文档内容
第 03 讲 二项式定理
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：求二项展开式中的参数........................................................................................................2
题型二：求二项展开式中的常数项....................................................................................................3
题型三：求二项展开式中的有理项....................................................................................................4
题型四：求二项展开式中的特定项系数............................................................................................5
题型五：求三项展开式中的指定项....................................................................................................6
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数................................................7
题型七：求二项式系数最值................................................................................................................9
题型八：求项的系数最值..................................................................................................................10
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和..............................................................12
题型十：求奇数项或偶数项系数和..................................................................................................13
题型十一：整数和余数问题..............................................................................................................14
题型十二：近似计算问题..................................................................................................................16
题型十三：证明组合恒等式..............................................................................................................17
题型十四：二项式定理与数列求和..................................................................................................21
题型十五：杨辉三角..........................................................................................................................23
02 重难创新练....................................................................................................................................29
03 真题实战练....................................................................................................................................37题型一：求二项展开式中的参数
1．（2024·陕西榆林·模拟预测） 的展开式中 项的系数为84，则实数 ．
【答案】
【解析】 展开式的通项为 ，
因为 项的系数为84，所以 ，解得 .
故答案为：
2．二项式 的展开式中前三项的系数和为 ，则 ；
【答案】 或
【解析】二项式 的展开式为 ， ，1，2，3，4， ，
故展开式的前三项的系数和为 ，
故 ，
整理得： ，
解得 或 ．
故答案为： ．
3．已知 展开式中的常数项是 ，则实数 的值为
【答案】
【解析】由题意得， 的展开式的通项为 ，
令 ，解得， ，
所以 的展开式中的常数项为 ，解得 .
故答案为： .
4．（2024·河北沧州·三模）已知 的二项展开式中常数项为60，则 .
【答案】
【解析】 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，则 的常数项为 ，
当常数项为60时， .
故答案为： .
题型二：求二项展开式中的常数项
5．（2024·新疆·三模）已知 的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为 .
（用数字作答）
【答案】15
【解析】由题意可知， ，得 ，
则 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以展开式的常数项 .
故答案为：15
6． 展开式中的常数项为 .
【答案】240
【解析】 展开式的通项公式为 ，
令 得 ， ，
故答案为：240.7．（2024·河北唐山·一模）在 的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】因为 展开式的通项公式为： ，
令 ，解得 ，
所以常数项为： .
故答案为：
8．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中的常数项为 .
【答案】240
【解析】 展开式的通项公式为 ，
令 或 ，解得 （舍去）或 ，
故所求常数项为 .
故答案为：240
题型三：求二项展开式中的有理项
9．写出 展开式中的一个有理项为 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 展开式的通项公式为
（ ），
所以展开式中的有理项分别为： 时， ；
时， ； 时， ；
时， .
故答案为： （四个有理项任写其一均可）.
10．在 的展开式中，有理项有 项．【答案】
【解析】 的展开式的通项为 ，
令 为整数，则 ，共 项.
故答案为： .
11．（2024·高三·江西·开学考试）已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式
中的一个有理项 ．
【答案】 （或 ，或 ，写出其中一个即可）
【解析】由题意知展开式中共有9项，所以 ，
所以 的展开式的通项为 ， ， ．
若 为有理项，则 ，所以 ，4，8，
故展开式中所有的有理项为 ， ， ．
故答案为： （或 ，或 ，写出其中一个即可）
题型四：求二项展开式中的特定项系数
12．（2024·高三·四川成都·开学考试）二项式 的展开式中第5项为 .
【答案】15
【解析】展开式通项为 ，
.
故答案为：15.
13．（2024·安徽芜湖·三模）写出 的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示）
【答案】-160
【解析】 .
故答案为：14．（2024·高三·北京·期中）在 的二项展开式中，第四项为 ．
【答案】
【解析】由题设 ，
当 时，第四项为 .
故答案为：
15． 的展开式的第4项是 .
【答案】
【解析】由题设，二项式展开式通项为 ，
第4项为 .
