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专题 26 双曲线（七大题型+模拟精练）
目录：
01 双曲线的的定义
02 双曲线的的标准方程
03 双曲线的的顶点，虚、实轴，渐近线方程等
04 双曲线的的离心率
05 等轴双曲线
06 双曲线的应用
07 解答综合题
01 双曲线的的定义
1．设 是双曲线 上一点， 分别是双曲线左右两个焦点，若 ，则 等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
【答案】B
【分析】先求出 ，然后根据双曲线的定义结合 可求得 .
【解析】双曲线 的 ，
由双曲线的定义可得 ．
因为 ，所以 ，得 或17，
若 ，则 在右支上，应有 ，不成立；
若 ，则 在左支上，应有 ，成立．
故选：B．
2．若点P是双曲线C： 上一点， ， 分别为C的左、右焦点，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【解析】 ，
当点 在左支时， 的最小值为 ，
当点 在右支时， 的最小值为 ，
因为 ，则点 在双曲线的左支上，由双曲线的定义 ，解得 ；
当 ，点 在左支时， ；在右支时， ；推不出 ；
故为充分不必要条件，
故选：D.
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，在左支上过F1 的弦AB的长为5，若2a＝8，那么 ABF2 的周
长是（ ）
△
A．16 B．18 C．21 D．26
【答案】D
【分析】如图，根据题意和双曲线的定义直接得出结果.
【解析】如图所示，由双曲线的定义知，
，(1)
，(2)
又 ，(3)
所以由(1)，(2)，(3)得 ，
故 的周长为 .
故选：D.
4．已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ， 为坐标原点，若 为 上异于顶点的任
意
一点，则 与 的周长之差为（ ）
A．8 B．16 C． 或8 D． 或16
【答案】D
【分析】将双曲线转化成标准方程，得到 ，根据双曲线的定义得出结论.
【解析】 的方程可化为 ，所以 ，
易知 与 周长差的绝对值为 ，
故 与 的周长之差为 或16.
故选：D.
02 双曲线的的标准方程
5．已知双曲线C： 的焦点为 ，则C的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【解析】因为双曲线C的焦点为 在纵轴上，所以 ，
且双曲线C方程 满足 ，
故 ，则C的方程为 ．
故选：D．
6．若曲线 表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.
【解析】根据题意，若曲线 表示双曲线，则有 ，
解得 .
故选：C
7．若双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为
（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的性质求解.
【解析】由题可得 ，解得 ，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为 .
故选:C.
03 双曲线的的顶点，虚、实轴，渐近线方程等
8．已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由双曲线的方程可求得 ，计算可判断每个选项的正确性.
【解析】由双曲线 ，可得 ，所以 ，
所以双曲线的左顶点 ，右焦点 ，故AB错误；
虚轴长 ，故C错误；
离心率 ，故D正确.
故选：D.
9．已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知先求得参数 ，进一步即可得解.
【解析】已知抛物线 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合，
所以 ，解得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选：B.
10．已知双曲线 的焦距为 ，则 的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据焦距可求 ，从而可求渐近线的方程.
【解析】因为焦距为 ，故 ，故 ，故
故渐近线方程为 ，
故选：C.
11．已知双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由题意可得， ，由 ，解得 ，可得 ，求出渐近线方程，再由点到直线的距离
公式计算即可得到．
【解析】由题意可得， ，焦点为 ，
则 ，解得 ，又 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，
则焦点到渐近线的距离为 ．
故选：B．
12．已知双曲线 ： 与 ： ，则（ ）
A． 与 的实轴长相等 B． 与 的渐近线相同
C． 与 的焦距相等 D． 与 的离心率相等
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出两条双曲线实半轴长、虚半轴长、半焦距，渐近线方程及离心率即可判断得
解.
【解析】双曲线 的实半轴长 ，虚半轴长 ，半焦距 ，渐近线方程为
，离心率 ，
双曲线 的实半轴长 ，虚半轴长 ，半焦距 ，渐近线方程为 ，离
心率 ，
因此 与 的焦距都是 ，只有C正确，ABD错误.
故选：C
13．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 过点 ，且与双曲线只有一个
公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为
B．双曲线 的离心率为
C．双曲线 的实轴长为
D．双曲线 的顶点坐标为
【答案】A【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判
断各选项.
【解析】由直线 过点 ，
得 ， ，
所以 ，
又直线 与双曲线只有一个公共点，
当直线 与双曲线渐近线平行时， ，
可得 ，双曲线方程为 ，
当直线与双曲线渐近线不平行时，
联立直线与双曲线 ，得 ，
，即 ，
又 ，则 ，无解，
所以双曲线方程为 ，A选项正确；
离心率 ，B选项错误；
顶点坐标为 ，D选项错误；
实轴长为 ，C选项错误；
故选：A.
