文档内容
导数与单调性和极最值
一、 导数的运算及其意义
1. 导数的概念
（一）导数值：一般地，函数 在 处的瞬时变化率是
= ，我们称它为函数 在 处的导数，
记作 或 ．
（二）导函数：可以看出 是一个确定的数，当 变化时， 便是 的一个函数，
我们称它为 的导函数（简称导数），记作 ，即 = ．
经典例题
1. 若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 设 在 可导，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
2. 导数的运算
（一）基本初等函数的导数公式表：
1函数
常数函数
幂函数 ， 为有理数
指数函数
底数为 的指数函数
对数函数
底数为 的对数函数
正弦函数
余弦函数
其中，底数为 的指数函数的导数为指数函数的特例，底数为 的对数函数的导数为对数函数的特例.
（二）导数的四则运算法则
（1） =
（2） =
（3） =
特别地， = ．
（4） =
（三）复合函数求导法则
复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即
设 ，则 = ．
经典例题
3. 求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4） （ 为常数）
4. 求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
2（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
巩固练习
5. 已知函数 ，那么 （ ）．
A. B. C. D.
6. 下列求导运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 导数的几何意义
导数的几何意义：设函数 的图象如图所示：
①割线 的斜率是 = ，这就是平均变化率的几何意义．
②切线 的斜率= =切线 的斜率，这就是导数的几何意义．
（一）求曲线的切线方程
a，已知点在曲线上的切线问题的基本步骤
①明确切点坐标（ .
②求曲线的导函数 ，代入 ，得 .
③点斜式求出曲线切线方程： .
b，已知点不在曲线上的切线方程的基本步骤
①设切点坐标（ .
②求曲线的导函数 ，代入 ，得 .
③点斜式求出曲线切线方程： .
④代入已知点坐标，求出 ，进而求出切线方程.
3（二）求参数取值范围的基本步骤
①设切点坐标 .
②重复求曲线切线方程的步骤，得到关于 的切线方程.
③将已知条件（切线过定点、切线斜率等）带入，列出关于参数的等量关系，求出参数的值.
（三）公切线问题
不同曲线 同一点 处的公切线处理方法：
①
②
③联立求解 ，从而求出公切线方程.
不同曲线 不同点 ， 处的公切线处理方法：
①
②消元求出 或 ，求出切线方程即可.
经典例题
7. 函数 在 处的切线方程为（ ）．
A. B. C. D.
8. 若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是 ．
9. 已知函数 ， ，若总存在直线与函数 ， 图象均相
切，则 的取值范围是 ．
巩固练习
10. 若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
11. 设函数 ，若曲线 在点 处的切线与该曲线恰有一个公共点 ，则
选项中满足条件的 有（ ）．
A. B. C. D.
12. 已知曲线 与曲线 有公共点，且在第一象限内的公共点处的切
线相同（ 是自然对数的底数），则当 变化时，实数 取以下哪些值能满足以上要求（ ）．
A. B. C. D.
44. 知识总结
（一）导数的概念
= ．
（二）导数的运算
①基本初等函数的导数公式表：
函数
常数函数
幂函数 ， 为有理数
指数函数
底数为 的指数函数
对数函数
底数为 的对数函数
正弦函数
余弦函数
其中，底数为 的指数函数的导数为指数函数的特例，底数为 的对数函数的导数为对数函数的特例.
②导数的四则运算法则
（1） =
（2） =
（3） =
特别地， = ．
（4） =
③复合函数求导法则
复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即
设 ，则 = ．
（三）导数的几何意义
切
二、 导数与函数的单调性
51. 函数单调性与导数的关系
（一）由导数正负判断函数单调性：
（1）如果在 内， ，则 在此区间是 ， 为 的 ．
（2）如果在 内， ，则 在此区间是 ， 为 的 ．
（3）如果在 内， 恒成立，则 在此区间是 ，不具有单调性．
（二）由函数单调性确定导数范围：
（1）如果 在 在此区间是增函数，则
（2）如果 在 在此区间是减函数，则
（三）利用导数研究函数单调性的基本步骤：
（1）确定函数的 ；
（2）求导数 ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；
（3）由 （或 ）解出相应的 的取值范围．
当 时， 在相应的区间内是 ；
当 时， 在相应的区间内是 ．
一般需要通过列表，写出函数的单调区间．
经典例题
13. 已知函数 的导函数 的图像如右图所示，那么函数 的图象最有可能的是（ ）．
A. B.
C. D.
614. 若函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
15. 已知函数 ．
当 时，求函数 的单调递增区间．
巩固练习
16. 函数 在下面哪个区间上是增函数（ ）．
A. B. C. ， D. ，
17. 设函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是 ．
2. 求导公式的逆用判断原函数单调性
导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构
造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．
【方法点睛】
逆用求导公式构造原函数的常见模型：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
经典例题
718. 已知函数 的导函数为 ，且 对任意的 恒成立，则下列不等式均成立的是（
）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
巩固练习
19. 已知 为定义在 上的连续可导函数，且 ，则不等式 的解集
为 ．
20. 定义在实数集 上的可导函数 满足： ， ，其中 是 的导数，写出满足
上述条件的一个函数 ．
三、 利用导数研究函数的极值与最值
极值点的定义：
（1）已知函数 ，设 是定义域内任一点，如果对 附近的所有点 ，都有 ，则称函数
在点 处取 ，记作 ．并把 称为函数 的一个 ．
（2）如果在 附近都有 ，则称函数 在点 处取 ，记作 ．并把 称为函数
的一个 ．
（3）极大值与极小值统称为 ；极大值点与极小值点统称为 ．
1. 求函数极值
求函数 的极值的方法：
（1）求函数 的 ；
（2）求函数 的 ；
（3）求方程 的所有实数根；
（4）考察在每个根 附近，从左到右，导函数 的符号如何变化：
如果 的符号由正变负，则 是 ；
如果由负变正，则 是 ；
如果在 的根 的左右侧 的符号不变，则 .
