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专题 2.18 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（基础
篇）（专项练习 2）
一、单选题
1．a≠0，函数y＝ 与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数 的图像如图所示，则反比例函数 与一次函数
在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角
坐标系内的图像大致为（ ）A． B． C． D．
4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反
比例函数 的图像可能是
A． B． C． D．
5．对于抛物线 ，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶
点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．二次函数 的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）A． B．函数的最大值为
C．当 时， D．
7．二次函数 的图像如图所示，则m的值是
A．－8 B．8 C．±8 D．6
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，
a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax2+bx=ax2+bx，且x≠x，x+x=2．其中正确的有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．②④ B．②⑤ C．①②③ D．②③⑤
9．在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的是（ ）
A． 的最小值为1B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线
C．当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小
D．它的图像可以由 的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
10．已知二次函数的图像（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正
确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，无最小值
11．已知二次函数 （m为常数），当 时， 的最大值是15，则 的值
是（ ）
A．-10和6 B．-19和 C．6和 D．-19和6
12．若一次函数 的图像过第一、三、四象限,则函数 （ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
13．如图，二次函数y=a（x+2）2+k的图像与x轴交于A、B(-1，0)两点，则下列说法正确的是（
）
A．a＜0 B．点A的坐标为(-3，0)
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．图像的对称轴为直线x=214．四位同学在研究函数 （b、c是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；
乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 时， ．
已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
15．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称轴在 轴的右侧 B．图像与 轴的交点坐标为（0，8）
C．图像与 轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）D． 的最小值为-9
16．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y 的图
像可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．直角坐标系 中，一次函数 的图像过点 ，且 ，与 轴， 轴
分别交于 ， 两点．设 的面积为 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．118．已知二次函数的解析式为 ，若函数图像过 和 两点，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．若抛物线 ： 与抛物线 ： 关于直线 对称，则
， 值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
20．将抛物线y＝ +1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D．
二、填空题
21．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y= 的图像相交于B点，且B点的横坐标
为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当
PA+PB最小时，P点的坐标为_______．
22．下列各图中有可能是函数 图像的是（ ）A． B． C． D．
23．反比例函数 与二次函数 的图像的交点个数为_______．
24．对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反比例函数 经过
点P，则k＝_____．
25．如图，二次函数 的图像经过点 ，对称轴为直线 下列 个结
论： ； ； ； ； ．其中正确
的结论为_________________． (注：只填写正确结论的序号)
26．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，给出下列说法：
①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x＝﹣1、x＝3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④
1 2
当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的说法是_____．
A．①；B．①②；C．①②③；D．①②③④27．二次函数 的图像如图所示，则下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有______．（填写番号）
28．已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图像如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜
a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有_____．
29．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是______．
30．已知实数x，y满足 ，则 的最大值是______．
31．二次函数 在 范围内的最大值为___．32．在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线
的图像向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图像与x轴没有交点，则n的
最小值为_____．
33．当a＞0时，抛物线 的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，
当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而
______．
当a＜0时，抛物线 的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x
＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．
34．下列命题：①函数 中，函数 随 的增大而减小，②有一个角相等的两个等腰
三角形相似，③两个等边三角形相似，④平分弦的直径垂直于弦，⑤相等的圆周角所对的弧相等，
⑥关于 的函数 的图像是抛物线．其中正确的结论有________(填序号)．
35．如图，抛物线 在第一象限内经过的整数点 横坐标、纵坐标都为整数的点 依次为 ，
， ， 其中 的横坐标为 将抛物线 沿直线L： 平移得一系列抛物线，
