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专题 1.1 几何初步
【典例1】用小立方块搭一个几何体，使得它从正面看和从上面看到的形状图如图所示，它最少要 m个小
立方块，最多要n个小立方块，则m+n的值为 ．
【思路点拨】
易得这个几何体共有3层，由从上面看所得的图形可得第一层正方体的个数，由从正面看所得的图形可得
第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加即可．
【解题过程】
解：由从上面看和从正面看所得的图形可知：
至少需要：1+1+1+2+3+1＝9个小立方块．
最多需要：2+2+2+3+1＝13个小立方块，
∴m＝9，n＝13，
∴m+n＝22．
故答案为：22．1．（2021秋•东台市期末）观察如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据每一个几何体的特征判断即可．
【解题过程】
解：观察如上图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体可能是：空心的圆柱体，
故选：D．
2．（2021秋•顺德区月考）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（ ）
A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2
【思路点拨】
先数出每个面的正方形的个数，然后加起来求出面积即可．
【解题过程】
解：由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和，
∴该几何体前后左右上下各都有6个小正方形，共36个小正方形，
∵小正方体的棱长为 a，
∴该图形的表面积为 36a2，
故选：A．3．（2022•洛阳三模）如图是一个正方体，如图哪个选项是它的展开图（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解题过程】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“阴影正方形”与面“阴影圆”相邻，面“阴影
正方形”与面“阴影三角形”相邻，且三角形只有一个角相邻，面“阴影三角形”与面“阴影圆”相邻，
且三角形有一条直角边相邻．
故选：B．
4．（2021秋•盘龙区期末）有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，
现把它们摆放成如图所示的位置，请你判断数字5对面的数字是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】
根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可．
【解题过程】解：根据第一个和第二个正方体表面的数字可知，“4”的邻面是“1、6、2、5”，因此“4”的对面是“3”，
由第二个和第三个正方体表面的数字可知，“2”的邻面是“4、5、3、6”，因此“2”的对面是“1”，
所以“5”和“6”是对面，
故选：A．
5．（2022•信阳二模）小聪用八个同样大小的小立方块搭成一个大正方体，从正面、左面和上面看到的形
状图如图所示，现在小聪从中取走若干个，并使得到的新几何体从三个方向看的形状图不变，则他取走的
小立方块最多可以是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据三视图的定义解答即可．
【解题过程】
解：由三视图可知：该几何体上下共有两层，要使新几何体从三个方向看的形状图不变，最下面一层的四
个是不变的，从左面看第一列的上面一层可以拿掉一个，第二列的上面一层可以拿掉一个，所以最多可以
拿掉2个，B选项正确，
故选：B．
6．（2021秋•和平区校级月考）一个正方体锯掉一个角后，剩下的几何体的顶点的个数是（ ）
A．7个或8个 B．8个或9个
C．7个或8个或9个或10个 D．7个或8个或9个
【思路点拨】
根据一个正方体锯掉一个角，存在四种不同的情形，画出图形即可得出答案．
【解题过程】
解：如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7个、8
个、9个或10个，
故选：C．7．（2021秋•二七区校级月考）用一个平面去截下列几何体：①三棱柱；②六棱柱；③长方体；④圆柱；
⑤圆锥，其中截面可能是三角形的有 ①②③⑤ ．
【思路点拨】
根据用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，利用常见图形分析得出即可．
【解题过程】
解：①三棱柱能截出三角形；
②六棱柱沿对角线截几何体可以截出三角形；
③长方体能截出三角形；
④圆柱不能截出三角形；
⑤圆锥能截出三角形；
故截面可能是三角形的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
8．（2021秋•随县期末）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第
1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 路 ．
【思路点拨】
根据正方体的表面展开图找出相对面，然后动手操作即可解答．
【解题过程】
解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“中”与“梦”的面是相对的，
“复”与“路”的面是相对的，
“国”与“兴”的面是相对的，
根据题意可知第1格是“兴”，所以第4格是“国”；
第2格是梦”，第3格是“路”，所以第5格是“复”．
所以这时小正方体朝上面的字是“路”，
故答案为：路．
9．（2021秋•嘉鱼县期末）把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上
的颜色和花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面有 1 7 朵花．
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
花的朵数 1 2 3 4 5 6
【思路点拨】
由图中显示的规律，可分别求出，右边正方体的下边为白色，左边为绿色，后面为紫色，按此规律，可依
次得出右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，即可求出下底面的花朵数．
【解题过程】
解：由题意可得，右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，
那么长方体的下底面共有花数4+6+2+5＝17朵．
故答案为：17．
10．（2021•城阳区一模）如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm
