文档内容
导数与单调性和极最值
学习目标
1.导数的概念及其意义：了解导数概念的实际背景，理解导数的概念，理解导数的几何意义.
2.导数的运算：熟练掌握求导公式及导数四则运算法则，掌握复合函数求导.
3.导数在研究函数中的应用：了解函数单调性与导数的关系，掌握导数研究函数单调性的基本步骤，掌
握导数求极值、最值的方法，理解分类讨论思想在单调性、极值、最值求解上的的应用.
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
导数的运算 16（45.7%）
导数的几何意义及其应
22（62.9%）
用
导数与单调性和极最值 山东&海南2020-8，21
导数与单调性 27（77.1%）
导数与极最值 35（100%）
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试
卷.
高频考点
1.导数的几何意义.
2.利用导数求函数单调性.
3.利用导数求函数极值、最值.
难点
1.求导公式的逆用.
2.研究单调性、极值、最值涉及的分类讨论.
易错点
1.未能识别复合函数，从而求导出错(如 的求导).
12.导函数零点是原函数极值点的既不充分也不必要条件，丢失验证过程导致极值点判断错误(如2018年广
州一模理第10题).
3.忽视原函数定义域导致分类讨论区间有误.
一、 导数的运算及其意义
1. 导数的概念
（一）导数值：一般地，函数 在 处的瞬时变化率是
= ，我们称它为函数 在 处的导数，
记作 或 ．
（二）导函数：可以看出 是一个确定的数，当 变化时， 便是 的一个函数，
我们称它为 的导函数（简称导数），记作 ，即 = ．
经典例题
1. 若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：加深对导数基本概念的理解．
（2）本题关键的解题步骤：根据条件中分子形式变换分母配凑出导数定义式．
（3）本题的易错点：对导数概念的不理解，导致无从下手．
（4）本题需要注意的地方以及难点：以分子形式为依据进行变形.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率
巩固练习
2. 设 在 可导，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
2【解析】 ．
【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率
2. 导数的运算
（一）基本初等函数的导数公式表：
函数
常数函数
幂函数 ， 为有理数
指数函数
底数为 的指数函数
对数函数
底数为 的对数函数
正弦函数
余弦函数
其中，底数为 的指数函数的导数为指数函数的特例，底数为 的对数函数的导数为对数函数的特例.
（二）导数的四则运算法则
（1） =
（2） =
（3） =
特别地， = ．
（4） =
（三）复合函数求导法则
复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即
设 ，则 = ．
经典例题
3. 求下列函数的导数：
3（1）
（2）
（3）
（4） （ 为常数）
【备注】（1）选本题的目的：练习求导公式和四则运算法则的使用，建议让学生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：先确定运算法则，再确定求导函数类型．
（3）本题的易错点：公式和法则记忆不准确导致求导结果有误．
（4）本题需要注意的地方：系数的求导，分数幂的变形．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
4. 求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
【备注】（1）选本题的目的：实操复合函数求导全过程，建议先引导学生共同完成．
（2）本题关键的解题步骤：确定内外函数，根据复合函数求导法则分步求导．
（3）本题的易错点：未能识别出复合函数形式，忽略内函数的求导．
（4）本题需要注意的地方：强调复合函数形式，特别是三角函数的复合形式．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
4【解析】（ 1 ）函数 可看作函数 和 的复合函数，
∴ ．
（ 2 ）函数 可看作函数 和 的复合函数，
∴ ．
（ 3 ）函数 可看作函数 和 的复合函数，
∴ ．
（ 4 ）函数 可看作函数 和 的复合函数，
函数 可看作函数 和 的复合函数，
∴
．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
巩固练习
5. 已知函数 ，那么 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；复合函数的求导法则
6. 下列求导运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ： ．故 错误；
5： ．故 错误；
： ．故 错误；
： ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
3. 导数的几何意义
导数的几何意义：设函数 的图象如图所示：
①割线 的斜率是 = ，这就是平均变化率的几何意义．
②切线 的斜率= =切线 的斜率，这就是导数的几何意义．
（一）求曲线的切线方程
a，已知点在曲线上的切线问题的基本步骤
①明确切点坐标（ .
