文档内容
专题 01 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
题型一： 导数的概念.......................................................................................................................3
题型二： 导数的运算.......................................................................................................................5
题型三： 导数的几何意义——求切线方程..................................................................................8
题型四： 导数的几何意义——求切点坐标................................................................................12
题型五： 导数的几何意义——求参数的值................................................................................14
题型六： 公切线问题的求法——判断公切线的条数................................................................16
题型七： 公切线问题的求法——求两曲线的公切线................................................................18
题型八： 公切线问题的求法——求参数的值或范围................................................................20
知识点总结
知识点一、导数的概念及其意义
(1)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称
y＝f (x)在x＝x 处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x 处的导数(也称为瞬时变化
0 0
率)，记作 f ′( x )或y′| ，即f ′(x)＝lim ＝lim .
0 x＝x0 0
(2)导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x 处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点
0
P(x，f (x))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x，f (x))处的切线的斜率是f
0 0 0 0
′( x )．相应的切线方程为 y － y ＝ f ′ ( x )( x － x )．
0 0 0 0
(3)导函数的概念：当x＝x 时，f ′(x)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f ′(x)就
0 0
是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即
f ′(x)＝y′＝lim .
知识点二、导数的运算(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝ αx α － 1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x f ′(x)＝ － s i n_x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ a x l n _a
f (x)＝ex f ′(x)＝ e x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
a
f (x)＝ln x f ′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
运算法则
和差 [f (x)±g(x)]′＝ f ′( x )± g ′( x )
[f (x)g(x)]′＝ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ，
积
特别地，[cf (x)]′＝ cf ′( x )
′＝
商
(g(x)≠0)
(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，
那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f ( g ( x )) ．它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y ′ ＝ y ′ · u ′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的
x u x
导数的乘积．
例题精讲
题型一：导数的概念
【要点讲解】 求函数y=f(x)在点x 处导数的步骤
0
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)得导数 ,简记作:一差、二比、三极限.
函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|
f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
【例1】（2023春•儋州校级月考）已知函数 ，则
A．3 B．5 C．7 D．6
【解答】解：根据题意， ，则 （3） ，又 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•民勤县校级月考）已知 ，则
A． B． C．1 D．4
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•江西月考）若 ，则A．1 B．2 C． D．
【解答】解： ，
则 ，解得 ．
故选： ．
【例2】（2023春•青岛期中）质点 按规律 做直线运动（位移单位： ，
时间单位： ，则质点 在 时的瞬时速度为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
则 ，
故 （5） ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•江西月考）已知函数 ，当自变量 由1变到1.1时，
的平均变化率为
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
【解答】解：由题意得 ，故△ （1） ，
故 ，
即当自变量 由1变到1.1时， 的平均变化率为2.1．
故选： ．
【变式训练2】（2023 春•驻马店月考）已知某质点的位移 与时间 的关系式是
，则质点在 时的瞬时速度为
A． B． C． D．【解答】解：因为质点的位移 与时间 的关系式是 ，
所以 ，
故质点在 时的瞬时速度为 ．
故选： ．
题型二：导数的运算
【要点讲解】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
【例3】（2023春•天祝县校级月考）函数 的导函数是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•青铜峡市校级期中）下列求导数运算中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：对于 选项， ，故 错误；
对于 选项， ，故 正确；对于 选项， ，故 错误；
对于 选项， ，故 错误．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•高新区校级月考）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
则 ．
故选： ．
【例4】（2023春•深圳校级月考）已知函数 （2），其中 是
的导函数，则 （2）
A．12 B．20 C．10 D．24
【解答】解： （2），
则 ，
令 ，
则 （2） ，
故 ，
（2） ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•葫芦岛月考）已知函数 （1） ，则 （1）A． B．4 C． D．2
【解答】解： ，所以 （1） （1），解得 （1） ，
则 ，故 （1） ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•濮阳期末）已知函数 ，则 （2）
A． B． C． D．
【解答】解：已知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
则 （2） ．
故选： ．
【例5】（2023春•河池月考）已知 ，若 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： ，
令 ，即 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•梅河口市校级月考）设 ，若 ，则
A．1 B． C．3 D．
【解答】解： ， ，解得： ．
故选： ．
【变式训练2】（2023 春•定远县校级期中）设 ，若 在 处的导数，则 的值为
A．0 B． C．3 D．6
【解答】解： ，
，解得 ．
故选： ．
题型三：导数的几何意义——求切线方程
【要点讲解】求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x,y)是切点时,切线方程为y-y=f'(x)(x-x);
0 0 0 0 0
(2)当点P(x,y)不是切点时,可分以下几步完成:
0 0
第一步:设出切点坐标P'(x,f(x));
1 1
第二步:写出过点P'(x,f(x))的切线方程y-f(x)=f'(x)(x-x);
1 1 1 1 1
第三步:将点P的坐标(x,y)代入切线方程求出x;
0 0 1
第四步:将x 的值代入方程y-f(x)=f'(x)(x-x)可得过点P(x,y)的切线方程.
