝑘−1 𝑘−1(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:290)(cid:272)(cid:291)(cid:139)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= ( )( 22)( 23)( 24)( 25)( 26)(cid:93)(cid:101) (0)
′
=(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 2𝑥 𝑥−2 𝑥− 𝑥− 𝑥− 𝑥− 𝑥− 𝑓
A(cid:266)220 B(cid:266)221 C(cid:266)222 D(cid:266)223
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:292)(cid:132) (cid:93)(cid:203)(cid:293)(cid:41)(cid:13) ( )=( )( 22)( 23)( 24)( 25)( 26)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:212)(cid:101)(cid:42)(cid:43)
(cid:225)(cid:175) = 𝑓+(𝑥) (cid:93)(cid:214)(cid:230)𝜑 𝑥=0(cid:197)𝑥(cid:134)−(cid:225)2 (cid:83)𝑥.− 𝑥− 𝑥− 𝑥− 𝑥−
′ ′
(cid:22)(cid:83)(cid:138)𝑓((cid:59)𝑥)(cid:57)(cid:28)2𝜑(cid:226)(𝑥)( )2=𝑥𝜑( (𝑥))( 22𝑥)( 23)( 24)( 25)( 26)(cid:93)
(cid:101) = 𝜑(cid:93)𝑥(cid:236) 𝑥−=2 𝑥− + 𝑥− 𝑥(cid:93)− 𝑥− 𝑥−
′ ′
(cid:270)𝑓(cid:127)(𝑥)(0)2=𝑥𝜑(𝑥) =2𝑓((𝑥) )(2𝜑(2𝑥2))( 2𝑥2𝜑3)((𝑥) 24)( 25)( 26)
′
=21𝑓+1+2+3+24𝜑+(50+)6=2202−. 2 0− 0− 0− 0− 0−
(cid:236)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:186)(cid:98)2-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:290)(cid:294)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148) ( )(cid:137)(cid:32)(cid:33)(cid:52) (cid:53)(cid:31)(cid:295)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:226) ( )(cid:137) ( )(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:284) ( )= ( )
′
+ (cid:93)(cid:101) (2023)=(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 2−𝑥
′
4𝑥A−(cid:266)41 𝑓 B(cid:266) C(cid:266)2 D(cid:266)2023
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269) ( )= −(202)3+ (cid:140)(cid:67) ( )(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:99)(cid:298)(cid:277)(cid:297)(cid:31)(cid:299)(cid:30)(cid:93)(cid:225)(cid:175) ( )(cid:112)(cid:298)(cid:277)(cid:137)4(cid:31)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)
′ ′
(cid:118)(cid:300)(cid:43)(cid:202) (2023)(cid:31)𝑓(cid:71)𝑥 . 𝑓 2−𝑥 4𝑥−4 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
′
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)𝑓(cid:57)(cid:28)(cid:280)(cid:137) ( )= ( )+ (cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:65)(cid:301)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:225) = +4(cid:93)
′ ′
(cid:197) + =𝑓 4𝑥 𝑓 2−𝑥 4𝑥−4 𝑓(𝑥) −𝑓(2−𝑥)
′ ′
(cid:280)𝑓(cid:137)(𝑥() )(cid:137)𝑓(cid:32)(2(cid:33)−𝑥(cid:52)) (cid:53)①(cid:31)(cid:295)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:101) = (cid:93)
(cid:270)(cid:127)(cid:65)𝑓 𝑥(cid:301)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:225)𝑅 = (cid:93)(cid:270)𝑓((cid:127)−𝑥) (cid:112)−𝑓(cid:32)(𝑥(cid:33))(cid:52) (cid:53)(cid:31)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)
′ ′ ′
(cid:270)(cid:127) = 𝑓(𝑥)(cid:93)(cid:211)𝑓(cid:39)(−𝑥)(cid:98)(cid:134)(cid:225)𝑓(cid:93)(𝑥) + 𝑅 =4(cid:93)
′ ′ ′ ′
(cid:270)(cid:127)𝑓(2−𝑥)+𝑓(𝑥−2)=4(cid:93)(cid:65)①(cid:98)(cid:209)(cid:302)(cid:225)(cid:93)𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥−2) (cid:93)
′ ′ ′ ′
(cid:270)(cid:127)𝑓(𝑥−(cid:112)2)(cid:298)(cid:277)𝑓(cid:137)(𝑥−44(cid:31))(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥−4)
′
(cid:270)(cid:127)𝑓((𝑥2)023)= = (1).
′ ′ ′
(cid:173) 𝑓(cid:98)(cid:93)(cid:267) =1𝑓(cid:93)(−(cid:225)1) (1𝑓)=2(cid:93)(cid:270)(cid:127) (2023)= (1)=2.
′ ′ ′
(cid:236)(cid:20)①(cid:10)C. 𝑥 𝑓 𝑓 𝑓
(cid:22)(cid:186)(cid:98)2-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:303)(cid:304)(cid:271)(cid:305)(cid:306)(cid:307)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:226) ( )=sin (cid:93) ( )= ( )(cid:93) ( )= ( )(cid:93) ( )=
1 2 1 +1
( )(cid:93) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 ⋯,𝑓𝑛 𝑥
𝑓
′𝑛
𝑥
2024
(cid:101) (cid:89)(cid:182)(cid:37) (cid:40)
=1 6
π
𝑓𝑖
𝑖A(cid:266)0 B(cid:266) 3 C(cid:266) 3 D(cid:266) 1
2 2 2
−1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:21)(cid:74)(cid:80)(cid:81)(cid:134)(cid:148)(cid:10)(cid:134)(cid:148) ( )= ( )(cid:93)(cid:279) ( )+ ( )+ ( )+ ( )=0(cid:93)(cid:211)(cid:39)(cid:298)(cid:277)(cid:297)
+4 1 2 3 4
(cid:80)(cid:81)(cid:44)(cid:83). 𝑓𝑛 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:134)(cid:225)(cid:10) ( )=cos ( )= sin ( )= cos ( )=sin ( )=cos (cid:93)
1 2 3 4 5
(cid:134)(cid:148) ( )= ( )(cid:93)(cid:279) (𝑓 )𝑥+ ( )𝑥+,𝑓 (𝑥 )+− ( 𝑥),𝑓=0𝑥(cid:93) − 𝑥,𝑓 𝑥 𝑥,𝑓 𝑥 𝑥
+4 1 2 3 4
𝑓𝑛 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 𝑓 2 𝑥 024 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:279)2024=506×4(cid:93)(cid:270)(cid:127) =0.
=1 6
π
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A. 𝑖
𝑓𝑖
(cid:22)(cid:186)(cid:98)2-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:23)(cid:308)(cid:309)(cid:310)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( ) ( )(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:311)(cid:312)(cid:137) ( )(cid:137) ( )(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:279) ( )+ ( )
′ ′
=2(cid:93) ( ) ( )=2(cid:93)(cid:284) ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:101)𝑓 𝑥(2,0𝑔23𝑥)+ (2024)+𝑅,𝑔(20𝑥25)𝑔=𝑥(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
′ ′ ′
A(cid:266)𝑓2𝑥 −𝑔 2−𝑥 B(cid:266)1 𝑔 𝑥 C(cid:266)𝑓 0 𝑔 D(cid:266)𝑔 -1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:80)(cid:81)(cid:134)(cid:225) = (cid:93)(cid:161)(cid:299)(cid:30)(cid:225) (cid:31)(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:99)(cid:298)(cid:277)(cid:297)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:313)(cid:314)(cid:71)(cid:44)(cid:202) (0),
′ ′ ′ ′ ′
(1)(cid:93)(cid:140)(cid:300)(cid:80)(cid:81)(cid:225)(cid:175)(cid:93)(cid:78)(cid:43)(cid:134)(cid:225)𝑔(cid:138)(𝑥(cid:289)). −𝑔(2−𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑔 𝑔
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173)(cid:21)(cid:74) ( )+ ( )=2(cid:93) ( ) ( )=2(cid:134)(cid:148)(cid:93) = (cid:93)
′ ′ ′ ′
(cid:267) =1(cid:134)(cid:225)(cid:93) (1)=𝑓 𝑥 (1𝑔)(cid:93)𝑥(cid:270)(cid:127) (1𝑓)𝑥=−0.𝑔 2−𝑥 𝑔(𝑥) −𝑔(2−𝑥)①
′ ′ ′
(cid:315)𝑥(cid:280)(cid:137) ( )(cid:137)(cid:296)𝑔(cid:41)(cid:13)(cid:93)−(cid:270)𝑔(cid:127) =𝑔 (cid:93)(cid:65)(cid:301)(cid:243)(cid:178)(cid:44)(cid:30)(cid:134)(cid:225)(cid:93) =
′ ′
(cid:267) =0𝑔(cid:134)𝑥(cid:225)(cid:93) (0)= (0𝑔)((cid:93)−(cid:270)𝑥)(cid:127)𝑔((0𝑥))=0(cid:93) −𝑔(−𝑥) 𝑔(𝑥)②
′ ′ ′
(cid:316)𝑥(cid:317) (cid:134)(cid:225)−(cid:93)𝑔 𝑔= (cid:93)𝑔(cid:16)(cid:102)(cid:134)(cid:225) = +2)(cid:93)(cid:270)(cid:127) (cid:112)(cid:298)(cid:277)(cid:137)2(cid:31)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:270)(cid:127) (2025)=
′ ′ ′ ′ ′ ′
(20①23②)= (1)𝑔=(0−(cid:93)𝑥) (2𝑔0(224−)𝑥=) (0)=0(cid:93)𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔
′ ′ ′ ′
(cid:315)𝑔 (cid:280)(cid:137) ( )𝑔+ ( )=2𝑔(cid:93)(cid:270)(cid:127) 𝑔 + (2023)=2(cid:93)(cid:270)(cid:127) =2(cid:93)
′ ′
(cid:270)(cid:127) (2𝑓0𝑥23)+𝑔 𝑥(2024)+ (𝑓2(022052)3=)2.𝑔 𝑓(2023)
′ ′
(cid:236)(cid:20)𝑓(cid:10)A. 𝑔 𝑔
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:40)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:321)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:69)(cid:46) (cid:60)(cid:45)(cid:46) = 3 (cid:52)(cid:322)(cid:55)(cid:220)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
𝑙 3𝑦 𝑥 −𝑥 5 𝑙
A(cid:266) B(cid:266) C(cid:266) D(cid:266)
6 4 4 6
π π π π
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:44)(cid:69)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:93)(cid:140)(cid:300)(cid:153)(cid:32)(cid:50)(cid:48)(cid:51).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173) =3 2 (cid:93)(cid:101) | = (cid:93)(cid:197)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137) (cid:93)
=0
𝑦 ′ 𝑥 −1 𝑦 ′ 𝑥 −1 3 𝑙 −1
(cid:268)(cid:269)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:60)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:196)(cid:34)(cid:35)(cid:323)(cid:324)(cid:148)(cid:10) (cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137) .
4
π
𝑙
(cid:236)(cid:20)(cid:10)C.(cid:22)(cid:186)(cid:98)3-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:290)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) ( )=2 cos (cid:52) =0(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:137) (cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266)ln2 B(cid:266) ln2 C(cid:266)1 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥D(cid:266) 𝑙 𝑙
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)−(cid:74)(cid:33)(cid:211)(cid:39)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:83). −1
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:181) ( )=2 cos (cid:44)(cid:30)(cid:225)(cid:93) ( )=(ln2)×2 cos 2 sin (cid:93)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:45)(cid:46) ( )=2 cos (cid:52) =0
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
′
(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:31)(cid:48)(cid:49)𝑓(cid:137)𝑥 = (0)𝑥=(ln2)×𝑓20𝑥cos0 20 sin0⋅=ln𝑥2−. ⋅ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A.𝑙 𝑘𝑙 𝑓 ′ ⋅ − ⋅
1
(cid:22)(cid:186)(cid:98)3-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:23)(cid:308)(cid:328)(cid:329)(cid:330)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:284)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) =ln + (cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101)k(cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
𝑦 𝑘𝑥 𝑛 𝑦 𝑥 𝑥
A(cid:266) , 1 B(cid:266)[4,+ ) C(cid:266)[ + ) D(cid:266) 1 ,+
4 4
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)−∞(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)∞(cid:33)(cid:93)(cid:44)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:331)(cid:71)−(cid:323)4(cid:324), (cid:93)∞(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:83). ∞
2
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28) = 1 1 = 1 1 + 1 1 (cid:93)
2 2 4 4
′
𝑦 𝑥−𝑥 − 𝑥1− ≤
(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:134)(cid:148)(cid:93) .
4
𝑘≤
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:186)(cid:98)3-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:332)(cid:276)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:226)(cid:55) (cid:112)(cid:41)(cid:13) ( )= 3 1 (1) + (2)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:31)(cid:333)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:93)(cid:55) (cid:220)(cid:47)(cid:46)
2
′ ′
(cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137) (cid:93)(cid:101)(cid:51) (cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:112)(cid:37) (cid:40) 𝑃 𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓 𝑃
A(cid:266) 0, 3𝛼 𝛼 B(cid:266) 0, 3 , C(cid:266) , 3 D(cid:266) 0, 3 ,
4 2 4 2 4 2 4
π π π π π π π
∪ π ∪ π
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:44)(cid:202) ( )(cid:93)(cid:267) =1(cid:169)(cid:134)(cid:44) ( )(cid:93)(cid:161)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:134)(cid:225)tan (cid:31)(cid:323)(cid:324)(cid:93)(cid:118)(cid:300)(cid:134)(cid:225) (cid:31)(cid:331)(cid:71)
′ ′
(cid:323)(cid:324). 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝛼 𝛼
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28) ( )= 3 1 (1) + (2)(cid:93) ( )=3 2 1 (1)(cid:93)
2 2
′ ′ ′ ′
∵𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓 ∴𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑓
(1)= 1 (1)(cid:93) (1)=2(cid:93) ( )=3 2 (cid:93)
2
′ ′ ′ ′
∴𝑓 3− 𝑓 ∴𝑓 ∴𝑓 𝑥 𝑥 −1≥−1
3
tan (cid:93) 0 < (cid:334) < .
2 4
π π
∴(cid:236)(cid:20) 𝛼 (cid:10) ≥ B. −1 ∴ ≤𝛼 ≤𝛼 π
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:44)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)4(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 3 (1) ln +3(cid:93)(cid:101)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:52)( ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)
′2
𝑓
(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑥 − ⋅ 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑒,𝑓 𝑒
A(cid:266) 2 1 B(cid:266)3 2 1 C(cid:266) 2 1 D(cid:266)3 2 1
𝑒 −2𝑒 𝑒 −2𝑒 𝑒 −𝑒 𝑒 −𝑒(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:255)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:267) =1(cid:93)(cid:44)(cid:202) (1)(cid:93)(cid:161)(cid:211)(cid:39)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:83).
′
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:335)(cid:21)(cid:74)(cid:93) (
𝑥
)=3 2
(𝑓1)(cid:93)(cid:267)
=1(cid:93)
′
𝑓
′
𝑓 𝑥 𝑥 − 2𝑥 𝑥
(cid:236) (1)= (1)(cid:93)(cid:83)(cid:225) (1)=2(cid:93)(cid:236) ( )=3 2 1 (cid:93)(cid:236) ( )=3 2 1 (cid:266)
′2
𝑓
′ ′ ′ ′
(cid:236) 𝑓 (cid:20)(cid:10)D(cid:266) 3− 𝑓 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑓 𝑒 𝑒 −𝑒
(cid:22)(cid:186)(cid:98)4-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:325)(cid:336)(cid:337)(cid:338)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:45)(cid:46) = e + (cid:52) =0(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266) + +2=0 B𝑦(cid:266) 𝑥+ 2+𝑥2−2=0𝑥
C(cid:266)3𝑥 𝑦 =0 D(cid:266)2𝑥 𝑦 =0
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)2(cid:242)𝑥−(cid:28)𝑦−(cid:162)2(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:339)(cid:44)(cid:45)(cid:46) = e3𝑥+−𝑦−2 (cid:52) =0(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)
𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28) = e + (cid:93)(cid:101) =( +1𝑦)e 𝑥+2(cid:93)2𝑥−2 𝑥
𝑥 𝑥
′
(cid:165) =0(cid:178)(cid:93) 𝑦= 𝑥(cid:93) 2=𝑥−3(cid:93)2 𝑦 𝑥
′
(cid:270)𝑥(cid:127)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)𝑦(cid:137)−2( 𝑦)= (cid:93)(cid:197) =0(cid:266)
(cid:236)(cid:20)(cid:10)D(cid:266) 𝑦− −2 3𝑥 3𝑥−𝑦−2
(cid:22)(cid:186)(cid:98)4-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:59)(cid:322)(cid:55)(cid:134)(cid:127)(cid:136)(cid:45)(cid:46) = ( )= 2 | |+1(cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:56)
(cid:57)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑥
A(cid:266) = (cid:99) = B(cid:266) = (cid:99) =
C(cid:266)𝑦=𝑥(cid:99)𝑦=−𝑥 D(cid:266)𝑦=−3𝑥(cid:99) 𝑦= 3𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)𝑦(cid:242)(cid:28)𝑥(cid:173)𝑦(cid:83)(cid:81)−(cid:98)3𝑥(cid:225) ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:236)(cid:59)(cid:322)(cid:55)𝑦(cid:136)(cid:31)−(cid:65)𝑥 (cid:64)𝑦(cid:47)(cid:46)3𝑥(cid:54)(cid:32)(cid:3)(cid:182)y(cid:340)(cid:181)(cid:192)(cid:93)(cid:161)(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:44) >0
(cid:53)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:211)(cid:39)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:181)𝑓(cid:192)𝑥(cid:297)(cid:201)(cid:202)(cid:256)(cid:54)(cid:64)(cid:47)(cid:46). 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173) ( )= 2 +1= 2 +1= (cid:93)(cid:225) ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)
(cid:236)(cid:59)(cid:322)(cid:55)(cid:136)(cid:31)(cid:65)(cid:64)𝑥∈(cid:47)𝑅(cid:46),𝑓(cid:54)−(cid:32)𝑥 (cid:3)(cid:182)(−y𝑥(cid:340)) −(cid:181)|−(cid:192)𝑥(cid:266)| 𝑥 −|𝑥| 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥
(cid:165) >0(cid:178)(cid:93) ( )= 2 +1(cid:93)(cid:101) ( )= (cid:93)
′
(cid:226)
𝑥
(cid:47)(cid:55)(cid:137)
𝑓
,
𝑥2 𝑥
+
−𝑥
1 ( >0)
𝑓
(cid:93)
𝑥
(cid:236)2
2𝑥−1
=
2
0 0 (cid:93)(cid:83)(cid:225) =1(cid:334) = (cid:37)(cid:341)(cid:40)(cid:93)
0 0 0 0 0 0 0
0
𝑥 −𝑥 +1−0
(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:46)(cid:48) 𝑃 (cid:49)𝑥 (cid:137)𝑥 − 1(cid:93)𝑥(cid:118)(cid:300)(cid:47)𝑥(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) = 𝑥 (cid:266) −1 𝑥 −0 𝑥 𝑥 −1
(cid:173)(cid:181)(cid:192)(cid:297)(cid:148)(cid:10)(cid:256)(cid:54)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) =𝑦 (cid:266)𝑥
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A. 𝑦 −𝑥
(cid:22)(cid:186)(cid:98)4-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:326)(cid:342)(cid:294)(cid:343)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:59)(cid:222)(cid:106)(cid:322)(cid:55)(cid:136)(cid:45)(cid:46) =e +1(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
𝑥−2
1 𝑦
A(cid:266) = B(cid:266) = C(cid:266) = D(cid:266) =e
e2
𝑦 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137) e +1)(cid:93)(cid:44)(cid:225)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) e +1)=e (cid:93)(cid:155)(cid:322)(cid:55)(0,0)(cid:214)(cid:230)(cid:56)(cid:57)(cid:93)
𝑡−2 𝑡−2 𝑡−2
(𝑡, 𝑦−( (𝑥−𝑡)(cid:225)(cid:175) e =1(cid:93)(cid:83)(cid:225) =2(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:225)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57).
