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第 02 讲 配方法
课程标准 学习目标
①用直接开方法解一元二次方程 1. 掌握直接开方法解一元二次方程并能够熟练应用。
②用配方法解一元二次方程 2. 掌握配方法解一元二次方程，并能够对配方法熟练的应用。
知识点01 直接开方法解一元二次方程
1. 直接开方法求 的一元二次方程：
由平方根的定义可知：
① 时，一元二次方程 有 2 个 不相等 的实数根，分别是 或
。他们互为 相反数 。
②当 时，一元二次方程 有 2 个 相等 的实数根，即 。
③当 时，一元二次方程 没有 实数根。
2. 直接开方法解 的一元二次方程：同样由平方根的定义可知：
①当 时，一元二次方程 有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一
次方程 或 。所以它的两个实数根分别是 或
。
②当 时，一元二次方程 有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一
次方程 ，所以一元二次方程的两个实数根为 。
时，一元二次方程 没有 实数根。
③当
【即学即练1】
1．方程x2﹣4＝0的两个根是（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣2 B．x ＝x ＝﹣2
1 2 1 2
C．x ＝x ＝2 D．x ＝2，x ＝0
1 2 1 2
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
x2＝4，
∴x＝±2，
∴x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
故选：A．
【即学即练2】
2．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1
【分析】根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，
∴m+1≥0，
解得：m≥﹣1，
故选：D．
【即学即练3】
3．关于 x 的方程 a（x+m）2+b＝0 的解是 x ＝﹣3，x ＝2（a，m，b 均为常数，a≠0），则方程 a
1 2
（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝2 B．x ＝﹣5，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣4 D．无法求解
1 2
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣3，x ＝2（a，m，b均为常数，a≠0），
1 2
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝﹣3或x+2＝2，
解得x＝﹣5或x＝0．
故方程a（x+m+2）2+b＝0的解为x ＝﹣5，x ＝0．
1 2
故选：B．
【即学即练4】
4．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（ ）
A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0
【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答
案．
【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，
解得m＝1，
∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，
故选：C．
知识点02 配方法解一元二次方程
1. 配方法的定义：
将一元二次方程化成 的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
2. 配方法解一元二次方程的具体步骤：
①将方程化成 一般式 。
②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系
数的 倒数 。且将 常数项 移到等号的右边。
③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。
④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。
⑤根据直接开方法解方程。
3. 配方法求二次三项式的最值：
（1）利用配方法将二次三项式化成 的形式判断二次三项式的最值为 。若 ，则
为二次三项式的 最小值 ；若 ，则 为二次三项式的 最大值 。
（2）具体步骤：
①提公因式：即提 二次项系数 。
②配方：在一次项后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，再减去 一
次项系数一半的平方 。
③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以 再拿出来。【即学即练1】
5．用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9
【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项．
【解答】解：x2+8x+7＝0，
x2+8x＝﹣7，
x2+8x+16＝﹣7+16，
（x+4）2＝9，
故选：B．
【即学即练2】
6．方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【分析】先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝4，
∴（x﹣1）2＝4，
∴m＝﹣1，n＝4，
∴m+n＝3，
故选：C．
【即学即练3】
7．用配方法解方程：x2﹣2x﹣35＝0．
【分析】方程移项变形后，配方即可得到结果．
【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝35，
配方得：x2﹣2x+1＝36，即（x﹣1）2＝36，
开方得：x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6，
解得：x ＝7，x ＝﹣5．
1 2
【即学即练4】
8．代数式x2﹣4x+8的最小值为 4 ．
【分析】根据完全平方公式求解．
【解答】解：∵x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4≥4，
∴x2﹣4x+8的最小值为4，
故答案为：4．
【即学即练5】9．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定
【分析】两个式子作差计算即可．
【解答】解：M﹣N＝2x2﹣12x+15﹣（x2﹣8x+11）
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2≥0，
∴M≥N，
故选：A．