且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点 ， ， ， ， 都在直线L： 上；
②抛物线依次经过点 ， ， ， 则顶点 的坐标为________36．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝ x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆
心P的坐标为__________________．
37．已知二次函数 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
… …
… …
则代数式 的值是______．
38．已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当 时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围
为________．
39．已知下列二次函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）．
40．二次函数 的图像和x轴交点的横坐标与一元二次方程 的根的关
系：
抛物线 （a≠0） 一元二次方程
与x轴的公共点的个数 （a≠0）的根的情况
＞0 有 个 有两个不相等的实数根
＝0 有 个 有两个相等的实数根＜0 没有公共点 没有实数根
当 时，二次函数 （a≠0）与x轴有两个不同的交点________，一元二
次方程 有两个不同解：_________；当 时，二次函数
（a≠0）与x轴有唯一一个交点____，一元二次方程 有两个
相等的解：________；当 时，二次函数 （a≠0）与x轴____交点，一
元二次方程 _______实数根．
三、解答题
41．在平面直角坐标系中，函数 的图像记为 ，函数
的图像记为 ，其中 为常数，且 ，图像 ， 合起来得到的
图像记为 ．
（1）若图像 有最低点，且最低点到 轴距离为3，求 的值；
（2）若 时，点 在图像 上，且 ，求 的取值范围；
（3）若点 、 的坐标分别为 ， ，连结 ．当线段 与图像 恰有三个公共
点时，请直接写出 的取值范围．
42．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为40m的围网在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为
ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
43．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区 ，其中一边靠墙，另外三边用总长为
40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形 的边 米，面积为 平方米．
（1）求活动区面积 与 之间的关系式，并指出 的取值范围；
（2）当 为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
44．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
45．定义：若一次函数 和反比例函数 满足 ，则称
为一次函数和反比例函数的“等差”函数．
（1） 和 是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数．
（2）若 和 存在“等差”函数，且“等差”函数的图像与 的图像的一个
交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．
参考答案
1．D【分析】
分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项
解：当a＞0时，函数y＝ 的图像位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，
没有符合的选项，
当a＜0时，函数y＝ 的图像位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选
项符合；
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像及二次函数的图像的知识，解题的关键是根据比例系数的
符号确定其图像的位置，难度不大．
2．C
【分析】
首先根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴
右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图像与系数的关系画出图像
可得答案．
解：根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴
右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数 的图像在第二、四象限，
一次函数 经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数图像，一次函数图像，反比例函数图像，关键是根据二次函数
图像确定出a、b、c的符号．
3．B
解：试题解析：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、三、四象限，
反比例函数y= 的图像在第二、四象限，
故选B．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像；3．反比例函数的图像．4．C
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝
ax+b与反比例函数y＝ 的图像分别在哪几个象限，从而可以解答本题．
解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图像可知，a＞0，b＜0，c＜0，
则一次函数y＝ax+b的图像经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝ 的图像在二四象限，
故选C．
【点拨】本题考查反比例函数的图像、一次函数的图像、二次函数的图像，解题的关键是明确它
们各自图像的特点，利用数形结合的思想解答问题．
5．C
【解析】
试题分析：对于抛物线 ，有：开口向下，对称轴为直线x=－1，顶点坐标为
（－1，3），x＞－1时，y随x的增大而减小．因此，正确结论有①③④三个．故选C．
6．D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，
利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴ ，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为 ，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当 时， ，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即 ，故D错误；
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b
和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a
与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于
（0，c）．
7．B
解：试题分析：根据抛物线与x轴只有一个交点，对应的一元二次方程根的判别式△=0（或由抛
物线顶点的纵坐标等于0），列式求出m的值，再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围，
从而得解：
∵由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程 的△=m2﹣4×2×8=0，解得m=±8，
∵对称轴为直线 ，∴m＞0．
∴m的值为8．故选B．
8．D
【分析】
根据抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得− ＝1，则可对
①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝−2a得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上
方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x＝1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图