𝑡−2
(cid:22)(cid:83)((cid:138)𝑡−(cid:59)1(cid:57)) (cid:28)(cid:173)(cid:41)(cid:13) =e𝑡 +1(cid:93)(cid:134)(cid:225) =e (cid:93)
𝑥−2 ′ 𝑥−2
(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137) e 𝑦+1)(cid:93)(cid:134)(cid:225)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)𝑦(cid:137) e +1)=e (cid:93)
𝑡−2 𝑡−2 𝑡−2
(cid:155)(cid:322)(cid:55)(0,0)(cid:214)((cid:230)𝑡,(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:134)(cid:225) e +1)=𝑦e−( (cid:93)(cid:197) (𝑥e−𝑡)=1(cid:93)
𝑡−2 𝑡−2 𝑡−2
(cid:83)(cid:225) =2(cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)0−(e0+1)=e0 (0(cid:93)−𝑡(cid:197)) =(𝑡.−1)
(cid:236)(cid:20)𝑡(cid:10)A. 𝑦−( (𝑥−2) 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)5(cid:28)(cid:37)2024·(cid:344)(cid:272)(cid:332)(cid:345)·(cid:120)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) = e +ln (cid:52)(cid:55)( e)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) = + (cid:93)(cid:101)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266) =e(cid:93) = 𝑦 B𝑎(cid:266)𝑥 =e(cid:93)𝑥 =21,𝑎 𝑦 3𝑥 𝑏
C(cid:266)𝑎=e (cid:93)𝑏 =−2 D(cid:266)𝑎=e 𝑏(cid:93) =2
−1 −1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)𝑎(cid:242)(cid:28)(cid:44)(cid:202)𝑏(cid:41)(cid:13)−(cid:31)2(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:335)(cid:21)(cid:74)(cid:134)(cid:225) | 𝑎 =3(cid:93)(cid:197)𝑏(cid:134)(cid:44)(cid:202) (cid:93)(cid:161)(cid:229)(cid:47)(cid:55)(cid:214)(cid:230)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:202) (cid:205)
=1
1 𝑦 ′ 𝑥 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:83)(cid:10) = e + e + (cid:93) = | = e+ e+1= e+1=3(cid:93)
=1
𝑥 𝑥
𝑦 ′ 𝑎 𝑎𝑥 𝑥 𝑘 𝑦 ′ 𝑥 𝑎 𝑎 2𝑎
1
e=1(cid:93) = =e (cid:266)(cid:229)(1,1)(cid:214)(cid:230) = + (cid:225)3+ =1(cid:93) = (cid:266)
e
−1
(cid:236)∴𝑎 (cid:20)(cid:10)C(cid:266)∴𝑎 𝑦 3𝑥 𝑏 𝑏 ∴𝑏 −2
(cid:22)(cid:186)(cid:98)5-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:325)(cid:336)(cid:346)(cid:276)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) = ln + e (cid:52)(cid:55) =1(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) + =0(cid:93)(cid:101) =
−𝑥
(cid:37) (cid:40) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑎 𝑥 2𝑥−𝑦 𝑏 𝑏
A(cid:266)(cid:347)1 B(cid:266)(cid:347)2 C(cid:266)(cid:347)3 D(cid:266)0
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:134)(cid:148)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:137) =2(cid:93)(cid:134)(cid:225) = e(cid:93)(cid:78)(cid:43)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:214)(cid:230)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:197)(cid:134)(cid:225)
e
𝑎
1− 𝑎 −
= .
𝑏(cid:22)(cid:83)−(cid:138)3(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:134)(cid:225) =ln + e (cid:93)
−𝑥
′
𝑦 𝑥 1−𝑎
(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:134)(cid:148)(cid:93)(cid:52)(cid:55) =1(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:137) =2(cid:93)(cid:83)(cid:225) = e(cid:205)
e
𝑎
𝑥 1− 𝑎 −
(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( )(cid:93)(cid:214)(cid:230)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:134)(cid:225)2+1+ =0(cid:93)(cid:83)(cid:225) = .
(cid:236)(cid:20)(cid:10)C. 1,−1 𝑏 𝑏 −3
(cid:22)(cid:186)(cid:98)5-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 2+ ln (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:52)(cid:55)( (1))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:348)(cid:137)
= .(cid:101) (cid:31)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 1,𝑓
𝑦 3A𝑥(cid:266)−11 𝑎−𝑏 B(cid:266)2 C(cid:266)3 D(cid:266)4
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:181)(cid:41)(cid:13)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:161)(cid:44)(cid:202) =1(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:225) (cid:205)
𝑥 𝑎,𝑏(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:83)(cid:10)(cid:41)(cid:13) ( )= 2+ ln (cid:93)(cid:101) ( )= + (cid:93)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:52)(cid:55)( (1))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:348)(cid:137)
𝑏
′
= (cid:93) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 𝑓 𝑥 2𝑎𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 1,𝑓
𝑦 3𝑥−1(1)= + =3 =2
(cid:270)(cid:127) (cid:93)(cid:83)(cid:225) (cid:93)(cid:101) =3.
(1)= =3× =2 =
′
𝑓 2𝑎 𝑏 𝑎
𝑎−𝑏
(cid:236)(cid:20)(cid:10)𝑓C. 𝑎 1−1 𝑏 −1
(cid:22)(cid:186)(cid:98)5-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) ( )= (cid:52)(cid:55) ( (0))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:133)(cid:112)(cid:45)(cid:46) ( )=ln( )(cid:31)(cid:54)
𝑥
(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑒 𝑃 0,𝑓 𝑔 𝑥 𝑎𝑥
A(cid:266) 𝑎 B(cid:266) C(cid:266) 2 D(cid:266) 3
3 2 3
𝑒 𝑒 𝑒
𝑒
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:134)(cid:44)(cid:225) ( )(cid:52) (cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:226)(cid:35)(cid:60) ( )(cid:209)(cid:47)(cid:182)(cid:55)( ,ln( ))(cid:93)(cid:173)(cid:47)
0 0
(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:134)(cid:44)(cid:225) (cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:65)(cid:55)(cid:349)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:98)𝑓(cid:203)𝑥(cid:293)(cid:56)𝑃(cid:57)(cid:44)(cid:225) . 𝑔 𝑥 𝑥 𝑎𝑥
0
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)𝑥 ( )= (cid:93) ( )= (cid:93) (0)=1(cid:93) 𝑎(0)=1(cid:93)
𝑥 𝑥
′ ′
( )(cid:52)(cid:55) (∵𝑓(0𝑥))(cid:220)(cid:31)𝑒 (cid:47)(cid:46)∴𝑓(cid:56)(cid:57)𝑥 (cid:137)(cid:10)𝑒 =𝑓 +1(cid:205) ∴𝑓
∴𝑓 𝑥 𝑃 0,𝑓 𝑦 𝑥 1
(cid:226) = +1(cid:60) ( )(cid:209)(cid:47)(cid:182)(cid:55)( ,ln( ))(cid:93)(cid:101) ( )= =1(cid:93)(cid:83)(cid:225)(cid:10) =1(cid:93)
0 0 0 0
0
′
𝑦 ln( 𝑥 ) 𝑔 𝑥 𝑥 𝑎𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:315) 0 =1(cid:93) ln =1(cid:93)(cid:83)(cid:225)(cid:10) = 2.
𝑎0𝑥 −1
𝑥 −0 ∴ 𝑎−1 𝑎 𝑒
(cid:236)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:64)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)6(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:284)(cid:45)(cid:46) =( )e (cid:61)(cid:65)(cid:64)(cid:59)(cid:55) ( )(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266)( ) (3,+ ) 𝑦 1B−(cid:266)𝑥( ) 𝐴 𝑎,0 𝑎
C(cid:266)(−∞,−1)∪ ∞ D(cid:266)(−3,1 ) (1,+ )
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)−(cid:242)∞(cid:28),−(cid:268)3(cid:269)(cid:21)(cid:74)(cid:93)(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:188)(cid:189)(cid:202)−(cid:47)∞(cid:46),−(cid:56)3(cid:57)∪(cid:93)(cid:168)(cid:169)∞(cid:232)(cid:202)(cid:227)(cid:89)(cid:98)(cid:214)(cid:230)(cid:78)(cid:43)(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:225)(cid:175)(cid:211)(cid:185).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)(
0
,(
0
)e 0)(cid:93)(cid:173)(cid:221)(cid:148)(cid:225) = e (cid:93)(cid:101)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49) =
0
e 0(cid:93)
𝑥 ′ 𝑥 𝑥
(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) (
0
)e 0𝑥= 1−
0
𝑥e 0(
0
)(cid:266) 𝑦 −𝑥 𝑘 −𝑥
𝑥 𝑥
(cid:69)(cid:46)(cid:59)(cid:55) 𝑦(− 1)−(cid:93)𝑥 ( −
0
)𝑥e 0=𝑥−
0
𝑥e 0(
0
)(cid:93)
𝑥 𝑥
∵(cid:16)(cid:102)(cid:225) 2 𝐴( 𝑎+,01) ∴−+11=−𝑥0(cid:266) (cid:47)(cid:46)−(cid:61)𝑥 2(cid:64)𝑎(cid:93)−𝑥
0 0
=(𝑥+−1)𝑎2 >𝑥0(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:331)∵(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:112)( ) (1,+ )(cid:93)
(cid:236)∴Δ(cid:20)(cid:10)𝑎D. −4 𝑎 −∞,−3 ∪ ∞
(cid:22)(cid:186)(cid:98)6-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 3+ (cid:93)(cid:101)(cid:59)(cid:55)( )(cid:134)(cid:136)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:31)
(cid:64)(cid:13)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 −𝑥 3𝑥 −3,−9 𝑦 𝑓 𝑥A(cid:266)0 B(cid:266)1 C(cid:266)2 D(cid:266)3
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( 3+ )(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:44)(cid:225)(cid:52)(cid:47)(cid:55)( 3+ )(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:161)(cid:229)
( )(cid:214)(cid:230)(cid:93)(cid:44)(cid:225) (cid:31)(cid:71)𝑎,−(cid:93)𝑎(cid:197)(cid:134)3(cid:225)𝑎(cid:83). 𝑎,−𝑎 3𝑎
(cid:22)−(cid:83)3,−(cid:138)9(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:83)(cid:10)(cid:280)𝑎(cid:137) ( )= 3+ (cid:93)(cid:270)(cid:127) ( )= 2+3(cid:93)
′
(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( 3+ )(cid:93)𝑓 𝑥 −𝑥 3𝑥 𝑓 𝑥 −3𝑥
(cid:270)(cid:127)(cid:52)(cid:47)(cid:55)𝑎,(−𝑎 33+𝑎 )(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) = ( 2 )( ) 3+ (cid:93)
(cid:315)( )(cid:52)𝑎(cid:47),−(cid:46)𝑎(cid:53)(cid:93)3(cid:270)𝑎 (cid:127) = ( 2 𝑦)( −3 𝑎)−13+𝑥−𝑎(cid:93)−𝑎 3𝑎
(cid:197) −3=,−39( 2 ) (3+ ) −39+ −(cid:93)3 𝑎 −1 −3−𝑎 −𝑎 3𝑎
(cid:287) − (cid:15) 9 (cid:225)2 3 𝑎 + − 9 1 2= ⋅ 0(cid:93)(cid:83) 𝑎 (cid:225) −𝑎 = 3 0 𝑎 (cid:334) = 9 (cid:93)
1 2 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −
(cid:270)(cid:127)(cid:59)(cid:55)( )(cid:134)(cid:136)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:64)(cid:13)(cid:137)2.
(cid:236)(cid:20)(cid:10)C(cid:266)−3,−9 𝑦 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:186)(cid:98)6-2(cid:28)(cid:37)2021·(cid:109)(cid:110)·(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:21)(cid:40)(cid:284)(cid:59)(cid:55)( )(cid:134)(cid:127)(cid:136)(cid:45)(cid:46) =e (cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266)e < 𝑎B,𝑏(cid:266)e < 𝑦
𝑏 𝑎
C(cid:266)0< 𝑎𝑡 𝑒0(cid:93)(cid:354)(cid:178)𝑓(cid:41)𝑡(cid:13) (𝑎−)(cid:103)𝑡 (cid:355)𝑒 (cid:356)(cid:357)(cid:93)
′
(cid:165)𝑡>𝑎(cid:178)(cid:93)𝑓(𝑡)<0(cid:93)(cid:354)(cid:178)(cid:41)(cid:13)𝑓(𝑡)(cid:103)(cid:355)(cid:356)(cid:302)(cid:93)
′
(cid:270)𝑡(cid:127)(cid:93)𝑎 ( ) 𝑓 𝑡= ( )= (cid:93) 𝑓 𝑡
max
𝑎
(cid:173)(cid:21)(cid:74)𝑓(cid:134)𝑡(cid:148)(cid:93)(cid:69)(cid:46)𝑓 𝑎= (cid:60)𝑒 (cid:45)(cid:46) = ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:61)(cid:65)(cid:183)(cid:358)(cid:55)(cid:93)(cid:101) < ( ) = (cid:93)
max
𝑎
(cid:165) < +1(cid:178)(cid:93) (𝑦)>𝑏0(cid:93)(cid:165) >𝑦 +𝑓1𝑡(cid:178)(cid:93) ( )<0(cid:93)(cid:136)(cid:202)(cid:41)(cid:13)𝑏( )𝑓(cid:31)𝑡(cid:91)(cid:92)(cid:184)(cid:224)𝑒(cid:91)(cid:270)(cid:189)(cid:10)
𝑡 𝑎 𝑓 𝑡 𝑡 𝑎 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡(cid:173)(cid:91)(cid:134)(cid:148)(cid:93)(cid:165)0< < (cid:178)(cid:93)(cid:69)(cid:46) = (cid:60)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:61)(cid:65)(cid:183)(cid:358)(cid:55).
𝑎
(cid:236)(cid:20)(cid:10)D. 𝑏 𝑒 𝑦 𝑏 𝑦 𝑓 𝑡
(cid:83)(cid:100)(cid:206)(cid:10)(cid:352)(cid:202)(cid:41)(cid:13)(cid:45)(cid:46) = (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:184)(cid:91)(cid:270)(cid:189)(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:69)(cid:292)(cid:197)(cid:134)(cid:258)(cid:32)(cid:55) (cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:224)(cid:56)(cid:99) (cid:340)(cid:53)(cid:56)(cid:178)(cid:353)(cid:134)(cid:127)(cid:136)
𝑥
(cid:202)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46).(cid:173)(cid:354)(cid:134)(cid:148)0𝑦< 𝑒< . (𝑎,𝑏) 𝑥
𝑎
𝑏 𝑒
(cid:236)(cid:20)(cid:10)D.
