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考点 16 导数的概念及其意义、导数的运算（3 种核心题型
+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能
够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的
导数
【知识点】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作 f ′ ( x )或y′| .
0 0
f′(x)＝lim ＝lim .
0
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′ ( x )( x － x )．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝ αx α － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝ － sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ a x ln a
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
[f(x)g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ cf ′ ( x ) ．
5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y ′ · u′，即y
x u x
对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)
【核心题型】
题型一 导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则
求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
【例题1】（2024·重庆·模拟预测） （ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【分析】令 ，根据导数的概念，可求解.
【详解】令 ，根据导数的概念，
，
，所以 .
故选：B．
【变式1】（2024·广西·二模）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，则曲线
的曲率 ．若函数为 ，则其曲率的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据定义求解 和 ，由曲率的定义求出曲率 ，利用导数判断单调性求出最大
值.
【详解】函数 的定义域为 ， ， ，
所以曲线 的曲率 ，
， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，曲率 取得最大值 .
故选：C.
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）记函数 的导函数为 ，已知
，若数列 ， 满足 ，则（ ）
A． 为等差数列 B． 为等比数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用给定定义结合等差数列定义判断A，排除法判断B，利用累加法求出 ，再用裂项相消法判断C，利用数列的性质判断单调性判断D即可.
【详解】若 ，则 ，
， ，
故 ，易知 ，经检验 ，
故 是以 为首项， 为公差的等差数列，故A正确，
而 ，又因为等比数列中不能有 ，则 不可能为等比数列，故B错误，
易得 ， ，故 ，
则 ，则 ，
故 ，故C正确，
令 ，且 ，
当 时，令 ， ，
故 ，故 ，即 此时为单调递增数列，
故 ，即 恒成立，故 成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构造新数列，利用数列的性质判断单调性，然后求
出端点值，得到所要证明的不等关系即可
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】求导，根据 即可求解 ，代入即可求值.【详解】由题意知 ,所以 ，解得
，则 ，故 ．
故选：B
题型二 导数的几何意义
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①
切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
命题点1 求切线方程
【例题2】（多选）（2024·河南郑州·模拟预测）过点 作直线l与函数 的
图象相切，则（ ）
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线 垂直，则
C．若点P在 的图象上，则符合条件的l只有1条
D．若符合条件的l有3条，则
【答案】AD
【分析】设切点坐标，求出切线斜率满足的等量关系，依据在点处的切线方程的求法求出
切线方程判断选项A；根据斜率求出切点的横坐标，分别讨论点 是否在函数 的
图象上，可判断选项B；通过切线斜率求解切点个数可判断直线条数，从而判断选项C；符
合条件的l有3条时，点 不在图象上，通过斜率求切点与点 坐标的关系可判
断选项D.
【详解】设l与 的图象切于点 ，当点 与点 不重合时，切线斜率，整理得： ，当点 与点 重合时，切线斜率
，
对于A，若P与原点重合，点 在函数 图象上，则 ，此时 ， ，
l即x轴，方程为 ，A正确；
对于B，若l与直线 垂直，则 ， ，
当点 为切点时， 或 ，
当点 不为切点时，满足 ，整理得 ，
当 时 ， ，当 时 ， ，B错误；
对于C，当点P在 的图象上时， ， ，则 ，
即 ，所以 或 ，故 有两解，符合条件的直线有两条， C
错误；
对于D，若符合条件的l有3条，则点 不在 图象上，设l与 的图象
切于点 ，则有 ，
设 ， ，
由 得 或 ，符合条件的l有3条， 有3个零点，
则 ，所以 ， ， ，D正确.
故选：AD
【变式1】（2024·贵州·模拟预测）过点 作曲线 的切线，请写出切线的
方程 .【答案】 或
【分析】设切点 ，求导并写出切线方程，代入点 求出 值即可.
【详解】设切点为 ，而 ，
所以切线的斜率 ，故切线方程为 ，
因为切线过点 ， ，
化简可得 或 ，则切点为 或 ，
则代入得切线方程为： 或 ，
故答案为： 或
【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 在点 处的切线过原点
，则 .