1 1 1 1 0 0
【例6】（2023春•武功县期中）函数 的图象如图所示，则下列关系正确的是
A． （2） （3） （3） （2）
B． （2） （3） （2） （3）
C． （3） （3） （2） （2）
D． （3） （2） （3） （2）【解答】解：由函数 的图象可知：
当 时， 单调递增，且当 时， ，
（2）， （3）， （3） （2） ，
由此可知 ，
直线的斜率逐渐减小，
单调递减，
（2） （3），
为凸函数，
（3） （2） （2），
（3） （3） （2） （2），
故选： ．
【变式训练1】（2023•麒麟区校级模拟）已知函数 与 的部分图象如图所示，则
A． B．
C． （3） （3） D． （3） （3）
【解答】解：根据题意，由函数的图象，函数 与 在区间 ， 上单调递增，则有 ， ， 、 错误；
在 处， 和 都是增函数，但 的图象更陡，则 的切线斜率小于
的切线斜率，即 （3） （3）， 错误， 正确．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•通州区期中）已知函数 的图象如图所示，则下列结论正确的
是
A． （3） （2） （1） B． （1） （2） （3）
C． （1） （2） （3） D． （3） （2） （1）
【解答】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，
故 （3） （2） （1）．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•恩阳区 期中） 的图象如图所示，下列数值的排序正确
的是A． （2） （3） （3） （2） B． （3） （3） （2）
（2）
C． （3） （2） （3） （2） D． （3） （2） （3）
（2）
【解答】解：设 ， （2） ， ， （3） 为 的图象上两点，
则 （3）为函数 在 处切线的斜率，
（2）为函数 在 处切线的斜率，
，
函数 为增函数，但增加的越来越慢，
则 （3） （3） （2） （2）．
故选： ．
【例7】（2022秋•衡水月考）已知函数 ，则曲线 在点 ，（1） 处的切线方程为 ．
【解答】解： ，
，
（1） ， （1） ，
曲线 在点 处的切线方程为：
，即 ，
故答案为： ．
【变式训练1】（2022•辽宁三模）已知函数 的图象经过坐标原点，则曲
线 在点 ， 处的切线方程是 ．
【解答】解： ， ， ，
， ，
所求切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【变式训练2】（2021春•昌邑市校级月考）曲线 ，在点 处的切线方程为
．
【解答】解：由 ，
则 ，
所以 ，所以在点 处的切线方程为 ，
即 ，
故答案为： ．
【变式训练3】（2021春•石首市校级月考）已知曲线 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求过点 并与曲线 相切的直线方程．
【解答】解：（1）
当 时，
点 处的切线方程为： 即：
（2）设切点坐标为
则直线斜率 ，
而 ，
整理得到：
解得 ， ，
当 时： ，直线方程为 ；当 时， ，直线方程为
当 时， ，直线方程为
题型四：导数的几何意义——求切点坐标
【要点讲解】求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从
而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方
程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
【例8】（2023春•海淀区校级期中）若曲线 的一条切线的斜率为4，则切点的横坐
标为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设切点的横坐标为 ，
则由题意可得： ．
故选： ．
【变式训练1】（2021秋•开封期末）如图，函数的图象在 点处的切线方程是 ，
若点 的横坐标是5，则 （5） （5）
A． B．1 C．2 D．0
【解答】解： 函数 的图象在点 处的切线方程是 ，（5） ， （5） ，
（5） （5） ，
故选： ．
【变式训练2】（2020•沈阳三模）过点 作曲线 的切线，则切点坐
标为 ．
【解答】解：因为 ，
所以 ，设切点为 ， ，
，根据题意可得 ，
， 即切点坐标 ．
故答案为： ．
【变式训练3】（2023•鹰潭一模）已知曲线 在点 ， 处的瞬时变化率
为 ，则点 的坐标为 ．
【解答】解： ， ，
令 ，则 ， ，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
题型五：导数的几何意义——求参数的值
【要点讲解】利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不
等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
【例9】（2023春•扬中市校级月考）点 在曲线 上移动，设点 处切线
的倾斜角为 ，则角 的范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， ，则 ，且 ， ，
角 的范围是： ．
故选： ．
【变式训练1】（2022•呼和浩特模拟）若过点 可以作三条直线与曲线 相
切，则 的取值范围是
A． ， B． C． D．
【解答】解：设切点为 ， ，过点 的切线方程为 ，
代入点 坐标化简为 ，即这个方程有三个不等根即可，
令 ，
求导得到 ，
令 ，得 ，或 ，
令 ，得 ，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减，