②求曲线的导函数 ，代入 ，得 .
③点斜式求出曲线切线方程： .
b，已知点不在曲线上的切线方程的基本步骤
①设切点坐标（ .
②求曲线的导函数 ，代入 ，得 .
③点斜式求出曲线切线方程： .
④代入已知点坐标，求出 ，进而求出切线方程.
【备注】求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对”在“和”过“的理解.
（二）求参数取值范围的基本步骤
6①设切点坐标 .
②重复求曲线切线方程的步骤，得到关于 的切线方程.
③将已知条件（切线过定点、切线斜率等）带入，列出关于参数的等量关系，求出参数的值.
（三）公切线问题
不同曲线 同一点 处的公切线处理方法：
①
②
③联立求解 ，从而求出公切线方程.
不同曲线 不同点 ， 处的公切线处理方法：
①
②消元求出 或 ，求出切线方程即可.
经典例题
7. 函数 在 处的切线方程为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的：实操曲线求切线方程全过程。建议学生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：求导，求切线斜率．
【答案】C
【解析】∵函数 ，
∴ ，
∴当 时， ， ，
则函数 在 处的切线方程为 ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程
8. 若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是 ．
【备注】（1）选本题的目的：实操求切点坐标全过程。建议学生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：设切点坐标，构建切点坐标的等量关系．
7（3）本题需要注意的地方：但凡涉及切线方程，第一步要从条件找出或者设出切点位置．
【答案】
【解析】函数的定义域为 ，
函数的导数为 ，
直线 的斜率 ，
∵曲线 上点 处的切线平行与直线 ，
∴ ，
即 ，解得 ，此时 ，
故点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义
9. 已知函数 ， ，若总存在直线与函数 ， 图象均相
切，则 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的：实操公切线问题整个流程，本题难度较大，建议示范完整求解流程．
（2）本题关键的解题步骤：分别设出两个曲线上的切点，利用等量关系消元求解．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，设切点为 ，
则切线方程为： ，
代入 ，
得 ，
，
∴ ，
∴ ， ，
令 ， ，
则 ，
∴ ，
当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
8因此 ，
所以 ．
【标注】【知识点】公切线存在性问题
巩固练习
10. 若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，可得 ，则 ，
因为曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知切线方程求参数
11. 设函数 ，若曲线 在点 处的切线与该曲线恰有一个公共点 ，则
选项中满足条件的 有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】 ，代入四个选项分别计算， ，
则四个切点为 ， ， ， ，
： ，
则切线方程为 ： ，
： ，
： ，
： ．
对于 ，记 ，除 外，
，
．
则在 内必有一交点，使 ，
则 与 至少有 个交点，故 不可能．
9对于 ，记 ， ，
，
则 在 上单调递减， 上单调递增，
， 恒成立，
故 单调递增，∴有一个交点， 可能．
对于 ，记 ， ，
在 上单调递减， 上单调递增，
∴ ，
∴有一个交点， 可能．
对于 ，记 ， ，
，
则 在 上小于 ， 上大于 ，
则 ，有一个交点， 可能．
综上，故选 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程
12. 已知曲线 与曲线 有公共点，且在第一象限内的公共点处的切
线相同（ 是自然对数的底数），则当 变化时，实数 取以下哪些值能满足以上要求（ ）．
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】设 与 在第一象限交点为 ，
，
∴ ，
∴ ，
，令 ，
∵ ，
∴ ， 在 上递减，
∴ ， ，
即 ，
， ， ，
10故选 ．
【标注】【知识点】求切线条数问题
4. 知识总结
（一）导数的概念
= ．
（二）导数的运算
①基本初等函数的导数公式表：
函数
常数函数
幂函数 ， 为有理数
指数函数
底数为 的指数函数
对数函数
底数为 的对数函数
正弦函数
余弦函数
其中，底数为 的指数函数的导数为指数函数的特例，底数为 的对数函数的导数为对数函数的特例.