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入 求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 在点 处的切线方程为 .
又切线过原点 ，则 ，所以 .
故答案为：
【变式3】（2024·四川成都·二模）已知函数 的图象在 处的切线经过
点 ．(1)求 的值及函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，求出切线方程，然后代点 求出 的值，进而利用导数求函数
单调性即可；
（2）将不等式变形为 ，然后令 ，可得 ，利用
的单调性得到 ，进而构造函数求导求最值即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
则 ，则 ，又 ，
所以 在点 处的切线 ，
代入点 得 ，解得 ；
则 ，设
则 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，即 在 上恒成立，
所以函数 的单调增区间为 ，无单调减区间；（2）由（1）得
在区间 上恒成立，即 ，
令 ，则 ，即 ，
只需要 ，也就是 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
故 ，所以 ，
即正实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是将不等式变形为 ，令 ，
然后转化为 ，利用函数函数 的单调性来解答，充分利用了函数单调性来
解决问题.
命题点2 求参数的值(范围)
【例题3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线 在 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.
【详解】由 ，求导得 ，当 时， ，
由曲线 在 处的切线与直线 垂直，得 ，所以 .
故选：C
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则
的最小值为（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
【详解】根据直线与函数相切，可得 以及 ，即可换
元 构造函数 ，利用导数求解函数的最值求解.
【分析】设切点坐标为 ．由已知，得 ，则 ，
解得 ．
又切点在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 ．
令 ，则 ．
令 ，解得 ．当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减．
所以 ，即 ，所以 ，则 的最小值为－1．
故选：C
【变式2】（2024·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线与曲线 相切于
点 ，若 且 ，则实数 的值为 .
【答案】【分析】利用导数求出 在 处的切线方程为 ，函数
在点 处的切线方程为 ，，根据两切线重合求解
，求出 ，进而求出 .
【详解】函数 在 处的切线斜率为 则切线方程为
，
函数 在 处的切线斜率为 ，则切线方程为 ，即
，
由题意有 ①且 ②，故 ， ，
从而 ，整理得 ，
所以 ，即 .
代入式②，得 ，即 .
故答案为：
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点
处的切线方程为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)证明：函数 有两个零点．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用转化的思想将原问题转化为函数 有两个零点，利用导数研究函
数 的单调性，结合零点的存在性定理即可证明.
【详解】（1）由题意可得 ，由切线方程可知其斜率为 ，
所以 ，解得 ；
（2）由 可得 ，所以 ．
函数 有两个零点即函数 有两个零点．
，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
又 ， ， 0，
所以 ， ．
由零点存在定理可得 使得 ， 使得 ，
所以函数 有两个零点
题型三 两曲线的公切线
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出
有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线
重合列方程组求解．
【例题4】（2023·山西·模拟预测）已知函数 若对任
意 ，曲线 在点 和 处的切线互相平行或重合，则实
数 （ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求得 ，根据题意转化为 为偶函数，
即可求解.
【详解】由函数 ，
可得 ，
因为曲线 在点 和 处的切线互相平行或重合，
可得 为偶函数，所以 ，解得 .
故选：C.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点
，使得曲线 在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意知 有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可
求得参数的范围.
【详解】由题意知 ，因为切线与直线 垂直，
所以曲线 在点 处的切线斜率都是 ，
即关于 的方程 有两个不相等的正实数根，
化简得， 有两个不相等的正实数根，则 ，解得 .
故选：A.
【变式2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .若曲线 在点
处的切线与其在点 处的切线相互垂直，则 的一个取值为
.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知， ，再根据函数的取值，
即可求解.
【详解】 ，由题意可知， ，
即 ，所以 ，得 ， ， ，
或 ，得 ， ， ，
所以 ， ， ,
所以 的一个取值为 .
故答案为： (答案不唯一)
【变式3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)若 ，证明：曲线 与曲线 有且仅有一条公切线；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先设切点再分别求出切线，斜率和截距对应相等求解,再由单调性证明唯一
性即可;
（2）把不等式化简构造函数，根据导函数求解最值即可求出参数范围.