故得到 ，即
故选： ．
【变式训练2】（2021春•临渭区期末）设点 是曲线 上的任意一点，点
处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是
A． B． ， ， C． D．
【解答】解： ， ，
， ， ，
故选： ．
【变式训练3】（2022•新高考Ⅰ）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取
值范围是 ， ， ．
【解答】解： ，设切点坐标为 ， ，
切线的斜率 ，
切线方程为 ，
又 切线过原点， ，
整理得： ，
切线存在两条， 方程有两个不等实根，△ ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【变式训练4】若曲线 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则
值可以是
A． B． C．0 D．1
【解答】解： ，设切点坐标为 ， ，
切线的斜率 ，
切线方程为 ，
又 切线过原点， ，
整理得： ，
切线存在两条， 方程有两个不等实根，
△ ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ， ， ，所以 正确；
故选： ．
题型六：公切线问题的求法——判断公切线的条数
【要点讲解】解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.【例10】（2023•广东模拟）曲线 与 的公共切线的条数为 2 ．
【解答】解：设曲线 上的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
由 得 ，
则 ，
所以 ，
所以曲线 上的切点为 ， ，
所以切线方程为 ，
所以 ，
所以 ，
在同一坐标系中作出曲线 和 的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，
故答案为：2．
【变式训练1】（2023秋•镇江期末）曲线 与曲线 公切线（切线相同）
的条数为 1 ．【解答】解：设与曲线 和曲线 相切的切点分别为 ， ，
则 ， ， ，
由 ， ，
即有 ，
即 ， ，
即为 ， ，
令 ，则有 ，
令 ，
， 递增，
（2） ， （3） ，
由零点存在定理可得 有且只有一个实根，
即有 唯一， 唯一，
则有公切线的条数为1．
故答案为：1．
题型七：公切线问题的求法——求两曲线的公切线
【要点讲解】
【例11】（2023 秋•岳阳楼区校级月考）已知 为自然对数的底数），
，直线 是 与 的公切线，则直线 的方程为 或 ．
【解答】解：根据题意，设直线 与 相切于点 ，与 相切于点，
对于 ，其导数为 ，
则有 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
对于 ，其导数为 ，
则有 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
直线 是 与 的公切线，
则 ，
变形可得： ，
则 或0，
当 时，直线 的方程为 ，
当 时，直线 的方程为 ；
故直线 的方程为 或 ；
故答案为： 或 ．
【变式训练1】（2023春•涪城区校级期中）若 与 两个函数的图
象有一条与直线 平行的公共切线，则 0 ．
【解答】解： ， ，
如图所示，设公切线与 相切于 ， ，与 相切于 ， ，则有以下关系：，求得 ，
故公切线方程为 ，所以 ，
即 ， ．
故答案为：0．
【变式训练2】（2020春•丽江期末）若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 ．
【解答】解：根据题意，设 与 的切点为 ， ，
与 的切点为 ， ；
对于 ，其导数 ，则切线的斜率 ，
切线的方程为 ，即 ；
对于 ，其导数 ，
则切线的斜率 ，切线的方程为 ，
即 ；
又由直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
则有 ，且 ；
若 ，则 ，
则 ；解可得 ， ；
则 ；
故答案为： ．
题型八：公切线问题的求法——求参数的值或范围
【例12】（2023春•靖江市校级月考）已知曲线 与曲线 存在公共切线，则
实数 的取值范围为 ， ．
【解答】解：由 ，得 ，由 ，得 ，
设直线 分别与 、 切于 ， 、 ， ，
则直线 的方程为 ， ，
即 ， ．，可得 ．
令 ，则 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 ， 时， ， 单调递减．
．
又当 时， ，当 时， ，
， ，可得 ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练1】（2023•唐山三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数
的取值范围为 ．
【解答】解：设公切线与曲线 和 的切点分别为 ， ， ，其中
，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
对 于 有 ， 则 上 的 切 线 方 程 为 ， 即
，所以 ，有 ，即 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，故 ，即 ．
正实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式训练2】（2022秋•安徽月考）若函数 与 的图象存在公共
切线，则实数 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得， ， ．
设公切线与 的图象切于点 ，