②导数的四则运算法则
（1） =
（2） =
（3） =
特别地， = ．
（4） =
③复合函数求导法则
复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即
设 ，则 = ．
（三）导数的几何意义
11切
二、 导数与函数的单调性
1. 函数单调性与导数的关系
（一）由导数正负判断函数单调性：
（1）如果在 内， ，则 在此区间是增函数， 为 的单调增区间．
（2）如果在 内， ，则 在此区间是减函数， 为 的单调减区间．
（3）如果在 内， 恒成立，则 在此区间是常数函数，不具有单调性．
（二）由函数单调性确定导数范围：
（1）如果 在 在此区间是增函数，则
（2）如果 在 在此区间是减函数，则
（三）利用导数研究函数单调性的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数 ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；
（3）由 （或 ）解出相应的 的取值范围．
当 时， 在相应的区间内是单调增函数；
当 时， 在相应的区间内是单调减函数．
一般需要通过列表，写出函数的单调区间．
经典例题
13. 已知函数 的导函数 的图像如右图所示，那么函数 的图象最有可能的是（ ）．
A. B.
12C. D.
【备注】（1）选本题的目的：通过图象清晰的展示如何利用导数正负判断函数单调性，建议引导学
生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：判断导函数正负，确定原函数单调性．
（3）本题的易错点：①未能明确导数如何判断原函数单调性，导致陷入寻找导数单调性的
误区；②读题马虎，以为右图是原函数图象．
（4）本题需要注意的地方：要强调清楚判断函数单调性只需要明确导数的正负，与导数单
调性无关．
【答案】A
【解析】由导函数 的图象可知，当 时， ．当 时， ．当
时 ，
∴函数 在 单调递增在 单调递增，在 单调递增，只有选 选项图象符合条件，
故选 ．
【标注】【知识点】导数与单调性
14. 若函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的：利用原函数单调性确定导数取值范围的经典例题，建议与学生一起完
成本道题目后续的推导过程．
（2）本题关键的解题步骤：原函数单调递增，所以导函数大于等于零．
（3）本题的易错点： ，而非 ．
13（4）本题需要注意的地方：本题涉及三角函数相关公式应用，也可以提醒学生注意知识点
之间关联时要不断明确自己的做题目标，并根据目标在该知识点下选择合适的方法，以免
突然卡住不知道怎么往下进行．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ （其中 ），
由题意得 恒成立，
又∵ ， ，
∴ ，且 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
15. 已知函数 ．
当 时，求函数 的单调递增区间．
【备注】（1）选本题的目的：节选自模考题第一问，旨在展示如何利用导数求解原函数单调性的全
过程，建议辅助学生完善过程的书写．
（2）本题关键的解题步骤：求导，判断导函数的正负，确定函数的单调性．
（3）本题的易错点：忽略原函数定义域．
【答案】 ．
【解析】当 时， ．
故 ．
令 ，得 ．
故 的单调递增区间为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间
巩固练习
16. 函数 在下面哪个区间上是增函数（ ）．
A. B. C. ， D. ，
【答案】B
14【解析】 ，
欲使导数为正，只需 与 符号总相反，
分析四个选项知， 选项符合条件．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；利用导数求函数的单调性、单调区间
17. 设函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
∵函数 在区间 上是减函数，
∴ 在区间 上恒成立，
当 时，显然成立；
时， ，即 ；
时， ， ， ，
故 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
2. 求导公式的逆用判断原函数单调性
导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构
造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．
【方法点睛】
逆用求导公式构造原函数的常见模型：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
15【备注】先根据形式确定运算法则：原函数导函数同时出现为乘除；
再根据运算法则补充完整形式.