【详解】（1）当 时，
所以
所以曲线 在点 处的切线方程为
，即 ，
曲线 在点（ ， ）处的切线方程为
，
即
令 得
消去 ，整理得
所以
设 ，则
所以h(x)在（0，+∞）上单调递增，
又 ，
所以h(x)在（0，+∞）上有唯一的零点 ，
所以方程 有唯一的解
所以曲线 与曲线 有且仅有一条公切线 ．（2）因为对 恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令
，
则当 时 ，G(x)单调递减，
当 时， ，G(x)单调递增，
当 时， 单调递减，
所以在 处G(x)有极小值，在 处G(x)有极大值．
①当 ，即 时，由 解得 ，舍去．
②当 ，即 时，则 ，
所以，由 ，解得
因为 ，所以 ，所以
所以
所以
综上，a的取值范围为【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则曲线 在 处的
切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】代入法求得 ，以及利用导数的四则运算法则求得 进一步求得 即
可得解.
【详解】由题意知 ， ，
∴曲线 在 处的切线的斜率为 ，
∴曲线 在 处的切线方程为 ，且 .
故选：C．
2．（2024·广东·二模）函数 的定义域为 ，若 ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，解不等式即可得出答案.
【详解】构造函数 ，满足 ， ，
则由 可得 ，解得： .故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）若曲线 （ 且 ）有两条过坐标原点的
切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设出切点，列出切线方程，再根据 ，构造函数
，根据导数求得 的单调性，即可得到关于参数 的不等式，解不等式
即可.
【详解】由 ，得 ．
设切点为 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
将点 的坐标代入切线方程，得 ，
所以 ，即 ．
显然 ，所以 ．
设 （ 且 ），则 ．
当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递减，在 和 上分别单调递增．
又当 时， ，当 时， ，且 的极小值为 ，所
以 的大致图象如图．
由题意可知，函数 的图象与直线 有两个不同的交点，结合图象可知 ，
所以 ，所以 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数切线的含参问题，其中根据切线方程化简得到等式
，从而构造函数 是关键，再对 求导，利用导数求单
调性，从而得到 的大致图象，结合图象可知 求解.
4．（2024·四川·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．48 B．192 C．128 D．72
【答案】B
【分析】令 ，求导，然后令 求解.
【详解】解：令 ，则 ，
令 ，得 ．
故选：B．
5．（2024·湖南娄底·一模）若直线 是指数函数 且 图象的
一条切线，则底数 （ ）
A．2或 B． C． D． 或
【答案】D
【分析】设切点坐标为 ，根据导数的几何意义，列式运算求得 的值.
【详解】设切点坐标为 ，对函数 ，求导得 ，
切线方程 化成斜截式为 ，
由题设知 ，显然 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
即 ，
即 ，化简得 ，
令 ，即 ，利用指数函数与一次函数的性质，可知 或 ，
即 或 ，解得 或 .
故选：D.
二、多选题
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线 ： 为曲线 ： 和 ：
的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象在 轴的上方
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 时， 和 必存在斜率为 的公切线
【答案】ABD
【分析】由函数解析式可直接判断A，利用导数研究曲线 的切线方程，可用含 的式子
表示出切点的坐标，再将其代入直线 ，即可判断B，设 ， ，利用
，并结合斜率的计算公式，可得 判断C，若 和 存在斜率为
的公切线，则存在 和 使得 ， ，再结合选项B中所得，求出 和
的值判断D．
【详解】选项A，由 ， 得 ，可知曲线 的图象在 轴的上方，故A正确；
选项B，当 时， ： ， ： ，
对于 ： ，有 ，
因为直线 ： 为曲线 的切线，
所以 ，即 ，此时 ，
所以切点坐标为 ，将其代入切线方程 中，有 ，整理得 ，可得 ，即B正确；
选项C，当 时，公切线 为 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，解得 ， ，故C错误；
选项D，当 时， ， ，则 ， ，
若 和 存在斜率为 的公切线，则存在 和 使得 ， ，
由选项B可知， ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，符合题意，
故当 时， 和 必存在斜率为 的公切线，即D正确．
故选：ABD．
7．（2023·全国·模拟预测）若过点 最多可作 条直线与函数
的图象相切，则（ ）
A．当 时，切线方程为
B．当 时，
C．当 时，λ的值不唯一
D． 的值一定小于3
【答案】ABD
【分析】设切点，求导得切线方程，进而将问题转化为直线 与函数
的图象的交点情况，结合选项即可逐一求解.