像的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（−1，0）之间，则x＝−1时，y＜0，
于是可对④进行判断；由ax2＋bx＝ax²＋bx 得到对称轴为x= =1，可对⑤进行判断．
1 1 2 2
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝− ＝1，即b＝−2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，
所以①错误；
∵b＝−2a，∴2a＋b＝0，
所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a＋b＋c＞am²＋bm＋c，即a＋b＞a m2＋bm（m≠1），
所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（−1，0）之间，
∴x＝−1时，y＜0，∴a−b＋c＜0，
所以④错误；
当ax2＋bx＝a x2＋bx 且x≠x，
1 1 2 2 1 2
∴对称轴为x= =1，∴x+x=2，
1 2
所以⑤正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），二次项系数
a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b
和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a
与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于
（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b²−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝
b²−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b²−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．C
【分析】
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．解：二次函数 ， ，
∴该函数的图像开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，当 时， 有最小值1，当
时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律， 的图像向右平移2个单位长度得到 ，再向上平移1个单位长度
得到 ；
故选项D的说法正确，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图像与几何变换，解答本题的关
键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．C
解：由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
11．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，
本题得以解决．
解：二次函数y=-x2+mx+m= ，
当4＜ 时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6．2（舍去）；
当 ＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19（舍去），
当-2≤ ≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x= 时取得最大值，则15= +m，得m=6，m=-10（舍去），
1 2由上可得，m的值是-19或6，
故答案为：-19或6．
【点拨】本题考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质和分类讨论的方法解答．
12．B
解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图像过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数 有最大值，
∴最大值为 ，
故选B．
13．B
【分析】
因为图像开口方向向上，所以a＞0，故A错误；因为图像对称轴为直线x=-2，且过B（-1，
0），所以A点坐标为（-3，0），故B正确，D错误，当x＜0时，由图像可知y随x的增大先减
小后增大，故C错误，即选B．
解：∵二次函数y=a（x+2）2+k的图像开口方向向上，
∴a＞0，故A错误，
∵图像对称轴为直线x=-2，且过B（-1，0），
∴B点的坐标为（-3，0），故B正确，D错误，
由图像知，当x＜0时，由图像可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
14．B
【分析】
假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可
得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图像上点的坐
标特征验证乙和丁的结论）．
解：假设甲和丙的结论正确，则 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2−2x＋4．
当x＝−1时，y＝x2−2x＋4＝7，
∴乙的结论不正确；
当x＝2时，y＝x2−2x＋4＝4，
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，
利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
15．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解
答本题．
解：∵二次函数 ＝（x＋1）2−9＝（x＋4）（x−2），
∴该函数的对称轴是直线x＝−1，在y轴的左侧，故A选项错误；
当x＝0时，y＝−8，即该函数与y轴交于点（0，−8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝−4，即图像与x轴的交点坐标为（2，0）和（−4，0），故选项C错误；
当x＝−1时，该函数取得最小值y＝−9，故选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．C
【分析】
先确定一个函数，通过确定函数的未知数的正负判断其它函数．
解：A、一次函数过一、二，四象限， ， ，但与 在一三象限不符，故
答案错误；B、一次函数过一、二、三象限， ， ，但与 在二四象限不符，故答案
错误；
C、一次函数过一、二、四象限， ，与 在二四象限符合，二次函数也
满足 故答案正确；
D、一次函数过一、二、三象限， ， ，但与 开口向下不符，故答
案错误；
故选:C
【点拨】本题考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数图
像，得出a、b、c的符号是解题的关键．
17．A
【分析】
首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y=kx+b
（kb≠0）的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去
掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．
解： 一次函数 的图像过点 ，代入一次函数解析式得：
，
，
，
，
一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于 、 两点，
点坐标为： ， ， 点的坐标为： ，
的面积为 ，
；
若 ， ，
，的最小值为： ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标求法，以及二次函数的最值问题等知识，
表示图像与坐标轴围成的面积，注意应该加绝对值保证 是正值，这是做题中经常犯错的地方．
18．A
【分析】
先将原二次函数整理得一般式，当 时取最小值，根据函数过 和 两点，得
时取最小值，根据 ，进而可得 的取值范围．
解：∵ ，
∴ ，
∴当 时，y取最小，
∵函数图像过 和 两点，
∴ 时，y取最小值，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．
19．D
【分析】
分别求出由抛物线 与抛物线 的对称轴，根据关于直线 对称列出关于m的方程求出m，
再找到抛物线 与y轴的交点 ，由点 关于直线 对称的点 ，把 代入抛物线 ，故可求出n的值．
解：由抛物线 ： 可知抛物线 的对称轴为直线 ，交 轴于点
，抛物线 ： 的对称轴为直线 ，
∵抛物线 ： 与抛物线 ： 关于直线 对称，
∴ ，解得 .