经典例题
18. 已知函数 的导函数为 ，且 对任意的 恒成立，则下列不等式均成立的是（
）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【备注】（1）选本题的目的：实操求导公式逆用全过程，让学生切身感受求导公式逆用的神奇之
处。建议先示范思路分析及整个操作流程．
（2）本题关键的解题步骤：分析或通过模型记忆推出原函数，并根据条件分析原函数性
质．
（3）本题的易错点：求导公式和运算法则记忆不准确，无法正常还原出原函数．
（4）本题需要注意的地方：最好在构造结束后养成检验构造是否正确的好习惯．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
故 在 上递减，
而 ， ，故 ， ，
即 ， ，
即 ， ．
【标注】【知识点】指对型导数构造；用单调性比较大小
【素养】逻辑推理；数学运算；数学抽象
【方法】构造法
巩固练习
19. 已知 为定义在 上的连续可导函数，且 ，则不等式 的解集
为 ．
【答案】
16【解析】令 ，因为 ，所以 ，所以 在
上单调递减． 可化为 ，即 ，
则 ，解得 ．
【标注】【知识点】幂函数型导数构造；利用函数单调性解不等式
【素养】数学运算
20. 定义在实数集 上的可导函数 满足： ， ，其中 是 的导数，写出满足
上述条件的一个函数 ．
【答案】
【解析】令 ，满足 ，
则 ，
所以 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
三、 利用导数研究函数的极值与最值
极值点的定义：
（1）已知函数 ，设 是定义域内任一点，如果对 附近的所有点 ，都有 ，则称函数
在点 处取极大值，记作 ．并把 称为函数 的一个极大值点．
（2）如果在 附近都有 ，则称函数 在点 处取极小值，记作 ．并把 称为函数
的一个极小值点．
（3）极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点．
1. 求函数极值
求函数 的极值的方法：
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 的导数 ；
（3）求方程 的所有实数根；
（4）考察在每个根 附近，从左到右，导函数 的符号如何变化：
17如果 的符号由正变负，则 是极大值；
如果由负变正，则 是极小值；
如果在 的根 的左右侧 的符号不变，则 不是极值.
经典例题
21. 对于函数 ，（ 是实常数），下列结论正确的一个是（ ）．
A. 时， 有极大值，且极大值点
B. 时， 有极小值，且极小值点
C. 时， 有极小值，且极小值点
D. 时， 有极大值，且极大值点
【备注】（1）选本题的目的：实操求极值全过程，建议引导学生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：求导、求单调性、求极值点．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴函数的定义域为 ，
函数的导数为 ，
若 ， ，
则 在 上单调递增，
， ，
∴函数 存在极小值，且 的根在区间 内．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
巩固练习
22. 已知 ， 为 的导函数．
求函数 的极值．
【答案】极小值 ，无极大值．
【解析】 ，
因为 ，
所以 在 单增，
又 ，
18所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故当 时， 取极小值 ，无极大值．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
2. 利用极值求解函数解析式
经典例题
23. 已知函数 在 处的极值为 ，则数对 为（ ）．
A. B. C. D. 或
【备注】（1）选本题的目的：利用极值求解函数解析式的典型易错题，建议先引导学生独立完成，
再重点强调易错点．
（2）本题关键的解题步骤：根据极值点与极值列出等量关系求解参数取值范围并验证．
（3）本题的易错点：
原函数极值点与导函数零点的联系与区别
①导函数的零点未必是原函数的极值点，
如 ， ，导函数的零点是 ，但不是原函数极值点；
②原函数的极值点未必是导函数的零点，
如 ， 是原函数的极值点但不是导函数的零点，因为导函数在 处不存
在；
③但原函数的极值点处，导函数要么不存在，要么为 ，所以绝大多数的题目可以用导函数
的零点来帮助计算原函数的极值点，记得检验即可．
（4）本题需要注意的地方：养成用导数零点求原函数极值点后的验证步骤．
【答案】C
【解析】 ；在 处极值为 ，
即 ，
解得 或 ， ，即 ， 代入无极值点舍去．
故选 ．
【标注】【知识点】已知极值情况求参数值
巩固练习
24. 已知 ．
19设 是 的极值点，求 的单调区间．
【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增．
【解析】 ，由题设知： ，则 ，
从而 ，当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；已知极值情况求参数值
3. 利用导数研究函数的最值
求函数 在 上的最大值与最小值的步骤：
（1）求出函数 在 内所有极值（具体步骤参看上面）；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
经典例题
25. 已知函数 ．
当 时，求函数 在 上的最大值．
【备注】（1）选本题的目的：节选自模考题第一问，旨在演示基础求最值的完整过程．
（2）本题关键的解题步骤：求导，求单调性，求极值和端点值，比较大小得最大值．
【答案】 ．
【解析】当 时， ，
显然 在 上恒成立，
所以 在 单调递减，
所以 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值
26. 如图，在 地正西方向 的 处和正东方向 的 处各有一条正北方向的公路 和 ，现计划在
