文档内容
特训 01 二次函数压轴题（十大母题型归纳）
目录：
题型1：存在性问题
题型2：最值问题
题型3：取值范围问题
题型4：定点问题
题型5：定值问题
题型7：二次函数与圆
题型8：对称、旋转问题
题型9：新定义问题
题型10：二次函数与解直角三角形
题型1：存在性问题
1．抛物线 与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 ，点
D在抛物线上．
备用图
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图，点D在 上方的抛物线上，当 的面积最大时，求点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得 ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图①，在平面直角坐标系 中．抛物线 与 轴交于 ， 两点 点 在点 右
侧 ， ，与 轴交于点 ．直线 经过点 ， ．
1(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，点 为 上方抛物线上一点，过点 作 轴交直线 于点 ，作 轴交直线
于点 ，求 周长的最大值；
(3)在(2)的条件下，若点 是 轴上的动点，点 为平面内一点，是否存在点 ， ，使得以 ， ， ，
为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线 交 轴于点 、 (点 在点 的左侧)，与 轴交于点 ，点 、 的坐标
分别为 ， ，对称轴 交 轴于 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方的抛物线上一点，且 ．求 的坐标；
(3) 为抛物线对称轴上一点，是否存在以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
题型2：最值问题
4．如图1，直线 交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线 与x轴
的另一交点为 ．
2(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接 ，求 面积的最大值；
②加图3，连接 ，将线段 绕O点顺时针旋转 ，得到线段 ，过点E作 轴交直线 于
F．求线段 的最大值及此时点D的坐标．
5．如图，二次函数 的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接 ．
(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P的坐标．
(3)设E为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M从点A出发，沿线段 以每秒1个单位
速度运动到E点，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．
(4)若点Q在y轴上，当 取得最大值时，直接写出点Q的坐标________．
36．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点
C，连接BC， ， ，点D是此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，当 的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为
M，连接 ， ，探究 是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存
在，请说明理由．
题型3：取值范围问题
7．在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ．
(1)求 用含 的式子表示 ；
(2)抛物线过点 ， ， ，
①证明： ；
②若 ， ， 恰有两个点在 轴上方，求 的取值范围．
48．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交 轴于点 和点 ，与 轴交于点 ，
顶点为 ．
(1)求此二次函数的关系式．
(2)若点 是直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点 的坐标．
(3)点 为二次函数 图象上任意一点，其横坐标为 ，过点 作 轴，点
的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线 段的长度随 的增大而减小．求出线段 与二次
函数 的图象只有 个公共点时， 的取值范围．
题型4：定点问题
9．已知抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
图1 图2
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
5(2)如图1，点P为直线 下方抛物线上一点， 于点D，求 的最大值；
(3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线 与直线 的交点始终在直线 上．
求证：直线 必经过一个定点，并求该定点坐标．
10．如图1，抛物线 与 轴交于A， 两点（点A在点 左边），与 轴交于点 ，
点 在抛物线上，且 的面积为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在第三象限内的抛物线上，当 的面积为21时，求点 的坐标；
(3)如图2，直线 交抛物线于 ， 两点，直线 ， 分别与 轴的正、负半轴交
于 ， 两点，且 ．求证：直线 必过定点，并求出这个定点的坐标．
题型5：定值问题
11．已知抛物线 （ ， ， 为常数，且 ）与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左
侧）．
(1)当 ， ，求证抛物线与 轴有交点；
(2)若抛物线与 轴交于点 ，当 是直角三角形时，求 的值；
(3)若抛物线与 轴只有一个公共点 ，与 轴交于 ，直线 ： 与抛物线交于 、
两点（ 在 的左侧），过点 且与 轴平行的直线与直线 相交于点 ，判断点N的纵坐标是否为
一个定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．
12．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点．
6(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E
点坐标；
(3)如图2所示，过 作两条直线分别交抛物线于第一象限点 ， ，交 轴于 ， ， ．当
为定值时，直线 是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含 的式子表示）；若不经
过，请说明理由．
13．如图1，抛物线 与x轴于交 ， 两点，交y轴于点C，连接 ，点D为
