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2006年数学(三)真题解析
一、填空题
(1)【答案】1.
【解】 当九为偶数时,lim 十1) =lim(l +丄) = 1；
7? / H /
“f oo \ n*o-o \
当 九为奇数日寸，lim = lim (九 + 】) =]im : = lim (1------) = 1；
“f 8 \ 72 / ”-*8 \ / “f 8 7? 1 n*- 00 \ 72 1 /
~H
所以lim(匕巴=1.
Yl )
n*oo- \
(2) 【答案】2e3.
【解】 由/(2) — 1,得(2) = e .
又由 f(x)=efM ,得 y〃Q) =/小十(工)=e"s , f〃(工)=2『心 f (工)=2e"® ,
于是 /'〃(2) =2e3.
(3) 【答案】 4dj? 一 2dy ・
【解】z— = f/ (4.r2 — v2 ) . — = — 2yf/(4j：2—y2 ),
f— =8八0)=
==—4/,(0) = — 2,
(1,2)
于是 dz I(1,2)= 4dj? — 2dy .
(4) 【答案】2.
【解】 由BA-B+2E,得B(A—E) = 2E,两边取行列式，得丨於丨• |A—0=4.
因为 A —E =( )，所以 \A—E |=2,于是 IB I =2.
(5) 【答案】 y .
【解】 由X〜U(0,3),Y〜U(0,3)得X,Y的边缘密度为
0 < 工 < 3, 0 < y V 3,
/x)= 几(》)=
其他. 其他.
由X,Y独立得
P{max(X,Y) 0,所以fO 单调增加，于是0 V") 0,所以f(.X ) — /(J7O)S)'当且仅当攵=2 0时等号成立，
故△ y dy .
因为 〉0,、工—X — x q >0,所以 dy — (x 0) (jc — J： 0) >0,
于是> djy > 0,应选(A).
方法三 =/(j:0 + Ajc ) — f (工 q) =/"'(£) △工(Ho < W V 5 +、工)，
贝I] 一dy = [/''(W) — /z(J：o)I|Ajr =/""(乃)(W — •Zo)A° Qo V q V g),
由 f") > 0 得—dy > 0,即〉dy ,又 dy > 0,故> dy > 0,应选(A).
方法四 因为/■'(工)>0,/〃(工)>0,所以y=f(x)为单调增
加的凹函数，如图所示.因为Az >0,所以dy^\BC \>0,^y =
I BD |>| BC I，应选(A).
(8) 【答案】(C).
【解】 由lim )=1,得lim/(/z2 ) =0,因为fCx)在工=0处
A*0- h A*0-
连续，所以f(0) =0.
又由曲 炉=怛/('2)J/(Q) F他)，得昇⑹=1'应选心
(9)【答案】(D).
【解】 方法一 令S” =a 1+如+…+乩，因为5收敛9所以liman =0且limS„存在9
〃 =] LOO LOO
令 limS„ = S 9
“f 8
ai+<22 «2 + ,a ” + a ”+] a 1 | a n-bl
令 十…------------- -------------
2 2 2 2 2
因为limSf =S —#存在，所以2
8 ""蔦I
收敛，应选①).
"fOO / /z 1 \ w 00 8
00 00 00
方法二 取q” =—一，级数»”收敛，但工|a” |=工丄及工（一l）"a” = 丫丄发
" n = 1 n = 1 n = 1 宛 n = l n = 1 力
散，（A）不正确；
/ _ -I \ n 00 8 8 ]
取a” =―——，级数工a”收敛，丫 a ”a”+i =— 工 —,
1 v n （n + 1）
（C）不正确，应选（D）.
OO 00 8 r
方法二由级数丫5收敛得〉2 ~^an与U ~Tan+l收敛9
n = l
“ = 1" 71 = 1"
00 I
由级数收敛的基本性质得工--~Lan+1收敛.
n = l /
（10） 【答案】（B）.
【解】夕1（工）一夕2（分）为齐次线性微分方程P Cx ）y = 0的解，
j/ + P（.jc）y = Q（jc）的通解为j/十PCz），= 0的通解与夕'+ PCz）y = QCz）的特解之和，
故“十 PQ ）_y =QQ ）的通解为Q ） + C[yi （工）一 ％（力）]，应选（E）.
（11） 【答案】（D）.
【解】 方法一 因为（p\{x ,y） H0,所以cp{x ,y} = 0确定夕为h的函数，设为_y =
y（＜r）,代入 中，得 2=兀2,夕（2）].
因为（°0，火）为极值点,所以乎 =允Qo，%）+ /"；（工0，夕0）•夕'（#0）= 0,
x =°0
若于：（#0，》0）H 0,则 f'y （^0H 0,应选（D）.
方法二 令FQ,夕，入）=y（z,》）+入卩（工，夕），因为（工。，％）为极值点，所以
F；（工0 ,夕0）=咒（5，夕0）+入爭：（工0，夕0）= 0,
F；（鼻0，夕0）= S'夕0）+入卩；（攵0，夕0）= 0,
F： Qo ,夕0）=卩（久0，夕0）= 0.