04 双曲线的的离心率
14．双曲线 的一条渐近线为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【解析】由双曲线方程易知C的渐近线为 ，
所以 ，则 .
故选：C
15．设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求 的值.
【解析】由椭圆 ，可得 ，
所以 ，所以椭圆的离心率 ，
又 ，所以双曲线的离心率为 ，
又双曲线 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
16．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，
又渐近线过点 ，即 ，则 ，
所以离心率 ，
故选：A.
17．已知双曲线方程为 ， ， 是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关
于 的对称点为点 ，点 关于 的对称点为点 ，线段 的长度是8，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】分析可知 ，即可得 ， ，进而可得离心率.
【解析】由题意可知： 、 分别为 、 的中点，则 ，即半焦距 ，
由方程可知： ，则 ，
所以离心率 .
故选：B.
18．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 且与实轴垂直的直线交双曲线 于 两点.若
为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ， ，再根据双曲线的定义求出 ，从而求出
离心率.
【解析】设 ，因为 为等边三角形，则 ， ，
又 ，
所以双曲线 的离心率 .
故选：A
05 等轴双曲线
19．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线 交于A，B两点，若 ，则
该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解【解析】由题意可设双曲线方程为 ， ，
由 得 ，则 ， ，
不妨假设 ，则 ，
由图象的对称性可知，
可化为 ，
即 ，解得 ，
故双曲线方程为： ，
故选：C
20．已知双曲线 ，点 、 为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】首先根据定义得到 ，再结合勾股定理求出 ，最后平方即可求解.
【解析】双曲线 化为标准方程为 ，
由定义知 ①，
又因为 ，由勾股定理可知， ②，
①式平方得 ③，
联立②③得 ，则 ，
则 .
故答案为：
21．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过原点 的直线 与 交
于 两点．若 ，且 的面积为2，则 的焦距为 ．
【答案】
【分析】由题意可知双曲线为等轴双曲线，四边形 为矩形，设双曲线的半焦距为 ，利用双曲线
的定义和勾股定理，及 的面积为2，求出 与 的值即可得双曲线的焦距.
【解析】双曲线 为等轴双曲线，设双曲线的半焦距为 ，则
由双曲线的对称性可知四边形 为平行四边形，因为 ，所以四边形 为矩形， ，
不妨设点 在 的右支上， ，则 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
又 ，所以 的焦距为 ．
故答案为： ．
22．已知反比例函数 的图象 是以 轴与 轴为渐近线的等轴双曲线.设 、 为双曲线 的两个顶
点，点 、 是双曲线 上不同的两个动点.则直线 与 交点的轨迹 的方程为
；
【答案】
【分析】设直线 与 交点为 ，通过 和 可构造等式，将 代入等式
且进行消 即可求解
【解析】由题意可得双曲线 的两个顶点 ， ，
因为点 、 是双曲线 上不同的两个动点，则 且 ，
设直线 与 交点为 ， ，且 ， ，
所以， ①，
，且 ， ，
所以， ②，
因为点 在双曲线 上，则 ，且 ，
将 代入①式化简可得 ③，
将 代入②式化简可得 ④，
③式与④式相乘可得 ，可得 ，
因此，轨迹 的方程为 .故答案为：
06 双曲线的应用
23．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线
论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之
大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通
过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C： （ ， ）
的左、右焦点分别为 ， ，其离心率 ，从 发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，
反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得 ，进而得出结论．
【解析】设 ， ， ，由题意知 ， ， ，
所以 ， ， ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
24．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲
线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则
当入射光线 和反射光线 互相垂直时（其中 为入射点）， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ， ，不妨设双曲线的标准方程为 ， ，结合双曲线的
定义和勾股定理求出m，即可求解.
【解析】因为 ，所以 ，得 ，不妨设双曲线的标准方程为 ，设 ，则 ．
所以 ，解得 或 （舍去）．
所以 ．
故选：D．
25．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个
焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光
学装置由有公共焦点 、 的椭圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与 反射，又
回到了点 ，历时 秒；若将装置中的 去掉，如图②，此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了
点 ，历时 秒：若 ，则 的长轴长与 的实轴长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆定义和双曲线定义得到相关方程，求出 的周长和
的周长，进而根据题意得到方程，求出 ，得到答案.