故答案为：
题型五：求三项展开式中的指定项
16．（2024·山东·二模） 展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】现有8个 相乘，从每个 中的三项 各取一项相乘时，若结果为 的
常数倍，则所取的8项中有4个 ，2个 ，2个 .
所以，总的选取方法数目就是 .
每个这样选取后相乘的结果都是 ，即给系数的贡献总是 ，所以 的系数就是全部的
选取数 .
故选：C.
17．（2024·新疆乌鲁木齐·一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30【答案】A
【解析】 ，
其展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
而 的展开式的通项公式为：
，
令 ，则 的展开式中 的系数为:
,
故选：A.
18．（2024·浙江·一模） 展开式中含 项的系数为（ ）
A．30 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】由题意得， 展开式中含 的项为 ，
所以 展开式中含 项的系数为 .
故选：B
19．在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】B
【解析】在 的展开式中，通项公式为 ，
对于 ，通项公式为 ， ， ，r、k ，
令 ，可得 ，故 ， ，
故 项的系数为 ，
故选：B.题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
20．若 的展开式中 的系数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 的展开式中 的系数为 ，得 ．
故选：C.
21．已知 的展开式中 的系数为448，则该展开式中 的系数为（ ）
A．56 B． C．106 D．
【答案】D
【解析】依题意， ，
二项式 的展开式的通项 ，
于是 ，解得 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故选：D
22．（2024·广西南宁·一模） 展开式中的常数项为（ ）
A．60 B．4 C． D．
【答案】C
3r
6−
【解析】二项式 的展开式的通项公式为 T =(−1) rCr ⋅22r−6 ⋅x 2 ,r=0,1,2,3,4,5,6 ，
r+1 6
3r
令 ，求得 ，令6− =−3，求得 ，
2
由于(1−x3) (x − 2 ) 6 = (x − 2 ) 6 −x3(x − 2 ) 6 ，
2 √x 2 √x 2 √x
故其展开式中的常数项为(−1) 4C4 ⋅22−(−1) 6C6 ⋅26=60−64=−4
6 6
故选：C23．（2024·广东汕头·一模） 展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的展开式通项为 ，
因为 ，
在 中，令 ，可得 项的系数为 ；
在 中，令 ，得 ，可得 项的系数为 .
所以， 展开式中 项的系数为 .
故选：A.
题型七：求二项式系数最值
24．已知二项式 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正
数 的值为 .
【答案】3
【解析】因为 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
所以展开式一共有 项，即 ，令 ，得展开式中所有项的系数和为 ，
所以 或 （舍去），所以正数 的值为3.
故答案为：3.
25．若 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的 项为 .
【答案】
【解析】由题意，只有第5项的二项式系数最大知，
展开式中有共 项，则 ，
所以 的展开式的通项为
，
令 ，解得 ，故展开式中的 项为 .
故答案为： .
26．已知二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 .
【答案】
【解析】因为二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，
所以 为偶数且 ，可得 .
故答案为： .
27． 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
【答案】 /
【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
题型八：求项的系数最值
28．已知 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的展开式的通项为 ，
由题可知 ，解得 ．
故选：A
29．二项式 的展开式中，系数最大项的是（ ）
A．第 项 B．第 项和第 项C．第 项 D．第 项
【答案】A
【解析】由二项展开式的通项公式 ，
可知系数为 ，与二项式系数相比只是符号的区别，
二项式系数最大的项为第 项和第 项，
又由第 项系数为 ，
第 项系数为 ，
故系数最大项为第 项.
故选：A.
30．（2024·江西南昌·三模）若 的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数
最大的是（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【答案】B
【解析】因为 的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，
所以 ，解得 ，
则 的展开式通项为 ，
当 为奇数时，系数为负数，当 为偶数时，系数为正数，
所以展开式中系数最大时， 为偶数，
由展开式通项可知 ， ， ，
， ，
所以展开式中系数最大的是第三项，
故选：B
31．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70 B．56 C． 或 D．
【答案】D
【解析】 的展开式的通项公式为 ， ，由二项式系数中， 最大，此时该二项展开式中第5项的系数 最大，∴ 的展开式中系数最大的项为
，
故选：D．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
32．已知 ，则
（ ）
A．9 B．10
C．19 D．29
【答案】C
【解析】因为 ，
所以
分别对两边进行求导得
，
令 ，得 ，
所以 ，
故选：C
33．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．253 D．126
【答案】C
【解析】令 ，
得 ，
，
∴ .
