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专题 5.1 平面向量的概念及线性运算-重难点题型精讲
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如 等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段 表示向量，通常我们就说向量 .
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量
就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无
关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量 的模 ．
②向量不能比较大小，但 是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作 ，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
4．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: 与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意 与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
6．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.7．向量加法的运算律
(1)交换律： ；
(2)结合律： .
8．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 .零向量的相反向量仍
是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 - = +(- ).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量 , ，在平面内任取一点O，作 = ， = ，则 = - = - .即 - 可以
表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
9．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与
方向规定如下：
① ；
②当 >0时， 的方向与 的方向相同；当 <0时， 的方向与 的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
, 为实数，那么① ( )=( ) ；②( + ) = + ；③ ( + )= + .
设
特别地，我们有(- ) =-( )= (- )， ( - )= - .
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 , ，以及任意实数 , , ，恒有 ()= .
10．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量 ( ≠0)与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 = .
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量 , 共线求参问题，可用两个不共线向量(如 , )表示向量 , ，设 = ( ≠0)，
化
成关于 , 的方程 ( ) =- ( ) ，由于 , 不共线，则 解方程组即可.
【题型1 平面向量的基本概念】
【方法点拨】
根据向量的基本概念，进行求解即可.
【例1】（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若⃑AB与⃑CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量⃑CD与向量⃑DC长度相等 B．单位向量都相等
C．0⃗的长度为0，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
【变式1-2】（2022·全国·高一课时练习）有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若 ⃑a≠⃑b，则⃑a，⃑b不是共线向量；
③若|⃑AB|=|⃑DC|，则四边形ABCD是平行四边形；
④若⃑m=⃑n， ⃑n=⃑k，则 ⃑m=⃑k；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-3】（2022·河南·高一阶段练习）下列结论正确的是（ ）A．平行向量的方向都相同
B．零向量与任意向量都不平行
C．长度相等且共线的向量是相等向量
D．平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示
【题型2 向量相等或共线】
【方法点拨】
判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量
所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线
【变式2-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知A,B,C,D为平面上四点，则“向量⃗AB∥⃗CD”是
“直线AB∥CD”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2022·内蒙古高一期末）给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则⃗AB=⃗DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若 与 同向，且 ，则 > ；
⃗a ⃗b |⃗a|>|⃗b| ⃗a ⃗b
④λ，μ为实数，若λ⃗a＝μ⃗b，则⃗a与⃗b共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若⃗a,⃗b满足|⃗a|>|⃗b|，且⃗a与⃗b同向，则⃗a>⃗b
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若⃗a∥⃗b,⃗b∥⃗c，则⃗a∥⃗c
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【题型3 平面向量的加、减运算的几何意义】【方法点拨】
根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来，结合具体条件，进行求解即可.
【例3】（2022·广东·高二期中）在空间四边形ABCD中， M，G分别是BC， CD的中点，则
⃗AD−⃗AB+⃗MG= （ ）
A．⃗GM B．2⃗MG C．3⃗GM D．3⃗MG
【变式3-1】（2022·山东烟台·高三期中）设P是△ABC所在平面内一点，⃗BP=3⃗AP，则⃗PC=（ ）
3 3 3 3
A．⃗BC+ ⃗BA B．⃗BC− ⃗BA C．⃗BA+ ⃗BC D．⃗BA− ⃗BC
2 2 2 2
【变式3-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（
）
A．⃗AB+⃗BC=⃗CA B．⃗AB−⃗AD=⃗BD
C．⃗AB+⃗AD=⃗AC D．⃗BC+⃗CD=⃗BD
【变式3-3】（2022·山东·高三期中）在△ABC中，已知D为AB上一点，若⃗AD=3⃗DB，则⃗CD=（ ）
3 1 1 3
A． ⃗CA+ ⃗CB B． ⃗CA+ ⃗CB C．3⃗CA−⃗CB D．⃗CA−3⃗CB
4 4 4 4
【题型4 向量的线性运算】
【方法点拨】
向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.
要
注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.
【例4】（2022·四川绵阳·一模（理））在△ABC中，点M为边AB上一点，2⃗AM=⃗MB，若
3⃗CM=λ⃗CA+μ⃗CB，则μ=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．−1
【变式4-1】（2022·湖南·高三阶段练习）△ABC中，D为BC中点，设向量⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，
3
⃗AE= ⃗BC，则⃗DE=（ ）
2
A．−2⃗a+⃗b B．2⃗a−⃗b C．⃗a−2⃗b D．−⃗a+2⃗b【变式4-2】（2022·山东·高二阶段练习）设⃗a，⃗b为不共线向量，⃗AB=⃗a+2⃗b，⃗BC=-4⃗a-⃗b，
⃗CD=-5⃗a-3⃗b，则下列关系式中正确的是（ ）
A．⃗AD=⃗BC B．⃗AD=2⃗BC C．⃗AD=-⃗BC D．⃗AD=-2⃗BC
2 1 1 3
【变式4-3】（2022·河北·高三阶段练习）在△ABC中，满足⃗CD= ⃗CA+ ⃗CB，⃗CE= ⃗CA− ⃗BC，
3 3 4 4
则（ ）
1
A．⃗DE=2⃗EB B．⃗DE= ⃗AB
2
4 8
C．⃗AD= ⃗EB D．⃗AE= ⃗DB
3 9
【题型5 向量共线定理的应用】
【方法点拨】
向量共线的判定一般是用其判定定理，即 是一个非零向量，若存在唯一一个实数 ，使得 = ，则向
量
与非零向量 共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.
【例5】（2023·广东·高三学业考试）已知向量⃗a，⃗b不共线，若⃗AB=⃗a+2⃗b，⃗BC=−3⃗a+7⃗b，
⃗CD=4⃗a−5⃗b，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【变式5-1】（2022·重庆市高三阶段练习（理））在△ABC中，点F为AB的中点，⃗AE=2⃗EC,BE与CF
交于点P，且满足⃗BP=λ⃗BE，则λ的值为（ ）
3 4 3 2
A． B． C． D．
5 7 4 3
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知O,A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点P
满足⃑OP=⃑OA+λ(⃑AB+⃑AC)，其中λ∈R，则点P的轨迹一定经过△ABC的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式5-3】（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知向量⃑a，⃑b，且⃑AB=⃑a+2⃑b，⃑BC=−5⃑a+6⃑b，
⃑CD=7⃑a−2⃑b，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【题型6 向量线性运算在三角形中的运用】【方法点拨】
结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.
【例6】（2022·山西太原·高三期中）已知点O,P在△ABC所在平面内，满⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗，
，则点 依次是 的（ ）
|⃗PA|=|⃗PB|=|⃗PC| O,P △ABC
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【变式6-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三
点，动点P满足 ( ⃑AB ⃑AC ) ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
⃑OP=⃑OA+λ + (λ∈R) △ABC
|⃑AB| |⃑AC|
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式6-2】（2022·江西省高三期中（文））已知O是△ABC内部的一点，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a=3，b=2，c=4，若sinA⋅⃗OA+sinB⋅⃗OB+sinC⋅⃗OC=0⃗，则△AOB与△ABC的面积之
比为（ ）
4 1 2 5
A． B． C． D．
9 3 9 9
【变式6-3】（2022·天津高三阶段练习）已知M是△ABC内的一点，2⃑AM=λ⃑AB+(1−λ)⃑AC,λ∈R且
1 1
bc=2√2,⃑AB⋅⃑AC=2，则 + 的最小值是（ ）
S S
△MAB △MAC
A．8 B．4 C．2 D．1