∵点 关于直线 对称的点 ，在抛物线 ： 上，
∴把点 代入得 ，
解得 ，
故选D．
【点拨】此题主要考查二次函数的对称性，解题的关键是熟知二次函数对称轴的求解方法、函数
对称性的应用．
20．D
【分析】
先确定抛物线线y＝ +1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点
（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，﹣1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．
解：抛物线y＝ +1的顶点坐标为（0，1），
点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），
此时旋转后抛物线的开口方向相反，
所以旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣ ﹣1．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换：抛物线绕某点旋转180°得到旋转后的抛物线开口
相反，抛物线的开口大小不变．
21．( ，0)【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点
A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，
从而可以解答本题
解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a 0)与反比例函数y= 的图像相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线
与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x= ,
故答案为（ ）
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答．
22．A
【解析】
试题分析：按照a的符号分类讨论，逐一排除．
当a＞0时，函数y=ax2+c的图像开口向上，且经过点（0，c），函数y=ax的图像在一三象限，
故可排除B、D；
当a＜0时，函数y=ax2+c的图像开口向下，函数y=ax的图像在二四象限，排除C，A正确．
考点：函数的图像与性质
点评：此题主要考察学生对二次函数和反比例函数的图像与性质，对a分开来讨论，逐一排除．
23．3个
【分析】
根据数形结合的思想进行判断即可；
解： ，画出图像如图所示：
即可得到有三个交点．
故答案是3．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图像问题，准确分析是解题的关键．
24．3
【解析】
【分析】
把抛物线解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可．
解：∵y＝x2+（2﹣t）x+t＝x2+（1﹣x）t+2x，
∴当1﹣x＝0，即x＝1时，y的值与t无关，y＝1+2＝3，
所以，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P（1，3），∵反比例函数 经过点P，
∴k＝3，
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，此类题目，关键在于令t的系数为0，整理
成关于t的形式是解题的关键．
25．②⑤
【分析】
根据二次函数图像和系数的关系即可求出答案.
解：①函数的对称轴在y轴右侧，则 ,而c＞0，故abc＞0,故①错误，不符合题意;
②将点 代入函数表达式得: ,故②正确符合题意;
③函数的对称轴为直线 ,即b=-2a,故2a+b=0,故③错误，不符合题意;
④由②③得: ,b=-2a,则 ,故 ＞0,故④错误，不符合题意;
⑤当x=1时,函数值取最小值，即 ,故⑤正确,符合题意;
故答案为②⑤
【点拨】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，灵活的应用图像中给出的数据，把握住特
殊点的作用是这类题的解题关键点.
26．D
【分析】
根据函数的基本性质：开口方向、与 轴的交点坐标、对称轴等来对①②③④进行判断，从而求
解.
解：①由题意函数的图像开口向下，与 轴的交点大于 ，
， ，
函数的对称轴为 ，
，
，
，正确；②由函数图像知函数与 轴交于点为 、 ，正确；
③由函数图像知，当 ， 随 的增大而减小，正确；
④由函数图像知，当 时， ，正确；
综上①②③④正确.
故选： .
【点拨】此题主要考查函数的性质，函数的对称轴，函数的增减性及其图像，还考查了一元二次
方程与函数的关系，函数与 轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题.