1
(cid:22)(cid:186)(cid:98)6-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:284)(cid:59)(cid:55) (cid:60)(cid:45)(cid:46) = (cid:209)(cid:47)(cid:31)(cid:69)(cid:46)(cid:359)(cid:61)2(cid:64)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)
e
𝑥+
𝑥
𝑃(𝑚,0) 𝑓(𝑥) 𝑚
(cid:112)(cid:37) (cid:40)
A(cid:266) ,+ ) B(cid:266) (1,+ )
C(cid:266)(−∞ ∞ D(cid:266)(−∞,−3)∪(3,+∞)
(−1,3) (−∞,−1)∪ ∞
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:44)(cid:225) = (cid:93)(cid:44)(cid:225)(cid:47)(cid:46) (cid:56)(cid:57),(cid:211)(cid:39)(cid:21)(cid:74)(cid:93)(cid:241)(cid:16)(cid:137)(cid:56)(cid:57) 2+ +1=0(cid:61)2(cid:183)(cid:227)(cid:89)(cid:360)
e
𝑥
′ 𝑥
𝑓(𝑥) − 𝑃𝑄 𝑡 (1−𝑚)𝑡
(cid:268)(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:206)(cid:361)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:297)(cid:362)(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:83).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:226)(cid:59)(cid:55) (cid:31)(cid:69)(cid:46)(cid:60)(cid:45)(cid:46) = 1 (cid:209)(cid:47)(cid:182)(cid:55) 1 (cid:93)
e e
𝑥+ 𝑡+
𝑥 𝑡
1
𝑃(𝑚,0) 𝑓(𝑥) 𝑄1𝑡,
(cid:173) =
e
(cid:93)(cid:134)(cid:225) =
e
(cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:46) (cid:31)(cid:48)(cid:49) =
e
= 𝑡e+ (cid:93)
𝑥+ 𝑥 𝑡 𝑡 −0
𝑥 ′ 𝑥 𝑡
(cid:287) 𝑓 (cid:15) (𝑥 (cid:225) ) 2+ + 𝑓( 1 𝑥 = ) 0(cid:93) − 𝑃𝑄 𝑘 − 𝑡−𝑚
(cid:280)(cid:137)(cid:47)𝑡(cid:46)(cid:61)(12−(cid:64)𝑚(cid:93))𝑡(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:55)(cid:61)2(cid:183)(cid:93)(cid:197)(cid:56)(cid:57) 2+ +1=0(cid:61)2(cid:183)(cid:227)(cid:89)(cid:360)(cid:268)(cid:93)
(cid:101) = 2 >0(cid:93)(cid:83)(cid:225) >3(cid:334) < 𝑡(cid:93) (1−𝑚)𝑡
Δ (1−𝑚) −4 𝑚 𝑚 −1(cid:270)(cid:127) (cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:112) (3,+ )(cid:266)
(cid:236)(cid:20)𝑚(cid:10)D(cid:266) (−∞,−1)∪ ∞
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:58)(cid:68)(cid:69)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)7(cid:28)(cid:37)2024·(cid:212)(cid:363)(cid:364)(cid:365)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:60)(cid:45)(cid:46) = 1 2+ + 1 1 (cid:99) =2ln +1(cid:366)(cid:209)(cid:47)(cid:31)(cid:69)(cid:46) (cid:60)
2 4 2
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑏− 𝑔(𝑥) (𝑥−1) 𝑙
(cid:69)(cid:46) + + =0(cid:68)(cid:69)(cid:93)(cid:101) =(cid:37) (cid:40)
A𝑥(cid:266)-28𝑦 𝑎−1 B(cid:266)-3 𝑏 C(cid:266)4 D(cid:266)6
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:173)(cid:21)(cid:134)(cid:225)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:137)2(cid:93)(cid:80)(cid:207)(cid:226)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:197)(cid:134)(cid:225)(cid:202).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:280)(cid:137)(cid:69)(cid:46) (cid:60)(cid:69)(cid:46) + + =0(cid:68)(cid:69)(cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)2(cid:93)
(cid:226)(cid:69)(cid:46) (cid:60) ( )(cid:209)(cid:47)(cid:182)( 𝑙 ( ))𝑥(cid:93) 2𝑦 𝑎−1 𝑙
1 1
(cid:280)(cid:137) ( 𝑙 ) 𝑓 = 𝑥 +1(cid:93)(cid:270)(cid:127) 𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 )= +1=2(cid:93)(cid:83)(cid:225) =1(cid:93)(cid:236)(cid:69)(cid:46) (cid:60) ( )(cid:209)(cid:47)(cid:182) 1,1+ 1 (cid:93)
1 1 1
4
′ ′
(cid:226)(cid:69) 𝑓 (cid:46)𝑥(cid:60) ( 𝑥 )(cid:209)(cid:47)(cid:182)( 𝑓 ( 𝑥 ))(cid:93) 𝑥 𝑥 𝑙 𝑓 𝑥 𝑏
2 2
𝑙 𝑔 𝑥2 𝑥 ,𝑔 𝑥 2
(cid:280)(cid:137) ( )= (cid:93)(cid:101) ( )= =2(cid:93)(cid:83)(cid:225) =2(cid:93)(cid:101) ( )=1(cid:93)
2 2 2
2
′ ′
(cid:270)(cid:127) 𝑔 (cid:69)(cid:46)𝑥 (cid:31)(cid:56)𝑥−(cid:57)1 (cid:137) 𝑔 𝑥=2( 𝑥 −1 )(cid:93)(cid:197) 𝑥 =0(cid:93) 𝑔 𝑥
1,1+ 1 𝑙 (cid:52)(cid:69)(cid:46) (cid:53) 𝑦− (cid:93) 1 (cid:101) 𝑥 1 − + 2 1 2𝑥 = −𝑦 0 − (cid:93) 3 (cid:83)(cid:225) = .
4 4
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A 𝑏 . 𝑙 2− 𝑏 −3 𝑏 −8
(cid:22)(cid:186)(cid:98)7-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:367)·(cid:120)(cid:262)(cid:40)(cid:284)(cid:41)(cid:13) =ln + (cid:60) = (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:61)(cid:54)(cid:64)(cid:7)(cid:370)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:279)(cid:371)(cid:7)(cid:370)
2𝑥−𝑚
(cid:47)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46) = +1(cid:66)(cid:67)(cid:93)(cid:101)(cid:360)(cid:13) =(cid:37)
𝑓 (
(cid:40)
𝑥) 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥−1
17 𝑦 2𝑥 17 𝑚 17 17
A(cid:266) B(cid:266) C(cid:266) D(cid:266)
8 6 4 2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:41)(cid:13) ( )=ln + (cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , )(cid:93)(cid:44)(cid:202)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:268)(cid:269) ( )=2(cid:44)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)
0 0 0
′
(cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:226)(cid:41)(cid:13) 𝑓 ( 𝑥 )= 𝑥 (cid:31) 𝑥 (cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:137) 𝑥 ( 𝑦 , ) ( 1)(cid:93)(cid:268)(cid:269) ( )=2 𝑓 (cid:93) 𝑥 (cid:225)(cid:175) =2 2
1 1 1 1 1 1
2𝑥−𝑚
′
2 𝑔 𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑦 𝑥 ≠ 𝑔 𝑥 𝑚 𝑥 −4𝑥
+4(cid:93)(cid:161)(cid:173)2 = 1 (cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:202) (cid:93)(cid:118)(cid:300)(cid:225)(cid:83)(cid:205)
1 1
𝑥1−𝑚
𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥
1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:83)(cid:10)(cid:226)(cid:41)(cid:13) ( )=ln + (cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , )(cid:93)(cid:280)(cid:137) = +1(cid:93)(cid:270)(cid:127) ( )= +1=2(cid:93)
0 0 0
0
′ ′
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:225) =1(cid:93) (cid:270)(cid:127) = )= =1(cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) = (cid:93)(cid:197) = (cid:93)(cid:226)(cid:41)(cid:13) ( )=
0 0 0
2𝑥−𝑚
𝑥 𝑦 𝑓(𝑥 𝑓(1) 𝑦−1 2(𝑥−1) 𝑦 2𝑥−1 𝑔 𝑥 𝑥−1
(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , ) ( 1)(cid:93)(cid:280)(cid:137) = = (cid:93)(cid:270)(cid:127) ( )= =2(cid:93)(cid:197)
1 1 1 2 2 1 ( 2
2(𝑥−1)−(2𝑥−𝑚) 𝑚−2 𝑚1−2
′ ′
𝑥 𝑦 𝑥 ≠ 𝑔(𝑥) (𝑥−1) (𝑥−1) 𝑔 𝑥 𝑥 −1)
=2 2 +4(cid:93)(cid:315) =2 = )= 2 1 (cid:93)(cid:197) = 2+5 (cid:93)(cid:270)(cid:127)2 2 +4= 2+5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝑥1−𝑚
𝑚 𝑥 −4𝑥 𝑦 𝑥 −1 𝑔(𝑥 𝑥 −1 𝑚 −2𝑥 𝑥 −1 𝑥 −4𝑥 −2𝑥 𝑥2
(cid:93)(cid:197)4 2 +5=0(cid:93)(cid:83)(cid:225) = 5 (cid:334) =1(cid:37)(cid:341)(cid:40)(cid:93)(cid:270)(cid:127) =2× 5 × 5 +4= 17 (cid:266)
1 1 1 4 1 4 4 8
(cid:236)−1(cid:20)(cid:10)A.𝑥 −9𝑥 𝑥 𝑥 𝑚 −4
(cid:22)(cid:186)(cid:98)7-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:372)(cid:271)(cid:373)(cid:276)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:41)(cid:13) ( )= +sin (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:278)(cid:52)(cid:65)(cid:64)(cid:209)(cid:374)(cid:68)(cid:69)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:360)(cid:13)
(cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:112)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑥 𝑎
A(cid:266){0,1} B(cid:266){0} C(cid:266)[0,1) D(cid:266)[1,+ )
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:173)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:99)(cid:69)(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:31)(cid:64)(cid:223)(cid:134)(cid:225)(cid:56)(cid:57) 2+(cos∞+cos ) +cos cos +
1 2 1 2
1=0(cid:54)(cid:32)(cid:61)(cid:83)(cid:93)(cid:161)(cid:173)(cid:268)(cid:31)(cid:258)(cid:207)(cid:98)(cid:99)(cid:375)(cid:376)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:71)(cid:311)(cid:134)(cid:225)(cid:20)(cid:377). 𝑎 𝑥 𝑥 𝑎 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:280)(cid:137) ( )= +sin (cid:93)(cid:270)(cid:127) ( )= +cos (cid:93)
′
(cid:280)(cid:137)(cid:41)(cid:13) ( )= 𝑓+𝑥sin 𝑎(cid:31)𝑥(cid:91)(cid:92)(cid:53)𝑥(cid:278)(cid:52)(cid:65)𝑓(cid:64)(cid:209)𝑥 (cid:374)(cid:68)𝑎(cid:69)(cid:31)(cid:47)𝑥(cid:46)(cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:227)(cid:378)(cid:226)(cid:52) = (cid:99) = (cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:374)(cid:209)(cid:68)
1 2
(cid:69)(cid:93) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:101)( +cos ) ( +cos )= (cid:93)(cid:197) 2+(cos +cos ) +cos cos +1=0 (cid:93)
1 2 1 2 1 2
(cid:280)(cid:137)𝑎a(cid:31)(cid:71)𝑥(cid:54)(cid:32)⋅ (cid:278)𝑎 (cid:52)(cid:93)(cid:197)𝑥(cid:56)(cid:57)−1(cid:54)(cid:32)𝑎(cid:61)(cid:83)(cid:93)(cid:270)𝑥(cid:127) =(𝑥cos𝑎 +co𝑥s )2𝑥 (cos ①cos +1) 0(cid:93)
1 2 1 2
(cid:197)(cos cos )2 4(cid:93)(cid:83)(cid:225)co①s cos 2(cid:334)co𝛥s co𝑥s 𝑥(cid:93) −4 𝑥 𝑥 ≥
1 2 1 2 1 2
(cid:315)|cos𝑥|−1(cid:93)𝑥(cid:270)(cid:127)≥(cid:61)cos =1，𝑥co−s =𝑥 ≥ (cid:334)cos 𝑥=− ，𝑥 c≤os−2=1(cid:93) =0(cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:56)(cid:57) (cid:186)(cid:137) 2=0(cid:93)(cid:270)
1 2 1 2
(cid:127) =𝑥0(cid:93)≤ 𝑥 𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥 𝛥 ① 𝑎
(cid:236)𝑎(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:186)(cid:98)7-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:212)(cid:363)(cid:157)(cid:366)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:32)(cid:33)(cid:52) (cid:53)(cid:31)(cid:41)(cid:13) (cid:31)(cid:91)(cid:379)(cid:3)(cid:182)(cid:69)(cid:46) = ＞0)(cid:181)(cid:192)，(cid:279)(cid:165)
𝑅 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑎(𝑎 𝑥≥𝑎
(cid:178)， = ，(cid:59)(cid:55) (cid:136)(cid:45)(cid:46) = (cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46),(cid:284)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:374)(cid:209)(cid:68)(cid:69),(cid:101)(cid:371)(cid:41)(cid:13) (cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137)
𝑥
𝑒
2𝑎
(cid:37) 𝑓 (cid:40) (𝑥) 𝑒 𝑃(𝑎,0) 𝑦 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
1 3
A(cid:266)
2
B(cid:266) C(cid:266)
2
D(cid:266)
− −1 − −2
𝑒 𝑒 𝑒 𝑒
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:165) (cid:178)(cid:93) ( )= = (cid:93)(cid:134)(cid:225)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52)( + )(cid:137)(cid:357)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:211)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:181)(cid:192)(cid:297)(cid:134)(cid:225)(cid:41)
𝑥
𝑒 𝑥−2𝑎
2𝑎
(cid:13)(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137) ( 𝑥 ) ≥ ,(cid:140) 𝑎 (cid:300)(cid:80)(cid:81) 𝑓 (cid:134)𝑥 (cid:225)(cid:55)𝑒 ( 𝑒 )(cid:136)(cid:45)(cid:46) = ( 𝑓 )(cid:31)𝑥(cid:65)(cid:64)𝑎(cid:47), (cid:46)∞(cid:31)(cid:48)(cid:49) =±1(cid:93)(cid:226) = (cid:380)(cid:381)(cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:137)
( )(cid:93)(cid:44)𝑓(cid:202)𝑎(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:173)(cid:30)𝑃(cid:13)𝑎(cid:31),0(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)𝑦(cid:134)(cid:225)𝑓 𝑥( )= =1(cid:93)(cid:197)𝑘 =0(cid:93)𝑥(cid:211)𝑎(cid:39)(cid:65)(cid:55)(cid:195)(cid:349)(cid:46)(cid:31)
𝑚−2𝑎 𝑚−2𝑎
𝑚,𝑒 1 𝑓′ 𝑚 𝑒 𝑚−2𝑎
(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:98)(cid:134)(cid:225) =1(cid:93)(cid:197) =1(cid:93)(cid:316)(cid:317)(cid:65)(cid:98)(cid:44)(cid:202) (cid:31)(cid:71)(cid:93)(cid:214)(cid:230)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:83)(cid:81)(cid:98)(cid:134)(cid:225)(cid:211)(cid:185).
𝑚−2𝑎
𝑒 −0
𝑚−𝑎 𝑚−𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:21)(cid:74)(cid:93)(cid:80)(cid:81)(cid:134)(cid:225)(cid:165) (cid:178)(cid:93) ( )= = (cid:93)
𝑥
𝑒 𝑥−2𝑎
2𝑎
(cid:101)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52)( + )(cid:137)(cid:357)(cid:41)(cid:13)(cid:93) 𝑥≥𝑎 𝑓 𝑥 𝑒 𝑒
(cid:315)(cid:173)(cid:41)𝑓(cid:13)𝑥( )(cid:31)𝑎,(cid:91)(cid:92)∞(cid:3)(cid:182)(cid:69)(cid:46) = (cid:181)(cid:192)(cid:93)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52)( )(cid:137)(cid:302)(cid:41)(cid:13)(cid:93)
𝑓 𝑥 𝑥 𝑎 𝑓 𝑥 −∞,𝑎(cid:270)(cid:127)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137) ( )(cid:93)
(cid:55) ( )(cid:136)(cid:45)(cid:46) = 𝑓( 𝑎)(cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)
(cid:101)𝑃(cid:65)(cid:64)𝑎,0(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:3)𝑦(cid:182)(cid:69)𝑓(cid:46)𝑥 = (cid:181)(cid:192)(cid:93)(cid:197)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:374)(cid:137)(cid:209)(cid:382)(cid:13)(cid:93)
(cid:284)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:374)(cid:209)(cid:68)(cid:69)(cid:93)𝑥(cid:47)(cid:46)𝑎(cid:31)(cid:48)(cid:49) =±1(cid:93)
(cid:226) = (cid:380)(cid:381)(cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( ),( 𝑘> )(cid:93)
𝑚−2𝑎
(cid:280)𝑥(cid:137) (𝑎)= (cid:93)(cid:270)(cid:127)𝑚(cid:30),𝑒(cid:13) ( )𝑚= 𝑎 (cid:93)
𝑥−2𝑎 𝑥−2𝑎
(cid:101)(cid:61)𝑓(𝑥 )=𝑒 =1(cid:93)(cid:197) 𝑓′ 𝑥 =𝑒0(cid:93)
𝑚−2𝑎
𝑓′ 𝑚 𝑒 𝑚−2𝑎 ①
(cid:315)(cid:173)(cid:47)(cid:46)(cid:59)(cid:55)( )(cid:93)(cid:134)(cid:225) =1(cid:93)
𝑚−2𝑎
𝑒 −0
𝑎,0 𝑚−𝑎
1
(cid:197) =1(cid:93)(cid:83)(cid:134)(cid:225) =1(cid:93)
(cid:316)𝑚(cid:317)−𝑎 (cid:134)(cid:225) =1 𝑚 (cid:93) −𝑎 ②
(cid:101)(cid:41)①(cid:13)②( )(cid:31)(cid:70)𝑎(cid:286)(cid:71)(cid:137) ( )= = (cid:93)
𝑎−2𝑎 −1
(cid:236)(cid:20)B.𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑒 𝑒
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)8(cid:28)(cid:37)2024·(cid:318)(cid:319)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:69)(cid:46) = + (cid:383)(cid:112)(cid:45)(cid:46) =ln (cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:133)(cid:112)(cid:45)(cid:46) = ln (cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)
(cid:101)(cid:37)(cid:384)(cid:384)(cid:40) 𝑦 𝑘𝑥 𝑏 𝑦 𝑥 𝑦 − (−𝑥)
1
A(cid:266) = (cid:93) =0 B(cid:266) =1(cid:93) =0
e
𝑘 𝑏 𝑘 𝑏
1
C(cid:266) = (cid:93) = D(cid:266) =1(cid:93) =
e
𝑘 𝑏 −1 𝑘 𝑏 −1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:93)(cid:201)(cid:202)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:181)(cid:36)(cid:196)(cid:13)(cid:209)(cid:89)(cid:319)(cid:317)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:83)(cid:202)(cid:197)(cid:134).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:226)(cid:69)(cid:46)(cid:60)(cid:45)(cid:46) =ln (cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( ,ln )(cid:279) >0(cid:93)
1 1 1
(cid:60)(cid:45)(cid:46) = ln (cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:137)𝑦( 𝑥ln( ))(cid:279)𝑥 <𝑥0(cid:93) 𝑥
2 2 2
𝑦 − (1−𝑥) 𝑥 ,− −1𝑥 𝑥
(cid:315) =(ln ) = (cid:93) =[ ln ]= (cid:93)
′ ′ ′
𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 − (−𝑥) −𝑥 1 1
(cid:101)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) =ln (cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) ln = ( )(cid:93)(cid:197) = +ln (cid:93)
1 1 1
1 1
𝑦 𝑘𝑥 𝑏 𝑦 𝑥 𝑦− 𝑥 𝑥 𝑥−𝑥 1 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 − 1 1
(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) = ln (cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) +ln( )= ( )(cid:93)(cid:197) = + ln( )(cid:93)
2 2 2
2 2
(cid:101) 𝑦 𝑘1𝑥 =𝑏 1 𝑦 (cid:93) − (cid:83)(cid:225) (−𝑥) 1 =e (cid:93)(cid:236) = 𝑦 1 = 1 −𝑥 =ln −𝑥 = 𝑥− 0 𝑥 (cid:93) 𝑦 −𝑥 𝑥 1− −𝑥
ln 1 = ln 2 ( ) 2 = e 1 e 1
1 2
𝑥 −𝑥 𝑥
𝑘 𝑥 ,𝑏 𝑥 −1
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A. 𝑥 −
𝑥 −1 1− −𝑥
(cid:22)(cid:186)(cid:98)8-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:385)(cid:365)(cid:285)(cid:349)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:48)(cid:49)(cid:137)1(cid:31)(cid:69)(cid:46) (cid:60)(cid:45)(cid:46) =ln + (cid:99)(cid:386) 2+ 2= 1 (cid:366)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101)(cid:360)(cid:13)
2
𝑙 𝑦 (𝑥 𝑎) 𝑥 𝑦 𝑎(cid:31)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
A(cid:266)0(cid:334)2 B(cid:266) (cid:334)0 C(cid:266)－1(cid:334)0 D(cid:266)0(cid:334)1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:56)(cid:57)−2(cid:137) = + (cid:93)(cid:255)(cid:268)(cid:269)(cid:69)(cid:46)(cid:99)(cid:386)(cid:209)(cid:47)(cid:43)(cid:202) (cid:93)(cid:52)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:43) .
