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2006年数学（二）真题解析
一、填空题
⑴【答案】y =-^-.
0
【解】 由limy=g,得y =； 的水平渐近线为夕=£.
•r—8 0 OJ3 一 Zcos X 5
(2)【答案】 y.
sin t2 dt 2 ［
［解］ lim/(j? ) = lim -------------= lim : =—,
•z—o 力-*0 x 工一0 3 工 3
因为/(0) =a , f(x )在乂 =0处连续9所以a =*.
(3) 【答案】 j.
计、七土 严 皿 _ 1 P- d(l+a：2) _ 1 +8 1
【解】方'去 Jo (1+ 工 2)2 -刃。(1+乂2)2 - - 2(1+小 0 "7-
” 2
"+°° x = tan t 7 tan t • sec t r2TL .
方法二 -----------------dr = sm cos
0 (1+小2 o sec t------------Jo
存.★ • 、 1 • 2 今 1
= sin Zd( sin t) =-^-sin t =肓・
Jo 2 o 2
(4) 【答案】y =CzeP(C为任意常数).
【解】 由“=仪二小,得『一(丄一1)^=0.
X \工 /
通解为》=Ce^"^_1）dj： =CreF（C为任意常数）.
（5）【答案】一e.
【解】方法一将工=0代入》=1—工兰得』
夕=1 一 x 两边对x求导得半^ = 一 ey 一 x 叟~ 9
djc Ax
将jc =0,j/ = 1代入得学I = — e.
dr I 工=o
方法二 将z=0代入y =1 — x ey得夕=1，
y =1 一 x 两边求微分得 dy = 一 (ey dx + 工"djy ) 9
将工=0 / =1代入得dy = — edjr，故岁I = — e.
dr I x=o
(6)【答案】2.
【解】由BA =B +2E,得〃 (A — E) =2E,两边取行列式，得|B | . |A -E | = 4.
因为 A - E = ( )9 所以 \A — E I = 2,于是 | B I = 2.
\— 1 1'
• 50 •
淘宝店铺：光速考研工作室二、选择题
(7)【答案】(A).
【解】 方法一 <^y = /z(x)Ar , Aj; = /(j? +z\z) —/(jc) = /，(^)Ar(j' <；f0,所以f” 单调增加，于是o 0 得 0 V y'S)△工 < /'(£)△=，即 0 V dy V △》，应选(A).
方法二 由泰勒公式得
r(e)
/(jr ) = /(jc o ) + /'z (x 0 ) (jc °。)+ 2! (z — xoy,其中w介于s 与x 之间,
因为严(2)>0,所以y(jr)—/(j；0)—j?0)，等号成立当且仅当x =x0,
故三dy.
因为 /'(Zo)〉O,Zkr = x —xQ >0,所以 dy = /z(je0)(jc 一工。)〉0,于是>0,应选(A).
方法三 △夕=/(□：<)+ Ajt ) — /(j?0 ) =/z(f) Ax (z。V g V % 十△_z ),
则—dy =[/'(£)— =/'"(”)(£ 一 (攵0 V 甲 < g),
由 0 得— Ay > 0,即> dy ,又 dy > 0,故〉dy〉0,应选(A).
方法四 因为f'O〉0 , f" O >0,所以y — f (x)为单调
增加的凹函数(如右图所示)，因为Ar >0,所以dy= |BC|>0,
△y = \BD\> \BC\，应选(A).
(8)【答案】(B).
【解】 因为工=0为f⑺ 的第一类间断点，
-(7)题图
所以FQ) =「/(/)山为连续函数.
又因为 F (— x ) = [ = [ /(一 u ) (— dw ) = f /(w)dzz = F(jc),
J 0 J 0 J 0
所以「fCOdt为偶函数，应选(E).
J 0
方法点评：本题考查可积分函数形成的变积分限函数的连续性与奇偶性.相关性质有：
(1) 对FQ)=「/XEck,若/Q)只有有限个第一类间断点，则FQ)连续，但在j(x)
的第一类间断点处连续不可导.
(2) 若/(工)为奇函数，则F(x)为偶函数，但若fS 为偶函数，则FQ )不一定是奇
函数.
(9)【答案】(C).
【解】 由 h' J工)=e1+g(j) • g/(j：),得/z'(l) = e1+g<1) • g'(l).
解得 g(l) = —In 2 — 1,应选(C).