27．③④
【分析】
根据二次函数图像的性质解题．
解：由图像知，二次函数的图像开口向下， ，故①错误；
由图像知，二次函数的图像与 轴交于正半轴， ，故②错误；
当 时，由图可知， ， ，故③正确；
由图可知，二次函数图像与 轴有两个不同的交点， ，故④正确，
故其中正确的有③④，
故答案为：③④．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，在重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．①③
【分析】
①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0， ＝1＞0，b＞0，②令x＝
﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③ ＝1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对
应的函数值，把x＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x
＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式．
解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
∵ ＝1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵ ＝1，
∴2a+b＝0，
故③正确；
④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故④错误；
故答案为①③．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与系数、性质，熟练掌握二次函数的图像与系数、性质的
关系是解题的关键．
29．-6
解：∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6，
∴最小值为﹣6．
故答案为﹣6
点睛：本题考查了配方法求二次函数的最值，对于 ，当a>0时，抛物线开口向上，
函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.
30．10
【分析】
由x2﹣3x+2y=6，可得2y=6-x2+3x，代入x+2y，利用二次函数的性质求解.
解：由实数x、y满足x2﹣3x+2y=6,，可得2y=6-x2+3x，
x+2y=x+6-x2+3x=-x2+4x+6；
令Z= x+2y=-x2+4x+6，
可得当x=2时，Z有最大值为10，
故答案为:10
【点拨】x的最高次幂是2, x+2y的最高次幂是1, 应用x表示出2y, 进而表示出x+2y, 得到关于x
的二次函数, 利求二次函数性质求出最大值.
31．36
【分析】
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
离对称轴越远函数值越大，
∵ 离对称轴 的距离远，
当 时，有最大值为： ，
故答案为：36．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
32．4
【分析】
通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值
即可推出n的最小值．
解：∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴 ,即 ,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点拨】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中
判断出对称轴．
33．向上 x＝h （h，0） 小 减小 增大 向下 x＝h （h，0） 大
增大 减小
解：略
34．③
【分析】
根据反比例函数的性质、相似三角形的判定方法、垂径定理、圆周角定理、以及二次函数的性质
分析即可．
解：①函数 中，在每个象限内，函数 随 的增大而减小，故原说法错误；②当一个等腰三角形的顶角与另一个三角形的底角相等时，两个三角形不相似，故原说法错误；
③因等边三角形的三个角都等于60°，所以两个等边三角形相似，故原说法正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
⑥关于 的函数 （x≠0）的图像是抛物线故原说法错误．
故答案为：③．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定方法、垂径定理、圆周角定理、以及
二次函数的性质，熟练掌握定理和性质是解答本题的关键．
35．(
【分析】
设顶点 是抛物线 的顶点，根据抛物线 与抛物线
交于点 求解即可．
解：设顶点 是抛物线 的顶点，
由题意可知
∵抛物线 与抛物线 交于点 ，
∴
解得 或 （舍去），
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行
求解．
36．（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）
解：当⊙P与x轴相切时可求得P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】
解：∵⊙P与x轴相切，
∴P到x轴的距离等于半径1，
∴点P的纵坐标为1或﹣1，
当y＝1时，代入可得1＝ x2﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，此时P点坐标为（2，1）或（﹣2，
1）；
当y＝﹣1时，代入可得﹣1＝ x2﹣1，解得x＝0，此时P点坐标为（0，﹣1）；
综上可知P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．
【点拨】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
37．5
【分析】
观察表格可知：二次函数的对称轴为x=1，故得到当x=-1时，y的值与x=3时相等，则x＝−1时，
y＝-5，x＝1时，y＝−1，可得a−b＋c＝-5，a＋b＋c＝−1，代入故可求解．
解：观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，