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:335)(cid:21)(cid:74)𝑙(cid:225)(cid:93)(cid:226)(cid:69)(cid:46)𝑦 (cid:31)𝑥(cid:56)(cid:57)𝑏(cid:137) = + (cid:93) 𝑏 𝑎
(cid:173)(cid:69)(cid:46)(cid:99)(cid:386) 2+ 2= 1 (cid:209)(cid:47)(cid:134)(cid:225)(cid:93) 𝑙 | | 𝑦 = 𝑥2(cid:93)(cid:83) 𝑏 (cid:225) =±1(cid:93)
2 12 2 2
𝑏
(cid:165) =1(cid:178)(cid:93) 𝑥 = 𝑦 +1(cid:99) =ln + (cid:209)+(−(cid:47)1)(cid:93) 𝑏
𝑏 𝑦 𝑥 𝑦 (𝑥 𝑎) 1
(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137) (cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:93) =1(cid:93)
(𝑚,𝑛) 𝑚+𝑎
=0
= +1
(cid:315)(cid:47)(cid:55)(cid:243)(cid:178)(cid:52)(cid:69)(cid:46)(cid:99)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:93)(cid:197) (cid:93)(cid:83)(cid:225) = (cid:93)
=ln +
𝑛=2
𝑛 𝑚
𝑚 −1
𝑛 (𝑚 𝑎)
(cid:197) = +1(cid:99) =ln +2)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:354)(cid:178)(cid:229)(cid:69)(cid:46)(cid:99)(cid:45)(cid:46)(cid:243)(cid:178)𝑎(cid:387)(cid:380)(cid:66)(cid:388)(cid:65)(cid:183)(cid:103)(cid:389)(cid:93)
=𝑦 𝑥 (cid:99) =𝑦ln (cid:390)((cid:135)𝑥(cid:391)(cid:392)(cid:209)(cid:47)(cid:393)(cid:394)(cid:93)(cid:197) = (cid:178)(cid:93) =0(cid:93)
𝑦(cid:395)(cid:53)𝑥(cid:270)−(cid:210)1 (cid:93)𝑦 =2𝑥(cid:334) =0. 𝑏 −1 𝑎
(cid:236)(cid:20)(cid:10)A. 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:186)(cid:98)8-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:271)(cid:330)(cid:336)(cid:90)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:284)(cid:45)(cid:46) = >1)(cid:60)(cid:45)(cid:46) =log >1)(cid:61)(cid:279)(cid:359)(cid:61)(cid:54)(cid:183)
𝑥
(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:93)(cid:279)(cid:52)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:209)(cid:243)(cid:93)(cid:101)(cid:360)(cid:13) (cid:31)(cid:71)𝑓(cid:137)(𝑥(cid:37)) (cid:40)𝑎 (𝑎 𝑔(𝑥) 𝑎𝑥(𝑎
𝑎 1
A(cid:266)e B(cid:266)e2 C(cid:266)ee D(cid:266) e
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)
(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:225)(cid:202)(cid:35)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:78)(cid:43)(cid:197)(cid:134).
1
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:396)(cid:225) =ln , ( )= >1),(cid:226)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:137)( , ),
ln 0 0
𝑥
𝑓
′
(𝑥) 𝑎⋅ 𝑎 𝑔
′
𝑥 𝑥 ln 𝑎(𝑎 𝑥 𝑦
(cid:101)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:134)(cid:225) ln 𝑥
0=
0
lo
=
g
1 0 ,(cid:197) ln 𝑥
0=
0= ln 𝑥
0
1 ln 1 = 0 ln 0
𝑎
𝑥
𝑎𝑥0 ln 𝑎
𝑥
𝑎0 ln
⇒ 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑥
𝑎⋅𝑎 𝑥 𝑎 𝑎⋅𝑎 𝑥 𝑎
1 1
(cid:279)ln 0=
ln 0
0=
(ln )2
=(
0
ln
0
)2 0=
0
(ln
0
)2
0
𝑥 𝑥 𝑥
𝑎⋅𝑎 𝑥 𝑎⇒𝑥 ⋅𝑎 𝑎1 𝑥 ⋅ 𝑥 ⇒𝑎 𝑥 ⋅ 𝑥
ln =2ln(ln )+ln =
0 0 0 ln
0
⇒𝑥 ⋅ 𝑎 𝑥 𝑥
(cid:267)ln = ,(cid:101)(cid:53)(cid:98)(cid:134)(cid:16)(cid:137):2ln +
𝑥1
=0
0
𝑥 𝑡 𝑡 𝑡−𝑡
(cid:194) ( )=2ln + 1 (cid:93)(cid:101) ( )= ( 1)2 0(cid:397)(cid:157)(cid:317)(cid:93)(cid:197) ( )=2ln + 1 (cid:52)(0,+ )(cid:53)(cid:103)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:93)(cid:300) (1)=0(cid:93)
2
′
𝑡+
ℎ 𝑡 𝑡 𝑡−𝑡 ℎ 𝑡 𝑡 ≥ =e ℎ 𝑡 𝑡 𝑡−𝑡 ∞ ℎ
1 0
(cid:236)(cid:237)(cid:238)2ln + =0(cid:31)(cid:268)(cid:359)(cid:61) =1(cid:93)(cid:197) 1.
=ee
𝑥
𝑡 𝑡−𝑡 𝑡
𝑎(cid:236)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:186)(cid:98)8-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=ln (cid:60) ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:3)(cid:182)(cid:69)(cid:46) = (cid:181)(cid:192)(cid:93)(cid:69)(cid:46) (cid:60) ( ) ( )
=e +1 (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:312)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137)(cid:37) (cid:40)𝑓 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥 𝑙 𝑔 𝑥 ,ℎ 𝑥
𝑥
−1 𝑙
A(cid:266) B(cid:266) C(cid:266) D(cid:266)
6 4 3 4
𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269) ( )=ln (cid:60) ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:3)(cid:182)(cid:69)(cid:46) = (cid:181)(cid:192)(cid:93)(cid:225)(cid:175) ( )=e (cid:93)(cid:226)(cid:69)(cid:46) (cid:60)(cid:41)(cid:13) ( )=e (cid:31)
𝑥 𝑥
(cid:91)(cid:92)(cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137)𝑓( 1 𝑥,e 1)(cid:93)(cid:60)𝑥 (cid:41)𝑔(cid:13)𝑥 ( )=e +1 (cid:31)(cid:91)𝑦(cid:92)(cid:31)𝑥 (cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137)𝑔(𝑥 2 ,e 2 +1 )(cid:93)(cid:173)(cid:48)𝑙(cid:49)(cid:209)(cid:89)𝑔(cid:225)𝑥(cid:175) 1 = 2
𝑥 𝑥 𝑥
+1(cid:93)(cid:168)(cid:169)(cid:161)(cid:162)(cid:27)(cid:48)𝑥(cid:49)(cid:99)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:31)(cid:3)ℎ(cid:196)𝑥(cid:44)(cid:83). −1 𝑥 −1 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:83)(cid:10)(cid:280)(cid:137)(cid:41)(cid:13) ( )=ln (cid:60) ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:3)(cid:182)(cid:69)(cid:46) = (cid:181)(cid:192)(cid:93)
(cid:270)(cid:127) ( )=ln (cid:60) ( )(cid:374)(cid:137)(cid:382)𝑓(cid:41)𝑥(cid:13)(cid:93)(cid:270)𝑥(cid:127)𝑔(𝑥)=e (cid:93) 𝑦 𝑥
𝑥
(cid:101) (𝑓)𝑥=e (cid:266)𝑥(cid:173)𝑔(𝑥)=e +1 (cid:93)(cid:225) ( )𝑔=𝑥e +1(cid:93)
′ 𝑥 𝑥 ′ 𝑥
(cid:226)𝑔(cid:69)(cid:46)𝑥 (cid:60)(cid:41)(cid:13) (ℎ)𝑥=e (cid:31)(cid:91)−(cid:92)1(cid:31)(cid:47)(cid:55)ℎ(cid:222)𝑥(cid:106)(cid:137)(
1
,e 1)(cid:93)
𝑥 𝑥
(cid:60)(cid:41)(cid:13)𝑙( )=e𝑔+𝑥1 (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:31)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137)( 2 ,𝑥e 2 +1 )(cid:93)
𝑥 𝑥
(cid:101)(cid:69)(cid:46)ℎ(cid:31)𝑥(cid:48)(cid:49) =−e11=e 2 +1(cid:93)(cid:236) 1 = 2 +𝑥1(cid:93) −1
𝑥 𝑥
(cid:398)(cid:168) 𝑙 (cid:93)(cid:236) 𝑘 = e 2+1 e 1= 𝑥 =1 𝑥 (cid:93)
1 2 𝑥 2 1 𝑥
−1− −1
𝑥 ≠𝑥 𝑘 𝑥 −𝑥 −1
(cid:270)(cid:127)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137) (cid:93)
4
π
𝑙
(cid:236)(cid:20)(cid:10)B(cid:266)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:70)(cid:71)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
1 2tan tan2
(cid:22)(cid:259)9(cid:28)(cid:37)2024·(cid:212)(cid:363)(cid:399)(cid:338)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= + 1 t 𝜔 a 2 𝑥 n − 2 𝜔 2 𝑥 𝜔 2 𝑥( >0)(cid:93)(cid:284) 0 π 4 , π 3 (cid:250)(cid:225) ( )(cid:31)(cid:91)
(cid:92)(cid:52)(cid:55)( ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:60) (cid:340)(cid:66)(cid:67)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:70) 𝑓 (cid:286)𝑥(cid:71)(cid:112)(cid:37) + (cid:40) 𝜔 ∃𝑥 ∈ − 𝑓 𝑥
0 0
𝑥 ,𝑓 𝑥 3 𝑥 𝜔 3
A(cid:266)2 B(cid:266) C(cid:266)1 D(cid:266)
2 4
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:255)(cid:162)(cid:27)(cid:120)(cid:51)(cid:397)(cid:89)(cid:186)(cid:179)(cid:7)(cid:98)(cid:16)(cid:102)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:21)(cid:74)(cid:225)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52) , (cid:53)(cid:278)(cid:52)(cid:181)(cid:192)(cid:340)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:287)(cid:400)
4 3
π π
(cid:214)(cid:179)(cid:232)(cid:227)(cid:89)(cid:98)(cid:93)(cid:83)(cid:227)(cid:89)(cid:98)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:202)(cid:70)(cid:71). 𝑓 𝑥 −
1 2tan tan2 2tan tan2 2sin cos cos2 sin2
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28) ( )= 𝜔 2 𝑥 𝜔 2 𝑥 = 𝜔 2 𝑥 + 𝜔 2 𝑥 = 𝜔 2 𝑥 𝜔 2 𝑥 + 𝜔 2 𝑥 𝜔 2 𝑥 =sin +cos = 2
1 tan2 1 tan2 1 tan2 cos2 sin2 cos2 sin2
+ −2 2 1− 2 2 2 2 − 2
𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥
𝑓 𝑥 + + + + + 𝜔𝑥 𝜔𝑥
sin + (cid:93)
4
π
𝜔𝑥
(cid:280)(cid:137) , (cid:250)(cid:225) ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:52)(cid:55)( ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:60) (cid:340)(cid:66)(cid:67)(cid:93)
0 0 0
4 3
π π
∃𝑥 ∈ − 𝑓 𝑥 𝑥 ,𝑓 𝑥 𝑥
(cid:270)(cid:127)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52) , (cid:53)(cid:278)(cid:52)(cid:70)(cid:71)(cid:93)(cid:197)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52) , (cid:53)(cid:278)(cid:52)(cid:181)(cid:192)(cid:340)(cid:93)
4 3 4 3
π π π π
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 −(cid:267) + = + (cid:93)(cid:225) = + (cid:93)
4 2
π π 𝑘π π
𝜔𝑥 𝑘π ,𝑘∈𝑍 𝑥 𝜔 4𝜔,𝑘∈𝑍
(cid:280)(cid:137) (cid:93)(cid:270)(cid:127) + (cid:93)
4 3 4 3
π π π 𝑘π π π
1
− ≤𝑥≤
1 1
− ≤ 𝜔 +4𝜔3≤
(cid:197) + (cid:93)(cid:101) 4 (cid:93)
4 3
𝑘
𝜔≥3𝑘
− ≤𝜔 4𝜔≤ ,𝑘∈𝑍
3
(cid:315) >0(cid:93)(cid:236) =0(cid:178)(cid:93) 𝜔(cid:331)≥(cid:70)−(cid:286)4𝑘(cid:71)−(cid:137)1 .
4
𝜔 𝑘 𝜔
(cid:236)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:186)(cid:98)9-1(cid:28)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:53)·(cid:367)(cid:368)·(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) = (cid:60) =ln +1(cid:278)(cid:52)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:360)(cid:13)a(cid:31)
𝑥
(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:37) (cid:40) 𝑓(𝑥) 𝑎𝑒 𝑔(𝑥) 𝑥
2 1 1 1
A(cid:266) B(cid:266) C(cid:266) D(cid:266)
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)𝑒(cid:242)(cid:28)(cid:80)(cid:207)(cid:44)(cid:202)(cid:41)(cid:13)𝑒 (cid:60) (cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:226)2𝑒(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:201)(cid:202)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)3𝑒(cid:162)(cid:27)(cid:181)(cid:36)(cid:196)(cid:13)(cid:209)(cid:89)(cid:232)(cid:202)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:203)(cid:293)
(cid:41)(cid:13) = ln (cid:93)(cid:162)𝑓(cid:27)(𝑥(cid:30)) (cid:13)𝑔(cid:258)(𝑥(cid:405)) (cid:202)(cid:103)(cid:355)(cid:297)(cid:44)(cid:202)(cid:70)(cid:71)(cid:93)(cid:134)(cid:225)(cid:360)(cid:13)a(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:266)
ℎ(𝑥) (𝑥−1) 𝑥−1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28) = (cid:93) =
𝑥
′ ′
(cid:226) = (cid:99) 𝑓(𝑥) = 𝑎 l 𝑒 n + 𝑔 1 ( (cid:31) 𝑥) (cid:47)(cid:55)𝑥(cid:80)(cid:207)(cid:137)( ) ln +1)(cid:93)(cid:101) (cid:99) (cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:80)(cid:207)(cid:137) =
𝑥 𝑚 𝑚
𝑓(𝑥) 𝑎𝑒 𝑔(𝑥) 𝑥1 𝑚,𝑎𝑒 ,(𝑛, 𝑛 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑦−𝑎𝑒 𝑎
ln +1)= (cid:93)
𝑚
𝑒 (𝑥−𝑚),𝑦−( 𝑛 𝑛(𝑥−𝑛) 1 = 1
(cid:197) = + + = +ln (cid:60) (cid:278)(cid:52)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:56)(cid:57) (cid:61)(cid:83)(cid:93)(cid:197)ln
+ 𝑚 =ln
𝑚 𝑚 𝑎𝑒 𝑛
=
𝑦 𝑎𝑒
l
𝑥
n
(−𝑚 1
=
)𝑎𝑒 ,𝑦
ln
𝑛𝑥
(cid:93)
𝑛,𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑚
(−𝑚 1)𝑎𝑒 𝑛
𝑎 (𝑛−1) 𝑛1−1,ℎ(𝑥) (𝑥−1) 𝑥−1
=ln + (cid:52)(0,1)(cid:53)(cid:356)(cid:302)(cid:93)(cid:52)(1,+ (cid:356)(cid:357)(cid:93) (cid:52) =1(cid:220)(cid:331)(cid:175)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:93) ln (cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137) (cid:93)
′
ℎ(𝑥) 𝑥−𝑥 1,ℎ(𝑥) ∞) ℎ(𝑥) 𝑥 ∴ 𝑎 −1
1
(cid:197)a(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137) (cid:266)
(cid:236)(cid:20)(cid:10)B(cid:266) 𝑒
(cid:22)(cid:186)(cid:98)9-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:52)(cid:66)(cid:406)(cid:69)(cid:51)(cid:222)(cid:106)(cid:196) (cid:139)(cid:93)(cid:226)(cid:45)(cid:46) = ( >1)(cid:52) =0(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:137) (cid:93)
e
𝑥+𝑎
𝑥
(cid:101) (cid:60)(cid:65)(cid:64)(cid:222)(cid:106)(cid:340)(cid:270)(cid:324)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131)(cid:406)(cid:159)(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑥𝑂𝑦 𝑦 𝑎 𝑥 𝑙
𝑙 3 5
A(cid:266)1 B(cid:266) C(cid:266)2 D(cid:266)
2 2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:202)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:44)(cid:202)(cid:69)(cid:46) (cid:60)(cid:65)(cid:222)(cid:106)(cid:340)(cid:31)(cid:358)(cid:55)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:86)(cid:87)(cid:227)(cid:89)(cid:98)(cid:134)(cid:44)(cid:225) (cid:60)(cid:65)(cid:64)(cid:222)
(cid:106)(cid:340)(cid:270)(cid:324)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131)(cid:406)(cid:159)(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71).𝑙 𝑙 𝑙
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:181) = (cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:225) = (cid:93)(cid:165) =0(cid:178)(cid:93) = (cid:93) = (cid:93)
e e
𝑥+𝑎 1−𝑎−𝑥
𝑥 ′ 𝑥 ′
𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 1−𝑎 𝑦 𝑎(cid:270)(cid:127)(cid:45)(cid:46) = ( >1)(cid:52) =0(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:137) =( ) (cid:266)
e
𝑎+𝑥
𝑥
𝑦 𝑎 𝑥 𝑙 𝑦−𝑎 1−𝑎 𝑥
(cid:52)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:139)(cid:93)(cid:267) =0(cid:93)(cid:134)(cid:225) = (cid:205)(cid:267) =0(cid:93)(cid:134)(cid:225) = .