【详解】不妨设切点为 ，因为 ，则过点 的切线方程为 ，
即 ，整理得 ．
令 ，则 ．
当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
， ， ，
当 时， ，
当 时， ．
综上， 的大致图象如图．
当 时，切点为 ，切线方程为 ，故A正确．此时 成立．
当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点，由图象可知： ，
故B正确．此时满足 ．
当 时，当 ，此时直线 与函数 的图象有两个交点，故C错误．
此时 成立．
当 时， ，所以 ．
综上， ，故D正确．故选：ABD
三、填空题
8．（2024·四川·模拟预测）已知 ，直线 与曲线 相切，
则 ．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为 ，求导由斜率可得 的值，从而代入曲
线方程与切线方程可得 ，即可得 的值.
【详解】设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
则切线斜率 ，得 ，
所以 ，且 ，
则 ，即 ．
故答案为：2.
9．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线 和曲线 上的点，则 的
最小值为 ．
【答案】 /
【分析】由题意 的最小值为 到直线 上距离的最小值，再设 ，则当
处的切线与 平行时取得最小值.
【详解】由题意 的最小值为曲线上点 到直线 距离的最小值，
设 ，则 为增函数，
令 则 ，故当 时 ， 单调递减；当 时 ，
单调递增.故 ，即 在曲线 下方.
则当 处的切线与 平行时 取得最小值.
设 ，对 求导有 ，由 可得 .
故当 时取最小值 .
故答案为：
四、解答题
10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 .
(1)若 的图象在点 处的切线与直线 垂直，求 的值;
(2)讨论 的单调性与极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得 ，即可求解，
（2）求导，对 进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得， 的定义域为 .
.
的图象在点 处的切线与直线l:2x 垂直，，
解得 .
（2）由（1）知 .
①当 时， 恒成立.
在 上为减函数，此时 无极值;
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 .
综上可得，当 时， 在 上为减函数， 无极值;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
的极小值为 ，无极大值.
11．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且
．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数 ，利用导数研究函数 的单调性从而求出最小值大于0，可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
则曲线 在点 处的切线斜率为 ．
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即得 ， ．
（2）设函数 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
所以，当 时， ， 单调递增．
又因为 ，
所以， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．
又当 时， ，
综上 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
即 ，
所以，当 时，
综合提升练一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线
条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出 的导函数，设切点坐标为 ，写出切线方程，把 代入，
得到关于 的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由 ，得 ．设切点坐标为 ，
则切线方程为 ，
把 代入可得 ，即 ，
因为 ，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由 ，得 ，令 ，得 ．
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 ，且 ，则点 在曲线 的下方，
数形结合可知，过点 可作曲线 的2条切线．故选：B
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，又 ，
故曲线 在点 处的切线的方程为 ，即 .
故选：A.
3．（2024·福建漳州·一模）若曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 （ ）
A．3 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，所以 .
故选：C.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则函数 的图象在 处的
切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.
【详解】对 求导，
得 ，
∴ 的图象在 处的切线斜率为 ，又 ，
∴ 的图象在 处的切线方程为 ，
即 .
故选：C
5．（2024·江西上饶·一模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的导函数为 B． 在 上单调递减
C． 的最小值为 D． 的图象在 处的切线方程为
【答案】C
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐一判断即可.