当于；（工o，yo）H 0时，入H 0.
由 cp'y （x0 ,j/0）H0,得入卩；（工0，夕0）H0,则 f'y ^yo）工 0,应选（D）.
（12）【答案】（A）.
【解】 方法一 令 Q = （a】‘a?,…，a、.），（Aai‘Act?,…，Aa.＜） =AQ ,
则 r（A«! ,Aa2，…,Aas） —r（AQ）^r（Q）.
若 a】，。2,…，a、线性相关，则 r（Q）=r（a1 ,a2 ,as）＜s ,
于是 r（Aa1 ,Aa2,…，Aa, ）Wr（Q） Vs ,
即Aa} ,Aa2，…,Aas线性相关，应选（A）.
方法二 若s ,°2,…,as线性相关，则存在不全为零的常数£ ，…，匕，使得
kxa \ + ^2«2 + ••• + ksas =0,
等式两边左乘A得
k! Aa 1 + k2Aa 2 + …+ k sAa s = 0,
由线性相关的定义得Ag ,Aa2, -,Aa5线性相关，应选（A）.（13）【答案】（B）.
I1 1 °\ /I -1 °\
【解】B= 0 1 0\a ==PA , C = B 0 1 0 =BP 1
'o J 'o J
0 0
于是C = PAPT,应选（B）.
（14）【答案】（A）.
X — “1
【解】由X〜N（m，时），Y〜 话），得 N(0，l) , N(O,1),
N（“2,
6 6
P{|X—知 |< l}=p{-丄 —或 6
由P{|X—幻 |<1}>P{| Y-
“2
I<1}，得① >0(—)9 <^29
\° 2 1 2
应选（A）.
三、解答题
1 ・ 兀工
1 — y sm----
(15)【解】(I)g(H)= lim /(x — lim
+8 1 + p arctan x
.7ZX
sin----
=丄----- ----lim y 1 1 — 7TJC
1 — TZX
x arctan x 7ZX x arctan jc
y
丄—丄N)=iim arctan jc —无(1 — tcx )
(II) lim g Q ) = lim
x arctan x ' 工―o+ x arctan x
a?fo+ 工*()+-
rb-j
arctan x 一 x + me2 ..
=lim --------------------------2----------------------= lim
H—0+ x —0+
2
（16）【解】
(17)【证明】 令 f Jjc ) =x sin x + 2cos x + tzx — a sin a — 2cos a — Tea 9 /(<2 ) = 0.
ff (jc )=工 cos x — sin z + 兀
9
因为 ff\x ) = cos jc 一 x sin x 一 cos x = —x sin x V0(0Vh V?r)9所以/''(•z)单调减少，又因为(兀)=0,所以f\x ) > 0( 0 a且/"(a) = 0,所以/(6) >0,即
bsin b + 2cos b + 7tb〉a sin a + 2cos a + ita .
方法点评：本题考查利用单调性证明不等式.
证明关于两个常数的不等式时，一般先将其中一个常数改为工构造辅助函数，然后利
用单调性证明•
(18)【解】(I)设曲线方程为L：y=y(x)，直线OP的斜率为乞，由题意得
X
dy 3/ 帚旳 1
-----------=ax 或- y = ax，
djc x---------------Ax
jc
y = (a [z e' 7 djc + C j e = (ax + C )工=Cx + ax2
解得
由 y(l) = 0 ,得 C = —a ，故 y = y («r ) = ax2 一 ax ・
y = ax，
(U)由 得工
=0 ,
工 2,
y = ax — ax，
£a = £，得 a = 2.
由 \_ax 一 (aj?2 一 ax )]dj? (2工 一 re2 )dj?=
J o
(19)【解】 方法一由lim 1,得R 1,
n-*00
当2 = 士 1时，因为丫
(—1)"T (士 l)2"+i
=s
丄 、收敛，即当工=士1时，级数
n(2n 一 1) nlZn — 1 ；
n = 1 n = l
绝对收敛，故级数的收敛域为[―1,1].