上方抛物线上的一个动点，过点D作 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段 的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线 沿y轴翻折得到抛物线 ，抛物线 的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点
的直线（直线 除外）与抛物线交于J，I两点，直线 分别交x轴于点M，N. 试探究
是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．
题型6：动点问题
714．如图1所示，抛物线 与x轴交于点A，与直线 交于点 ，点 在y轴上．
点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，请在图1中过点P作 交抛物线于点D，连接 ， ，判断四边形 的
形状，并说明理由．
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，
点P停止运动时点Q也停止运动．连接 ，求 的最小值．
15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于点 和点 ，
与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接 、 ，求 外接圆的半径；
8(3)点P为x轴上的一个动点，连接 ，求 的最小值；
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为 ，动点M从点C出发，沿平行于x轴
的直线a向右运动，连接 ，过点M作 的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与
直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
题型7：二次函数与圆
16．如图1，已知抛物线 经过原点 ，它的对称轴是直线 ，动点 从抛物线的顶点 出
发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点 运动的时间为 秒，连接 并延长交抛物线于
点 ，连接 ， ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当 为直角三角形时，求 的值；
(3)如图2， 为 的外接圆，在点 的运动过程中，点 也随之运动变化，请你探究：在 时，
求点 经过的路径长度．
17．如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于 两点．
9（1）求这个二次函数的表达式．
（2）若M是第一象限内线段 上任意一点（不与B，C重合）， 轴于点H，与二次函数的图象
交于点P，连接 ．设点M的横坐标为t，当 是直角三角形时，求点M的坐标．
（3）如图，若M是直线 上任意一点，N是x轴上任意一点，且 ．以N为旋转中心，将 逆
时针旋转 ，使M落在Q点连接 ，则线段 的最值为_______．（直接写出答案）
题型8：对称、旋转问题
18．如图1，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ，点 是第一象
限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴于 ，交 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，过 作 于 ，若 ，求点 的坐标；
(3)如图3，连结 ，当四边形 是矩形时，点 在抛物线的对称轴上，若点 关于直线 的对称点
恰好落在直线 上，求点 的坐标．
19．如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点且 ，与 轴交于点 ．
10(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点 ，连接 ，以 为旋转中心顺时针旋转 后，点 的对应点 恰好落
在抛物线上，求点 坐标；
(3)如图2，点 是抛物线顶点，点 是抛物线上一点，连接 ， 交于 ，当 时，求点
的坐标．
20．已知抛物线 与轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是抛物线上不与点 ， ， 重合的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ．
①如图，若点 在第一象限，且 ，求点 的坐标；
②直线 交直线 于点 ，当点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，求线段 的长．
题型9：新定义问题
21．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 ，对于任意一个函数，作该函数自变量大于 的部分
关于直线 的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个
新函数叫做原函数关于直线 的“镜面函数”．
例如：图①是函数 的图象，则它关于直线 的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面
11函数”的解析式为 ，也可以写成 ．
(1)在图③中画出函数 关于直线 的“镜面函数”的图象．
(2)函数 关于直线 的“镜面函数”与直线 有三个公共点，求 的值．
(3)已知抛物线 ，关于直线 的“镜面函数”图像上的两点 ， ，
当 ， 时，均满足 ，直接写出 的取值范围．
22．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆
点”
(1)若点 是一次函数 的图象上的“互逆点”，则k= ；若点 是函数 的
图象上的“互逆点”，则n=
(2)若点 是二次函数 的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数 （ 是常数， ）的图象过点 ，且图象上存在两个不同的“互逆
点” ，且满足 ，如果 ，请求出z的取值范围．
题型10：二次函数与解直角三角形
23．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴的交点分别为 ，且经过 两点的
12抛物线 与 轴的另外一个交点为点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知 是直线 下方的抛物线上的一动点（不包括 两点）．
①过点E作与x轴垂直的直线 交直线 于点 ，若点 为 轴上的一动点，当线段 的长度最大时，
求 的最小值；
②当 时，求点 的坐标．
24．已知：抛物线 交 轴于 、 （ 左 右），交 轴正半轴于点 ，且 ．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点 为第一象限抛物线上一点，连接 ， 交 轴于点 ，设 的横坐标为 ， 的长为 ，
求 与 的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点 作 轴于点 ，延长 至点 ，使得 ，连接 交
于点 ，且 ，连接 交抛物线于 ，求点 的坐标．
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