∴二次函数的对称轴为x=1，
∴当x=-1时，y的值与x=3时相等
∴x＝−1时，y＝-5，x＝1时，y＝−1，
∴a−b＋c＝-5，a＋b＋c＝−1，
∴（a＋b＋c）（a−b＋c）的值为5，
故答案为5．
【点拨】本题考查二次函数图像上的点的特征、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
38．0＜m≤5
【分析】
根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于 ，可得答案．
解：由当x＜ 时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，且对称轴 ，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且 是
解题的关键．
39．②③⑤ ① ①④
解：略
40．（ ，0），（ ，0） （ ，0） 没有
没有
解：略
41．（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【分析】
（1）先将函数 化为顶点式，根据图像 有最低点，且最低点到 轴距
离为3，可得 ，即可求解；
（2）根据题意可得 ， ，然后分两种情况：当
时和当 时，进行讨论，即可求解；
（3）根据题意可得直线PQ为 ，然后分两种情况：当 时和当 时，并结合图像，
进行分类讨论，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵图像 有最低点，最低点到 轴距离为3，
∴ ，
∵最低点到 轴距离为3，
∴ ，∴ ，解得： ；
（2））当 时， ， ，
当 时，点A在函数图像 上，且当 时，函数 随着x
的增大而减小，
当 时， ，
当 时， ，
此时 ；
当 时，点A在图像 上，
∵函数 ，的对称轴为 ，
∴当 时， 最小为-5，
当 时， ，
当 时， ，
∴此时 ，
综上所述， 的取值范围为 ；
（3）∵点 、 的坐标分别为 ， ，
∴直线PQ为 ，
当 时，如图：函数 的顶点为 ，
若PQ经过图像M 的顶点 ，
1
则 ，即 ，
对于图像M，有 ，解得： ， （舍去），
2
∵ ，
∴直线PQ与图像M 的交点在点P的右侧，
2
∴线段 与图像 恰有三个公共点，
由题意得：M 与y轴交于
1
∴ ，解得： ；
当 时，如图：
函数 的顶点为 ，
若PQ经过图像M 的顶点 ，
2
则 ，即 ，
对于图像M， 时，解得： ， （舍去），
1
∵ ，
∴直线PQ与图像M 的交点在点Q的左侧，
1
∴此时线段 与图像 只有一个公共点，不符合题意；若线段PQ过M 与y轴的交点时，有 ，解得： ，
2
对于图像M， ，解得： ， （舍去） ，
1
∵ ，
∴此时线段PQ与图像M有三个交点，符合题意，
综上所述，当线段 与图像 恰有三个公共点时， 的取值范围为 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数与性质，一元一次不等式组，一元二次方程的解法，利用数形
结合思想和分类讨论的思想是解题的关键．
42．（1）y=﹣ x2+ x；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是 m2
【分析】
（1）由BC的长度为xm，可表示出AB的长，再由矩形的面积公式即可表示出y与x的关系式，
并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
解：（1）设BC的长度为xm，则AB= （40﹣x）m，
则矩形区域ABCD的面积y= x（40﹣x）=﹣ x2+ x；
（2）∵y=﹣ x2+ x= （x﹣20）2+ ，
∴当x=20时，y有最大值，最大值是 m2．
【点拨】本题主要考查了二次函数的几何应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知
识.
43．（1） ；（2）当 为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200
平方米
【分析】
(1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值
范围；
(2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可.解：（1） 四边形 是矩形， 米，
米，
墙长为22米，
，
，
，
即 ；
（2）设矩形的面积为
，
由（1）知， ，
当 时， 有最大值200，
即当 为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．
【点拨】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后
根据二次函数的性质求解.
44．P(1，－2)．
【分析】
根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，
从而结合图形性质求解即可．
解：如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．
如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，
∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，
∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，
∴DB＝DP＝2，
∴P(1，－2)．【点拨】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关
键．
45．（1）存在， ；（2）
【分析】
本题第（1）问利用题目所给的对于“等差”函数的定义，求解出b的值即可，第（2）问根据题
目所给“等差”函数的定义将c用含有b的式子表示，并根据函数图像的交点坐标列出方程组节
课求解出反比例函数的表达式.
解：（1）存在，
假设一次函数 与反比例函数 存在“等差”函数，
则 ，解得 ，
∴存在“等差”函数，其表达式为 ．
（2）根据题意知 ，
∴ ，
则“等差”函数的表达式为 ，
反比例函数的表达式为 ，
根据题意，将 代入
得 ，解得 ，故反比例函数的表达式为 ．
【点拨】本题主要考察对于新定义的理解，以及函数之间的关系，根据题目所给定义以及函数图
像与解析式的关系列出方程组求解即可.