故选：C.
34．已知对任意实数x， ，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因 （*）
对于A项，当 时，代入（*）可得 ，当 时，代入（*）可得 ，
所以 ，故A项错误；
对于B项，当 时，代入（*）可得 ，
又 ，所以 ，故B项错误；
对于C项，当 时，代入（*）可得 ，故C项正确；
对于D项，对（*）两边求导可得 ，
，当 时， ，故D项错误.
故选：C.
35．已知 的展开式中各项的二项式系数之和为 ，各项的系数之和为 ，若 ，则展
开式中的常数项为（ ）
A．180 B．60 C．280 D．240
【答案】D
【解析】 的展开式中各项的二项式系数之和 ．
对于 ，令 ，则 ．
由 ，解得 ．
所以 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
故 的展开式中的常数项为 ．
故选：D．题型十：求奇数项或偶数项系数和
36．（2024·高三·上海普陀·期末）已知 ，则 （用
数字作答）．
【答案】
【解析】由 ，
令 得， ，①
令 得， ，②
① ②得， ，
.
故答案为： .
题型十一：整数和余数问题
37．（2024·湖北荆州·三模）已知 ，则 被3除的余
数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】令 ，得 ，令 ，得 ，
两式相减， ，
因为 ，
其中 被3整除，所以 被3除的余数为1，
综上， 能被3整除．
故选：D.
38．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种
动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
【答案】B
【解析】由
，故 除以 的余数为 ，故 除以 的余数为 ，
故 年后是马年.
故选：B.
39．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，
会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现
代十进制是 ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 换算成十进
制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】由进位制的换算方法可知，八进制 换算成十进制得：
，
因为 是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为 的末尾数字，
由 可得，末尾数字为5.
故选：C
40．（2024·福建三明·三模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般
使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数 转换为十进制数的算法为
．若将八进制数 转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】因为 是 的倍数，
所以换算后这个数的末位数字即为 的末位数字，
由 ，末位数字为3，
故选：A．
题型十二：近似计算问题
41．（2024·高三·河北·开学考试）已知二项式 的二项式系数的和为 ，则 .
试估算 时， 的值为 .（精确到 ）
【答案】
【解析】二项式 的二项式系数的和为 ，解得 ，
当 时，
.
故答案为： ； .
42．（2024·广东深圳·模拟预测）定义 表示不超过 的最大整数 ，如： ， ；
定义 ．
（1） ；
（2）当 为奇数时， ．
【答案】
【解析】（1）由题意得， ，
，
，，
，
由二项式定理同理可得， ，
；
（2）由（1）可归纳出当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，
当 为奇数时，则有 个偶数， 个奇数，
.
故答案为：2； .
43． 的小数点后第100位数字是 ．
【答案】9
【解析】设 ．则由特征方程可知其递推式为 ．
但注意到 ， 都是整数，由数学归纳法可知 是整数，
但显然有 ，因此所求小数点后第100位数字是9．
故答案为：9
44．实数 精确到 的近似值为 .
【答案】
【解析】因为
，
将 精确到 ，故近似值为 .
故答案为： .45．（2024·高三·山西朔州·开学考试） 的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【解析】
故答案为：
题型十三：证明组合恒等式
46．
【解析】令 ，则
，
因为 ，
所以 ，
所以 .
47．
【解析】记 ，则 ，
所以
由于 ，
所以
所以 中 的系数为： ，
而 展开式中 的系数为 ，
所以 成立
48．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列 ，称 为数列 的一阶差分数列，其中.对正整数 ，称 为数列 的 阶差分数列，其中
已知数列 的首项 ，且 为 的二阶差分数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的一阶差分数列，对 ，是否都有 成立？并说明理
由；（其中 为组合数）
(3)对于（2）中的数列 ，令 ，其中 .证明： .
