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专题 26 双曲线
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一.双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫
1 2 1 2
双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|
1 2 1 2
＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若ac，则集合P为空集.
二．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－ ＝1(a＞0，b＞0) － ＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
焦点 F(－c，0)，F(c，0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2焦距 |FF|＝2c
1 2
范围 x≤－a或x≥a，y R y≤－a或y≥a，x R
∈ ∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A(－a，0)，A(a，0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
实轴：线段AA，长：2a；虚轴：线段BB，
1 2 1 2
轴
长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝ (1，＋∞)
∈
渐近线
y＝± x y＝± x
a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ .
四．直线与双曲线的位置关系和弦长
1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于 x或y的一元二次方
程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系
数不等于0时，用判别式Δ来判定．
2.弦长公式
设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝ |x－x|＝ · .
1 1 2 2 1 2
温馨提示：
一．求标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”
2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再
定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为 － ＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条
件求解．
3.常用设法： 与双曲线 － ＝1共渐近线的方程可设为 － ＝λ(λ≠0)；
①
若双曲线的渐近线方程为y＝± x，则双曲线的方程可设为 － ＝λ(λ≠0)．
二.求双曲线离心率或其取值范围的方法
②
1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求
解.
3.双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由 － ＝0即得两渐近线方程 ± ＝0.
4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y＝± x(a＞0，b＞0)，即 ± ＝0，则双曲线的方程可设为 － ＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝± x的斜率k与离心率e的关系：e＝ ＝ .
三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的 PFF 叫做焦点三角形， FPF ＝θ， PFF 的面
0 0 1 2 1 2 1 2
△ ∠ △
积为S，则在椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)中
当P为短轴端点时，θ最大.
①
S＝ |PF||PF|·sin θ＝b2tan ＝c|y|，当|y|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
1 2 0 0
焦点三角形的周长为2(a＋c).
②
③
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则S ＝ ，
1 2 PF1F2
其中θ为 FPF. △
1 2
∠
双曲线是高考考查的重点和热点，其中双曲线的方程、渐近线与离心率等几何性质常以选择题、填空题
形式出现；直线与双曲线的综合问题定点、定值问题等常常以解答题形式出现。
题型一 双曲线的定义及应用
例1（1）．已知定点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹为（ ）
A．双曲线的上支 B．双曲线的下支
C．双曲线的左支 D． 轴负半轴上的射线
答案 A
分析 根据题意，得到 ，结合双曲线的定义，即可得到答案.
解析 由定点 且在y轴上，可得 ，
因为 ，即 ，
根据双曲线的定义得，点 的轨迹为双曲线的上支.
故选：A.
（2）．设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和 的右支分别交于点 ，
，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
答案 B
分析 根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.解析 对于双曲线 ，则 ，
根据双曲线定义有 ，
又 ， ，故 ．
故选：B
方法归纳： 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF|－|PF||＝2a，运用平方的方
1 2
法，建立与|PF|·|PF|的联系．
1 2
题型二 双曲线的标准方程
例2.过点 且与椭圆 有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
分析 求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点 ，可求得双曲线方程.
解析 由 ，得 ，所以焦点在y轴上，且 ．
设双曲线的方程为 ，所以 解得 ， ，
所以双曲线的方程为 ．
故选：D．
方法归纳： 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 － ＝λ(λ≠0)，再
根据条件求λ的值．
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例34．已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，点 在
上且 轴，直线 ， 与 轴分别交于点 ， ，若 （ 为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
分析 由题意求出直线 和直线 的方程，分别令 ，可求出 ，结合 代入
化简即可得出答案.
解析 由题意知 ，因为 轴，
所以令 ，可得 ，解得： ，设 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，
直线 的斜率为：
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，
由 可得 ，解得： ,
所以 ，解得： ，即
所以 的渐近线方程为 ，
故选：C.
方法归纳： (1)渐近线的求法：求双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令 － ＝0，即得两渐近线方程 ± ＝0 .
(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 － ＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲
线的渐近线的斜率k＝± ，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4．已知双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为渐近线上一动点，且 在第一象
限内， 为坐标原点，当 最大时， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
分析 设出 点的坐标，然后表示出 的斜率，利用到角公式表示出 ，最后结合基本不等
式求出 取得最大值时的条件，结合此时 ，即可求出离心率.
解析
由已知得 ，渐近线方程为 ，设 ，
则
所以
，当且仅当 即 时等号成立，
此时 ，即 ，
即 解得 或 （舍去）.
故选：D
方法归纳： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值
(或范围)．
