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第二章 一元二次方程
2.6 应用一元二次方程
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·北京延庆·八年级期末）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种
植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】
依题意，得： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·北京门头沟·八年级期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房
连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约 亿元，第三天票房收入约达到 亿元，设票房收入每
天平均增长率为 ，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】
【分析】
第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为2（1+x）亿元，第三天为2（1+x）2亿元，根据“第三天
票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
设平均每天票房的增长率为 ，
根据题意得： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2020·江苏无锡·九年级期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然
爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平
均日产量达到24200个．则口罩日产量的月平均增长率为（ ）
A．8% B．10% C．15% D．20%
【答案】B
【解析】
【分析】
设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意列出方程20000（1＋x）2＝24200，求解即可．
【详解】
解：设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x＝0.1＝10%，x＝−2.1（不合题意舍去），
1 2
∴x＝10%．
∴口罩日产量的月平均增长率为10%．
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
4．（2022·云南红河·九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽
入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的销量
为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意先分别求得7月25日和7月26日的销量，进而利用7月25日和7月26日的总销量是30000个列
方程即可．
【详解】
解：由题意得：7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，
则 ，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
5．（2022·广西河池·九年级期末）某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售
150辆，3月销售216辆．设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程得（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】
设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程得:
，
故选D.【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程
正确的是( )
A．180(1+x%)=300 B．180(1+x%)2=300
C．180(1-x%)=300 D．180(1-x%)2=300
【答案】B
【解析】
【分析】
本题可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件
得到关于x%的方程．
【详解】
解：当商品第一次提价x%时，其售价为180+180x%=180(1+x%)，当商品第二次提价x%后，其售价为
180(1+x%)+180(1+x%)x%=180(1+x%)2
∴180(1+x%)2=300.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提
价后的售价，令其等于300即可．
二、填空题
7．（2022·山东泰安·八年级期末）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经
过连续两次降价后，由每盒300元下调至192元，则这种药品平均每次降价的百分率为________．
【答案】20%
【解析】
【分析】
因为该药品经过连续两次降价后由每盒300元调至192元，所以可设平均每次的降价率为x，则经过两次
降价后的价格是200（1-x）2，即可列方程求解．
【详解】
设平均每次降价的百分率为x，由题意得300×（1-x）2=192，
解得x=0.2，x=1.8（不合题意舍去），
1 2
答：这种药品平均每次降价率是20%．故答案为：20%.
【点睛】
题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
8．（2022·江苏宿迁·九年级期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元．则二
月份、三月份营业额的平均增长率为__________．
【答案】20%
【解析】
【分析】
利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2=三月份的营业额，设出未知数列出方程解答即可．
【详解】
解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2=288，
解得：x=-2.2（不合题意舍去），x=0.2，
1 2
答：每月的平均增长率为20%．
故答案为：20%．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到三月份营业额的关系式是解决本题的关键．
9．（2022·北京房山·八年级期末）特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，务必做好个
人防护措施．如图所示，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间
距离，减少接触．电梯地面部分为一个长为 ，宽为 的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部
分）的面积为 ，若设隔离带的宽度均为 ，那么x满足的一元二次方程是________．
【答案】
【解析】【分析】
把空白部分的面积看作是长为 cm，宽为 cm的长方形的面积列方程即可．
【详解】
解：设隔离带的宽度均为 ，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
10．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在一块长11m，宽为7m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，
其余部分种植花草．若花草的种植面积为60m2，则小路宽为 _____m．
【答案】1
【解析】
【分析】
设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等于长为（11−x）m，宽为（7−x）m的矩形的面积，根据花草的
种植面积为60m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等于长为（11−x）m，宽为（7−x）m的矩形的面积，
依题意得：（11−x）（7−x）＝60，
整理得：x2−18x＋17＝0，
解得：x＝1，x＝17（不合题意，舍去），
1 2
∴小路宽为1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年1月份某厂家
口罩产量为80万只，2月份比1月份增加了25%，4月份口罩产量为196万只．
(1)该厂家2月份的口罩产量为______万只；
(2)该厂家2月份到4月份口罩产量的月平均增长率是多少？
【答案】(1)100
(2)40%
【解析】
【分析】
（1）用1月份的产量乘以(1+25%)即可求解；
（2）设月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）2月份的产量为：80×(1+25%)=100（万只），故答案为：100；
（2）设月平均增长率为x，根据题意有：100×(1+x)2=196，解得：x=40%，（负值舍去），故2月份到4月
份的平均增长率为40%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
12．（2022·山东济南·八年级期末）2022年冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，冬奥会特许商店将进货价
为每个30元的冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种冰墩墩饰品的售
价每上涨1元，其销售量就减少10个，同时规定售价在40-60元范围内．
(1)当售价上涨 元时，销售量为______个；
(2)为了实现销售这种饰品平均每月10000元的销售利润，每个饰品应定为多少元？这时售出冰墩墩饰品多
少个？
【答案】(1)
(2)每个饰品应定为50元，这时售出冰墩墩饰品500个
【解析】
【分析】
（1）根据冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，墩墩饰品的售价每上涨1元，其销售
量就减少10个列出代数式即可；
（2）根据每个饰品的利润×销售量＝10000列出方程，解方程即可．
（1）解：当售价上涨x元时，销售量为（600−10x）个，故答案为：（600−10x）；（2）解：设每个饰品上涨 元，售价为 元，得 ，解得 ，