【详解】A： ，因此本选项不正确；
B：由上可知： ，
当 时， ，函数 单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知： ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时，函数 的最小值为 ，因此本选项正确；D：由上可知 ，因为 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，因此本选项不正确，
故选：C
6．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 与曲线 相切于点 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由导数几何意义可得 ， ，所以 ，令
，对 求导，得到 的单调性和最值，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，∴ ．
又∵切点 在直线 上，
∴ ，解得 ．∴ ．
令 ，则 ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
可得 在 上单调递增，在 上单调递减，
时， ， 时， ，
当 趋近负无穷时， 趋近 ， ； ，
故 的取值范围为 ．
故选：B．7．（2024·陕西西安·三模）已知函数 在点 处的切线均经过坐标原点，
其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出导函数，根据导数的几何意义表示出切线方程，从而得到 ，即
可求出 ，再代入计算可得.
【详解】 ，则 ，
故函数 点 处的切线为 ，
又切线均经过坐标原点，则 ，化简整理可得 ，
又 ， ，所以 ，
则 ， ， ， ， ，
又 ， ， ，
， ，
所以 ．
故选：B．
8．（2024·宁夏银川·一模）已知函数 与 （ 且 ）的图象只有一个
交点，给出四个值：① ；② ；③ ；④ ，则 的可能取值为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B【分析】构造函数 ，利用导数确定其零点个数判断①；通过特殊点判
断②；对③④：在 ，由两个函数图象只有一个交点，则它们与直线 相切，设切
点为 ，利用公切线求出 值进行判断．
【详解】对于①：令 ，
则 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，
所以 单调递增，且 ， ，
所以 有唯一零点，从而 与 的图像只有一个交点，故①正确；
对于②：若 ，可知 和 是 与 的图像的两个交点，故②错
误；
对于③④：因为 ，因为 与 互为反函数，
若两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线 相切，
设切点为 ，则 ， ，所以 ，
且 ，所以 ，解得 ，所以 ，故③正确，④错误；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：对于③④：分析可知两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线
相切，结合导数的几何意义分析求解.
二、多选题
9．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数 的导函数为 ，若 ，均有
，则（ ）
A． B． （ 为 的二阶导数）
C． D． 是函数 的极大值点
【答案】AB
【分析】由 ，令 ，即可判断A；由已知得 ，即得函
数 ，确定 ，从而可得 ，求导数，即可判断B；令
，判断其单调性，即可判断C；根据极值点与导数的关系可判断D.
【详解】由 ， ，令 ，则 ，A正确；
当 时，由 得 ，故 ，
即 ，则 （c为常数），则 ，
满足该式，故 ，则 ，将 代入 中，得 ，
即 ，而 ，故 ，
则 ， ， ，
故 ，B正确；
令 ， ，故 在 上单调递增，
故 ，即 ，C错误；
由于 ，令 ，即得 ，
令 ，即得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是函数 的极小值点，D错误，
故选：AB
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若过原点可作函数的三条切线，
则（ ）
A． 恰有2个异号极值点 B．若 ，则
C． 恰有2个异号零点 D．若 ，则
【答案】BD
【分析】利用函数导数的符号可判断AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程
有三解，转化为利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.
【详解】因为 ，所以 在 上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为 ，则切线的斜率 ，所以切线方程为 ，
即 ，
因为过原点 ，所以 ，
化简得 ，即方程有3个不等实数根，
令 ，则 ，
当 时， 或 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 极大值 ，极小值为 ，如图，
所以 与 相交有三个交点需满足 ，故B正确；
同理，当 时，可知 极大值 ，极小值为 ，如图，可得 时， 与 相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
11．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则
的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】设该直线与 相切于点 ，求出切线方程为 ，设该
直线与 相切于点 ，求出切线方程为 ，联立方程组，
得到 ，令 ，讨论 的单调性，从
而得到最值，则可得到 ，解出 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端
点比较大小即可判断是否在区间内.
【详解】设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，所以当 时， 0；当 时， ；
在 和 上单调递减；在 和 上单调递增；
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，
所以A正确；
对于B， ，所以 ，所以B正确；
对于C， 因为 ，所以C正确；
对于D， 因为 ，所以D不正确.