𝑎
𝑙 𝑥 𝑦 𝑎 𝑦 𝑥 𝑎−1
(cid:236) (cid:60)(cid:65)(cid:64)(cid:222)(cid:106)(cid:340)(cid:31)(cid:358)(cid:55)(cid:80)(cid:207)(cid:137) ,0 (cid:58) ( )(cid:93)
𝑎
(cid:270) 𝑙 (cid:127) (cid:60)(cid:65)(cid:222)(cid:106)(cid:340)(cid:270)(cid:324)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131) 𝐴 (cid:137)𝑎−1 (cid:93) 𝐵 0,𝑎
(cid:35)(cid:406) 𝑙 (cid:159) = 1 2 1 = 1 ( )+ △1 𝑂 + 𝐴 2 𝐵 1 2 ( ) 1 +2 =2(cid:93)
2 2 2
𝑎 −1+
𝑆 ⋅ 𝑎−1 1 𝑎−1 𝑎−1 ≥ 𝑎−1 ⋅𝑎−1
(cid:165)(cid:279)(cid:407)(cid:165) = ( >1)(cid:178)(cid:93)(cid:197)(cid:165) =2(cid:178)(cid:331)(cid:89)(cid:9)(cid:93)
(cid:270)(cid:127)(cid:93) (cid:60) 𝑎 (cid:65) −1 (cid:64)(cid:222)𝑎(cid:106)−1(cid:340)𝑎(cid:270)(cid:324)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131)(cid:406) 𝑎 (cid:159)(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137)2.
(cid:236)(cid:20)(cid:10)𝑙C(cid:266)
(cid:22)(cid:186)(cid:98)9-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:372)(cid:271)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) =ln(e )(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101) + (cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
1 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 𝑥 𝑎 𝑏
A(cid:266) B(cid:266)1 C(cid:266) 2 D(cid:266) 3
2
1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , )(cid:93)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:30)(cid:225)(cid:175)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49) = (cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:209)(cid:89)(cid:44)(cid:225)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:93)(cid:214)(cid:230)(cid:69)(cid:46)(cid:56)(cid:57)
0 0
0
𝑥 𝑦 𝑘 𝑥
1
(cid:169)(cid:225) + = +ln (cid:93)(cid:203)(cid:293)(cid:23)(cid:31)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:36)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:70)(cid:71)(cid:197)(cid:134).
0
0
∴𝑎 𝑏 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173) =ln(e )(cid:93)(cid:148)(cid:32)(cid:33)(cid:311)(cid:137)(0,+ )(cid:93)
𝑦 𝑥 1 ∞1 1
(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , )=( ,ln(e ))(cid:93) =e = (cid:93) = (cid:93)
0 0 0 0 e 0
′
1 𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑥 1 𝑓( e 𝑥) ⋅ 𝑥 𝑥 ∴𝑘 𝑥
(cid:270)(cid:127) = = (cid:93)(cid:236)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( ,ln )(cid:93)(cid:214)(cid:230)(cid:69)(cid:46)(cid:56)(cid:57) = + (cid:93)
0
0
𝑥 𝑎,∴𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 𝑦 𝑎𝑥 𝑏
e 1
(cid:101)ln = + =1+ = ln (cid:93)
𝑎 𝑎⋅𝑎 𝑏 𝑏,∴𝑏 − 𝑎
1 1 1 1
+ = ln = ln = ln( ) = +ln (cid:93)
0 0
0 0 0 0
−1
∴𝑎 𝑏 𝑎− 𝑎 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥
1 1 1
(cid:267) = +ln (cid:93) = + = (cid:93)
2 2
𝑥−1
′
𝑔(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) −𝑥 𝑥 𝑥
(cid:267) =0(cid:93)(cid:83)(cid:225) =1(cid:93)
′
(cid:165)𝑔0<(𝑥) <1(cid:178)(cid:93) 𝑥 <0(cid:93) (cid:103)(cid:355)(cid:356)(cid:302)(cid:93)
′
(cid:165) >1𝑥(cid:178)(cid:93) 𝑔>(𝑥0)(cid:93) 𝑔(cid:103)(𝑥(cid:355))(cid:356)(cid:357)(cid:93)
′
(cid:101)𝑥 =𝑔(𝑥)=1(cid:93)𝑔(𝑥)
min
(cid:236)𝑔(+𝑥) (cid:31)(cid:70)(cid:286)𝑔((cid:71)1)(cid:137)1.
(cid:236)𝑎(cid:20)(cid:10)𝑏B.(cid:54)(cid:58)(cid:103)(cid:20)(cid:21)
1(cid:266)(cid:37)2024·(cid:408)(cid:326)(cid:409)(cid:338)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) = 2+ 1 (cid:93)(cid:101)lim =(cid:37) (cid:40)
2
𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 Δ𝑥
1 Δ𝑥→0
A(cid:266)1 B(cid:266) C(cid:266)2 D(cid:266)4
2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:44)(cid:30)(cid:7)(cid:98)(cid:99)(cid:42)(cid:43)(cid:100)(cid:101)(cid:134)(cid:225) (1)=1(cid:93)(cid:211)(cid:39)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:83).
′
1 𝑓
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:148)(cid:93) = (cid:93)(cid:101) (1)=1.
2
′ ′
1 𝑓(𝑥) 2𝑥−𝑥 1𝑓 1
(cid:270)(cid:127)lim = lim = (1)= .
2 2 2 2
𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1) 𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)
′
Δ𝑥 Δ𝑥 𝑓
(cid:236)(cid:20)Δ(cid:10)𝑥→B0. Δ𝑥→0
2(cid:266)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)(cid:224)·(cid:290)(cid:294)·(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:40)(cid:284)lim = (cid:93)(cid:101) ( )=(cid:37) (cid:40)
𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2−Δ𝑥)
′
Δ𝑥 −2 𝑓 −2
A(cid:266)1 B(cid:266)-1 Δ𝑥→0 C(cid:266)2 D(cid:266)-2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:127)(cid:34)(cid:410)(cid:202)(cid:31)(cid:411)(cid:412)(cid:71)(cid:134)(cid:225)(cid:138)(cid:289).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)lim = lim
𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2−Δ𝑥) 𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2)+[𝑓(−2)−𝑓(−2−Δ𝑥)]
Δ𝑥 Δ𝑥
Δ𝑥→0 Δ𝑥→0
= lim + lim =2 = (cid:93)
𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2) 𝑓(−2)−𝑓(−2−Δ𝑥)
′
Δ𝑥 Δ𝑥 𝑓(−2) −2
(cid:270)(cid:127)Δ𝑥→0 ( )= . Δ𝑥→0
′
(cid:236)(cid:20)𝑓(cid:10)B−.2 −1
3(cid:266)(cid:37)2024·(cid:318)(cid:319)(cid:413)(cid:276)·(cid:120)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=ln + ( )(cid:112)(cid:41)(cid:13) ( +1)(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:101) (0)=(cid:37) (cid:40)
A(cid:266)1 B(cid:266)2 𝑓 𝑥 C𝑥(cid:266)3𝑥,𝑔 𝑥 𝑓 2𝑥D(cid:266)4 𝑔
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:78)(cid:43) ( +1)=ln +1)+ +1(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:225)(cid:175) (cid:93)(cid:214)(cid:71)(cid:197)(cid:134).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:280)(cid:137)𝑓(2)𝑥=ln + (2𝑥>0)(cid:93) 2𝑥 𝑔(𝑥)
(cid:270)(cid:127) ( +1)=ln𝑓 𝑥 +1)𝑥+ 𝑥(+𝑥1(cid:93)
𝑓 2𝑥 2 (2𝑥 2𝑥
(cid:197) ( +1)= +2(cid:93)
1
′
𝑓 2𝑥 2𝑥+
2
(cid:270)(cid:127) = +2(cid:93)
1
(cid:270)(cid:127) 𝑔(𝑥) = 2 4 𝑥 . +
(cid:236)(cid:20)(cid:10)𝑔(D0).
4(cid:266)(cid:37)2024·(cid:53)(cid:414)(cid:415)(cid:67)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:219)(cid:416)(cid:391)(cid:417)(cid:321)(cid:75)(cid:44)(cid:209)(cid:3)(cid:418)(cid:419)(cid:420)(cid:421)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:93)(cid:425)(cid:426)(cid:427)(cid:428)(cid:106)(cid:31)(cid:418)(cid:419)(cid:75)(cid:412)(cid:277)(cid:287)(cid:429)(cid:58)(cid:226)(cid:418)( ) ( )
(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:425)(cid:426)(cid:187) (cid:60)(cid:178)(cid:195)t(cid:31)(cid:3)(cid:196)(cid:137) = ( )(cid:93)(cid:27) (cid:31)(cid:285)(cid:286)(cid:430)(cid:431)(cid:52)[ ](cid:193)(cid:402)(cid:178)(cid:195)(cid:114)(cid:418)(cid:419)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
(cid:432)(cid:31)(cid:421)(cid:433)(cid:93)(cid:221)(cid:148)(cid:287) 𝑊 (cid:429)(cid:277)(cid:114)(cid:93)(cid:111)(cid:58)(cid:434)(cid:65) 𝑊 (cid:418)(cid:419) 𝑓 (cid:31)𝑡(cid:422)(cid:423)(cid:425) − (cid:426)(cid:187)(cid:60) 𝑏− (cid:178) 𝑎 (cid:195)(cid:31)(cid:3)(cid:196)(cid:184)(cid:224)(cid:91)𝑎(cid:270),𝑏(cid:189).(cid:101)(cid:224)(cid:232)(cid:288)(cid:153)(cid:31)(cid:435)(cid:21)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
A(cid:266)(cid:52)[ , ](cid:193)(cid:402)(cid:178)(cid:195)(cid:114)(cid:93)(cid:111)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)(cid:432)(cid:247)(cid:434)(cid:418)(cid:419)(cid:433)(cid:205)
1 2
B(cid:266)(cid:52) 𝑡(cid:178)𝑡(cid:436)(cid:93)(cid:111)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)(cid:432)(cid:247)(cid:434)(cid:418)(cid:419)(cid:433)(cid:205)
2
C(cid:266)(cid:52)𝑡 (cid:178)(cid:436)(cid:93)(cid:111)(cid:58)(cid:434)(cid:65)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:425)(cid:426)(cid:366)(cid:227)(cid:428)(cid:106)(cid:205)
3
D(cid:266)(cid:111)𝑡(cid:418)(cid:419)(cid:52)[0, ](cid:93)[ , ](cid:93)[ , ](cid:193)(cid:120)(cid:402)(cid:178)(cid:195)(cid:139)(cid:93)(cid:52)[ , ](cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)(cid:432)(cid:70)(cid:421)
1 1 2 2 3 1 2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:21)𝑡 (cid:437)(cid:139)𝑡(cid:31)𝑡(cid:13)(cid:11)(cid:262)𝑡(cid:29)𝑡(cid:319)(cid:317)(cid:3)(cid:196)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:111)(cid:434)𝑡(cid:418)𝑡(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)(cid:432).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:226)(cid:111)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:425)(cid:426)(cid:187) (cid:60)(cid:178)(cid:195)t(cid:31)(cid:3)(cid:196)(cid:137) = ( )(cid:93)(cid:434)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:425)(cid:426)(cid:187) (cid:60)(cid:178)(cid:195)t(cid:31)(cid:3)(cid:196)
(cid:137) = ( ). 𝑊 𝑊 ℎ 𝑡 𝑊
(cid:181) 𝑊 (cid:182)A 𝑔 (cid:20) 𝑡 (cid:377)(cid:93)(cid:52)[ , ](cid:193)(cid:402)(cid:178)(cid:195)(cid:114)(cid:93)(cid:111)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)(cid:432) = ( 2 ) ( 1 ) (cid:93)
1 2
ℎ 𝑡 2−ℎ1𝑡
𝑡 𝑡 ( ) ( ) ℎ(𝑡) − 𝑡 −𝑡
(cid:434)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)(cid:432) = 2 1 .(cid:173)(cid:91)(cid:134)(cid:148)(cid:93) ( ) ( )> ( ) ( )(cid:93)
1 2 1 2
𝑔 𝑡 2−𝑔1𝑡
(cid:270)(cid:127) > ,(cid:197)(cid:111)(cid:418) 𝑔 (cid:419) (𝑡 (cid:31) ) (cid:422) − (cid:423)(cid:424) 𝑡 (cid:15) − (cid:96) 𝑡 (cid:432)(cid:247)(cid:434)(cid:418)(cid:419)(cid:421)(cid:93) ℎ 𝑡(cid:236) − A ℎ (cid:20)𝑡(cid:377)(cid:438)(cid:439) 𝑔 (cid:205)𝑡 −𝑔 𝑡
(cid:181)(cid:182)ℎB(𝑡(cid:20)) (cid:377)𝑔(cid:93)(𝑡(cid:173)) (cid:91)(cid:134)(cid:148)(cid:93) (cid:52) (cid:178)(cid:436)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:286)(cid:182) (cid:52) (cid:178)(cid:436)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:93)
2 2
(cid:440)(cid:65)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:312)(cid:137)(cid:441)(cid:71)(cid:93)(cid:236)ℎ(cid:52)(𝑡) (cid:178)𝑡(cid:436)(cid:111)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)𝑔(cid:432)(𝑡)(cid:247)(cid:434)𝑡 (cid:418)(cid:419)(cid:421)(cid:93)(cid:236)B(cid:20)(cid:377)(cid:438)(cid:439)(cid:205)
2
(cid:181)(cid:182)C(cid:20)(cid:377)(cid:93)(cid:52) (cid:178)(cid:436)(cid:93)(cid:111)(cid:58)𝑡(cid:434)(cid:65)(cid:418)(cid:419)(cid:31)(cid:422)(cid:423)(cid:425)(cid:426)(cid:366)(cid:286)(cid:182)(cid:422)(cid:423)(cid:428)(cid:106)(cid:425)(cid:426)(cid:187)(cid:93)
3
(cid:236)(cid:111)(cid:58)(cid:434)(cid:65)(cid:418)(cid:419)(cid:31)𝑡 (cid:422)(cid:423)(cid:425)(cid:426)(cid:366)(cid:428)(cid:106)(cid:93)(cid:236)C(cid:20)(cid:377)(cid:438)(cid:439)(cid:205)
(cid:181)(cid:182)D(cid:20)(cid:377)(cid:93)(cid:173)(cid:91)(cid:134)(cid:148)(cid:93)(cid:111)(cid:418)(cid:419)(cid:52)[0, ](cid:93)[ , ](cid:93)[ , ](cid:193)(cid:120)(cid:402)(cid:178)(cid:195)(cid:139)(cid:93)
1 1 2 2 3
(cid:52)[ , ](cid:178) )(cid:31)(cid:158)(cid:71)(cid:70)(cid:285)(cid:93)(cid:270)𝑡(cid:127)(cid:52)[𝑡 𝑡, ](cid:178)(cid:31)𝑡 (cid:422)𝑡 (cid:423)(cid:424)(cid:15)(cid:96)(cid:432)(cid:70)(cid:421)(cid:93)(cid:236)D(cid:20)(cid:377)(cid:288)(cid:153)(cid:93)
1 2 1 2 1 2
(cid:236)(cid:20)𝑡(cid:10)𝑡D. ℎ(𝑡 )−ℎ(𝑡 𝑡 𝑡
3
5(cid:266)(cid:37)2024·(cid:325)(cid:336)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:45)(cid:46) = (cid:52)(cid:55)( )(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
3
𝑥
A(cid:266) + +4=0 𝑦 −2 B −(cid:266)1,𝑎 + =0
C(cid:266)3𝑥 3𝑦+4=0 D(cid:266) =0 3𝑥 3𝑦−4
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)3𝑥(cid:242)−3(cid:28)𝑦(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)3(cid:95)𝑥−(cid:74)3(cid:33)𝑦−(cid:93)4(cid:44)(cid:47)(cid:55)(cid:99)(cid:48)(cid:49)(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57).(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28) = 3 = 7 (cid:93)(cid:236)(cid:47)(cid:55)(cid:137) 7 (cid:93) = 2(cid:93) | =1(cid:93)(cid:197)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)1(cid:93)
3 3 3 =
(−1)
′ ′
𝑎 −2 − −1,− 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 −1
(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) 7 = +1(cid:93)(cid:197) =0.
