文档内容
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几
何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如
f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作 f ′ ( x )或 .
0 0
f′(x)＝lim ＝lim .
0
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x ，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′ ( x )( x － x )．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝ αx α － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝ － si n_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ a x ln _a
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝
af(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
[f(x)g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ cf ′ ( x ) ．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝ y ′ · u ′ ，即y对
x u x
x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率．( × )
0 0
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(3)f′(x)＝[f(x)]′.( × )
0 0
(4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．( × )
教材改编题
1．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为________．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x)＝ex－，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
2．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
答案 －
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－.3．若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝________.
答案 －e1－x
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( )
A.′＝－
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.′＝－sin
D.′＝1＋
答案 AD
解析 ′＝－·(ln x)′＝－，
故A正确；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
′＝－2sin，故C错误；
′＝1＋，故D正确．
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝________.
答案 ＋
解析 f′(x)＝2x＋f′cos x，
∴f′＝＋f′，
∴f′＝，
∴f ＝＋.
教师备选
1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于( )
A．2cos
B．cos 2x＋sin x
C．cos 2x－sin 2x
D．2cos
答案 A
解析 y′＝2cos 2x＋2sin 2x
＝2cos.
2．(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于( )
A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021
C. D．e
答案 B解析 因为f′(x)＝exsin x＋excos x，
所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，
所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利
用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，
∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，
原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，
当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，
得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.
(2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________.
答案 e2
解析 f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x，
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，
则a＝e2.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为__________．
答案 5x－y＋2＝0
解析 y′＝′＝＝，所以y′| ＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
x＝－1
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为
__________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x，y)．
0 0
又f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x)x.
0
∴由解得x＝1，y＝0.
0 0∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等
于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，
将P(1,2)代入y＝kx＋1，
可得k＋1＝2，解得k＝1，
∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝，
由f′(1)＝＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，
∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，
∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范
围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 由y′＝aex，若切点为(x， )，
0
则切线方程的斜率k＝ ＝ >0，
∴切线方程为y＝ (x－x＋1)，
0
又P(1，e)在切线上，
∴ (2－x)＝e，
0
即＝ (2－x)有两个不同的解，
0
令φ(x)＝ex(2－x)，
∴φ′(x)＝(1－x)ex，
当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴φ(x) ＝φ(1)＝e，
max
又x→－∞时，φ(x)→0；
x→＋∞时，φ(x)→－∞，
∴0<1，即实数a的取值范围是(1，＋∞)．
教师备选
1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(
)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 设切点P(x，y)，
0 0
f′(x)＝3x2－1，
又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，
∴f′(x)＝3x－1＝2，
0
∴x＝1，
∴x＝±1，
0
又切点P(x，y)在y＝f(x)上，
0 0
∴y＝x－x＋3，
0 0
∴当x＝1时，y＝3；
0 0
当x＝－1时，y＝3.
0 0
∴切点P为(1,3)或(－1,3)．
2．(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的
切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，4]
答案 C
解析 因为y＝ln x＋x2＋(1－a)x，
所以y′＝＋x＋1－a，因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，
所以y′≥tan ＝1对于任意的x>0恒成立，
即＋x＋1－a≥1对任意x>0恒成立，
所以x＋≥a，又x＋≥2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．
思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出
参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切，则( )
A．m＋n为定值 B.m＋n为定值
C．m＋n为定值 D．m＋n为定值
答案 B
解析 设直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n切于点(x， )，
0
因为y′＝ex－2n，所以 ＝1，所以x＝2n，
0
所以切点为(2n,1)，
代入直线方程得1＝2n＋m，
即m＋n＝.
(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值
范围是______．
答案 [2，＋∞)
解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋－2，x>0.
又4x＋≥2＝4，
当且仅当x＝时取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切
于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
答案 D
解析 由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，
则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，
因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组有唯一解，即关于 x的一元二次方程x2＋(a－1)x
＋1＝0有两个相等的实数根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
(2)(2022·韶关模拟)若曲线C ：y＝ax2(a>0)与曲线C ：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围
1 2
为________．
答案解析 由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，
由y＝ex，得y′＝ex，
曲线C ：y＝ax2(a>0)与曲线C ：y＝ex存在公共切线，
1 2
设公切线与曲线C 切于点(x，ax)，
1 1
与曲线C 切于点(x， )，
2 2
则2ax＝
1
可得2x＝x＋2，
2 1
∴a＝ ，
记f(x)＝ ，
则f′(x)＝ ，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当x＝2时，f(x) ＝.
min
∴a的取值范围是.
延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范
围为________．
答案
解析 由本例(2)知，
∵两曲线C 与C 存在两条公共切线，
1 2
∴a＝ 有两个不同的解．
∵函数f(x)＝ 在(0,2)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，且f(x) ＝f(2)＝，
min
又x→0时，f(x)→＋∞，
x→＋∞时，f(x)→＋∞，
∴a>.教师备选
1．若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等
于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或－1
答案 D
解析 设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k＝＝1，
解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，
故x2＋ax＝x－1，
化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
2．已知曲线y＝ex在点(x ， )处的切线与曲线y＝ln x在点(x ，ln x)处的切线相同，则(x
1 2 2 1
＋1)(x－1)等于( )
2
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案 B
解析 已知曲线y＝ex在点(x， )处的切线方程为
1
y－ ＝ (x－x)，即
1
曲线y＝ln x在点(x，ln x)处的切线方程为y－ln x＝(x－x)，即y＝x－1＋ln x，
2 2 2 2 2
由题意得
得x＝ ，
2
－ x＝－1＋ln x＝－1＋ ＝－1－x，
1 2 1
则 ＝.又x＝ ，
2
所以x＝，
2
所以x－1＝－1＝，
2
所以(x＋1)(x－1)＝－2.