与 的图象切于点 ， ，
，
，，
，
．
设 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
实数 的最大值为 ，
故选： ．
【变式训练3】（2022秋•淅川县校级月考）若函数 与 的图象存
在公共切线，则实数 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ， ，得 ， ，
设公切线与 的图象切于点 ，与曲线 切于点 ，
，
，得 ，
，可得 ，
， ，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递
减，
，可得实数 的最大值为 ．
故选： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 ．假设
“绿巨人”开出站一段时间内，速度 与行驶时间 的关系为 ，则出
站后“绿巨人”速度首次达到 时加速度为
A． B． C． D．
【解答】解：当 时，由 ，解得 或 （舍去），
因为 ，则 ，
当 时， ，
故选： ．
2．一质点做直线运动，其位移 与时间 的关系为 ，设其在 ， 内的平均
速度为 ，在 时的瞬时速度为 ，则
A． B． C． D．【解答】解：由题意可知 ，
，
，
，
故选： ．
3．若函数 在 处的导数为2，则
A．2 B．1 C． D．6
【解答】解：由题意可知 （1） ，
则 （1） ．
故选： ．
4．已知函数 ，当自变量 由1变到1.1时， 的平均变化率为
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
【解答】解：由题意得 ，故△ （1） ，
故 ，
即当自变量 由1变到1.1时， 的平均变化率为2.1．
故选： ．
5．已知函数 的部分图象如图所示，且 是 的导函数，则A． （1） （2）
B． （2） （1）
C． （2） （1）
D． （2） （1）
【解答】解：由函数图象可知，当 时，函数 匀速递增，
故 是一个大于0的常数，
当 时，函数 递减，且递减幅度越来越快，
，且 单调递减，
则 （2） （1） ，
故选： ．
6．一个质点 沿直线运动，位移 （单位： 与时间 （单位： 之间的关系
，则质点 在 时的瞬时速度为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
质点 在 时的瞬时速度为 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．如图所示物体甲、乙在时间0到 范围内路程的变化情况，下列说法正确的是A．在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在 时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解答】解：在0到 范围内，甲、乙的平均速度都为 ，故选项 错误；
在 时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故选项 错误；
在 到 范围内， ，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项 正确；
在0到 范围内，甲的平均速度为 ，乙的平均速度为 ，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项 正确．
故选： ．
8．在 附近，取△ ，下列函数中平均变化率为负数的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，平均变化率为1，故 错误；
对于 ，平均变化率为 ，故 错误；
对于 ，平均变化率为 ，故 正确；对于 ，平均变化率为 ，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深 ，上口宽 ，若以
的匀速往杯中注水，当水深为 时，酒杯中水升高的瞬时变化率 ．
【解答】解：由题意，如图，设 时刻水面高为 ，水面圆半径是 ，
由图知 可得 ，此时水的体积为 ，
又由题设条件知，此时的水量为 ，
故有 ，
故有 ，
，
又当 时，此时 ，
故 时， ，
当水深为 时，水升高的瞬时变化率 ，
故答案为： ．10．函数 在 ， 处的切线与直线 垂直，则实数 的值
为 ．
【解答】解： ， ，
在 ， 处的切线斜率为3，直线 的斜率为 ，
在 ， 处的切线与直线 垂直，
，解得 ．
故答案为： ．
11．曲线 的一条切线经过点 ，则该切线的斜率为 ．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
设切点为 ，
则 ，所以 ，解得 ，
所以 ，即切线的斜率为 ．
故答案为： ．
12．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4
银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 （单位： 与时间 （单位： 之间的关系为 ，则
当 时，该运动员的滑雪瞬时速度为 13. 5 ．
【解答】解： ， ，
则当 时，该运动员的滑雪瞬时速度为 ，
故答案为：13.5．
四．解答题（共3小题）
13．已知质点按照规律 （距离单位： ，时间单位： 运动，求：
（1）质点开始运动后 内的平均速度；
（2）质点在 到 内的平均速度；
（3）质点在 时的瞬时速度．
【解答】解：（1） 时， ，
所以平均速度 ；
（2） 时， ，
所以 到 内的平均速度 ；
（3）因为 ，
所以在 时的瞬时速度为： ．
14．求函数 在区间 ， 上的平均变化率．
【 解 答 】 解 ： 函 数 在 区 间 ， 上 的 平 均 变 化 率
．
故其平均变化率为 ．