(10)[答案】(D).
【解】 对应的二阶常系数齐次线性微分方程的特征根为A1=l, A2=-2,对应的特征方
程为(入一1)(入 + 2) = 0,即 A 2 +入一2=0.
对应的齐次线性微分方程为『+夕'—2y = 0.
设所求的微分方程为『 + 3/ — 2y = /(jc)，因为ze"为该方程的特解，代入得f(.x) = 3e",
故所求的微分方程为3/' + y' — 2y = 3eJ ,应选(D).
• 51 •
淘宝店铺：光速考研工作室（11）[答案】（C）.
【解】 将°= 转化为Y形区域为
；C
J \ —
J
d(9J /(rcos 0 ,rsin(9)rdr = Ip?
f Qx 9? )dr 9
应选（C）.
（12） 【答案】（D）.
【解】 方法一 因为（Py（x,y）y^0且卩（几，夕0 ） =0 ,所以（p（jc ,y） = 0确定j/为工的
函数，设为y =夕（工），代入z = f G，夕）中得z =/[jr ,y（z）].
因为Qo，，o）为极值点，所以賈 I '%）+ ,夕0）• y'Qo） = 0,
QJC丨乂二工。
若咒（工0，卅）H0,则冗（工。，片）H0,应选（D）.
方法二 令F（_z,y,入）=/（工，夕）十入爭（z,y）.
因为（j?（i ,y0）是f （x ,y）在约束条件cp（jc ,y） — 0下的极值点，所以
IF^（x0 ,y0） =f^（x0 ,3^0）+入卩；（乂0，%）= 0,
{F^（j?0 ,y0 ） n/Muo） + 入爭；（工0，》0）= 0’
若 f'x（jco ,y0） 7^ 0,则由 f'g ° ,yQ） + 入申；（工0 ,y0） = 0 得入工0,因为 cp^jc^ ,y0） 0,所以
咒（工。，％） H0,应选（D）.
方法点评：本题需要正确区分二元函数无条件极值与条件极值的区别.
（1） 设z=/、（_z,y）可微，且（x0 ,y0）为2： = f（x ,y~）的极值点，则（工。Qo）为于（久，》）
的驻点，即f^.（.x0,y0） =0,/、；（久0 ,%） =0,反之不对.
（2） 设z —f（x ,y）可微，（工0，$0）为函数/"（工，》）在约束条件h（x =0下的极值点，
[F；（_Zo ,夕0），夕0）+壮；（鼻0，%）= 0,
则（x0 ,y0）满足＜F；（g，夕o）=冗（攵0,%） +入£Qo，%））=0,反之不对.
[h （xQ,y0） =0,
（13） r答案】（A）.
【解】 方法一 令 Q =（S ,。2,…，cts）， （Aai ,Act2,…，Acts） =A0,
则 r （Aa i ,Aa 2,…，Aa 5） = r （AQ） W r（Q）.
若 a】 ‘a?,…，a,线性相关，则 r（2）＜ s，于是 r（Aax ,Aa2，…,Aas） ＜ r（Q） Vs,
即Aa} ,Aaz, ••- ,Aas线性相关，应选（A）.
方法二 若心，他，…，a、线性相关，则存在不全为零的常数紅，…，亿，使得
怡 a + 怡 a ksa s = 0,
1 1 2 2 + …+
等式两边左乘A得
k i Aa i + k 2Aa 2 + ••• + k sAa $ = 0，
由线性相关的定义得Aa】 ,Aa2,--,Aas线性相关，应选（A）.
（14）【答案】（B）.
【解】由矩阵的初等变换与初等矩阵的含义，得
• 52・
淘宝店铺：光速考研工作室Z1 1 °\ /I -1 0\
B = 0 1 0 A =PA , C=B 0 1 0 =BP
J 'o
'0 0 0 u
于是C=PAP 应选(E)
三、解答题
(15)【解】 方法一 由 (1 + Bx + Cx2) = 1+ Ax + o (j? 3),
e’(l+Rz 十 CzT —1—A 工 门
X
池"、亠、丿+rmi e i ( 1 + Bj- + Cx 2 ) + e’(_B + 2Cx ) — A e i 丄 n 人 n
由洛必达法则得hm--------------------------—--------------------------= 0,于是1 + B — A = 0 ；
—0 3jC
再由lim e"(1 +"“ +'鼻2)+2兰(B +2Cz) + ?££ = °,于是］+ 2fi +2C = 0；
6 工
x-*o
审亠「于(l+Rz+C/)+3ey£+2Cz)+6CV 小工曰「“ —厂 °
再由 hm---------------------------------------------------------------=0,于是 1 + 3E +6C=0,
工-> 0
0
1 2 I
解得 A=-,B=--,C=-.