【解析】（1）因为 为{a }的二阶差分数列，所以 ，
n
将 ，代入得 ，整理得 ，即 ，
所以 .故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
因此， ，即 .
（2）因为 为数列{b }的一阶差分数列，所以 ，
n
故 成立，即为 .①
当 时，①式成立；
当 时，因为 ，且 ，
所以①成立，故对 都有 成立.
（3） ，因为 ，所以 ，
故 ，即 ，
所以
.
49．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质： .小明同学想进一步探
究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.(1)计算： ，并与 比较，你有什么发现？写出一般性
结论并证明；
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明： .
【解析】（1） ， ，
规律： ，证明如下：
的展开式中， 的系数为 ，
同时 ， 的展开式中 的系数为 ，
所以 .
（2）证明： 的展开式中 的系数为 ，
又 ， 的展开式中 的系数为
，
所以 .
（3）证明：由（1）可知 ，
由（2）可知 ，
两式相减可得 ，
即 .
50．已知 ．
(1)求 的值
(2) ①证明： ，其中 ， ， ， ， ；
②利用 的结论求 的值．
【解析】（1） 令 ，得 ，令 ，得 ，
（2）① 证明： ，
，
② 由①得： ，
，
，
，
，
，
．
题型十四：二项式定理与数列求和
51．设n为正整数， 为组合数，则 （ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】D
【解析】解法一 设题中代数式为M，则．
解法二 设题中代数式为M，倒序相加可得 ，
于是 ．
故选：D.
52．设 ，对于有序数组 ，记 为 中所包含的
不同整数的个数，例如 ．当 取遍所有的 个有序数组时，
的平均值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 分别计算1，2，3，4的“价值”，可得所求平均值为
．
解法二 按 的取值分类．
N 总数
1 4
2 84
3 144
4 24
于是所求平均值为 ．
故选：C.
53．（2024·江西南昌·模拟预测）记
，则
．
【答案】【解析】取 ，则 ；
取 ，则 ；
两式作和得： ， .
故答案为： .
54．设 ，则 的值为 .
【答案】1
【解析】令 有 ，令 有 ，
故
故答案为：1
55．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知 ，则
．
【答案】
【解析】令 则 ，
令 则 ，
两式相加可得
令 ，
所以 ，
故答案为：
56．（2024·高三·重庆·开学考试）已知 ，则
.
【答案】
【解析】由于 ，
所以展开式的通项为 ，
又 ，
所以 ，
所以由二项式系数的对称性知 ，所以 .
故答案为： .
题型十五：杨辉三角
57．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成
一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰
上的各数出发引一组平行线，第 条线上的数字是 ；第2条线上的数字是 ；第3条线上的数字是 ；第
4条线上的数字是 ，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表
示）
【答案】 11
【解析】依据给定条件我们发现第8条线为 ，第9条线为 ，
第10条线为 ，第11条线为 ，
第12条线为 ，第13条线为 ，
第14条线为 ，第15条线为 ，
第16条线为 ，第17条线为 ，
第1条线和第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数，
第5条线和第6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数，
所以线的个数每增加2，其含有数字的个数增加1，
所以第21条线上的数共有11个
我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数字为1，
第5条线有 ，所以最大数字为3，
第9条线有 ，所以最大数字为15，
第13条线有 ，所以最大数字为84，
第17条线有 ，所以最大数字为495，
若设线的条数为 ，则第21条线中的最大数字也满足第 条线上的最大数字的规律，
而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行，
第8行为 ，第9行为 ，
第10行为 ，
第11行为 ，
第12行为 ，
第13行为 ，
第14行为 ，
第15行为 ，
第16行为 ，
我们观察第1条线的最大值，它是第1行第1个数，
第5条线的最大值是第4行的第2个，第9条线的最大值是第7行的第3个，
第13条线的最大值是第10行的第4个，第17条线的最大值是第13行的第5个，
所以我们归纳出如下规律，在线的条数为 时，
其包含的数字的最大值在杨辉三角中行数每增加3，数字的位置向右平移1位，
所以第21条线的最大值是第16行的第6个，为 .