3
(cid:236)(cid:20)(cid:10)D. 𝑦− − 𝑥 3𝑥−3𝑦−4
6(cid:266)(cid:37)2024·(cid:290)(cid:272)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=( ) 3+( ) 2+( ) + (cid:284)(cid:181)(cid:333)(cid:74) R(cid:93)(cid:45)(cid:46) = ( )
0
(cid:52)(cid:55)( ( ))(cid:99)( ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)𝑓(cid:46)𝑥(cid:374)(cid:209)(cid:66)𝑎−(cid:67)3(cid:334)𝑥(cid:260)(cid:39)(cid:93)𝑎−(cid:101)2(cid:360)𝑥(cid:13) =𝑎−(cid:37)1 𝑥 (cid:40)𝑎 𝑥 ∈ 𝑦 𝑓 𝑥
0 0 0 0
A(cid:266)𝑥0,𝑓 𝑥 −𝑥 ,𝑓B(cid:266)−𝑥1 C(cid:266)2 𝑎 D(cid:266)3
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:44)(cid:225) ( )=3( ) 2+2( ) + (cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:21)(cid:74)(cid:241)(cid:16)(cid:137) = ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:83).
′ ′
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173)(cid:41)𝑓(cid:13)𝑥( )=(𝑎−3)𝑥3+(𝑎−2)𝑥2+𝑎(−1 ) + (cid:93) 𝑦 𝑓 𝑥
(cid:134)(cid:225) ( )=3( ) 𝑓2+𝑥2( 𝑎−)3+𝑥 (cid:93)𝑎−2 𝑥 𝑎−1 𝑥 𝑎
′
(cid:280)(cid:137)𝑓(cid:45)(cid:46)𝑥 = 𝑎(−)3(cid:52)𝑥(cid:55)( 𝑎(−2))𝑥(cid:99)(𝑎−1 ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:374)(cid:209)(cid:66)(cid:67)(cid:334)(cid:260)(cid:39)(cid:93)
0 0 0 0
(cid:134)(cid:225) = 𝑦( )𝑓(cid:137)𝑥(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)𝑥(cid:270),𝑓(cid:127)𝑥 =−0𝑥(cid:93),𝑓(cid:83)−(cid:225)𝑥 =2.
′
(cid:236)(cid:20)𝑦(cid:10)C.𝑓 𝑥 𝑎−2 𝑎
1
7(cid:266)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:284)(cid:59)(cid:55)( )(cid:134)(cid:136)(cid:41)(cid:13) = + ( >0)(cid:91)(cid:92)(cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:113)(cid:61)(cid:37) (cid:40)
𝑚,𝑛 𝑦 2𝑥 𝑥 𝑥
1
A(cid:266)0< + < B(cid:266)0< <
2𝑚 𝑚 𝑛 𝑛 2𝑚
1
C(cid:266) < < + D(cid:266) <
2𝑚 𝑛 2𝑚 𝑚 𝑛 2𝑚
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137) + 1 (cid:93) >0(cid:93)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:134)(cid:225)( ) 2+ =0(cid:61)(cid:65)(cid:183)(cid:288)
(cid:268)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:258)(cid:207)(cid:98)(cid:34)(cid:268)(cid:60)(cid:196)𝑎,(cid:13)2𝑎(cid:3)(cid:196)𝑎(cid:232)(cid:227) 𝑎 (cid:89)(cid:98)(cid:134)(cid:225)(cid:83). 2𝑚−𝑛 𝑎 2𝑎−𝑚
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137) + 1 (cid:93) >0(cid:93)
1 𝑎,2𝑎 𝑎 1 𝑎
(cid:315) = (cid:93)(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49) = (cid:93)
2 2
′
𝑦 2−𝑥 𝑘 2−𝑎
(cid:270)(cid:127)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) + 1 = 1 ( )(cid:93)
2
(cid:315)(cid:47)(cid:46)(cid:59)(cid:55)( 𝑦 )(cid:93) − 2𝑎 𝑎 2−𝑎 𝑥−𝑎
(cid:101) + 1𝑚 = ,𝑛 1 ( )(cid:93) >0(cid:93)
2
(cid:197) 𝑛 ( − 2𝑎 ) 𝑎2+ 2−𝑎=0 𝑚(cid:93)−𝑎 𝑎
(cid:173)(cid:59)2𝑚(cid:55)−(𝑛 𝑎)(cid:134)(cid:136)2𝑎(cid:65)−𝑚(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)
(cid:270)(cid:127)( 𝑚,𝑛) 2+ =0(cid:61)(cid:65)(cid:183)(cid:288)(cid:268)(cid:93)
2𝑚−𝑛 𝑎 2𝑎−𝑚0
=22 ( ) ( )>0
1
(cid:197) 2𝑚−2𝑛≠>0 (cid:93)(cid:287)(cid:15)(cid:134)(cid:225) < < + (cid:93)
Δ −4 2𝑚−𝑛 ⋅ −𝑚
>0
−2𝑚−𝑛 2𝑚 𝑛 2𝑚 𝑚
𝑚
(cid:236)(cid:20)(cid:10)C. −2𝑚−𝑛
8(cid:266)(cid:37)2024·(cid:385)(cid:365)(cid:385)(cid:338)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:284)(cid:181)(cid:41)(cid:13) ( )= sin (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:333)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:93)(cid:41)(cid:13) ( )= +( )
1
𝑥
(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:442)(cid:278)(cid:52)(cid:54)(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:93)(cid:250)𝑓(cid:225)𝑥 2𝑥(cid:93)−(cid:101) 𝑥(cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:112)(cid:37) (cid:40) 𝑙 𝑔 𝑥 𝑚𝑒 𝑚−2
2 1 2
𝑥 𝑙 𝑙 ⊥𝑙 𝑚
A(cid:266) ,0 B(cid:266) 0,
2 2
𝑒 𝑒
C(cid:266)( − ) D(cid:266)(0,1)
−1,0 1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:44)(cid:30)(cid:225)(cid:175) (cid:323)(cid:324)A(cid:93)(cid:161)(cid:80) >0(cid:93) <0(cid:93) =0(cid:120)(cid:443)(cid:79)(cid:121)(cid:444)(cid:445)(cid:225) ( )(cid:323)(cid:324)B(cid:93)(cid:70)(cid:169)(cid:268)(cid:269)(cid:64)
′ ′
(cid:223)(cid:225)A(cid:60)B(cid:446)(cid:447)(cid:3)(cid:196)(cid:93) − (cid:78) 𝑓( (cid:43) 𝑥) (cid:225)(cid:175)(cid:138)(cid:289). 𝑚 𝑚 𝑚 𝑔 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173) ( )= sin (cid:93)(cid:225) ( )= cos [1,3](cid:93)(cid:270)(cid:127) 1 1 = (cid:93)
cos 3
′
𝑓 𝑥 2𝑥− 𝑥 𝑓 𝑥 2− 𝑥∈ −2− 𝑥∈ −1,− 𝐴
(cid:173) ( )= +( ) (cid:93)(cid:225) ( )= + (cid:93)(cid:226)(cid:371)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:71)(cid:311)(cid:137)B(cid:93)
𝑥 𝑥
′
(1)𝑔(cid:165)𝑥 >𝑚0(cid:178)𝑒(cid:93)(cid:30)𝑚(cid:41)−(cid:13)2(cid:103)𝑥(cid:355)(cid:356)𝑔(cid:357)(cid:93)𝑥 (𝑚)𝑒 ( 𝑚−2+ )(cid:93)
′
𝑚 𝑔 𝑥 ∈ 𝑚−2, 1∞
(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:225) , ( ) ( )= ( )=
1 2 1 2 2 ( )
1
′ ′ ′ ′
(cid:236) < ∀𝑥 , (cid:93) ∃𝑥 (cid:83) 𝑓 (cid:225)0 𝑥 < 𝑔 𝑥<1(cid:205) −1∴𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 ∴𝐴⊆𝐵
𝑚−2 −1 𝑚 1
(2)(cid:165) <0(cid:178)(cid:93)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:103)(cid:355)(cid:356)(cid:302)(cid:93) ( ) ( )(cid:93)(cid:243)(cid:15)(cid:134)(cid:225) > (cid:93)(cid:60) <0(cid:448)(cid:449)(cid:93)(cid:341)(cid:339)(cid:205)
3
′
(cid:37)3(cid:40) 𝑚 (cid:165) =0(cid:178)(cid:93)(cid:227)(cid:450)(cid:39)(cid:21)(cid:74). 𝑔 𝑥 ∈ −∞,𝑚−2 𝑚−2 − 𝑚
(cid:395)(cid:53)(cid:270)(cid:210)𝑚(cid:10) (cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:137)(0,1).
(cid:236)(cid:20)(cid:10)D. 𝑚
(cid:206)(cid:58)(cid:451)(cid:20)(cid:21)
9(cid:266)(cid:37)2024·(cid:408)(cid:336)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:224)(cid:232)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:60)(cid:69)(cid:46) = +1(cid:209)(cid:47)(cid:31)(cid:61)(cid:37) (cid:40)
A(cid:266) =e B𝑦(cid:266) 𝑥=ln
𝑥
C(cid:266)𝑦=sin +1 D(cid:266)𝑦= 3𝑥+1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)𝑦 (cid:242)(cid:28)(cid:452)𝑥(cid:226)(cid:20)(cid:377)(cid:139)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46) = +1(cid:209)𝑦(cid:47)(cid:93)𝑥(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:44)(cid:202)(cid:181)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:112)(cid:453)(cid:137)1(cid:93)(cid:44)(cid:225)(cid:47)
(cid:55)(cid:140)(cid:67)(cid:176)(cid:54)(cid:258)(cid:405)(cid:197)(cid:134)(cid:225)(cid:202)(cid:211)(cid:445). 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:20)(cid:377)A(cid:139)(cid:93)(cid:284) =e (cid:60) = +1(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , )(cid:93)
1 1
𝑥
(cid:396)(cid:148) =e (cid:93)(cid:101)e 1=1(cid:93)(cid:83)(cid:225)𝑦
1
=0(cid:93)𝑦(cid:197)(cid:47)𝑥 (cid:55)(cid:137)(0,1)(cid:93)(cid:47)(cid:46)(cid:137) 𝑥=𝑦+1(cid:93)A(cid:288)(cid:153)(cid:205)
𝑥 𝑥
′
(cid:20)(cid:377)𝑦B(cid:139)(cid:93)(cid:284) =ln (cid:60) = +𝑥 1(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , )(cid:93) 𝑦 𝑥
2 2
𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦1 1
(cid:396)(cid:148) =(ln ) = (cid:93)(cid:101) =1(cid:93)(cid:83)(cid:225) =1(cid:93)(cid:47)(cid:55)(cid:137)(1,0)(cid:93)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) = (cid:93)(cid:197)B(cid:438)(cid:439)(cid:205)
2
2
′ ′
(cid:20)(cid:377) 𝑦 C(cid:139)(cid:93)(cid:284) 𝑥 = 𝑥 sin + 𝑥 1(cid:60) = + 𝑥 1(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)( , )(cid:93) 𝑦 𝑥−1
3 3
(cid:396)(cid:148) =cos (cid:93)𝑦(cid:101)cos𝑥 =1(cid:93)𝑦(cid:83)(cid:225)𝑥 = Z(cid:93) 𝑥 𝑦
3 3
′
(cid:165) =𝑦0(cid:178)(cid:93)(cid:47)𝑥 (cid:55)(cid:137)(0,𝑥1)(cid:93)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)𝑥(cid:137) 2=𝑘π,+𝑘∈1(cid:93)C(cid:288)(cid:153)(cid:205)
(cid:20)(cid:377)𝑘 D(cid:139)(cid:93)(cid:396)(cid:148) = 3+1(cid:60) = +1𝑦(cid:61)(cid:120)𝑥(cid:183)(cid:358)(cid:55)(cid:93)(0,1),(1,2),( )(cid:93)
(cid:315) =3 2(cid:93)(cid:398)(cid:168)𝑦(cid:52)(cid:120)𝑥(cid:183)(cid:358)(cid:55)𝑦(cid:220)(cid:31)𝑥(cid:48)(cid:49)(cid:312)(cid:227)(cid:112)1(cid:93)(cid:270)(cid:127) = +1(cid:227)−(cid:112)1,0(cid:47)(cid:46)(cid:93)D(cid:438)(cid:439).
′
(cid:236)(cid:20)𝑦 (cid:10)A𝑥C. 𝑦 𝑥
10(cid:266)(cid:37)2024·(cid:290)(cid:294)(cid:454)(cid:367)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:93) ( )(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:311)(cid:137) (cid:93) ( )(cid:137) ( )(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:279) ( )+ ( )
′ ′
=4(cid:93) ( ) ( )=4(cid:93)(cid:284) ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)𝑓 (cid:101)𝑥 (cid:37)𝑔 𝑥(cid:40) 𝑅 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
′
A(cid:266)𝑓 𝑥(4−)𝑔=43−𝑥 𝑔 𝑥 B(cid:266) (2)=0
′
C(cid:266)𝑓(1)+ (3)=8 D(cid:266)𝑔(1)= ( )
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)𝑓(cid:242)(cid:28)(cid:173)𝑓 ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:225) ( )= ( )(cid:93)𝑓(cid:65)(cid:301)(cid:44)𝑓(cid:30)−(cid:16)3(cid:102)(cid:169)(cid:134)(cid:225) ( ) (cid:137)(cid:295)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:168)(cid:169)(cid:176)(cid:183)(cid:166)(cid:71)(cid:80)(cid:81)
′
(cid:258)(cid:405)(cid:197)(cid:134). 𝑔 𝑥 𝑔 −𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:181)(cid:182)A(cid:93) (cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:101) ( )= ( )
(cid:65)(cid:301)(cid:44)(cid:30)(cid:225): ( )∵=𝑔(𝑥()), ( )= 𝑔 −(𝑥) (cid:93)𝑔 𝑥( ) (cid:137)(cid:295)(cid:41)(cid:13)(cid:93) (0)=0,
′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:267) =4(cid:93)(cid:101) −(4𝑔) −𝑥(0)=𝑔4𝑥(cid:93) ∴(4𝑔)=−𝑥4(cid:93)(cid:270)−(cid:127)𝑔A𝑥(cid:227)(cid:288)(cid:153)𝑔 𝑥 𝑔
′
𝑥 𝑓 −𝑔 +𝑓 (2)=4 =4
(cid:181)(cid:182)B(cid:93)(cid:267) =2(cid:93)(cid:134)(cid:225) (cid:93)(cid:101) , (cid:270)(cid:127)B(cid:288)(cid:153);
(2)=4 (2)=0
′
𝑓(2) 𝑔 𝑓(2)
(cid:181)(cid:182)C(cid:93) ( 𝑥 )+ ( )=4𝑓(cid:93)(2)(−2𝑔+ ′ )+ (2+ )𝑔= ′ 4
′ ′
(cid:134)(cid:225)(cid:93) (𝑓 𝑥 ) 𝑔 (𝑥2+ )=𝑓4(cid:93)(cid:65)𝑥(cid:98)(cid:209)𝑔(cid:420)(cid:31) (𝑥2+ )+ ( )=8
′
(cid:267) =1𝑓(cid:93)2(cid:197)−𝑥(cid:134)−(cid:225)𝑔(1)+𝑥(3)=8(cid:93)(cid:270)(cid:127)C(cid:288)(cid:153)𝑓; 𝑥 𝑓 2−𝑥
(cid:181)𝑥(cid:182)D(cid:93) ( )+𝑓 ( )=𝑓4(cid:93)(cid:101) ( )+ ( )= ( ) ( )=4(cid:93)
′ ′ ′
(cid:315) ( ) ∵𝑓( 𝑥 )𝑔=4𝑥(cid:93)(cid:134)(cid:225) ( 𝑓)=𝑥−4( 𝑔)(cid:93)𝑥(cid:270)−4(cid:127) 𝑓(cid:112)𝑥−(cid:127)44−(cid:137)𝑔(cid:298)4(cid:277)−(cid:31)𝑥 (cid:41)(cid:13)(cid:93)
′
(cid:270)(cid:127)𝑓 𝑥(−1)𝑔=4−𝑥 = ( )𝑓(cid:93)𝑥(cid:270)(cid:127)𝑓D(cid:288)𝑥−(cid:153)4. 𝑓(𝑥)
(cid:236)(cid:20)𝑓(cid:10)BCD.𝑓(1−4) 𝑓 −3
11(cid:266)(cid:37)2024·(cid:271)(cid:330)(cid:336)(cid:90)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:59)(cid:66)(cid:406)(cid:114)(cid:54)(cid:55)P(cid:136)(cid:45)(cid:46) =|ln |(cid:65)(cid:64)(cid:374)(cid:209)(cid:68)(cid:69)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:58) (cid:93)(cid:47)(cid:55)(cid:137) (cid:58)
1 2 1
( (cid:58) (cid:227)(cid:260)(cid:39))(cid:93)(cid:226)(cid:69)(cid:46) (cid:58) (cid:80)(cid:207)(cid:60)y(cid:340)(cid:358)(cid:182)(cid:55)A(cid:58)B𝑦(cid:93)(cid:101)(cid:37)𝑥 (cid:40) 𝑙 𝑙 𝑃
2 1 2 1 2
𝑃 𝑃A(cid:266)𝑃 (cid:58) (cid:65)(cid:55)(cid:31)(cid:455)(cid:222)(cid:106)𝑙 (cid:456)(cid:159)𝑙 (cid:137)(cid:32)(cid:71) B(cid:266)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)(cid:32)(cid:71)
1 2 1 2
C(cid:266)(cid:46)𝑃 (cid:402)𝑃AB(cid:31)(cid:457)(cid:144)(cid:137)(cid:32)(cid:71) D(cid:266) 𝑃 𝑃(cid:406)(cid:159)(cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:137)(0,1)
△𝐴𝐵𝑃(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:80)(cid:458)(cid:444)(cid:445)(cid:31)(cid:171)(cid:172)(cid:93)(cid:134)(cid:225)(cid:287)(cid:15)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:268)(cid:269)(cid:69)(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:134)(cid:225)(cid:47)(cid:55)(cid:459)
(cid:222)(cid:106)(cid:31)(cid:198)(cid:159)(cid:93)(cid:140)(cid:300)(cid:134)(cid:225)(cid:455)(cid:222)(cid:106)(cid:31)(cid:198)(cid:159)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:69)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:98)(cid:93)(cid:89)(cid:187)(cid:214)(cid:179)(cid:287)(cid:15)(cid:93)(cid:134)(cid:225)(cid:35)(cid:71)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:44)
(cid:225) (cid:31)(cid:222)(cid:106)(cid:93)(cid:134)(cid:225)(cid:138)(cid:289).
