文档内容
第 01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：导数的定义及变化率问题............................................................................................................................2
题型二：导数的运算....................................................................................................................................................2
题型三：在点P处的切线............................................................................................................................................3
题型四：过点P的切线................................................................................................................................................4
题型五：公切线问题....................................................................................................................................................4
题型六：已知切线或切点求参数问题........................................................................................................................5
题型七：切线的条数问题............................................................................................................................................5
题型八：利用导数的几何意义求最值问题................................................................................................................6
题型九：牛顿迭代法....................................................................................................................................................6
题型十：切线平行、垂直、重合问题........................................................................................................................7
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题................................................................................................................8
题型十二：切线斜率的取值范围问题........................................................................................................................8
重难创新练............................................................................................................................................9
真题实战练..........................................................................................................................................11题型一：导数的定义及变化率问题
1．设 是定义在R上的可导函数，若 （ 为常数），则 （ ）
A． B． C． D．
2．对于函数 ，若 存在，求：
(1) ；
(2) ．
题型二：导数的运算
3．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)4．求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
（3） ；
（4） ；
（5）y＝ .
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9）y＝ .
（10）
（11）
（12） .
5．已知函数 ，则 的值为 ．
6．（2024·河南·一模）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 的
极值点为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
题型三：在点P处的切线
7．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龙江·二模）函数 在 处的切线方程为（ ）A． B．
C． D．
9．（2024·全国·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数的图象与直线 相切于点 的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：过点P的切线
11．过原点的直线 与 相切，则切点的坐标是 .
12．已知直线 为曲线 过点 的切线. 则直线 的方程为 .
13．已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则其切线方程为 .
14．在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且该曲线在点 处的切线经过点 （ 为自然
对数的底数），则点 的坐标是 ，切线方程为
题型五：公切线问题
15．经过曲线 与 的公共点，且与曲线 和 的公切线 垂直的直线方
程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 （ ）
A．2 B． C． D．
17．过原点的直线 与曲线 都相切，则实数 （ ）
A． B． C． D．
18．若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线相同，则（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
20．设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切线，则 的值为
（ ）
A．0 B． C．2 D．3
题型六：已知切线或切点求参数问题
21．（2024·山东临沂·二模）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为 .
22．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直线 与曲线 相切，则切点的横坐标为
.
23．（2024·湖北·二模） 是 在 处的切线方程，则 ．
24．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知直线 的斜率为2，且与曲线 相切，则 的方程为 .
25．（2024·全国·模拟预测）若直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为（ ）
A．e B． C． D．
26．（2024·四川绵阳·一模）设函数 ，直线 是曲线 的切线，则 的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．
题型七：切线的条数问题
27．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
28．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
29．已知函数 ，若过 可做两条直线与函数 的图象相切，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
30．（2024·宁夏银川·二模）已知点 不在函数 的图象上，且过点 仅有一条直线与
的图象相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型八：利用导数的几何意义求最值问题
31．（2024·陕西西安·二模）若 ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B．6 C．8 D．12
32．（2024·广东·一模）设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
33．已知点P是曲线 上任意一点，点Q是直线 上任一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
34．（2024·高三·四川成都·期末）已知 为函数 图象上一动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
35．设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
题型九：牛顿迭代法
36．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数 有两个不相等的实根 ，其中 ．在函数 图像上横坐标为 的点处作曲线 的切线，切线与x轴交点的横坐标为 ；
用 代替 ，重复以上的过程得到 ；一直下去，得到数列 ，记 ，且 ，下
列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是等差数列 D．数列 的前n项和
37．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛顿法——用“作切
线”的方法求方程的近似解.如图，方程 的根就是函数 的零点r，取初始值 处的切线与x轴
的交点为 ， 在 处的切线与x轴的交点为 ，一直这样下去，得到 ， ， ，…， ，它们越
来越接近r.若 ， ，则用牛顿法得到的r的近似值 约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.415 D．1.375
38．（2024·高三·四川成都·期中）科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，
其定义是：对于函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列，若函数
，数列 为牛顿数列且 ， ，则 的值是（ ）
A．9 B． C． D．7
题型十：切线平行、垂直、重合问题
39．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的图象经过 两点，且 的图象在
处的切线互相垂直，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
40．已知函数 的图象在 两个不同点处的切线相互平行，则
的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．
41．（2024·云南曲靖·一模）已知 ，若点 为曲线 与曲线 的交点，且
两条曲线在点 处的切线重合，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
42．已知函数 的图象在 两个不同点处的切线相互平行，则
的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．
43．已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得曲线 在这两点处的切线
重合， 则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
44．（2024·山西·模拟预测）已知函数 若对任意 ，曲线
在点 和 处的切线互相平行或重合，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
45．已知奇函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 恒成立，则
．
46．（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 ，若 是偶函数， 是奇函数，奇函数 满足 是偶函数，则关于 的不等式 的解集为 ．
47．已知函数 与偶函数 在交点 处的切线相同，则函数 在 处的切线方
程为（ ）
A． B．
C． D．
题型十二：切线斜率的取值范围问题
48．以正弦曲线 上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A． ∪ B．
C． D． ∪
49．点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
50．点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·浙江绍兴·二模）函数 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·江西赣州·期中）已知函数 （ ）在点 处的切线为直线 ，若直
线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则实数 （ ）
A． B．1 C．2 D．3．（2024·河南·模拟预测）函数 与直线 相切于点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．若函数 的图像在点 处的切线恰为直线 ，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）过 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于
两点，分别过 作曲线 的两条切线 ，若 交于 ，若直线 的倾斜角为 .则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西南昌·一模）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 在第一象限部分上一点，若
，则抛物线 在点A处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若直线 是曲线 的一条切线，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线 相切的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·河南郑州·模拟预测）过点 作直线 l与函数 的图象相切，则
（ ）
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线 垂直，则
C．若点P在 的图象上，则符合条件的l只有1条D．若符合条件的l有3条，则
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若过原点可作函数的三条切线，则
（ ）
A． 恰有2个异号极值点 B．若 ，则
C． 恰有2个异号零点 D．若 ，则
12．（多选题）（2024·湖南·一模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐
标为 的点处作 的切线，切线与 轴交点的横坐标为 ；用 代替 重复上面的过程得到 ；一直
下去，得到数列 ，叫作牛顿数列.若函数 且 ，数列 的前
项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是递减数列
C．数列 是等比数列 D．
13．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数
a= ．
14．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点 仅可作曲线 的两条切线，则 的取值范围是
.
15．（2024·安徽·三模）已知曲线 与曲线 在第一象限交于点A，记两条曲
线在点A处的切线的倾斜角分别为 ，则 ．
16．（2024·福建宁德·三模）已知曲线 和圆 有2个交点，则实数 的取值范围是
.
17．（2024·河南·二模）若两个函数 和 存在过点 的公切线，设切点
坐标分别为 ，则 .1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切
线，则 .
2．（2024年北京高考数学真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
3．（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若函数 的图象上存在
两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有 性质．下列函数中具有 性质的
是
A． B． C． D．
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））设函数 ．
若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线 在点 处的切线
方程为 ，则A． B． C． D．
7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l
的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数 的图像在点 处的切
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是
．
11．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
12．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，
则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
13．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处
的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
14．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 在点 处的切线方程
为 ．
15．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 的一条切线的斜率为2，
则该切线的方程为 .