故答案为：11；
58． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解
九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则
“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为 .
【答案】
【解析】第30行中第12个数与第13个数之比为
.
故答案为：
59．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一
组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 .【答案】35
【解析】杨辉三角第8行的数据为：1 7 21 35 35 21 7 1，
第9行的数据为：1 8 28 56 70 56 28 8 1，
第10行的数据为：1 9 36 84 126 126 84 36 9 1，
第11条斜线上的数为：1 9 28 35 15 1，所以最大的数是35.
故答案为：35
60．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，
10， 记这个数列前n项和为 ，则 .
【答案】111
【解析】由“杨辉三角”的性质，得
，
所以 .
故答案为：
61．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要
研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．若第 行中从左到右第3个数与第5个数的比为 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】依题意可知第 行的数从左到右分别为 ，
所以 ，即 ，得 ，解得 或 （舍去），
所以 的值为 .
故答案为：
62．在探究 的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我
国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨
辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如下图所示：
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
如上图，杨辉三角第6行的7个数依次为 ， ， … ， ．现将杨辉三角中第 行的
第 个数乘以 ，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如下图：
第0行 0
第1行 0 1
第2行 0 2 2
第3行 0 3 6 3
第4行 0 4 12 12 4
第5行 0 5 20 30 20 5
第6行 0 6 30 60 60 30 6在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为 ；从第一行开始的前 行的所有数的和为
．
【答案】 90
【解析】由题可得杨辉三角中第 行的第 个数为 ，
则新的三角数阵中第 行的第 个数为 ，故第10行的第3个数为 ，
新的三角数阵中第 行的和为： ，
设 ， ，
两边求导得， ，
令 得， ，
所以新的三角数阵中第 行的和为 ，设前 行的所有数的和为 ，
则 ，
，
两式相减得， ，
所以 ，
故答案为：90， ．
63．将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨
三角形，从莱布尼茨三角形可以看出： ，令
， 是 的前n项和，则 ．【答案】
【解析】由 可得： ，
所以 ，
所以
，
所以 ．
故答案为： ．
1．若 ，则 （ ）
A．180 B． C． D．90
【答案】A
【解析】易知 ，
其中展开式中含 项为 ，
因此 .
故选：A
2．（2024·高三·四川成都·开学考试）已知 是数列 的前 项和，若，数列 的首项 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知 ，
则 ，
则 ，
再根据二项式 的展开式中二项式系数的性质可知 ，
则 ，
又 ，可得 ，且 ，
则 ，
所以当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
则
.
故选：A.
3．若 ，则 的值为
（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】令 ，
令x=1,令x=−1, ，
则
.
故选：C.
4． ，则 等于（ ）
A．180 B． C．45 D．
【答案】C
【解析】 ， 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，故 .
故选：C.
5．若 既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
【答案】C
【解析】因为 ，
所以
，
所以若 既能被7整除，则 ，故
又 ，
所以
，
所以若 既能被9整除，则 ，故 ，
对于A，若 ，则由 可知 无解，故A错误；
对于B，若 ，则由 可知 无解，故B错误；
对于C，若 ，则由 和 得 ，故C正确；
对于D，若 ，则由 可知 无解，故D错误.
故选：C.6．（2024·四川·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A．9 B．15 C．21 D．24
【答案】A
【解析】二项式 的展开式的通项公式为 .
所以含 的项为 ．
故选：A．
7．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常
有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量
的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理
得到很多排列和组合恒等式，如由等式 可知，其左边的 项的系数和右边的 项
的系数相等，得到如下恒等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，在 展开式中， 的系数为 ，
，
其中 的系数为 ，
∴ ，故A符合题意；
对于B，由“算两次”的定义知，
从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数为 ，
同时还可以分类考虑：
第一类：取出 个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为 ，
第二类：取出 个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置，
然后从其余n个元素中抽出 个元素全排列，则所有的排列个数为 ，
综上，从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数为 ，
∴ ，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意；
对于C，对于 ，由“算两次”的定义知，
展开式中， 的系数为 ，，
其中 的系数为 ，
∴ ，故C不符合题意；
对于D，由组合数的运算性质知，
，
当 时， ；当 时， ，故D不符合题意，
故选：A．
8． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的
一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
【答案】D
【解析】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是 ，又 ，故A错误；
对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为 和 ，
因 ，故 ，故B错误；
对于C，因
，
则 ，故C错误；
对于D，因 而 ，故D正确.