𝐴,𝐵,𝑃 1
>1
ln 1
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173)(cid:41)(cid:13) =|ln |= (cid:93)(cid:101) = (cid:93)
ln < <1 1 ,0< <1
𝑥,𝑥≥ ′
𝑥,𝑥
𝑦 𝑥 𝑦
(cid:226) ( , )(cid:93) ( , )(cid:93)
− 𝑥,0 𝑥 −𝑥 𝑥
1 1 1 2 2 2
𝑃 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 1 1
(cid:165)0< <1(cid:93)1< (cid:178)(cid:93)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:134)(cid:225)(cid:93) = (cid:93)(cid:16)(cid:102)(cid:134)(cid:225) =1(cid:93)(cid:450)(cid:39)(cid:21)(cid:74)(cid:205)
1 2 1 2
1 2
(cid:165) , 𝑥 (0,1)(cid:178)(cid:93) 𝑥 (cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:134)(cid:225)(cid:93) 1 −𝑥 1 ⋅𝑥 =1(cid:93) − (cid:16) 1 (cid:102)(cid:134)(cid:225) 𝑥 = 𝑥 (cid:93)(cid:398)(cid:168)(cid:227)(cid:157)(cid:317)(cid:205)
1 2 1 2
1 2
𝑥 𝑥 ∈ −𝑥 1 ⋅ − 1𝑥 𝑥 𝑥 −1
(cid:165) , (1,+ )(cid:178)(cid:93)(cid:173)(cid:21)(cid:74)(cid:134)(cid:225)(cid:93) =1(cid:93)(cid:16)(cid:102)(cid:134)(cid:225) =1(cid:93)(cid:398)(cid:168)(cid:227)(cid:157)(cid:317)(cid:205)
1 2 1 2
1 2
𝑥 𝑥 ∈ ∞ 𝑥 1 ⋅𝑥 𝑥 𝑥
(cid:181)(cid:182)A(cid:93) = ln ln = ln ln =(ln )2(cid:93)(cid:236)A(cid:438)(cid:439)(cid:205)
1 2 1 2 1 1
1
𝑦 𝑦 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:181)(cid:182)B(cid:93)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:48)(cid:49) = 1 2= ln 1 ln 2= ln 1 2=0(cid:93)(cid:236)B(cid:288)(cid:153)(cid:205)
1 2
𝑦1−𝑦2 − 𝑥1 −2𝑥 −1𝑥 𝑥2
𝑃 𝑃 𝑘 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥
1 1
(cid:181)(cid:182)C(cid:93)(cid:396)(cid:148)(cid:69)(cid:46) = + +1(cid:93)(cid:69)(cid:46) = + (cid:93)
1 1 2 2
1 2
𝑙 :𝑦 −𝑥 𝑥 𝑦 𝑙 :𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 −1
(cid:267) =0(cid:93)(cid:101) = +1(cid:93)(cid:197) (0, +1)(cid:93)(cid:243)(cid:15)(cid:134)(cid:225) (0, )(cid:93)
1 1 2
| 𝑥|=| +𝑦 𝑦 +1|=|𝐴 ln𝑦 ln |=| ln 𝐵 |𝑦=−21(cid:93)(cid:236)C(cid:288)(cid:153)(cid:205)
1 2 1 2 1 2
𝐴𝐵 𝑦 1−𝑦= 1 +2−+𝑥1− 𝑥 2− =𝑥 𝑥 1 ln +1
1 1 2 2
(cid:181)(cid:182)D(cid:93)(cid:316)(cid:317) 1 (cid:93)(cid:287)(cid:15)(cid:134)(cid:225) 1 (cid:93)(cid:83)(cid:225) = 1 2 = 1 (cid:93)
𝑦 = − 1 𝑥 𝑥 + 𝑦2 𝑦 = − 1 𝑥 𝑥 + − ln 𝑥2 1𝑥 𝑥2 1 2 𝑥 1
2 2 𝑥𝑝 𝑥 +𝑥 𝑥 +
𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 −1 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 −1
2( 2)
(cid:267) ( )= (cid:93)(cid:35)(cid:139) (0,1)(cid:93)(cid:101) ( )= >0(cid:93)
2 1 ( 2 1)2
2𝑥 1−𝑥
′
(cid:270) 𝑓 (cid:127)𝑥(cid:93)(cid:41)(cid:13)𝑥 + ( )(cid:52)(0 𝑥 ,1 ∈ )(cid:53)(cid:103)(cid:355)(cid:356)(cid:357) 𝑓 (cid:93)𝑥(cid:101)(cid:165) 𝑥 + (0,1)(cid:178)(cid:93) ( ) (0,1)(cid:93)
(cid:270)(cid:127)(cid:93) 𝑓 = 𝑥 1 | | | |= 2 1 (0,1)(cid:93) 𝑥∈ (cid:236)D(cid:288)(cid:153). 𝑓 𝑥 ∈
2 1 2 𝑥 1
(cid:236)(cid:20)(cid:10)B 𝑆△ C 𝐴 D 𝐵 . 𝑃 𝐴𝐵 ⋅ 𝑥𝑃 𝑥 + ∈
(cid:120)(cid:58)(cid:129)(cid:130)(cid:21)
12(cid:266)(cid:37)2024·(cid:272)(cid:460)(cid:461)(cid:462)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=
ln
(cid:93)(cid:284) (1)=2(cid:93)(cid:101) = .
𝑥+𝑎
′
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:44)(cid:202)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:162)(cid:27) (1)=2(cid:232) 𝑓 (cid:98)𝑥(cid:44)(cid:83)(cid:197)𝑥(cid:134). 𝑓 𝑎 −1
′
ln 𝑓 (ln )
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:173) ( )= (cid:225) ( )= (cid:93)(cid:280)(cid:137) (1)= =2(cid:93)(cid:270)(cid:127) = .
2
𝑥+𝑎 1− 𝑥+𝑎
′ ′
(cid:236)(cid:138)(cid:289)(cid:137)(cid:10) . 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 1−𝑎 𝑎 −1
13(cid:266)(cid:37)2024−·(cid:463)1(cid:336)(cid:464)(cid:465)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:45)(cid:46) = 3 ln (cid:52)(cid:55) (cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:60)(cid:222)(cid:106)(cid:340)(cid:324)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131)(cid:31)(cid:406)(cid:159)(cid:137)
𝑓(𝑥) 𝑥 − 𝑥 (1,𝑓(1))1
.
4
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:255)(cid:44)(cid:202)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:169)(cid:44)(cid:324)(cid:157)(cid:31)(cid:120)(cid:51)(cid:131)(cid:406)(cid:159)(cid:197)(cid:134).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:396)(cid:148) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:311)(cid:137) (0,+ )(cid:93)(cid:300) =1(cid:93)(cid:236)(cid:47)(cid:55)(cid:137)(1,1)(cid:93)
(cid:226)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:137) (cid:93)(cid:279) 𝑓(𝑥) =3 2 1 (cid:93) 𝑥 (cid:236) ∈ = ∞ (1)= 𝑓(1) =2(cid:93)
′ ′
(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)
𝑘
=
𝑓(𝑥)
(cid:93)(cid:16)
𝑥
(cid:102)
−𝑥(cid:225)
=
𝑘 𝑓
(cid:93)
3−1
𝑦−11 2(𝑥−1) 𝑦 2𝑥−1
(cid:165) =0(cid:178)(cid:93) = (cid:93)(cid:165) =0(cid:178)(cid:93) = (cid:93)
2
𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 −1
1 1 1
(cid:396)(cid:148)(cid:324)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131)(cid:112)(cid:120)(cid:51)(cid:131)(cid:93)(cid:226)(cid:406)(cid:159)(cid:137) (cid:93)(cid:236) = × ×| |= .
2 2 4
𝑆 𝑆 −1
(cid:236)(cid:138)(cid:289)(cid:137)(cid:10)
1.
4
14(cid:266)(cid:37)2024·(cid:212)(cid:363)(cid:157)(cid:366)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) = (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:60)(cid:41)(cid:13) = (cid:37) >0(cid:279) 1(cid:40)(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:52)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:220)(cid:61)
𝑥
(cid:209)(cid:243)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137) (e, e) . 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑎 𝑎≠
1 1
1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:226)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:137)(
0
,
0
) (
0
>0)(cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:225)(cid:175) 0= 2
0
(cid:93)(cid:161)(cid:173)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:225)(cid:175) 0ln =
2 0
2(cid:93)(cid:118)
−
𝑥 𝑥
(cid:300)(cid:44)(cid:202) (cid:93)(cid:197)(cid:134)(cid:44)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:222)𝑥(cid:106)𝑦(cid:93)(cid:118)𝑥(cid:300)(cid:44)(cid:202) (cid:93)(cid:161)(cid:44)(cid:202)(cid:47)𝑎(cid:46)(cid:56)(cid:57)𝑥 . 𝑎 𝑎 𝑥
0
1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:138) 𝑥 (cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:226)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:137)( 0 , 0 ) ( 0 >0) 𝑎 (cid:93)(cid:101) 0 = 2 0 (cid:93)(cid:197) 0= 2 0 (cid:93)
0 = 0 𝑥
1 𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑎 𝑥
(cid:270)(cid:127) ln = ln (cid:93)(cid:270)(cid:127)ln = ln (cid:93) 𝑦 𝑎
0 2 0 2 0 0
𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑥
1 1 1 1
(cid:173) 1 = 2 2 (cid:93) 2 = ln (cid:93)(cid:270)(cid:127) 1 | = 0 = 2 0 2 (cid:93) 2 | = 0 = 0ln (cid:93)
− 𝑥 − 𝑥
𝑦 ′ 𝑥 𝑦 ′ 𝑎 𝑎 𝑦 ′ 𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑦 ′ 1 𝑥 𝑥 𝑎 𝑎 1
1 1 1
(cid:315)(cid:52)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:220)(cid:61)(cid:209)(cid:243)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:270)(cid:127) 0ln =
2 − 0
2(cid:93)(cid:197) 2
0
·
2 0
·ln
0
=
2 − 0
2(cid:93)
𝑥
(cid:270)(cid:127)ln =1(cid:93)(cid:101) =e(cid:93)(cid:270)(cid:127) =𝑎 e(cid:93)𝑎 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
0 0 0
(cid:270)(cid:127)(cid:7)𝑥(cid:370)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137)𝑥(e, e). 𝑦
(cid:236)(cid:138)(cid:289)(cid:137)(cid:10)(e, e).
(cid:212)(cid:58)(cid:83)(cid:138)(cid:21)
15(cid:266)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)(cid:224)·(cid:326)(cid:342)(cid:466)(cid:261)·(cid:277)(cid:467)(cid:40)(cid:44)(cid:224)(cid:232)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13).
(1) = 2 e (cid:205)
𝑥
𝑓(𝑥) 𝑥log⋅
(2) = 2 (cid:205)
2
𝑥
𝑥
𝑓(𝑥)
sin
(3) = (cid:205)
1 cos
𝑥
𝑓(𝑥) + 𝑥
(4) =ln .
𝑓(𝑥) (1−2𝑥)(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:37)1(cid:40)(cid:162)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:30)(cid:197)(cid:225)(cid:205)
(cid:37)2(cid:40)(cid:162)(cid:27)(cid:80)(cid:98)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:30)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:30)(cid:197)(cid:225)(cid:205)
(cid:37)3(cid:40)(cid:162)(cid:27)(cid:80)(cid:98)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:30)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:30)(cid:197)(cid:225)(cid:205)
(cid:37)4(cid:40)(cid:162)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:30)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:30)(cid:197)(cid:225).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:37)1(cid:40) = e + 2 e = + 2)e (cid:205)
𝑥 𝑥 𝑥
′
(cid:37)2(cid:40) = l
1
n2
2 𝑓log(
2
𝑥)2 ln22𝑥
=
⋅
l
1
n2
lo𝑥g
2
⋅ln2(cid:205) (2𝑥 𝑥
𝑥(2 )2 𝑥 2
𝑥 ⋅ − 𝑥⋅ 𝑥 − 𝑥⋅
′ 𝑥 𝑥
𝑓(𝑥)
cos (1 cos sin sin cos cos2 sin2 1 cos 1
(cid:37)3(cid:40) = = = = (cid:205)
(1 cos 2 (1 cos 2 (1 cos 2 1 cos
𝑥⋅ + 𝑥)− 𝑥⋅(− 𝑥) 𝑥+ 𝑥+ 𝑥 + 𝑥
′
𝑓(𝑥) + 𝑥) + 𝑥) + 𝑥) + 𝑥
(cid:37)4(cid:40) = 1 ) = 1 = .
−2
′ ′
16(cid:266)(cid:37) 𝑓 2 ( 3 𝑥 - ) 24(cid:24) 1− (cid:206) 2𝑥 · ⋅ (cid:109) (1 (cid:110) − · 2 (cid:468) 𝑥 (cid:469)(cid:403) 1 (cid:404) −2 (cid:40) 𝑥⋅ (cid:37) (− 1 2 (cid:40) ) (cid:221)(cid:148) 1−2𝑥 + = + + 2(cid:93)(cid:27)(cid:470)(cid:46)(cid:471)(cid:119)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:44)
′
(cid:205) 𝑓(𝑥 ℎ)−𝑓(𝑥) 2ℎ𝑥 5ℎ ℎ 𝑓
(cid:37)(𝑥)2(cid:40)(cid:221)(cid:148) + = 2+3 2 + 3(cid:93)(cid:27)(cid:470)(cid:46)(cid:471)(cid:119)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:44) (cid:266)
′
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)𝑔(cid:28)(𝑥(cid:268)(cid:269)ℎ)(cid:21)−𝑔(cid:74)(𝑥(cid:211))(cid:39)(cid:30)3ℎ(cid:13)𝑥(cid:31)(cid:32)ℎ(cid:33)𝑥(cid:42)(cid:43)ℎ(cid:44)(cid:83). 𝑔(𝑥)
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:37)1(cid:40)(cid:280)(cid:137) + = + + 2(cid:93)
(cid:101) =lim =𝑓(l𝑥im ℎ)−𝑓(𝑥2)=l2imℎ𝑥 ( 5 + ℎ 5+ ℎ )= +5(cid:93)
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 2ℎ𝑥+5ℎ+ℎ
′
𝑓(𝑥) ℎ ℎ 2𝑥 ℎ 2𝑥
(cid:270)(cid:127) ℎ=→0 +5(cid:205) ℎ→0 ℎ→0
′
(cid:37)2(cid:40)𝑓(cid:280)(𝑥(cid:137)) 2𝑥+ = 2+3 2 + 3(cid:93)
(cid:101) =l𝑔im(𝑥 ℎ)−𝑔(𝑥=) lim3ℎ𝑥 2 3 ℎ2 𝑥3 =ℎlim(3 2+ + 2)=3 2(cid:93)
𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) 3ℎ𝑥 + ℎ 𝑥+ℎ
′
𝑔(𝑥) ℎ ℎ 𝑥 3ℎ𝑥 ℎ 𝑥
(cid:270)(cid:127) ℎ=→03 2. ℎ→0 ℎ→0
′
17(cid:266)𝑔(cid:37)(2𝑥0)24·(cid:318)𝑥(cid:319)(cid:472)(cid:276)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 3 2 + ( 0)(cid:266)
(1)(cid:165) =1(cid:178)(cid:93)(cid:284)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) =𝑓 𝑥( )(cid:209)𝑎𝑥(cid:47)−(cid:93)2(cid:44)𝑥 −(cid:205)2𝑥 𝑎 𝑎≥
(2)(cid:284)𝑎(cid:69)(cid:46) = (cid:60)𝑦(cid:45)(cid:46)−3𝑥= 𝑏( )(cid:164)(cid:61)(cid:65)𝑦 (cid:183)𝑓(cid:7)𝑥(cid:370)(cid:55)(cid:93)(cid:44) (cid:266)𝑏
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)𝑦(cid:28)−(cid:37)21𝑥(cid:40)−2(cid:354)(cid:458)(cid:63)(cid:21)𝑦(cid:93)(cid:90)𝑓(cid:59)𝑥(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:93)(cid:44)(cid:30)(cid:13)(cid:93)𝑎(cid:162)(cid:27)(cid:47)(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:89)(cid:182)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:93)(cid:127)(cid:34)(cid:47)(cid:55)(cid:52)(cid:47)
(cid:46)(cid:53)(cid:133)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:93)(cid:83)(cid:316)(cid:317)(cid:56)(cid:57)(cid:233)(cid:197)(cid:134)(cid:205)
(cid:37)2(cid:40)(cid:173)(cid:221)(cid:148)(cid:63)(cid:21)(cid:89)(cid:431)(cid:182)(cid:56)(cid:57) 3 2 + = (cid:93)(cid:197)(cid:56)(cid:57) ( 3+1) ( 2 )=0(cid:61)(cid:65)(cid:183)(cid:227)(cid:89)(cid:360)(cid:268)(cid:93)
(cid:398)(cid:168) = 1(cid:112)(cid:56)(cid:57) ( 3+1) 𝑎(𝑥 2−2𝑥)−=20𝑥(cid:31)(cid:54)𝑎(cid:183)(cid:268)−2(cid:93)𝑥(cid:270)−(cid:127)2 (cid:165) 𝑎(cid:178)𝑥(cid:93)(cid:56)(cid:57)(cid:134)−2(cid:16)𝑥(cid:137)−12 ( +2) + +2=0
(cid:37)*(cid:40)𝑥(cid:93)−(cid:204)(cid:473)(cid:61)(cid:227)(cid:89)𝑎 (cid:182)𝑥 1(cid:31)−(cid:474)2(cid:54)𝑥(cid:268)−(cid:93)1(cid:268)(cid:269)(cid:54)(cid:180)(cid:206)(cid:361)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:268)𝑥(cid:31)≠(cid:297)−(cid:362)1(cid:197)(cid:134)(cid:83)(cid:475)(cid:63)(cid:21)(cid:266)𝑎𝑥 − 𝑎 𝑥 𝑎
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:37)1(cid:40)(cid:165)−=1(cid:178)(cid:93) ( )= 3 2 +1(cid:93) ( )=3 2 (cid:93)
′
𝑎 𝑓 𝑥 𝑥 −2𝑥 −2𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 −4𝑥−2(cid:280)(cid:137)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:209)(cid:47)(cid:93)
(cid:226)(cid:47)(cid:55)(cid:137)𝑦( ,−3)(cid:93)𝑥 (cid:101)𝑏(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)𝑦 =𝑓 𝑥( )=3 2 (cid:93)
0 0 0 0 0
′
𝑥 𝑦 𝑘 𝑓 𝑥 𝑥 −4𝑥 −2
=
1
3 2 0 0 = 0 =1 0 3 4
(cid:134)(cid:225) = + (cid:93)(cid:83)(cid:225) = (cid:334) = (cid:93)
0 =𝑥 0 0− 3 4𝑥 −0 2 2 0 −03+1 𝑥 0 =1 𝑥 0 = 3 2 1 7
𝑦 −3𝑥 𝑏 𝑦 −2 𝑦 27
𝑦 𝑥 −2𝑥 −2𝑥 𝑏
𝑏
31
(cid:270)(cid:127) =1(cid:334) = (cid:266)
27
𝑏 𝑏
(cid:37)2(cid:40)(cid:280)(cid:137)(cid:69)(cid:46) = (cid:60)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:164)(cid:61)(cid:65)(cid:183)(cid:7)(cid:370)(cid:55)(cid:93)
(cid:270)(cid:127)(cid:56)(cid:57) 3 𝑦 2 −2𝑥+−2= 𝑦 (cid:93)𝑓 𝑥
(cid:197)(cid:56)(cid:57) (𝑎3𝑥+−12)𝑥 −(2𝑥2 𝑎)=−0(cid:61)2𝑥(cid:65)−2(cid:183)(cid:227)(cid:89)(cid:360)(cid:268)(cid:93)
(cid:280)(cid:137) =𝑎 𝑥1(cid:112)(cid:56)(cid:57)−2(𝑥3+−11) ( 2 )=0(cid:31)(cid:54)(cid:183)(cid:268)(cid:205)
(cid:165) 𝑥 −(cid:178)(cid:93)(cid:56)(cid:57)𝑎(cid:134)𝑥(cid:16)(cid:137) −22 (𝑥 −+12) + +2=0(cid:37)*(cid:40)(cid:93)
(cid:335)𝑥(cid:21)≠(cid:74)−(cid:93)1(cid:56)(cid:57)(cid:37)*(cid:40)(cid:61)(cid:227)(cid:89)𝑎(cid:182)𝑥 − 𝑎(cid:31)(cid:474)(cid:54)𝑥(cid:268)(cid:93)𝑎
(cid:280)(cid:137) 0(cid:93)(cid:284) =0(cid:93)(cid:101)(cid:37)*(cid:40)−(cid:197)1 +2=0(cid:93) =1(cid:93)(cid:237)(cid:238)(cid:64)(cid:223)(cid:205)
𝑎≥ 𝑎 + +2+ −+22𝑥 0 𝑥 2
(cid:284) >0(cid:93)(cid:101)(cid:173) (cid:93)(cid:83)(cid:225)(cid:10) = (cid:266)
=( +2)2 ( +2)=0 3
𝑎 𝑎 𝑎 ≠
𝑎 𝑎
(cid:395)(cid:53)(cid:270)(cid:210)(cid:93) =0 △(cid:334) = 𝑎 2 (cid:266) −4𝑎 𝑎
3
18(cid:266)(cid:37)2024 𝑎 ·(cid:408)(cid:336)(cid:476) 𝑎 (cid:276)·(cid:120)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 2 + ( )=ln + ( ).