故选：ABC
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义 ，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，且 ，
时， ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ，
故答案为：
13．（2024·全国·模拟预测）设直线 与曲线 相切，则 ．
【答案】【分析】设出切点，由导数的意义可得 ，与直线斜率相等，从而解出 ，求出斜
率即可.
【详解】设切点为 ，
因为 ，所以切线的斜率 ，
又因为 ，
从而 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： .
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为
的图象的对称轴， 为 的零点.若 使得 的图象在
处的切线与 轴平行，则 的最小值为 ；若 在 上单调，则
的最大值为 ．
【答案】 3 9
【分析】根据已知对称性推得 .进而结合已知可知 ，即可得出 的最
小值；根据函数的单调性，得出 ，解得 ．逐个检验 以及 ，结合函
数的零点解出 的值，检验单调性，即可得出答案.【详解】设 的周期为 ，
因为 为 图象的对称轴， 为 的零点，
所以，所以有 ，所以 ，
所以 ，即 为正奇数．
又因为 使得 的图象在 处的切线与 轴平行，
则 是 的图象的对称轴.
所以， ， ，满足条件.
所以， 的最小值为3；
因为 在 上单调，则有 ，即 ，解得 ．
检验当 时，由 为 的零点可知， ．
因为 ，所以 ，此时 ．
当 时， ，
结合正弦函数的性质可知，此时 在 上不单调，不符合题意；
检验当 时，由 为 的零点可知， ．
因为 ，所以 ，此时 ．
当 时， ，此时 在 上单调，符合题意.
所以 的最大值为9，此时 ．
故答案为：3；9.
四、解答题15．（2024·广西·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间与极值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；极大值为 ，极小值为
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极值.
【详解】（1）由 ，可知 ，
所以 ，又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ， 的定义域为 ，
由 ，得 ，或 ，
当 或 时， ， 在 上均单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以函数 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ，
故函数 在 处取得极大值，极大值为 ；
在 处取得极小值，极小值为 .16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数 ，曲线 在点
处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求证： ．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）求出 的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2），可得 在 为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ， ，
因为 ．所以 ，解得 .
（2）因为 ， 的定义域为 ，
，
令 ，得 ，
与 在区间 上的情况如下：
x 0
- 0 +递减 极小 递增
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（3）证明：由（2）得，在 时， 取得最小值1，所以 恒成立，
所以 在 为增函数，又因为 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
综上， .
17．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知函数 ， ．
(1)证明：对于 ， ，都有 ．
(2)当 时，直线 ： 与曲线 和 均相切，求直线 的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 得 ，根据 转化为证明
，构造函数 后利用导函数证不等式.
（2）先设 的切线方程为 ，结合其和 也相切，联立后
根据二次方程有唯一解可得 ，利用 的性质，求出 即可.【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ．
当 时, ，
欲证 ， ，只需证 在 上恒成立．
令 ， ，
当 时 ，当且仅当 即 时等号成立，
故 ，
所以函数 在区间 上单调递增，所以 ，所以 ．
综上所述，对于 ， ，都有 ．
（2）当 时， ，设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以曲线 在点 的切线方程为 ，
联立方程 ，得 ，
由 ，得 ，即 ．
由（1）知，函数 在 上单调递增，且 ，
所以方程 有且只有一个实根，
所以 ，即 ，
代入 得 ，所以直线 的方程为 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与
直线 垂直．
(1)求 的值．
(2)判断 的单调性，并求极值．
【答案】(1)
(2)函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，极小值为 ，极大值为
．
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义可得 ，即可得解；
（2）先求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即
可.
【详解】（1）由题意得 ，则 ，
又因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）知 ，则 ，定义域为 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 的极小值为 ，极大值为 ．19．（2024·天津·二模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线的斜率为2，求 的值；
(2)当 时，证明： ， ；
(3)若 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对于 ，求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）将问题化为证明 恒成立，构造函数
，利用导数即可得证.
（3）构造函数 ，将问题转化为 恒成立，利用导数分类讨论
与 两种情况，从而得解.