故选：D.9．（多选题）已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．展开式的常数项为540 D．展开式含有
【答案】BC
【解析】由于二项式 的展开式中各项系数之和是 ，
所以令 ，则 ，所以 ，
所以二项式 ，所以展开后有 项，故A错误；
二项式系数最大的项是第4项，故B正确；
二项式展开式的通项公式为 ，
所以当 时，常数项为 ，故C正确；
当 时，解得 不是整数，所以展开式不含有 项，故D错误.
故选：BC
10．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知 展开式中共有8项．则该展开式结论正确
的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项
【答案】AD
【解析】A项，因为 的展开式共有8项，所以 ．
故所有项的二项式系数和为 ，故A正确；
B项，令 ，可得所有项的系数和为 ，故B错误；
因为二项展开式的通项公式为：
． .C项， 当 ，设 项系数最大，
由 ，解得 ，则 ，
且 ，第3项系数为 .
当 时， ，系数为1；
当 时， ，系数为 ；
由 ，故第3项的系数最大；故C错误；
D项，由 为整数，且 可知， 的值可以为：0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．
故选：AD.
11．（多选题）若 ，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A.令 ，得 ，故A正确；
B. ，令
令展开式中的 ，得 ，故B错误；
C.令展开式中的 ，得 ，
所以 ，故C正确；
D.展开式的两边求导，得 ，
令 ，得 ，故D正确.故选：ACD
12．（多选题）已知 ，则下列结论成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设 ，原式为 ,
令 ， ,A正确；
令 ，则 ，
同乘 得 ，
， ，故B错误
令 ，则 ，故C错误
两边同时求导得： ，
再令 ， ,故D正确.
故选：AD.
13．若 ，则 ．
【答案】240
【解析】设 ，
则 .
令 得： .
故答案为：240
14．（2024·高三·全国·自主招生） ，则
.
【答案】3072
【解析】 ，
两边同时求导数，得 ，
取 ，有 ，由 ，
时，有 ， ，
所以 .
故答案为：3072.
15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，则
.
【答案】4048
【解析】因为 ，
等号两边分别求导，得 ，
令 ，有 ，
所以 .
故答案为： .
16．（2024·高三·湖北·开学考试）在 的展开式中，若 的系数为 ，则
.
【答案】
【解析】由二项式的展开式的通项公式可得第 ，
令 ，可得 的系数为 ，
所以 ，
则 ，
则 .
故答案为： .
17．（2024·天津·模拟预测）已知 的二项展开式的奇数项二项式系数和为 ，若
，则 等于 ．
【答案】【解析】 的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，
，即 ，
则 的通项公式为 ，
令 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
18．（2024·高三·上海·开学考试）设 ，若
，则 .
【答案】
【解析】令 ，得到 .
令x=−1,得到 .
则 .
所以 31.
故答案为：31.
1．（2024年上海秋季高考数学真题）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为
．
【答案】10
【解析】令 ， ，即 ，解得 ，
所以 的展开式通项公式为 ，令 ，则 ，
．
故答案为：10．
2．（2023年天津高考数学真题）在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】【解析】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.
3．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式 ，则
， ．
【答案】
【解析】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
4．（2022年新高考全国I卷数学真题） 的展开式中 的系数为 （用数
字作答）．
【答案】-28
【解析】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
5．（2022年新高考天津数学高考真题）在 的展开式中，常数项是 .
【答案】
【解析】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .6．（2021年天津高考数学试题）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160
【解析】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
7．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式 ，则
， .
【答案】 ; .
【解析】 ，
，
所以 ，
，
所以 .
故答案为： .
8．（2021年北京市高考数学试题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】
【解析】
的展开式的通项
令 ，解得 ，故常数项为 ．
故答案为： .