和 路边各修建一个物流中心 和 ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路 和
20，设 ，为了节省建设成本，要使得 的值最小，则当 的值最小
时， ．
北
东
【备注】（1）选本题的目的：体现最值在选填题目内的应用，建议引导学生独立练习．
（2）本题关键的解题步骤：分析题意列出函数，求最值．
（3）本题需要注意的地方：强调数学知识并不是相互割裂的，要关注知识点之间的联系，
明确做题目标．
【答案】
【解析】根据题意 ， ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ， ，
设 ， ，
所以 ，
令 ，得 ，
所以 ， ，使得 时， ， 时， ，
故 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，此时 ，
所以 ， ，
故当 的值最小时， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；导数的实际应用
巩固练习
27. 已知函数 ．
21（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程．
（ 2 ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）最大值为 ，最小值为
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴曲线 在点 的切线方程为 ．
（ 2 ）由（1）可知 ，
令 ，
则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 在区间 单调递减，即 在区间 单调递减，
又∵ ，∴ ， ，
∴ 在区间 单调递减，
∴ ， ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；二阶导问题
4. 已知最值情况求参数取值范围
经典例题
28. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围．
【备注】（1）选本题的目的：展示已知最值求参数取值范围的全过程，巩固强调求最值的方法．
（2）本题关键的解题步骤：求导，求单调性，求极值和端点值，根据最小值求解取值范
围．
【答案】（ 1 ） 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为
（ 2 ）
22【解析】（ 1 ） 的定义域是 ，且 ．
令 ，得 ， ．
与 在 上的情况如下：
极大值 极小值
所以 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ．
（ 2 ）由 及（I）中结论可知：
当 时，函数 在区间 上的最小值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最小值大于 ．
因此， 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
巩固练习
29. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值．
【答案】（ 1 ）当 时，函数 的单调减区间是 ，
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域是 ， ．
（1）当 时， ，故函数 在 上单调递减．
（2）当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减．
（3）当 时，令 ，又因为 ，解得 ．
①当 时， ，所以函数 在 单调递减．
②当 时， ，所以函数 在 单调递增．
综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ，
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 ．
（ 2 ）（1）当 时，由（Ⅰ）可知， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，解得 ，舍去．
23（2）当 时，由（Ⅰ）可知，
①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，解得 ．
②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以函数 的最小值为 ，解得 ，舍去．
③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去．
综上所述， ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；已知最值情况求参数值或解析式
5. 知识总结
（一）求函数 的极值的方法：
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 的导数 ；
（3）求方程 的所有实数根；
（4）考察在每个根 附近，从左到右，导函数 的符号如何变化：
如果 的符号由正变负，则 是极大值；
如果由负变正，则 是极小值；
如果在 的根 的左右侧 的符号不变，则 不是极值.
（二）求函数 在 上的最大值与最小值的步骤：
（1）求出函数 在 内所有极值（具体步骤参看上面）；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
（三）最值与极值的区别与联系：
（1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是整个定义域内的函数值通过角逐和淘汰取到的
（2）最值和极值都不一定（填写一定或不一定）存在；
（3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
（4）对于闭区间上的连续不断的函数，一定存在最值，但是不一定存在极值.