，∵售价在40-60元范围内，∴ ，∴ ，即 ， 元，
个，答：每个饰品应定为50元，这时售出冰墩墩饰品500个．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系，列出方程，再求解．
提升篇
一、填空题
1．（2022·山东威海·八年级期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛42场，
则参加比赛的球队有_________支．
【答案】7
【解析】
【分析】
设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了42场即可得出关于x的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【详解】
解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝42，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴
影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为_______．【答案】2m##2米
【解析】
【分析】
设道路宽为x米，由平移法把草坪面积转化为矩形，根据矩形面积=540列方程求解即可．
【详解】
解：利用平移，原图可转化为下图，
设道路宽为x米
根据题意得：（32-x）(20-x)=540
解得：x=2，x=50（不合题意，舍去）
1 2
∴x=2，
故答案为：2 m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合得思想，需利用平移把不规则的图形变为规则
图形，即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
3．（2021·辽宁·盘锦市双台子区第一中学九年级期中）有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两
轮传染后共有128人患流感，如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为________．
【答案】2（1+x）2=128．
【解析】
【分析】
此题的等量关系为：经过两轮传染后的人数=128，列方程即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：2（1+x）2=128．
故答案为：2（1+x）2=128．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
4．（2022·山东威海·八年级期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．
调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从
消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元．
【答案】50
【解析】
【分析】
设商场对这种台灯的售价为x元，然后根据题意可列出方程进行求解．
【详解】
解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得： ，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
5．（2022·上海·八年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得
CMN的周长为2，则 MAN的面积最小值为____．
△ △
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长CB至L，使BL＝DN，则Rt ABL≌Rt AND，故AL＝AN，进而求证 AMN≌△AML，即可求
得∠MAN＝∠MAL＝45°设CM＝x，CN＝△y，MN＝△z，根据x2+y2＝z2，和x+y+z＝2△，整理根据 ＝4（z﹣
2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解题． △
【详解】
解：延长CB至L，使BL＝DN，
则Rt ABL≌Rt ADN，
故AL△＝AN， △
∵CM+CN+MN＝2，CN+DN+CM+BM＝1+1＝2，
∴MN＝DN+BM＝BL+BM＝ML，
∴△AMN≌△AML（SSS），
设CM＝x，CN＝y，MN＝z
x2+y2＝z2，
∵x+y+z＝2，
则x＝2﹣y﹣z
∴（2﹣y﹣z）2+y2＝z2，
整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）＝0，
∴△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0，
即（z+2﹣2 ）（z+2+2 ）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2 ﹣2
此时S AMN＝S AML＝ ML•AB＝ z
△ △
因此，当z＝2 ﹣2，S AMN取到最小值为 ﹣1．
△故答案为： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，本题求证三
角形全等是解题的关键．
二、解答题
6．（2022·江苏南通·八年级期末）某校准备在一块长为 米，宽为 米的长方形花园内修建一个底部为
正方形的亭子 如图所示 ，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度
的 倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为 米．
(1)花园内的小路面积为______平方米 用含 的代数式表示 ．
(2)若草坪面积为 平方米时，求这时道路宽度 的值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）由亭子边长是小路宽度的 倍，可得出亭子边长是 米，利用花园内的小路面积 小路的长度 小路
的宽度，即可用含 的代数式表示出花园内的小路面积；
（2）利用草坪的面积 长方形花园的面积 小路的面积 亭子的面积，即可得出关于 的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
（1）解： 小路宽度为 米，亭子边长是小路宽度的 倍， 亭子边长是 米， 花园内的小路面积为
平方米，故答案为： ；
（2）依题意得： ，整理得： ，解得： ， 不
合题意，舍去 ．答：这时道路宽度 的值为 ．【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是： 根据各数量之间的关系，用含 的代数
式表示出花园内的小路面积； 找准等量关系，正确列出一元二次方程．
7．（2022·河南鹤壁·九年级期末）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已
知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的
5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需
2000元，则最多可购买电脑多少台？
【答案】(1)该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%
(2)2021年最多可购买电脑880台
【解析】
【分析】
（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金
额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m
的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．
（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1＋x）2=7200，解得：
x=0.2=20%，x=−2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；
1 2
（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元），设购买电脑m台，则购买实物
投影仪（1500−m）台，根据题意得：3500m＋2000（1500−m）≤86400000×5%，解得：m≤880，答：2021
年最多可购买电脑880台．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年
投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的一元
一次不等式．
8．（2022·广东深圳·八年级期末）2022年2月4日，万众瞩目的冬奥会在我们的首都北京开幕了，与往届
冬奥会所不同的是，这届冬奥会大家都被吉祥物—冰墩墩吸引了，导致市场大量缺货，为满足市场需求，
温州某玩具加工厂打算紧急招聘70名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，根据市场行情，普通款每件利润为140元，升级款
每件利润为350元，为保证全部售出，每生产1件升级款就将升级款的售价降低5元（每件利润不低于150
元），设每天生产升级款 件．
(1)根据信息填表：
产品种类 每天工人数（人） 每天的产量（件） 每件可获得的利润（元）
普通款冰墩墩 ______ ______ ______
升级款冰墩墩 ______
(2)当 取多少时，工厂每日的利润可达到17200元？
【答案】(1) ； ；140；350；
(2)30．
【解析】
【分析】
（1）找准各数量之间的关系，分别用含 的代数式表示出各数量；
（2）利用工厂每日的利润 每件可获得的利润 每天的产量，即可得出关于 的一元二次方程．
（1）解： 普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，且每天生产升级款 件， 安排 人生
产升级款冰墩墩，安排 人生产普通款冰墩墩， 每天生产 件普通款冰墩墩．又 普通款每
件利润为140元，升级款每件利润为350元，填表如下：
每天工人数（人
产品种类 每天的产量（件 每件可获得的利润（元
普通款冰墩墩 140
升级款冰墩墩 350
故答案为： ； ；140；350；
（2）解：由题意得： ，整理得： ，解得： ，
（不合题意，舍去）．当 时， ，符合题意．答：当 取30时，工厂每日
的利润可达到17200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