3 3 6
2 3
方法二 由 e"=l+«z + ------H ------o (工3 ) 9 得
“ ！ " ！ / 1 \ / R 1 \
e”(l+Rz + Cz2) =1 + (£ + 1)工 + 0 + C +》)/ + (q + c + 百)工3 +。(工3),
B + 1 = A 9
£+c++=°‘ 解得 a=4， b=-|,c=4
则』
3 3 o
f+c+l=^
arcsin e° arcsin 〔 eJ djr
(16)【解】 ------------dr arcsin e'd(e_x) e
arcsin X arcsin e"〔 e J dj?
ex 71 - e2x
arcsin e" _ F d(e~J) arcsin e"
J 丿(eT — 1 —ln(e h 十 a/e 2j — 1 ) + C.
方法点评：本题考查不定积分的分部积分法.
本题有两个关键步骤：
(1) 因为被积函数含反三角函数，所以需要使用分部积分法；
(2) 求解被积函数中含e"的不定积分，需要一定的技巧性，如：
【例】
【解】
)+ C.
• 53・
淘宝店铺：光速考研工作室(17)【解】由二重积分的对称性与奇偶性得
I =［［ 丁心2山心
Jb+-* 2+^
U+昇讣= 'i rdr
0 1 + r2
D / ~~2
7t = yln 2.
0 厶
方法点评：二重积分的计算注意如下的对称性：
(1)设D关于夕轴对称，》轴右侧区域为Di，则
0, f (― x ,y) — — f(x ,y),
||/（J7 9y）da =<
2JJ f（x ,y）da, 若 f〈一工,y） = f （工,y）.
D d.
(2)设D关于工轴对称，工轴上侧区域为Dj ,则
0, 若/'(工，一y ) =—/'(•X ,))
||/（-r ）dc =
2JJ f（x ,3/）d（r ,若 f {x , — y） — f（j： ,y）.
D
.Di
(3)设D关于直线y =H对称，则曲 ]j/（y ,x）da.
D D
(18) ( I )【证明】 由 0＜工］V 兀及 z”+i = sin x „ 得工”〉0(" = 1,2, •••).
因为当工＞ 0时，sin x ＜Z x ,
所以工”+】=sin_z” Vg,即｛工”｝单调递减，则数列&”｝单调递减有下界，由极限存在定
理得limz”存在.
令limjc” =A 9 由 x ”+1 =sin 两边取极限得 A = sin A ,解得 A = 0.即 limz” =0.
“一＞oo 8
2 sin x n _ r 1 " _ = limfl + sin x n 一 x ~2
（II ）【解】lim ” =lim
”f 8 8 “f 00 \ X
sin x “ —x ” .. sin x ” -
「/ sin x n 一 x n\ sin x ” —X ” x 3 'm x §"
lim 1 +——-——- ” =e ”
8
亠 sin t 一 t [. cos t 一1 1 /曰[. sin x n —x 1
lim ~ — lim z —— ~~，彳可 lim ~
L0 t L0 3t 6 x „ ~6
(19)【证明】方法一
令 /（j? ） = x sin x + 2cos x + 兀工 一 a sin a 一 2cos a 一 na ,
/（a ） = 0.
f （h ） = h cos x 一 sin jc + re,
因为 f"（工）=cos x 一 x sin x — cos x = —x sin x V0（0Vh ＜兀），
所以厂（工）单调减少，又因为f（7t） =0,所以f （工）＞0（0 V无＜7r）,故于（比）在［0山］
• 54 •
淘宝店铺：光速考研工作室上单调增加9因为b > a且/(a) =0,所以/(6)〉。9即
6sin b + 2cos b + > a sin a + 2cos a + tcq ・
方法二
令 /( j? ) =x sin x + 2cos jc + Ttx 9 f (王) cos x — sin z + 兀 9
因为/〃 (e) —— x sin x V0(0Vh 1）得曲线L是上凸的.
（II ）方法一 设切点（工0 >3^0）对应参数t =6 ,即（工0 ,夕0）= （io + 1,4/o —球）.