【解析】设椭圆方程为 ，双曲线方程为 ，
由图①可得 ，
其中 ，故上面两式相减得 ，
由图②可得 ，
故 ，
由题意得 ，即 ，
即 ，解得 ，
故 的长轴长与 的实轴长之比为 .
故选：C
07 解答综合题
26．求下列各曲线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 的左顶点，求抛物线标准方程．
(2)已知椭圆 与圆 ，双曲线 与椭圆 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与
圆 相切，求双曲线 的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的性质求出抛物线的焦点坐标，可得抛物线的标准方程.
（2）利用椭圆和双曲线的几何性质，得到双曲线的焦点，然后，列出 的相关方程进行求解即可.
【解析】（1）对双曲线： ，其左顶点为 .
对抛物线，焦点为 ，所以抛物线的标准方程为： .
（2）椭圆 ： 的焦点坐标为： ， .
如图：
直线 与圆 ： 相切，
设直线 的倾斜角为 ，则 .
所以对双曲线 焦点在 轴上，且 .
所以双曲线 的标准方程为： .
27．已知双曲线 的焦距为 为双曲线的右焦点，且点 到渐近线的距离为
4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若点 ，点 为双曲线 左支上一点，求 的最小值．【答案】(1)
(2)23
【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到 ，根据焦距得到 ，然后根据 得到 即可
得到双曲线的方程；
（2）根据双曲线的定义将 的最小值转化为 的最小值，然后根据两点之间线段最
短求最小值即可.
【解析】（1） 的一条渐近线的方程为 ，即 ，
点 到 的距离 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以双曲线 的方程为 ．
（2）
记双曲线 的左焦点为 ，则 ，
，
当 三点共线时， 最小，且最小值为 ．
故 的最小值为 ．
28．已知在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 过 和 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 为双曲线 上不关于坐标轴对称的两点， 为 中点，且 为圆 的一条非直径的弦，记
斜率为 ， 斜率为 ，证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解；
（2）利用“点差法”可得直线 斜率与 斜率关系，再由圆的性质可得 斜率的关系，化简即可得证.
【解析】（1）代入双曲线上两点得 ， ，
故 ，解得 ， ，
故双曲线C标准方程为： .
（2）如图，
设 ， ，
由题知 ，
相减得 ，
又 ，
所以 ，
由 为圆 的一条非直径的弦， 为 中点得 ，故 ，
因此 为定值.
一、单选题
1．（2024·福建福州·模拟预测）以 为渐近线的双曲线可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.【解析】对于选项A，由 得渐近线方程为 ，所以选项A错误，
对于选项B，由 得渐近线方程为 ，所以选项B正确，
对于选项C，由 得渐近线方程为 ，所以选项C错误，
对于选项D，由 得渐近线方程为 ，所以选项D错误，
故选：B.
2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线 的一条渐近线为 ，则其离心率为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程解得 ，再由离心率公式求解即可.
【解析】解：因为双曲线 的一条渐近线为 ( )，
即 ,
所以渐近线的斜率为 ，
即 ，
解得 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线一条渐
近线的垂线，垂足为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据点到直线得距离公式求出 ，在 和 中，求出 ，
利用余弦相反构造 的齐次式，即可得解.
【解析】 ，点 到渐近线 的距离为 ，即 ，因为 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理得： .
在 中，由余弦定理得： .
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：D
4．（2024·湖南·三模）双曲线 的上焦点 到双曲线一条渐近线的距离为 ，则双曲线
两条渐近线的斜率之积为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【分析】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及 的关系即可求解.
【解析】由对称性，不妨设 ，双曲线的渐近线是 ，
则由题意 ，解得 ，故所求为 .
故选：A.
5．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点F的坐标为 ，以线段FP为直径的圆
与圆 相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.
【解析】由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，
设 ，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为 ，若圆 与圆 外切，则 ， ，
可得 ；
若圆 与圆 内切，则 ， ，
可得 ；
综上所述： ，
可知动点P的轨迹是以 为焦点的双曲线，且 ，则 ，
所以动点P的轨迹方程为 .
故选：B.
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和
的右支分别交于点 ， ，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.
【解析】对于双曲线 ，则 ，
根据双曲线定义有 ，
又 ， ，故 ．
故选：B7．（2024·河南·二模）双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 作
圆： 的切线，切点为 ，该切线交双曲线 的一条渐近线于点 ，若 ，则双曲
线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ，则 ， ，由 ，得 ， ，进
而可求得点 的坐标，结合点 在渐近线上求解即可．
【解析】如图，连接 ，则 ， ，
， 为 的中点，
， ， ，
设 , ， ，
， ，
点 在渐近线 上，
，
离心率 ．
故选：B．
8．（2024·福建泉州·二模）双曲线 ，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，
如
图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下
列命题正确的是（ ）A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过 的直线l，使得 取到最大值
D．若直线l的方程为 ，则双曲线C的离心率为
【答案】D
【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线 分别与双
曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C项判断；根据 ，求出 ，从而
可对D项判断.