题型01 直接开方法解一元二次方程
【典例1】一元二次方程x2＝3的根为（ ）
A．x＝ B．x ＝ ，x ＝0
1 2
C．x ＝x ＝ D．x ＝ ，x ＝﹣
1 2 1 2
【分析】运用直接开平方法即可解决问题．
【解答】解：因为x2＝3，
所以x是3的平方根，
则 ．
故选：D．
【变式1】方程（x+1）2＝4的解为（ ）
A．x ＝1，x ＝﹣3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝﹣2 D．x ＝1，x ＝﹣1
1 2 1 2
【分析】首先直接开平方可得一元一次方程x+1＝±2，再解即可．
【解答】解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
则x+1＝2，x+1＝﹣2，
∴x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
故选：A．
【变式2】解方程
（1）x2﹣25＝0； （2）（x+1）2＝49
【分析】（1）先移项，再利用平方根的定义求解；
（2）直接利用平方根的定义求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣25＝0，
∴x2＝25，
∴x＝5或x＝﹣5；
（2）∵（x+1）2＝49，
∴x+1＝±7，
∴x+1＝7或x+1＝﹣7，
解得x＝6或x＝﹣8．
【变式3】解方程组（组）：
（1）4x2＝9 （2）3（x+1）2＝27
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．
（2）根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵4x2＝9，
∴x2＝ ，
∴x＝ ．
（2）∵3（x+1）2＝27，
∴（x+1）2＝9，
∴x＝﹣4或x＝2．
【变式4】（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x ＝1，x ＝0．
1 2
题型02 利用完全平方公式的特点求值
【典例1】若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是 ± 8 ．
【分析】根据x2+mx+16是一个完全平方式，利用此式首末两项是 x和4这两个数的平方，那么中间一
项为加上或减去x和4积的2倍，进而求出m的值即可．
【解答】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16＝（x±4）2，
＝x2±8x+16．
∴m＝±8，
故答案为：±8．【变式1】若x2﹣2mx+16是完全平方式，则m＝ ± 4 ．
【分析】根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2进行配方解得即可．
【解答】解：因为x2﹣2mx+16是完全平方式，
可得：﹣2m＝±8，
解得：m＝±4，
故答案为：±4
【变式2】若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 7 或﹣ 1 ．
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2•x•4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【变式3】若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C．±3 D．±9
【分析】这里首末两项是 x和m这两个数的平方，那么中间一项为加上 x和m积的2倍，故6x＝
±2mx，m＝±3．
【解答】解：∵x2+2mx+m2＝（x+m）2，
∴在x2+6x+m2中，6x＝±2mx，m＝±3．
故选：C．
题型03 利用配方法解一元二次方程
【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣8x+7＝0，方程可变形为（ ）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57
【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全
平方式即可．
【解答】解：x2﹣8x+7＝0，
x2﹣8x＝﹣7，
x2﹣8x+16＝﹣7+16，
（x﹣4）2＝9．
故选：B．
【变式1】将方程3x2+6x﹣1＝0配方，变形正确的是（ ）
A．（3x+1）2﹣1＝0 B．（3x+1）2﹣2＝0
C．3（x+1）2﹣4＝0 D．3（x+1）2﹣1＝0
【分析】首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一
半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0
∴3（x2+2x）﹣1＝0
∴3（x2+2x+1﹣1）﹣1＝0
∴3（x2+2x+1）﹣3﹣1＝0
∴3（x+1）2﹣4＝0
故选：C．
【变式2】一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝m2+1 B．（x﹣1）2＝m﹣1
C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+1
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣m＝0，
∴x2﹣2x＝m，
∴x2﹣2x+1＝m+1，
∴（x﹣1）2＝m+1．
故选：D．
【变式3】用配方法将方程x2+10x﹣11＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则m+n＝ 4 1 ．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上25配方得到结果，求出m与n的值即可．
【解答】解：∵x2+10x﹣11＝0，
∴x2+10x＝11，
则x2+10x+25＝11+25，即（x+5）2＝36，
∴m＝5、n＝36，
∴m+n＝41，
故答案为：41．
【变式4】若一元二次方程x2﹣ax+b＝0配方后为（x﹣4）2＝3，则ab＝ 10 4 ．
【分析】将（x﹣4）2＝3展开后，利用待定系数法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣4）2＝3，
∴x2﹣8x+13＝0，
∴a＝8，b＝13，
∴ab＝104，
故答案为：104
【变式5】如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝ 1 ．
【分析】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵x2+4x＝﹣n，
∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，
则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