（5）若函数在开区间上存在最大（小）值，则开区间上的某个极大（小）值必为最大（小）值．
24四、 研究函数单调性极值最值涉及的分类讨论
1. 研究单调性涉及的分类讨论
（一）一元二次不等式型
1.参数不在二次项系数上
如： ， ，
当 时，
恒成立且不恒为0， 增区间为 ；
当 时，
由 ，得 或 ， 增区间为 ， ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
当 时，
由 ，得 或 ， 增区间为 ， ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
2.参数在二次项系数上
如： ， ，
当 时， 恒成立， 为常函数；
当 时，
由 ，得 或 ， 的增区间是 ， ；
由 ，得 ， 的减区间为 ．
当 时，
（i） ， 且不恒为0， 减区间为 ；
（ii） 时，
由 ，得 ， 的增区间是 ；
由 ，得 或 ， 的减区间是 ， ．
（iii） 时，
由 ，得 ， 的增区间是 ；
由 ，得 或 ， 的减区间是 ， ．
（二）三角函数型
1.参数在一次项系数上
如： ， ，
25（i）当 时， ， 增区间为 ；
（ii）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
（ii）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
2.参数在常数项上
如： ， ，
（i）当 时， 恒成立， 增区间为 ；
（ii）当 时，
由 ，得 ， 增区间为 ；
由 ，得 ， 增区间为 ．
（三）指对数不等式型
1.指数不等式型
如： ， ，
当 时， 恒成立， 增区间为 ；
当 时，
由 ，得 ， 增区间为 ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
2.对数不等式型
如： ，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
经典例题
30. 已知函数 ．讨论 的单调性．
【备注】（1）选本题的目的：一元二次不等式中参数不在二次项系数上的经典例题，建议引导学生
完成参数的分类讨论．
（2）本题关键的解题步骤：通过导函数分子部分判别式确定分类讨论边界．
（3）本题的易错点：忽略原函数定义域导致讨论区间过大．
【答案】当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
26在 上单调递增．
【解析】 ，
令 ，判别式 ，
i）当 时，此时 ， ，从而 ，此时 在 上单调递减；
ii）当 时，此时 ，设 的两根为 ， ，且 ，
利用求根公式得 ， ，
当 时， ，从而 ，
此时 在 和 上单调递减；
当 时， ，从而 ，此时 在 上单调递增．
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增．
的定义域为 ， ．
若 ，则 ，当且仅当 ， 时， ，
所以 在 单调递减；
若 ，令 得， 或 ．
在 ， 单调递减；
在 单调递增．
【标注】【知识点】导数与单调性
【题型】利用导数求函数的单调性、单调区间
31. 已知函数 ，求 的单调区间．
【备注】（1）选本题的目的：一元二次不等式中参数在二次项系数上的经典例题，建议引导学生完
成参数的分类讨论．
（2）本题关键的解题步骤：求导判断分子部分是否为二次函数→有一个解还是两个解→两
个解的大小关系→解在不在定义域内．
（3）本题的易错点：①忽略原函数定义域导致讨论区间过大②分类思路不清晰导致丢情况
漏情况．
（4）本题需注意的地方：引导学生总结分类讨论思路.
【答案】当 时，在 上 是增函数，在 上 为减函数；
当 时， 在 是减函数；
27当 时， 的递减区间为 和 ，递增区间为 ；
当 时， 的递减区间为 ，递增区间为 ．
【解析】 ，
令 ， ，
当 时， ，在 上， ， 是增函数；
在 上， ， 为减函数．
当 时， ， ，
在 是减函数．
当 时， ，在 和 上， ， ，
在 上 ， ，
所以， 的递减区间为 和 ，递增区间为
当 时， ，在 上， ， ，
在 上 ， ，
所以， 的递减区间为 ，递增区间为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间
【素养】数学运算
32. 已知函数 ， ，求函数 的单调区间．
【备注】（1）选本题的目的：三角函数型的经典例题，建议学生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：合并同类项找到导函数零点．
（3）本题需注意的地方：含有三角函数的导数题目上，引导学生更关注三角函数的取值范
围问题．
【答案】见解析．
【解析】 ，
①当 时， 的情况如下：
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 和
②当 时， 的情况如下：
28所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参三角型导函数）
33. 已知函数 ，讨论函数 的单调性，（ 且 ， 是自然对数的底数）．
【备注】（1）选本题的目的：指数型函数的对应例题，建议学生独立完成．
（2）本题关键的解题步骤：求导判断正负确定单调性．
（3）本题需注意的地方：在含有指数型的导数题目上，引导学生关注求导的简化和指数恒
正的问题．
【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增．
【解析】易知 ，
①若 ，则当 ， 时， ，当 ， 时， ，
②若 ，则当 ， 时， ，当 ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）
巩固练习
34. 已知函数 ．求函数 的单调区间．
【答案】当 时，函数 的单调递增区间为 ．
当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
【解析】函数 的定义域为 ． ．
（1）当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