【解析】解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
对于B项：设直线 ，与双曲线联立 ，得：
，其中 ，
设 ，由根与系数关系得： ，
所以线段PQ中点 ，
将直线 ，与渐近线 联立得点S坐标为 ，
将直线 与渐近线 联立得点R坐标为 ，
所以线段RS中点 ，
所以线段PQ与线段RS的中点重合．所以，对任意的直线l，都有 ，故B项不正
确；
对于C项：因为 为定值，当k越来越接近渐近线 的斜率 时， 趋向于无穷，
所以 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；对于D项：联立直线l与渐近线 ，解得 ，
联立直线l与渐近线 ，解得 由题可知， ，
，解得 ，所以 ，故D项正确．
故选：D．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
②齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、多选题
9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知 ，则双曲线 与 有相同的
（ ）
A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线
【答案】CD
【分析】由双曲线的几何性质逐一判断即可；
【解析】对于选项A、B：设 ，易知 的左、右焦点坐标分别为 和 ，
而 的标准方程为 ，故其左、右焦点坐标分别为 和 ，
显然 和 的焦点和焦距均不相同，故A，B错误；
对于选项C、D： 和 的离心率均为 ，渐近线方程均为 ，故C，D正确．
故选：CD.
10．（2024·河北保定·三模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点
的
直线与 的左支相交于 ， 两点，若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． 的离心率为 D．直线 的斜率为
【答案】ACD
【分析】设 ， ，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得 的值，即可判断出A，B选
项；再结合勾股定理可以求得 的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率.
【解析】如图，由 ，可设 ， .
因为 ，所以 .
设 ， ，则 ， ， ，解得 ，
则 ， ，
所以 ，故A选项正确； ，故B选项错误；
在 中，由 ，得 ，则 ，
从而 的离心率为 ，故C选项正确.
又 ，所以直线 的斜率为 ，故D选项正确.
故选：ACD.
11．（2025·安徽·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 的直线
交双曲线 的右支于 两点，其中点 在第一象限． 的内心为 与 轴的交点为 ，记
的内切圆 的半径为 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为2或
B．若 ，且 ，则双曲线的离心率为
C．若 ，则 的取值范围是
D．若直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据基本量运算直接得出离心率判断A，结合双曲线定义判断B,结合内切圆性质判断C，结合定
义及余弦定理计算可得离心率判断D.
【解析】对于A，双曲线渐近线的夹角为 ，则 或者 故 或．
对于B，设 ，则 ．
故 ，解得 ．又 ，故 ．
对于C， 令圆 切 分别为点 ，则 ，
，令点 ，而 ，
因此 ，解得 ，又 ，则点 横坐标为 ，同理点 横坐标为 ，
即直线 的方程为 ，
设直线 的倾斜角为 ，那么 ，
在 中，
在 中， ，渐近线的斜率为 ．
因为 均在右支上，故 ．
如图所求， ．
对于D， ，故 ，而 ．
故 ，
由余弦定理可知 ，故 ．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛： 1.根据几何性质确定 的横坐标都是 ，2.设倾斜角为 ，将 表示为 的
三角函数.
三、填空题12．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
，则 的虚轴长为 ．
【答案】
【分析】根据条件及离心率的定义，得到 ，即可求解.
【解析】因为 ，即 ，解得 ，所以 的虚轴
长为 ，
故答案为： .
13．（2024·山西长治·模拟预测）已知抛物线 、 分别是双曲线 的
左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，
则b＝ .
【答案】
【分析】根据题意可知 ， ，根据题意 ，列出方程求解即
可.
【解析】如图所示，因为抛物线 所以 ，
因为抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，所以 ，
所以 ，
又因为双曲线的一条渐近线 ，
所以 ，
因为 ，所以即 ，化简得 ，
又因为 ，联立解得
故答案为： .
14．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 的
左、右焦点相同，分别为 ， ， 与 在第一象限内交于点 ，且 ， 与 的离心率分别
为 ， ．则 ， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得 ，因此可求得 ；求出 的表
达
式再根据三角形三边关系可求得 ，利用函数单调性即可求得结果.