学 =匕，由匕=害1得仏=_2（舍去）,z0=l.
dx A® t0 t0 to +2
故切点为（工0，夕0）=（2,3）.
过点（-1,0）的曲线L的切线方程为夕一3=工一2,即切线方程为夕=工十1.
方法二 过点（一1,0）的曲线L的切线方程为y — y0 = •（■z—工。）.
d-r …。
由兽 =厂_ 2 = _ ],得切线方程为，_，（）= （/ = 一 1）（工_工。）.
dz x=Xq J工 § — 1 vj: o 1 '
因为点（一1,0）在切线上，所以y0 = __ ] - 1）（S + 1）,
不妨设切点Qo 9夕0）对应参数t =£o・
由 Po =46 —£爲得 4% - = （------1）（^o + 2）,得 t0 = — 2（舍去）Mo =】9
于是工0 = 2,3；0 = 3,切线方程为_y =x +1.
（ffl）切线与工轴的交点坐标为A （—1,0）.
令4/ —八=o,得上=0或t =4,当r = 4时，工=17 > 2,故取t =0.
曲线与工轴交点为3（1,0）,所求面积为
1 f2 g p 7
S = — X 3 X 3 — _ydjr = —----（4/ 一 t2） • 2tAt —
r 1 1 1 \
(22) ( I )【证明】 令人A = 4 3 5-1 ,X = X 2 ，原方程组可写为AX=b.
^3
a 1 3 b '
J
因为A至少有两行不成比例，所以r（A）》2.
设ax ,a2 ,a3为AX = b的3个线性无关解，则al — a2 ,at — a3为AX =0的两个解.
令怡 a a % 2( a a ~ 0,则(& 上 2)a 】k 2 怡 a — 0,
1 ( 1 2) I i 3) i I 2 3
• 56 •
淘宝店铺：光速考研工作室因为a]2 9。3线性无关9所以kj =k2 =。9从而«1 —。29。1 — a3线性无关9
即AX =0至少有两个线性无关解，于是4 —厂(A) $ 2或厂(A) W 2,故厂(A) =2.
(U)【解】方法一 1=|； 3 5 1 1 1 1 ; -1
-1 -1 1 —5^3
'a 1 3
b 1 ' yo 1 — a 3 — a b — a \ A. a
-5 3
因为 r(A ) = r(A) = 2,所以 ----= ----- ，解得 a =2,6 = — 3.
1——a 3——a b a 1 + a
Z1 1 1 1 I1 1 0 2 -4 2
由A T■ 0 -1 1 —5 3 -『0 0 1-1 5 -3
0 / '0
'0 0 0 0 0 0 0 0 0
—2
得原方程组的通解为X=C】；+C2
,C2为任意常数).
0
方法二 因为r(A) =2,所以A的所有3阶子式都为零.
1 1 1 1 1 1
ill 4 3 5 =0, 3 5 一 1 =0 得 a=2,b = — 3.
a 1 3 1 3 b
_ /I 1 1 1 ；— I1 1 1 1 T\ I1 1 1 1 ; -1
由A = 4 3 5 -1 一 1 h 0 -1 1 -5 3 1 -1 5 -3
/ 'o 3丿
1 3 -3 -1 1 -5 '0 0 0 0 : 0
I1 0 2 --4 : 2 \
-0 1 -1 5 --3 9
'0 0 /
0 0 0 i
得原方程组的通解为
—2' 4 2、
1 -5 -3
X =b\ + k2 + Ck.,k2为任意常数).
1 0 0
.0 .1 .0 .
(23)【解】(I )根据特征值与特征向量的定义,
为其对应的特征向量.
因为AX= 0有非零解，所以入=0为A的特征值，其对应的特征向量为5 = 2
1
a2 线性无关，所以入=0为A的二重特征值，于是小=心=0,其对
应的线性无关的特征向量为5卫2.
• 57 .
淘宝店铺：光速考研工作室故A的特征值为入1=入2 = 0,入3 = 3,其中入3 = 3对应的所有特征向量为ka 3 （k为任
意的非零常数）；入1=入2= 0对应的所有特征向量为+k2a2{k, ,k2为不全为零的
任意常数）.
（11 ）令山=
单位化得八
/0 0 0
则 A =Q ' AQ = 0 0 0
'o 0 3
• 58 •
淘宝店铺：光速考研工作室