【详解】（1）由 ，可知 ，
因为 在 处的切线斜率为2，
所以 ，所以， ．
（2）证明：当 时， ，要证 ，
即证 ，两边取对数得， ，
即证 ，
令 ，只需证 即可．
．所以， 在 上单调递减．
所以， 成立，
所以 ， .
（3）若 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立．
令 ．则 ，
令 ， ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 时单调递增．
可知 ．
当 时， ，即 ，所以 在 时单调递增．
所以 成立．
当 时， ，
当 时， ，
所以 使得 ．
当 时， ，即 ，所以 此时单调递减；
当 时， ，即 ，所以 此时单调递增；
所以， 不成立，舍去．
综上， ．【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式 （ ， 为参数）恒成立问
题中参数范围的步骤：
1.将参数与变量分离，不等式化为 或 的形式；
2.求 在 时的最大值或者最小值；
3.解不等式 或 ，得到 的取值范围.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为 ，求得切线方程为 ，把原点
代入方程，得到 ，解得 ，即可求得切线方程.
【详解】由函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，可得切线方程为 ，
把原点 代入方程，可得 ，即 ，
解得 ，所以切线方程为 ，即 .
故选：A.
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】观察 ，构造函数 ，利用导
数的四则运算得到 ，代入 即可得解.
【详解】设 ，
则 ，故 ，
所以
.
故选：C.
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数 ，且 ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数 的导函数，利用给定等式求出 ，再利用二倍角的正切计算即得.
【详解】函数 ，求导得 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 .
故选：B
4．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 ，若函数
有4个零点，则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知：函数 的零点个数即为 与 的交点个数，利用导数
求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出 的图象，如图所示
令 ，可得 ，
由题意可知：函数 的零点个数即为 与 的交点个数，
若 ，则 ，可得 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
则切线方程为 ，
代入点 ，可得 ，解得 ，
此时切线斜率为 ；若 ，则 ，可得 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
则切线方程为 ，
代入点 ，可得 ，解得 ，
此时切线斜率为 ；
结合图象可知 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含
以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程
等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、
几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
5．（2024·重庆·模拟预测）设点 (异于原点)在曲线 上，已知过 的直线
垂直于曲线 过点 的切线，若直线 的纵截距的取值范围是 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】设 ，求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而表示出直
线 的方程，即可得到直线 的纵截距，再令 ，当 时利用均值不
等式计算可得，当 时推出矛盾.【详解】设 ，由曲线 ，则 ，
所以 ，
由直线 垂直于曲线 过点 的切线，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
令 ，则 ，即直线 的纵截距为 ，
设函数 ，
若 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
因为直线 的纵截距的取值范围为 ，则 ，解得 ；
若 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，不
合题意；
综上可得 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数的几何意义及两直线垂直斜率的关系得到直
线 的斜率，从而得到直线 的方程，再表示出纵截距.
二、多选题
6．（2023·广东·二模）已知函数 的图象在点 处的切线为 ，则
（ ）
A． 的斜率的最小值为 B． 的斜率的最小值为
C． 的方程为 D． 的方程为
【答案】BCD【分析】对函数 求导，表示出在点 的切线斜率即可.
【详解】因为 ，所以 的斜率的最小值为 .
因为 ，所以 的方程为 .
因为 ，所以 的方程为 ，即 .
故选：BCD.
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）定义函数 的曲率函数 （
是 的导函数），函数 在 处的曲率半径为该点处曲率 的倒数，曲率
半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数 在 处的曲率半径为1
C．若圆 为函数 的一个曲率圆，则圆 半径的最小值为2
D．若曲线 在 处的弯曲程度相同，则
【答案】ABD
【分析】直接根据倒数的性质即知A正确；直接根据曲率半径的定义计算函数 在
处的曲率，再取倒数得到曲率半径即可判断B正确；使用三元均值不等式可以证明函
数 的曲率圆的半径一定大于2，从而C错误；设 ， ，然后将条件转化为
关于 的等式，再使用基本不等式进行处理，即可证明D正确.