【解析】如下图所示：
根据椭圆定义以及双曲线定义可得 ，解得 ；
显然 ，可得 ；
又 且 ，其中 ；
可得 ，所以 ，即 ；
所以 ．
令 ，则 ．
因为 ，所以 ．又 ，所以有 ，所以有 ；
又 ，所以有 ，所以有 ，
所以可得 ．
设函数 ，则 ，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ．
即可得 的取值范围是 .
故答案为： ； .
【点睛】易错点点睛：在求解椭圆以及双曲线离心率问题时，最容易忽略利用它们的定义来求得线段长度
表达式，再进行相关问题求解.
四、解答题
15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点 在双曲
线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点 代入双曲线 方程即可求解；
（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为 ，所以 ，解得： ；
又因为点 在双曲线 上，所以 ，解得： ，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设 ，由题可得过点 且斜率为 的直线方程为： ，即 ，
联立 ，消去 可得： ，
所以 ， ，
所以
16．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相
互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）设所求双曲线方程为 ， ，把点 代入，即可得出答案．
（2）根据题意设直线 的方程为 ，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦
长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．
【解析】（1）因为双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线 为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为 ， ，
又双曲线 经过点 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ．
（2）根据题意可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，所以原点 到直线 的距离 ，
联立 ，得 ，
所以 且 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 或 ．
17．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点 ，以坐标轴为对称轴的双曲线 经过点
，且其渐近线的斜率为 ．
(1)求 的方程．
(2)若动直线 与 交于 两点，且 ，证明： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由渐近线的斜率设 ，再将 代入求解即可；
（2）分两种情况证明，当直线 的斜率存在，设 ，与双曲线联立，根据韦达定理及
得出 ，设点 到直线 的距离为 ，则由等面积法即可证明；当直线 的斜率不存在，设直
线 的斜率为1，分别求出 ，即可证明．
【解析】（1）由题可设双曲线 的方程为 ．因为 经过点 ，
所以 ，解得 ，
故 的方程为 ．
（2）若直线 的斜率存在，设 ，
由 ，消去 得 ，
则 ，即 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 ，
设点 到直线 的距离为 ，则由等面积法得 ，所以 ，
又 ，所以 ；
若直线 的斜率不存在，则直线 的斜率为 ，
不妨设直线 的斜率为1，则 ，
将点 的坐标代入方程 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
综上， 为定值 ．
18．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系 中，等轴双曲线 和 的中心均为O，焦点分别在x
轴和y轴上，焦距之比为2， 的右焦点F到 的渐近线的距离为2．(1)求 ， 的方程；
(2)过F的直线交 于A，B两点，交 于D，E两点， 与 的方向相同．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据双曲线特征设 ，结合已知列方程求解；
（2）（ⅰ）先设直线再联立方程应用两根的和结合中点M，即可证明；（ⅱ）先把面积转化为
再设函数 借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值.
【解析】（1）由题设可设 ,这里 .
易知 渐近线为 ，焦距为 , 的右焦点 ，
由题设可知 , 解得 .
所以 的方程为 , 的方程为 .
（2）（ⅰ）设直线 ,
联立直线 和 的方程 ,得 .
为使直线 和 均有2个交点，必须有 ， ,
解得 且 ．
由韦达定理可得
注意到 ，因此线段 和线段 具有相同的中点．
记上述中点为 ，注意到 ,所以 .
（ⅱ）由（ i ）可知 和 的面积相等．
记 的面积为 , 的面积为 , 的面积为 .
由 与 的方向相同可知 .因为 ，
同理
所以 ，
,
设 ,
则
,
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
因此 ,
当且仅当 时，等号成立，
因此， 面积的最小值为 ．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点时把面积转化为 ，设函数借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值.
19．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直
平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)( i )证明见解析，( ii)
【分析】(1) 由双曲线的定义进行求解；
(2) ( i ) 设 ，求出 ，由直线l与曲线H方程进行求解；
（ii）由 ，则 利用基本不等
式求解．
【解析】（1）M为 的垂直平分线上一点, 则 ，
则
点M的轨迹为以 为焦点的双曲线, 且 ，
∴
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设 ，双曲线的渐近线方程为： ，
如图所示：
则 ①， ②，
①+②得， ，①-②得， ，
则 ，得
由题可知 ，则 ，
得 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
∴又 点M在曲线H上，则 ，得 ，
∵
将方程联立 ，得 ，
得 ，
由 ，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得 ，同理可得， ，
则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故 的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：第二问中的第2小问中，先要计算 ，再由基本不等式求解范围．