卄
令S⑺詔00 / -I" \ n-1厂 2 1
S (工)=X ^ 8 2( z -(r 1 >1 、 ) n—1 x1、 2n =°Si(e),其中Si(_z) = Y 吕 - (— To ] - ) -- ” - T -- 2“ » Si(0)=0,
n = \ 71(/72 — 1 ) n = 1 nJ 乙Tl — 1 )
8 z i x n—1 2n—1
,S’】(0) = 0,
” =i 2“一 1
S〃iQ) =2$(-1)"-口
2”
一
2 =2
空(—工
2)”
一
1
2
1 + JC 2
n = 1 n = 1
S\ (x ) = S‘i(_z) — S\ (0)= ----dr = 2arctan jc ，
1 + 允，
0
于是 Si(h) =Si (h ) — Si (0)= 2arctan x Ax
J o
x 2x 2
=2工 arctan x — ---- ax = 2jc arctan x 一 ln( 1 + ) 9
o 0 1 +才
故 S (乂)= 2 2 arctan x 一 x ln( 1 + 2 ) ( 一 Wl)・
方法二由lim经三=1得R
1,
w-*°° I S I
当 = 士 1时，工 (-1)"T (土 1)2W+1 =2 -7^丄~托收敛，故收敛域为z-ial
_z
n(2n — 1) 〃 =i nlZn — 1 ；
n = 1SQ) = Z00 ；iZ -1 \ H —1 工2 九 + 1 (( 一 -1i )\ n—1 X2 卄 1 (/ —-1| )\ n—1 X2”+1 —
=2
n (2n 一 1) 2" — 1 ”=】 2n
W = 1
八+ 十(一 工
而工 (―1 2 ) n "-1 -l — 1 =乂 2 占—2 1) n 1 - l "I _ £ 1 工 2"-2] 也
n = 1
=X2 — ch =工Cretan 工；
1 +d
J 0
E (—])”—】工加+ 1 (—\y~xjc2n 卩「吕
2 7?
n = l n = l
=工 一—―dj? = ^-ln(l + 工 $ ) 9
Jo 1+jt2 2
故 S(h ) =2jc 2arctan x 一 x ln( 1 + jc 2 ) (一 1 £ 工 W 1).
(20)【解】 向量组ax ,a2 ,a3 ,a4线性相关的充分必要条件是丨5 心,a3 ,a4 I =0,
1 + a 2 3 4
1 2 + a 3 4
而 «1心 ,。 ，叫= = a?(a + 10)，
3
1 2 3 +a 4
1 2 3 4 + a
,。
当a =—10 或 a =0时，向量组a} ,aL ，a 3 线性相关.
4
当a =0时，极大线性无关组为 ax，且 a2 二= 2ai ，a< == 3a1 a = 4ai;
当a =—10时 由
9
-9 2 3 4 1 _ 8 3 4、
1 -8 3 4 -9 2 3 4
(a} a 2 9a3 9(X4)== 1 2 -7 4 —A 1 2 -7 4
,1 2 3 -6, 1 2 3 _ 6,
1 -8 3 4 ' 一 8 3 4 1 0 0 -1
0 -7 3 4 0 1 0 -1 0 1 0 _ 1
0 1 -1 0 0 0 1 -1 0 0 1 -1
0 1 0 —1 0 0 0 0 0 0 0 0 .
得,a2 ,a3为极大线性无关组，且a』=—a】一a? — a：—
方法点评：本题考查向量组线性相关性性质及非齐次线性方程组的解.
当向量的个数与维数相等时，该向量组线性相关的充分必要条件是该向量组构成的行
列式为零.
(21)【解】(I )由A ^=3|1 1 | ,得入3 =3为A的特征值，a lj为其对应的特征向量.
3
1
因为AX = 0有非零解，所以入=0为A的特征值，其对应的特征向量为
a 2 =
因为a. ,a2线性无关，所以入=0为A的二重特征值，
于是入 =入 =0,其对应的线性无关的特征向量为« ，。2.
1 2 1t
t
V
旱
(
•
V G
I
V 3 V
二 0
0•
si
p z h - 7 "
7-P&+ L )II(N)X(== 卜 jz 0> s
V 3 V G
i
G V
二 o
H
二
b v o
4A)3( 汕 巴 入 寸 起
•
0
T + T P 1
) b ( H
〉d
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心 〈
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H R V 汕
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心 〈 i 沏
0 V 3 V
H O -
4 A) 2 廿 o 沏 巴
V
( Q ) 3 ( H d a v 2 U E X Z V 2 “
I
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衆
h0) v — i- h(91
0 0 7
o o o
. M 0 F 0 H
0 0
」0
日< 驱3
li
) n ( G 0 L 6
)nI(E(Y)=EX)=[：辛业+J：手血玮,
E(XY)=E(XJ=仁討+H=$
则 Cov(X,Y) =E(XY) — E(X)・ E(Y)
7 5 2
= E(X3) -E(X)・ E(X2) ------.
o Z4 3
5)F(—*,4 )=”X
r+8 pi C2
(23)【解】(I)E(X)= xf{jc )dj? = 0HcLr+ (1 — d) j? dj：
J 0 J 1
J —oo
6 , 3(1—0) 3 a
---- ~ ~ ---- U 9
2 2 2
— 3 —
令E(X) =X,得参数0的矩估计量为d=--X・
(n)似然函数为
L(0) = P {Xx = x x} P {X 2 =x2} •••F {Xn — x n}
=P {X =xx }P {X =x2} ---P {X
=xn}
= 0N(1 — 0)「N
9
In L(3) = Nln0 + G — N)ln(l — 9 ),
A N[ n — N N
令而In L(0) =-------------- = 0得参数9的最大似然估计为9 ——・
de/ (7 1 ——U n