的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 25 2 cm2．
【思路点拨】
根据正方体6个外表面的面积、9个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可．
【解题过程】
解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），
6个内孔的内壁的面积为1×1×4×4×9﹣1×1×2×6＝120（cm2），
因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为132+120＝252（cm2），
故答案为：252．
11．（2021秋•龙泉驿区校级期末）用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所
示，从上面看到的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，那么这样的几何体最多由11 几个小立方体搭成，最少由 9 几个小立方体搭成．
【思路点拨】
根据主视图、俯视图的形状以及相应位置所摆放的小正方体的数量，判断最多、最少时的总个数即可．
【解题过程】
解：根据主视图、俯视图的形状以及相应位置所摆放的小正方体的数量可知，
最多时：d、e、f都是2；b、c都是1；a是3，因此共有3+1+1+2+2+2＝11（个），
最少时：d、e、f中只有一个是2，其余是1；b、c都是1；a是3，因此共有3+1+1+2+1+1＝9（个），
故答案为：11，9．
12．（2022春•市北区期中）如图所示是一种棱长分别为 3cm，4cm，6cm的长方体积木，现要用若干块这
样的积木来搭建大长方体，
如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 22 8 cm2，
如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 26 4 cm2，
如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 86 8 cm2．
【思路点拨】
如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小时，长 3×3＝9cm，宽4cm，高6cm的长方体的表面积，
根据长方体的表面积公式即可求解；
如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小时，长4×2＝8cm，宽3×2＝6cm，高6cm的长方体的表
面积，根据长方体的表面积公式即可求解；
如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小时，长4×4＝16cm，宽6×2＝12cm，高3×3＝9cm的长
方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解．
【解题过程】
解：（1）搭成的大长方体长3×3＝9cm，宽4cm，高6cm，
（9×4+9×6+4×6）×2
＝（36+54+24）×2＝114×2
＝228（cm2）；
故答案为：228；
（2）用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小时：搭成的大长方体长 4×2＝8cm，宽3×2＝6cm，高
6cm，
2（8×6）+2（8×6）+2（6×6）＝264（cm2）；
故答案为：264；
（3）表面积最小时，搭成的大长方体长4×4＝16cm，宽6×2＝12cm，高3×3＝9cm，
2（16×12+16×9+12×9）＝868（cm2）．
故答案为：868；
13．（2021秋•秦都区期末）如图所示的是一个正方体的展开图，它的每一个面上都写有一个自然数，并
且相对的两个面的两个数字之和相等，求a+b﹣2c的值．
【思路点拨】
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，“Z”字两端是对面，求出a，b，c的值，然后代
入式子中进行计算即可解答．
【解题过程】
解：由图可知：
a与8相对，c与5相对，b与4相对，
∴a+8＝c+5＝b+4，
∴a﹣c＝5﹣8＝﹣3，
b﹣c＝5﹣4＝1，
∴a+b﹣2c＝a﹣c+b﹣c＝﹣3+1＝﹣2．
14．（2021秋•南岗区期末）妈妈给小明的塑料水壶做了一个布套（如图），小明每天上学带一壶水．（π
取3.14）
（1）至少用了多少布料？
（2）小明在学校一天喝1.5L水，这壶水杯够喝吗？（水杯的厚度忽略不计）【思路点拨】
（1）先分清制作没有盖的圆柱形水壶布套，需要计算两个面的面积：侧面积与底面积，列式计算即可；
（2）要求这个水壶能多少水，求出圆柱体体积即可．
【解题过程】
解：（1）水壶的侧面积：3.14×10×20＝628（平方厘米），
水壶的底面积：3.14×（10÷2）2＝3.14×52＝78.5（平方厘米），
水壶的表面积：628+78.5＝706.5（平方厘米），
答：至少用布706.5平方厘米．
（2）3.14×（10÷2）2×20
＝3.14×52×20
＝3.14×25×20
＝1570（立方厘米）
＝1.57升；
1.5＜1.57，
答：这壶水够喝．
15．（2021秋•高州市校级月考）如图是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答
问题：
（1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？
（2）如果F面在前面，B面在左面，那么哪一个面会在上面？（字母朝外）
【思路点拨】
（1）根据长方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可；
（2）把长方体的平面展开图经过折叠，把它围成长方体判断即可．
【解题过程】解：由图可知，“A”与“F”相对，“B”与“D”相对，则“C”与“E”相对，
（1）因为面“A”与面“F”相对，所以A面是长方体的底部时，F面在上面；
（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面在下面，因为“C”与“E”相对，所以C面会
在上面．
16．（2021秋•樊城区期末）将三个棱长分别为a，b，c（a＜b＜c）的正方体组合成如图所示的几何体．
（1）该几何体露在外面部分的面积是多少？（整个几何体摆放在地面上）
（2）若把整个几何体颠倒放置（最小的在最下面摆放），此时几何体露在外面部分的面积与原来相比是
否有变化？若有，算出增加或减少的量；若没有，请说明理由．
【思路点拨】
（1）熟悉视图的概念及定义即可解．上面露出的所有面的面积和是最下面正方体的上面积，其余露出的
面都是侧面，求三个正方体的侧面积和即可；
（2）分别表示出各自的表面积，相减即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）几何体露在外面部分的面积是4a2+4b2+5c2；