1 2
思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线
上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用
两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝
－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )A．2 B．5 C．1 D．0
答案 C
解析 根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，
解得a＝1或a＝－(舍去)，
又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，
可得m＝1.
(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线
l的方程为____________________．
答案 y＝ex或y＝x＋1
解析 设直线l与f(x)＝ex的切点为(x，y)，
1 1
则y＝ ，f′(x)＝ex，
1
∴f′(x)＝ ，
1
∴切点为(x， )，
1
切线斜率k＝ ，
∴切线方程为y－ ＝ (x－x)，
1
即y＝ ·x－x ＋ ，①
1
同理设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x，y)，
2 2
∴y＝ln x＋2，
2 2
g′(x)＝，
∴g′(x)＝，
2
切点为(x，ln x＋2)，
2 2
切线斜率k＝，
∴切线方程为y－(ln x＋2)＝(x－x)，
2 2
即y＝·x＋ln x＋1，②
2
由题意知，①与②相同，
∴把③代入④有 ＝－x＋1，
1
即(1－x)( －1)＝0，
1
解得x＝1或x＝0，
1 1
当x＝1时，切线方程为y＝ex；
1
当x＝0时，切线方程为y＝x＋1，
1
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
课时精练
1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( )
A．(x－2)′＝－2x
B．(xcos x)′＝cos x－xsin x
C．(ln 10)′＝
D．(e2x)′＝2ex
答案 B
解析 (x－2)′＝－2x－3，∴A错；
(xcos x)′＝cos x－xsin x，∴B对；
(ln 10)′＝0，∴C错；
(e2x)′＝2e2x，∴D错．
2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为( )
A．x－y＋π－2＝0 B．x－y－π＋2＝0
C．x＋y＋π－2＝0 D．x＋y－π＋2＝0
答案 D
解析 y′＝－2sin x＋cos x，
当x＝π时，k＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y＋2
＝－1×(x－π)，化简可得x＋y－π＋2＝0.
3．(2022·长治模拟)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处
的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )A．－1 B．0 C．2 D．4
答案 B
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，
∴f′(3)＝－，
∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
4．已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小
值为( )
A. B．2
C. D.
答案 A
解析 当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小
值．f′(x)＝2x－＝1，
解得x＝1或x＝－(舍去)，
又f(1)＝3，
所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB| ＝＝.
min
5．设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos ＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋
c－a的值为( )
A．0 B．π C．－2 D．3
答案 D
解析 ∵f′(x)＝aex，g′(x)＝－sin ，
∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，
又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点，
∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，
∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.
6．(2022·邢台模拟)设点P是函数f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)图象上的任意一点，点P处切线
的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
答案 B
解析 ∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，
∴f′(x)＝2ex－f′(0)，∴f′(0)＝2－f′(0)，f′(0)＝1，
∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)，
∴f′(x)＝2ex－1>－1.
∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，
∴tan α>－1.
∵α∈[0，π)，
∴α∈∪.
7.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)f′(3)
D．f(3)－f(2)f′(3)>0，
0 0
故A错误，B正确．
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
则f(3)－f(2)＝＝k ，
AB
由图知f′(3)0，故D不是凸函数．
9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f(x)＝xcos x在x＝π处的切线与直线ax－y＋1＝0平行，则实
数a＝________.
答案 －1
解析 因为f(x)＝xcos x，
所以f′(x)＝cos x－xsin x，
f′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，
因为函数在x＝π处的切线与直线ax－y＋1＝0平行，所以a＝f′(π)＝－1.
10．已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝________.
答案 2
解析 f′(x)＝＋excos x－exsin x
＝＋excos x－exsin x，
∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.
11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代
曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，
这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可
以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设 f(x)＝ ，则f′(x)＝
________，其在点(0,1)处的切线方程为________．
答案 y＝1
解析 ∵f(x)＝ ，
故f′(x)＝(x2)′ ＝ ，
则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝1.
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取
值范围为____________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 因为f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，
所以f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1，因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1＝0有两个不等的实根，
则Δ＝4a2－12>0，即a2－2a－3>0，
解得a＞3或a＜－1，
所以a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区
间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若 f(x)在[a，b]
上满足以下条件：①在[a，b]上图象连续，②在(a，b)内导数存在，则在(a，b)内至少存在一
点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)(f′(x)为f(x)的导函数)．则函数f(x)＝xex－1在[0,1]上这样的
c点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 函数f(x)＝xex－1，
则f′(x)＝(x＋1)ex－1，
由题意可知，存在点c∈[0,1]，
使得f′(c)＝＝1，
即(1＋c)ec－1＝1，
所以ec－1＝，c∈[0,1]，作出函数y＝ec－1和y＝的图象，如图所示，
由图象可知，函数y＝ec－1和y＝的图象只有一个交点，
所以ec－1＝，c∈[0,1]只有一个解，即函数f(x)＝xex－1在[0,1]上c点的个数为1.
14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A．eb0，
0 0 0
则切线方程为y－b＝ (x－a)，由
得 (1－x＋a)＝b，则由题意知关于x 的方程 (1－x＋a)＝b有两个不同的解．
0 0 0
设f(x)＝ex(1－x＋a)，
则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，
由f′(x)＝0得x＝a，
所以当x0，f(x)单调递增，
当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x) ＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，
max
当x0，
所以f(x)>0，当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，
因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以00)有两解，
令f(k)＝ln k－－1，
则f′(k)＝－＝，
故当f′(k)>0时，04，
所以f(k)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，
故f(k) ＝f(4)＝ln 4－－1＝2ln 2－2，
max
所以只需满足m<2ln 2－2即可．