【变式6】用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）原方程可化为x2﹣ x＝ ，
∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴x﹣ ＝± ，
∴x ＝ + ，x ＝ ﹣ ；
1 2
（2））原方程可化为x2﹣ x＝ ，
∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴x﹣ ＝± ，
∴x ＝ + ，x ＝ ﹣ ；
1 2
（3）原方程可化为x2﹣ x＝﹣ ，
∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴x﹣ ＝± ，
∴x ＝1，x ＝ ；
1 2
（4）原方程可化为x2﹣ x＝﹣1，
∴x2﹣ x+ ＝ ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴x﹣ ＝± ，∴x ＝2，x ＝ ．
1 2
题型04 直接开方法的应用
【典例1】关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1
【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解．
即m＞1．
故选：C．
【变式1】若方程（x﹣m）2＝b有解，那么b的取值范围是 b ≥ 0 ．
【分析】因为方程为（x+a）2＝b形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于0，所以在有解的情况
下要求b≥0．
【解答】解：在方程（x﹣m）2＝b中，（x﹣m）2≥0，故b≥0．
【变式2】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x ＝2，x ＝﹣1，那么方
1 2
程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝4，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解，注意由两个方程的特点
进行简便计算．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为：a[（x+2）+m]2+b＝0，
即x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得：x ＝0或x ＝﹣3，
1 2
故选：D．
【变式3】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣2，x ＝1（a，m，b均为常数，a≠0），那么
1 2
方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣2，x ＝1 B．x ＝0，
1 2 1
C．x ＝﹣3，x ＝3 D．无法求解
1 2
【分析】已知方程a（x+m）2+b＝0的解，对比所求方程a（2x+m+1）2+b＝0，两者在结构上是一致的，
因此只需要把2x+1看作一个整体对应已知方程的解，即可求解．
【解答】解：∵x ＝﹣2，x ＝1，是方程a（x+m）2+b＝0的解，
1 2
∴令2x+1＝x ，2x+1＝x ，满足方程a（x+m）2+b＝0，即a（2x+1+m）2+b＝0．
1 2∴ ， ，
∴方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是： ，x′ ＝0．
2
故选：B．
【变式4】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则 为 ．
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2m+1+m﹣7＝0，
∴m＝2，
∴2m+1＝5，
∵ax2＝b（ab＞0），
∴x2＝ ，
∴ ＝（2m+1）2＝25，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
【变式5】若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】解关于x的方程，再求m﹣n即可．
【解答】解：解一元二次方程2（x﹣a）2＝8得，
x ＝2+a，x ＝﹣2+a，
1 2
∵m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，
则m＝2+a，n＝﹣2+a，
∴m﹣n＝2+a﹣a+2＝4，
故选：B．
题型05 配方法的应用——求（最）值
【典例1】代数式 x2+8x+5的最小值是 ﹣ 2 7 ．
【分析】首先把所求的式子利用配方法转化为 a（x+b）2+c的形式，根据一个式子的平方是非负数，即
可确定．【解答】解：∵ x2+8x+5＝ （x2+16x）+5＝ （x2+16x+64﹣64）+5，
x2+8x+5＝ [（x+8）2﹣64]+5＝ （x+8）2﹣27，
⇒
∵ （x+8）2≥0，
∴代数式 x2+8x+5的最小值是﹣27．
【变式1】不论x取何值，x﹣x2﹣1的值都（ ）
A．大于等于﹣ B．小于等于﹣
C．有最小值﹣ D．恒大于零
【分析】此题需要先用配方法把原式写成﹣（x+a）2+b的形式，然后求最值．
【解答】解：x﹣x2﹣1＝﹣（x2﹣x）﹣1＝﹣（x2﹣x+ ﹣ ）﹣1＝﹣[（x﹣ ）2﹣ ]﹣1＝﹣（x﹣
）2+ ﹣1＝﹣（x﹣ ）2﹣
∵（x﹣ ）2≥0
∴﹣（x﹣ ）2≤0
∴﹣（x﹣ ）2﹣ ≤﹣
故选：B．
【变式2】若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（ ）
A．2028 B．2023 C．2022 D．2020
【分析】依据题意，由p＝x2+y2+2x﹣4y+2028变形为p＝（x+1）2+（y﹣2）2+2023，又对于任意的x，y
都有（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，从而可得p≥2023，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意得，p＝x2+y2+2x﹣4y+2028
＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2023
＝（x+1）2+（y﹣2）2+2023．
又对于任意的x，y都有（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2023≥2023．
∴p≥2023．
∴p的最小值是2023．故选：B．
【变式3】已知 ，则3a﹣ b的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，计算即可．
【解答】解：∵a2+ b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1+ b2+b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（ b+1）2＝0，