经典例题
21. 对于函数 ，（ 是实常数），下列结论正确的一个是（ ）．
A. 时， 有极大值，且极大值点
8B. 时， 有极小值，且极小值点
C. 时， 有极小值，且极小值点
D. 时， 有极大值，且极大值点
巩固练习
22. 已知 ， 为 的导函数．
求函数 的极值．
2. 利用极值求解函数解析式
经典例题
23. 已知函数 在 处的极值为 ，则数对 为（ ）．
A. B. C. D. 或
巩固练习
24. 已知 ．
设 是 的极值点，求 的单调区间．
3. 利用导数研究函数的最值
求函数 在 上的最大值与最小值的步骤：
（1）求出函数 在 内所有极值（具体步骤参看上面）；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是 ，最小的一个
是 ．
经典例题
25. 已知函数 ．
当 时，求函数 在 上的最大值．
26. 如图，在 地正西方向 的 处和正东方向 的 处各有一条正北方向的公路 和 ，现计划在
和 路边各修建一个物流中心 和 ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路 和
，设 ，为了节省建设成本，要使得 的值最小，则当 的值最小
时， ．
9北
东
巩固练习
27. 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程．
（ 2 ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
4. 已知最值情况求参数取值范围
经典例题
28. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围．
巩固练习
29. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值．
5. 知识总结
（一）求函数 的极值的方法：
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 的导数 ；
（3）求方程 的所有实数根；
（4）考察在每个根 附近，从左到右，导函数 的符号如何变化：
如果 的符号由正变负，则 是极大值；
如果由负变正，则 是极小值；
如果在 的根 的左右侧 的符号不变，则 不是极值.
（二）求函数 在 上的最大值与最小值的步骤：
10（1）求出函数 在 内所有极值（具体步骤参看上面）；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
（三）最值与极值的区别与联系：
（1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是整个定义域内的函数值通过角逐和淘汰取到的
（2）最值和极值都不一定（填写一定或不一定）存在；
（3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
（4）对于闭区间上的连续不断的函数，一定存在最值，但是不一定存在极值.
（5）若函数在开区间上存在最大（小）值，则开区间上的某个极大（小）值必为最大（小）值．
四、 研究函数单调性极值最值涉及的分类讨论
1. 研究单调性涉及的分类讨论
（一）一元二次不等式型
1.参数不在二次项系数上
如： ， ，
当 时，
恒成立且不恒为0， 增区间为 ；
当 时，
由 ，得 或 ， 增区间为 ， ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
当 时，
由 ，得 或 ， 增区间为 ， ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
2.参数在二次项系数上
如： ， ，
当 时， 恒成立， 为常函数；
当 时，
由 ，得 或 ， 的增区间是 ， ；
由 ，得 ， 的减区间为 ．
当 时，
（i） ， 且不恒为0， 减区间为 ；
11（ii） 时，
由 ，得 ， 的增区间是 ；
由 ，得 或 ， 的减区间是 ， ．
（iii） 时，
由 ，得 ， 的增区间是 ；
由 ，得 或 ， 的减区间是 ， ．
（二）三角函数型
1.参数在一次项系数上
如： ， ，
（i）当 时， ， 增区间为 ；
（ii）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
（ii）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
2.参数在常数项上
如： ， ，
（i）当 时， 恒成立， 增区间为 ；
（ii）当 时，
由 ，得 ， 增区间为 ；
由 ，得 ， 增区间为 ．
（三）指对数不等式型
1.指数不等式型
如： ， ，
当 时， 恒成立， 增区间为 ；
当 时，
由 ，得 ， 增区间为 ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
2.对数不等式型
如： ，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
12经典例题
30. 已知函数 ．讨论 的单调性．
31. 已知函数 ，求 的单调区间．
32. 已知函数 ， ，求函数 的单调区间．
33. 已知函数 ，讨论函数 的单调性，（ 且 ， 是自然对数的底数）．
巩固练习
34. 已知函数 ．求函数 的单调区间．
35. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；
（ 2 ）求 的单调区间．
36. 已知 ， ．讨论 的单调性．
2. 研究极值、最值涉及的分类讨论问题
极值点与定义域端点作比较.
经典例题
37. 已知函数 （其中 ， 为常数且 ）在 处取得极值．
（ 1 ）当 时，求 的单调区间．
（ 2 ）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
巩固练习
38. 已知函数 ．讨论函数 的单调性．
39. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求证： ．
（ 2 ）当 时，求 在 上的最大值．
多个极值点之间作比较.
经典例题
40. 已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ）．
A. B.
13C. D.
巩固练习
41. 设 是一个三次函数， 为其导函数，如图所示的是 的图象的一部分，则 的极大
值与极小值分别是（ ）．
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
42. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）是否存在实数 ，使得函数 的极大值等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
五、 课堂总结
1. 导图总结
142. 出门检测
43. 直线 与函数 的图象相切，则实数 ．
44. 已知关于 函数 ， ．
（ 1 ）试求函数 的单调区间．
（ 2 ）若 在区间 内有极值，试求 的取值范围．
15