【详解】对于A，若曲线在各点处的曲率均不为0，显然 ，由 知 ，由于曲线在 处的曲率为 ，曲率圆的半径为 ，
所以曲率圆的半径等于曲率的倒数. 而曲率大于0，所以曲率越大，曲率圆越小，A正确；
对于B，若 ，直接计算知 ，所以
，
从而函数 在 处的曲率为1，从而函数 在 处的曲率半径为1的倒数，
即1，B正确；
对于C，若 ，直接计算知 ，
这里 .
所以 处的曲率圆半径 ，
从而我们有
，
所以圆 的半径一定大于2，不可能以2为最小值，C错误；
对于D，若 ，在C选项的过程中已经计算得知 ，现在如果曲线 在 处的弯曲程度相同，则 ，故
，
所以 ，即 .
设 ， ，则 ， ， ，将 两边展开，
得到 ，从而 .
故 ，
而 ，
故 ，这意味着 ，从而
.
定义函数 ，则 ，由于 ，函数 在
上递增，
故 ，所以 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：在适当的时候使用均值不等式是解决本题C，D选项的关键.
三、填空题
8．（2024·上海闵行·二模）函数 在 处的切线方程为 .
【答案】【分析】切线的斜率是在 处的导数，切线过 ，由直线的点斜式方程可以求出
切线方程.
【详解】 ， ，所以 ，
所以在 处的切线方程为 ，即 ，
故答案为： .
9．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
【答案】
【分析】设出两曲线的切点 和 ，由导数的意义可
得 ，再由点斜式得出公切线方程 ，把点 代入直线方程可得
，构造函数 ，求导分析单调性得到 ，进
而得出 ，最后得到直线方程.
【详解】设曲线 上的切点为 ，曲线 上的切点
为 .
因为 ，
则公切线的斜率 ，所以 .
因为公切线的方程为 ，即 ，
将 代入公切线方程得 ，由 ，得 .
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， 0，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，
故公切线方程为 ，即 .
故答案为： .
四、解答题
10．（2024·河北·模拟预测）已知函数 在 处的切线为 轴．
(1)求 的值；
(2)求 的单调区间．
【答案】(1) ，
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 且 ，即可得到方程组，解
得即可；
（2）求出函数的导函数 ，再利用导数说明 的单调性，即可求出 的单调区
间.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
依题意 且 ，
所以 ，解得 .（2）由（1）可得 函数的定义域为 ，
又 ，
令 ，则 ，所以 （ ）在定义域 上单调递
增，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
11．（2023·贵州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最大值；
(2)当 时，求曲线 与 的公切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入 ，然后求出 ，进而可得单调性求出最值；
（2）代入 ，设出切点，求出切线方程，利用方程为同一直线，列方程组求解即可.
【详解】（1）当 时,
，
，
令 ，得 ，令 ，得 ，
求函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
；（2）当 时， ，
设函数 上一点为 ，
又 ， ，
函数 上过点 的切线方程为： ，
即 ，
设函数 上一点为 ，
又 ，
过点 的切线方程为： ，
即 ，
若 与 为同一直线，
则 ，解得 ,
公切线的方程为： .
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 与 的公切线的条数；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)2条
(2)【分析】（1）设切点，求导，分别求解 的切线方程，根据公切线可得
，即可求解 或 ，从而得解，
（2）将问题转化为 对于 恒成立，根据 可得 ，进
而构造函数 证明 ，即可先求解 ，构造函数
，求导，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）设 的切点分别为 ，
则 ，
故 在切点处的切线方程分别为
，
则需满足；
,故 ，
解得 或 ，
因此曲线 与 有两条不同的公切线，
（2）由 可得 ，
即 对于 恒成立，，结合 解得
设 ，
则当 时 单调递减，当 时， 单调递增，
故当 ，故
因此 ， ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时，此时 ， ，故 在 上单调递减，
所以
，
所以 ，由于 进而 ，满足题意，
当 时，此时 ，
令 ，解得 单调递增，
令 ，解得 单调递减，
故 ，
令 ，则 ，
由于 ，所以 ，
故 在 单调递减，故 ，即可 ，因此
所以 ，由于 进而 ，满足题意，
综上可得
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题