（2）当 时， 令 ，得 ．
当 时， ，函数 为减函数；
当 时， ，函数 为增函数．
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ．
29当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
【标注】【题型】求在某点处的切线方程；导数的四则运算法则
【知识点】利用公式和四则运算法则求导；导数与单调性
35. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；
（ 2 ）求 的单调区间．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 时， 在 ， 单调递减；在 单调递增；
时， 在 单调递增，在 单调递减；
时， 在 ， 单调递增；在 单调递减．
【解析】（ 1 ）当 时， ， ．
由 ，得曲线 在原点处的切线方程是 ．
（ 2 ） ．
①当 时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
当 ， ．
②当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下：
故 的单调减区间是 ， ；单调增区间是 ．
③当 时， 与 的情况如下：
所以 的单调增区间是 ；单调减区间是 ， ．
综上， 时， 在 ， 单调递减；在 单调递增．
时， 在 单调递增，在 单调递减； 时， 在 ，
单调递增；在 单调递减．
30【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；利用导数求函数的单调性、单调
区间
36. 已知 ， ．讨论 的单调性．
【答案】当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减．
【解析】定义域为 ，
，
又 ，
①当 时，
，
∴ 在 上单调递增，
②当 时，
（Ⅰ） ，即 时，
，
∴ 在 上单调递减，
（Ⅱ） ，即 时，
令 ，则 ，
当 时 ，
当 时 ，
∴ 在 和 上单调递减，在
上递增，
综上：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减．
31【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间
2. 研究极值、最值涉及的分类讨论问题
极值点与定义域端点作比较.
经典例题
37. 已知函数 （其中 ， 为常数且 ）在 处取得极值．
（ 1 ）当 时，求 的单调区间．
（ 2 ）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
【备注】（1）选本题的目的：研究函数最值时涉及到的极值点与定义域端点值的分类讨论问题，建
议引导学生共同完成．
（2）本题关键的解题步骤：求导判断单调性，求出极值和端点值．
（3）本题需注意的地方：引导学生总结此类问题分类讨论的完整思路．
【答案】（ 1 ） 的单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）因为 ，
所以 ，
因为函数 在 处取得极值，
，
当 时， ， ，
， 随 的变化情况如下表：
增 极大值 减 极小值 增
所以 的单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ．
（ 2 ）因为 ，
令 ， ， ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，
32当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 上的最大值为 ，
令 ，解得 ，
当 ，
当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增
所以最大值 可能在 或 处取得
而 ，
所以 ，解得 ，
当 时， 在区间 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以最大值 可能在 或 处取得，
而 ，
所以 ，
解得 ，与 矛盾，
当 时， 在区间 上单调递增，在 单调递减，
所以最大值 可能在 处取得，
而 ，矛盾．
综上所述， 或 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式
巩固练习
38. 已知函数 ．讨论函数 的单调性．
【答案】 时， 在 单调递增， 单调递减；
时， 在 、 单调递增， 单调递减；
时， 在 单调递增；
时， 在 、 单调递增， 单调递减．
【解析】 ，
．
① 时，令 ，得 ，
故 在 单调递增， 单调递减；
② 时，得 ， ．
33． 时， ，令 ，得 或 ，
∴ 在 、 单调递增， 单调递减；
． 时， 恒成立．
∴ 在 单调递增；
． 时，得 ，令 ，得 或 ，
∴ 在 、 单调递增， 单调递减．
③ 时，得 ，令 ，得 ，
∴ 在 单调递增， 单调递减．
综上：
时， 在 单调递增， 单调递减；
时， 在 、 单调递增， 单调递减；
时， 在 单调递增；
时， 在 、 单调递增， 单调递减．
【标注】【题型】利用导数求函数的单调性、单调区间
【知识点】导数与单调性
39. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求证： ．
（ 2 ）当 时，求 在 上的最大值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ．
令 ，则 ．
如下表所示：
极小值
∴当 时，函数 的最小值是
．
∴ 恒成立．
34（ 2 ）∵ ，
∴ ．
令 ，解得 ，
∴当 时， ．
∴ 在 上单调递减，在 单调递增．
设 ．
∵ ，
∴ 在 上单调递增， ，
故 ．
∴ 在 上的最大值为 ， ， ．
．
当 时， ，
所以 是单调递增的．
．
∴ 在 上的最大值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参指对型导函数）
多个极值点之间作比较.