(1)(cid:284) = ( )> ( )(cid:52)(cid:477)(cid:195)( )(cid:53)(cid:397)𝑓(cid:157)𝑥(cid:317)(cid:93)(cid:44)𝑥 (cid:360)−𝑎(cid:13)𝑥 (cid:31)1(cid:331),𝑔(cid:71)𝑥(cid:323)(cid:324)(cid:205)𝑥 𝑎 𝑎∈𝑅
(2)(cid:284)(cid:41)𝑎 (cid:13)1,𝑓( 𝑥)(cid:99) (𝑔)𝑥(cid:61)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)0,𝑡(cid:44)(cid:360)(cid:13) (cid:31)(cid:331)(cid:71)(cid:323)(cid:324).𝑡
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)𝑓(cid:28)𝑥 (cid:37)1𝑔(cid:40)𝑥(cid:226) ( )= ( ) ( )𝑎(cid:93)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:100)(cid:83) ( ) >0(cid:197)(cid:134)(cid:205)
min
(cid:37)2(cid:40)(cid:226)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52)(cid:55)(ℎ 𝑥 ( 𝑓))𝑥(cid:220)−(cid:60)𝑔(cid:41)𝑥(cid:13) ( )(cid:52)(cid:55)( ℎ(𝑥 ))(cid:220)(cid:61)(cid:209)(cid:243)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)
1 1 2 2
(cid:173) ( )=
𝑓
(
𝑥
)=
( 1𝑥) ,𝑓(𝑥2 )
, 2 =
𝑔1𝑥
=
2
1 1
𝑥 ,𝑔ln𝑥
2 (cid:93)(cid:16)(cid:102)(cid:225)(cid:175)
1
+ +ln +
2
+ =0(cid:93)(cid:168)
1 2 𝑓 𝑥 1−𝑔2𝑥 1 2 𝑥 −𝑎𝑥 + 1 1− 2 𝑥 −𝑎 4 2 2 2 𝑎2 2 𝑎 4
′ ′
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 −𝑥 ∴ 𝑥 −𝑎 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎−2
1 2
(cid:169)(cid:229)(cid:63)(cid:21)(cid:241)(cid:16)(cid:137)(cid:3)(cid:182) (cid:31)(cid:56)(cid:57) + +ln + + =0(cid:61)(cid:83)(cid:44)(cid:83).
4 2 4
𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:37)1(cid:40)(cid:173) 𝑥 (cid:21)(cid:74)(cid:93)(cid:165)𝑥 = 2 1 𝑥 (cid:178)(cid:93) 𝑥 (cid:226) ( )= 𝑎− ( 2 ) ( )(cid:93)
(cid:101) ( )= 2 + ln = 2𝑎 ln >ℎ 0𝑥)(cid:93)𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥
(
ℎ
)
𝑥
=
𝑥 −𝑥1
=
12−2 𝑥−1
=
(𝑥 −1𝑥)(−1)
(cid:93)
𝑥(𝑥
𝑥 −𝑥−1 2𝑥+ 𝑥−1
′
(cid:267) ℎ 𝑥 ( ) 2 = 𝑥 0 − (cid:93) 1− (cid:225) 𝑥 =1(cid:37)𝑥 (cid:341)(cid:441)(cid:40) 𝑥
′
(ℎ)(cid:52)𝑥(0,1)(cid:53)(cid:103)𝑥(cid:355)(cid:356)(cid:302)(cid:93)(cid:52)(1,+ )(cid:53)(cid:103)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:93)
ℎ 𝑥 ∞= (1)=0.
min
(cid:268)∴(cid:269)ℎ(𝑥(cid:21))(cid:74) (cid:31)(cid:331)ℎ (cid:71)(cid:323)(cid:324)(cid:137)(0,1].
(cid:37)2(cid:40)(cid:226)(cid:41)𝑡(cid:13) ( )(cid:52)(cid:55)( ( ))(cid:220)(cid:60)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52)(cid:55)( ( ))(cid:220)(cid:61)(cid:209)(cid:243)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)
1 1 2 2
(cid:101) ( )=
𝑓
(
𝑥
)=
( 1𝑥) ,𝑓(𝑥2 )
, 2 =
𝑔1𝑥
=
2
1 1
𝑥 ,𝑔ln𝑥
2 (cid:93)
1 2 1
𝑓 𝑥 1−𝑔2𝑥 2 𝑥 −𝑎𝑥 + 1 1− 2 𝑥 −𝑎
′ ′
𝑓 𝑥 = 1 + 𝑔 (cid:93) 𝑥 (cid:214)(cid:230) 1 𝑥 − 2 𝑥 = 2 ∴ 𝑥 − + 𝑎 ln 𝑥 𝑥 −𝑥
1 2 2 𝑎 2 𝑥 −2𝑥 1 1 2
∴𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑎𝑥 1− 𝑥 −𝑎
1 2
(cid:225) + +ln + + =0.
4 2 2 2 𝑎2 2
𝑎
4
𝑥 𝑥 𝑥 𝑎−2
1 2
(cid:63)(cid:21)(cid:241)(cid:16)(cid:137)(cid:10)(cid:3)(cid:182) (cid:31)(cid:56)(cid:57) + +ln + + =0(cid:61)(cid:83)(cid:93)
4 2 4
𝑎 𝑎
∴ 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 𝑎−2
1 2
(cid:226) ( )= + +ln + + >0)(cid:93)(cid:101)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:61)(cid:478)(cid:55)(cid:93)
4 2 4
𝑎 𝑎
𝐹 𝑥 𝑥 2𝑥 2 𝑥 𝑎−2(𝑥 𝐹 𝑥
( )= 1 1 + +ln + (cid:93)(cid:165) = (cid:178)(cid:93)
4
2−𝑎
l∵n𝐹+𝑥 =𝑥0, 𝑎 (e 𝑥)>0𝑎.−2 𝑥 𝑒
2−𝑎
𝑥(cid:63)(cid:21)𝑎(cid:241)−2(cid:16)(cid:137)(cid:10)∴𝐹( )(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:286)(cid:182)(cid:334)(cid:89)(cid:182)0.
∴ ( )= 1 𝐹 + 𝑥1 = 2 2 (cid:93)
2 3 2 2 2 3
𝑎 𝑥 −𝑎𝑥−1
′
𝐹 (cid:226)2 𝑥 2 − 𝑥 − = 𝑥 0( 𝑥 >0)(cid:93)𝑥 (cid:101)
0 0 0
(cid:165)0𝑥<−𝑎<𝑥 −(cid:178)1 (cid:93) 𝑥( )<0(cid:93)(cid:165) > (cid:178)(cid:93) ( )>0.
0 0
′ ′
( )𝑥(cid:52)(0𝑥, )(cid:53)𝐹(cid:103)(cid:355)𝑥 (cid:356)(cid:302)(cid:93)(cid:52)𝑥( ,𝑥+ )(cid:53)𝐹(cid:103)𝑥(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:93)
0 0
∴𝐹 𝑥 𝑥 1 𝑥 ∞ 2
( )(cid:31)(cid:70)(cid:286)(cid:71)(cid:137) ( )= + +ln + + .
0 4 0 2 2 𝑎0 0
𝑎
4
(cid:173) ∴ 2 𝐹 𝑥 2 =0(cid:148) 𝐹 𝑥 =2 𝑥 1 (cid:93) 𝑥 𝑥 𝑎−2
0 0 0
0
𝑥 −𝑎𝑥 −1 𝑎 𝑥 −𝑥
(cid:236) ( )= 2+2 1 +ln .
0 0 0 0
0
𝐹 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 −2
(cid:226) ( )= 2+ 1 +ln >0)(cid:93)
𝜑 𝑥 𝑥 2𝑥−𝑥 𝑥−2(𝑥
1 1
(cid:101) ( )= +2+ + >0(cid:93)
2
′
(cid:236) 𝜑 ( 𝑥 )(cid:52)( 2 0 𝑥 ,+ )(cid:53)𝑥(cid:103)(cid:355)𝑥(cid:356)(cid:357)(cid:93)
𝜑(𝑥1)=0, (cid:165)∞ (0,1](cid:178)(cid:93) ( ) 0(cid:93)
∵𝜑( )(cid:31)(cid:70)(cid:286)∴(cid:71)𝑥(∈ ) 0(cid:89)(cid:431)𝜑(cid:182)𝑥0≤ 1.
0 0
∴𝐹 𝑥 𝐹1𝑥 ≤ ≤𝑥 ≤
(cid:315) (cid:41)(cid:13) = (cid:52)(0,1](cid:53)(cid:103)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:93)
∵ 𝑦 2𝑥−𝑥1
=2 ( ,1].
0
0
1 ∴ 9(cid:266) 𝑎 (cid:37)2 𝑥 3- − 24 𝑥 (cid:24) ∈ (cid:206)−(cid:224)∞ ·(cid:271)(cid:272)·(cid:277)(cid:139)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=( )2(cid:93) ( )= ( )2.
(1)(cid:165) =1(cid:178)(cid:93)(cid:44)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:52) =0(cid:220)(cid:31)𝑓(cid:47)𝑥(cid:46)(cid:56)(cid:57)𝑥−. 𝑎 𝑔 𝑥 − 𝑥−𝑏
(2)(cid:284)𝑎+ =1(cid:93)(cid:112)(cid:453)(cid:278)𝑦(cid:52)(cid:69)𝑓 𝑥(cid:46) (cid:60)𝑥(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:99) = ( )(cid:366)(cid:209)(cid:47)(cid:479)(cid:284)(cid:278)(cid:52)(cid:93)(cid:44)(cid:202)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:37)(cid:284)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:56)
(cid:57)(cid:447)(cid:62)𝑎(cid:13)𝑏(cid:93)(cid:101)(cid:27) (cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:205)(cid:284)(cid:227)𝑙(cid:278)(cid:52)(cid:93)𝑦(cid:480)(cid:481)𝑓(cid:482)𝑥(cid:15)(cid:173)𝑦. 𝑔 𝑥 𝑙 𝑙
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)(cid:28)(cid:37)𝑎1(cid:40)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:93)(cid:255)(cid:44)(cid:30)(cid:13)(cid:225)(cid:175)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:55)(cid:48)(cid:98)(cid:134)(cid:225)(cid:56)(cid:57)(cid:205)
(cid:37)2(cid:40)(cid:255)(cid:44)(cid:65)(cid:183)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:162)(cid:27)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:319)(cid:317)(cid:89)(cid:187)(cid:3)(cid:196)(cid:93)(cid:44)(cid:83)(cid:56)(cid:57)(cid:134)(cid:225)(cid:138)(cid:289).
(cid:22)(cid:83)(cid:138)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:37)1(cid:40)(cid:165) =1(cid:178)(cid:93) ( )=2( )(cid:93) (0)=1(cid:93) (0)= .
′ ′
(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:52) =0(cid:220)𝑎(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)𝑓(cid:57)(cid:137)𝑥 (𝑥0−)1= (𝑓0)( )(cid:93)𝑓(cid:197) = −2 +1.
′
(cid:37)2(cid:40)𝑦(cid:226)(cid:69)𝑓(cid:46)𝑥 (cid:60)𝑥(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:209)(cid:47)(cid:182)(cid:55)𝑦−(𝑓 , )(cid:93)𝑓(cid:60)(cid:45)𝑥(cid:46)−0= (𝑦)(cid:209)(cid:47)−2(cid:182)𝑥(cid:55) ( , )(cid:93) ( )=2( )(cid:93) ( )
1 1 2 2
′ ′
= ( ).𝑙 𝑦 𝑓 𝑥 𝐴 𝑥 𝑦 𝑦 𝑔 𝑥 𝐵 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥−𝑎 𝑔 𝑥
(cid:45)(cid:46)−2 =𝑥−𝑏( )(cid:52)(cid:55)A(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:137) ( )2=2( )( )(cid:93)
1 1 1
(cid:60)(cid:45)𝑦(cid:46) 𝑓=𝑥( )(cid:209)(cid:47)(cid:182)(cid:55) (cid:93) 𝑦− 𝑥 −𝑎 𝑥 −𝑎 𝑥−𝑥
(cid:101) 𝑦 𝑔=𝑥2( (cid:279)𝐵 ( 2 ( 2=2( )(cid:37)*(cid:40)(cid:93)
2 1 2 1 1 2 1
(cid:173)−2+(𝑥 −=𝑏) + 𝑥=−1𝑎(cid:93))(cid:101)− 𝑥 −=𝑏) −( 𝑥 −)𝑎(cid:93)) 𝑥 −𝑎)(𝑥 −𝑥
1 2 1 2
(cid:214)𝑥(cid:230)(cid:37)*𝑥(cid:40)(cid:225)𝑎 ( 𝑏 )2=(𝑥 −𝑎)( − 𝑥 −)(cid:93)𝑏
1 1 2 1
(cid:83)(cid:225) = (cid:334)− 𝑥=−𝑎. 𝑥 −𝑎 𝑥 −𝑥
1 2
(cid:165) 𝑥= (cid:178)𝑎(cid:93)(cid:69)𝑥 (cid:46)𝑎 =0.(cid:165) = (cid:178)(cid:93) = (cid:93)(cid:69)(cid:46) =2( ) + .
1 2 1
(cid:236)(cid:278)𝑥 (cid:52)(cid:69)𝑎(cid:46) (cid:60)(cid:45)(cid:46)𝑙:𝑦= ( )𝑥(cid:99) =𝑎 ( )𝑥(cid:366)(cid:209)(cid:47)1−(cid:93)𝑎(cid:69)(cid:46) (cid:31)𝑙:(cid:56)𝑦(cid:57)(cid:137)1−=2𝑎0(cid:334)𝑥 =2𝑎2−(1 ) + .
𝑙 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑙 𝑦 𝑦 1−2𝑎 𝑥 2𝑎−1