（2）与原来相比增加了，
由[4a2+4b2+5c2+（c2﹣a2）]﹣（4a2+4b2+5c2）＝c2﹣a2，
∵a＜c，
∴c2﹣a2＞0，
∴增加了c2﹣a2．
17．（2021秋•张店区期末）如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形
状图．
（1）请你观察它是由 1 0 个立方体小木块组成的；（2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数；
（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．
【思路点拨】
（1）由俯视图可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由主视图和左视图可得第二层和第三层小木块
的个数，相加即可．
（2）根据上题得到的正方体的个数在俯视图上标出来即可；
（3）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积．
【解题过程】
解：（1）∵俯视图中有6个正方形，
∴最底层有6个正方体小木块，
由主视图和左视图可得第二层有3个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块，
∴共有10个正方体小木块组成．
故答案为：10；
（2）根据①得：
（3）表面积为：6×2+6×2+6×2+2×2＝40（cm2）．
18．（2021秋•郑州期中）综合实践．
【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的
无盖纸盒．
【操作探究】
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，图形 C 经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？ 卫
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成
无盖长方体形纸盒．①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四个角各剪去了一个边长为4cm的小正方形，求这个纸盒的底面积和容积分别为多少？
【思路点拨】
（1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可；
（2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”进行判断即可；
（3）①根据裁剪要求画出相应的图形即可；②得出长、宽、高根据表面积、体积的计算方法进行计算即
可．
【解题过程】
解：（1）无盖，说明展开图是有5个面，而正方体表面展开图“田凹应弃之”可知，
选项A不是正方体的表面展开图，而选项B只有4个面，选项D有6个面，
而选项C中的图形符合题意，
故选：C；
（2）由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“保”与“卫”是对面，
故答案为：卫；
（3）①所画出的图形如图所示：
．
②当小正方形边长为4cm时，
纸盒的底面积为（20﹣2×4）2＝122＝144（cm2），
纸盒的容积为4×（20﹣2×4）2＝576（cm3），
答：纸盒的底面积为144cm2，纸盒的容积为576cm3．
19．（2021秋•普宁市期中）如图①所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图②中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 C ；A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图①中大正方体的棱长之和为m，图②中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出
大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图③是图②几何体的表面展开图吗？如
有错误，请予修正．
【思路点拨】
（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等；
（2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案；
（3）根据展开图判断即可．
【解题过程】
解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个小面”，因此与原来的表面积相等，即a＝b，
故答案为：C；
（2）如图②红颜色的棱是多出来的，共6条，
如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半时，n比m正好多出大正方体的3条棱的长度，
如果截去的小正方体的棱长不是大正方体的棱长的一半，n比m就不是多出大正方体的3条棱的长度，
故小明的说法是不正确的；
（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图所示．
20．（2021春•南岗区校级月考）如图，两个体积相同的图柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为2厘米，
高为20厘米且比圆柱B高 ．（π取3）
（1）求圆柱B的底面积是多少平方厘米？
（2）如图，一个底面长8厘米，宽6厘米的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水面恰
好与圆柱A高度相同，求将圆柱A、B放入之前水面的高度是多少厘米？
（3）若要使水面下降至与圆柱B高度相同，需将圆柱A提起多少厘米？【思路点拨】
（1）考查了圆柱体积公式，突破口是A与B体积相等．
（2）水面与A平，所以能求出加入A和B后总的体积，减去A和B圆柱的体积可得长方体中水的体积，
由长方体体积公式可求出高度．
（3）水面与B平，可求出这时水箱的体积，再与（2）中与A相平时作差，可求出相差的体积，从而求出
A提出的高度．
【解题过程】
解：（1）设B的底面半径为rcm，B的高为20÷（1+ ）＝16cm，
∵A与B体积相同，
∴π×22×20＝π×r2×16，
解得r2＝5，
∵π＝3，
∴B的底面积＝πr2＝15（cm2）；
答：B的底面积是15平方厘米．
（2）V总 ＝8×6×20＝960（cm3），
∵V ＝V ，
A B
∴V +V ＝2V ＝15×16×2＝480（cm3），
A B B
∴V之前 ＝V总 ﹣2V
B
＝480（cm3），
∴之前高度＝ ＝10（cm）．
答：放入A、B之前的高度为10cm．
（3）当水面与B等高时V水箱 ＝8×6×16＝768（cm3），
∴相较于等A时体积相差V＝960﹣768＝192（cm3），∴需将A提起高度为 ＝ ＝16（cm）．
答：需要将A圆柱提起16厘米．