经典例题
40. 已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】（1）选本题的目的：当一个函数拥有两个及以上的极/小大值点时，需分类讨论两个极值
的大小关系．
（2）本题关键的解题步骤：求导判断正负确定函数单调性，求出所有的极值点．
【答案】D
【解析】方法一： ， ，令 ，得 ，
．
又 ，
，
，
35．
故选 ．
方法二：由已知得 有两个正实数根 ， （ ），
从而 的图象与 轴有两个交点，
即 的极大值大于 ，得到 ， 的取值范围，
然后将 ， 代入 的解析式，比较 与 的大小．
，
，依题意知 有两个正实数根 ， ．
设 ，则 ，
显然当 时不合题意，故 ．
令 ，得 ，
于是 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 在 处取得极大值，
，即 ，解得 ，
又 ，
所以 ．
又 时， ， 时， ，
所以 是 的极大值点，所以 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求函数极值（含参指对型导函数）
巩固练习
41. 设 是一个三次函数， 为其导函数，如图所示的是 的图象的一部分，则 的极大
值与极小值分别是（ ）．
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
36【答案】C
【解析】
极大值 极小值
【标注】【知识点】已知导函数确认原函数图象
42. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）是否存在实数 ，使得函数 的极大值等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（ 1 ）当 时， ，故 的单调递增区间是 ．
当 时，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
．
当 时，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
．
（ 2 ）当 时， 的极大值等于 ．
【解析】（ 1 ） 的定义域为 ．
，
即 ．
令 ，解得： 或 ．
当 时， ，故 的单调递增区间是 ．
当 时，
， 随 的变化情况如下：
极大值 极小值
所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ．
当 时， ， 随 的变化情况如下：
37极大值 极小值
所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ．
（ 2 ）当 时， 的极大值等于 ．理由如下：当 时， 无极大值．
当 时， 的极大值为 ，
令 ，即 解得 或 （舍）．
当 时， 的极大值为 ．
因为 ， ，
所以 ．
因为 ，
所以 的极大值不可能等于 ．
综上所述，当 时， 的极大值等于 ．
【标注】【知识点】已知极值情况求参数范围；求函数单调区间（含参指对型导函数）
五、 课堂总结
1. 导图总结
【备注】引导学生完成每个子项目的总结
382. 出门检测
43. 直线 与函数 的图象相切，则实数 ．
【答案】
【解析】设切点为 ，
则斜率 ，
即 ，
解得 ，
．
将 代入直线 ，
得 ，
解得 ．
【标注】【知识点】已知斜率求切线方程
44. 已知关于 函数 ， ．
（ 1 ）试求函数 的单调区间．
（ 2 ）若 在区间 内有极值，试求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）①当 时， 为函数 的单调递减区间，无单调增区间；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ，
（i）当 时， ，
∴ 为函数 的单调递减区间．
（ii）当 时，由 ，解得 ．
当 时， ，此时函数 单调递减．当 时， ，此
时函数 单调递增．
（ 2 ） ，其定义域为 ．
，
令 ， ， ，
当 时， 恒成立，
39∴ 为 上的增函数，
又 ， ，
∴函数 在 内至少存在一个变号零点 ，且 也是 的变号零点，此时 在区间
内有极值．
当 时， ，
即 时， 恒成立，函数 无极值．
综上可得： 在区间 内有极值的 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；已知极值情况求参数范围；利用导数求函数
的单调性、单调区间
40