∴a﹣1＝0， b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3a﹣ b＝3×1﹣ ×（﹣2）＝4，
故选：A．
【变式4】已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】依据题意，将a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0变形为a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0，从而（a﹣
2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0，故可得a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0，求出a，b，c，再代入计算可以得
解．
【解答】解：由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，
∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0．
∴a＝2，b＝1，c＝﹣1．
∴a+b﹣c＝2+1+1＝4．
故选：B．
【变式5】已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的
取值范围是（ ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8≤c＜13 D．5＜c＜13
【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，
然后根据三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：∵a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣16b+64）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣8）2＝0，∵（a﹣5）2≥0，（b﹣8）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣8＝0，
∴a＝5，b＝8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b﹣a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8≤c＜13．
故选：C．
题型06 配方法的应用——比较大小
【典例1】若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【分析】依据题意，作差M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2）＝（x+2）2﹣2，再令M﹣N＝0，求出x＝
﹣2± ，进而考察函数y＝（x+2）2﹣2，依据二次函数的性质，可得当x＜2﹣ 或x＞2+ 时，y＞
0；当x＝﹣2± 时，y＝0；当2﹣ ＜x＜2+ 时，y＜0，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2）
＝x2+4x+2
＝（x+2）2﹣2．
令M﹣N＝0，
∴（x+2）2﹣2＝0．
∴x＝﹣2± ．
考察函数y＝（x+2）2﹣2，
∵a＝1＞0，
∴当x＜2﹣ 或x＞2+ 时，y＞0；
当x＝﹣2± 时，y＝0；
当2﹣ ＜x＜2+ 时，y＜0．
∴当x＜2﹣ 或x＞2+ 时，M＞N；
当x＝﹣2± 时，M＝N；
当2﹣ ＜x＜2+ 时，M＜N．
故选：D．
【变式1】已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【分析】利用作差法判断即可．【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b4﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2，
∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0，
∴x≥y．
故选：D．
【变式2】已知a，b，c为实数，且b+c＝5﹣4a+3a2，c﹣b＝1﹣2a+a2，则a，b，c之间的大小关系是（
）
A．a＜b≤c B．b＜a≤c C．b≤c＜a D．c＜a≤b
【分析】由题意b+c＝5﹣4a+3a2①，c﹣b＝1﹣2a+a2②可知，①+②得2c＝4a2﹣6a+6，即c＝2a2﹣
3a+3，①﹣②得2b＝2a2﹣2a+4，即b＝a2﹣a+2．再用作差法进行比较a、b、c的大小．b﹣a＝a2﹣
a+2﹣a＝（a﹣1）2+1＞0，c﹣b＝2a2﹣3a+3﹣（a2﹣a+2）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，因此a＜b≤c．
【解答】解：∵b+c＝5﹣4a+3a2①，c﹣b＝1﹣2a+a2②，
∴①+②得2c＝4a2﹣6a+6，即c＝2a2﹣3a+3，
∴①﹣②得2b＝2a2﹣2a+4，即b＝a2﹣a+2．
∵b﹣a＝a2﹣a+2﹣a＝（a﹣1）2+1＞0，
∴b＞a．
又∵c﹣b＝2a2﹣3a+3﹣（a2﹣a+2）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，
∴c≥b，
∴a＜b≤c．
故选：A．
1．一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
【分析】这个式子先移项，变成x2＝9，从而把问题转化为求9的平方根．
【解答】解：移项得x2＝9，∴x＝±3．故选C．
2．已知x＝﹣2是关于x的方程ax2﹣12＝0的解，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．
【解答】解：把x＝﹣2代入ax2﹣12＝0，得
4a﹣12＝0，
解得a＝3．
故选：A．
3．现在定义一种运算，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2（x+2）*5＝﹣1，那么x的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得[2（x+2）]3﹣52＝﹣1，将其整理后解一元二次方程即可．
【解答】解：由题意可得[2（x+2）]2﹣52＝﹣1，
整理得：4（x+2）2＝24，
则（x+2）2＝6，
直接开平方得：x+2＝± ，
则x＝﹣2± ，
故选：C．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：x2﹣8x+10＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣10，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣10+16，
整理得：（x﹣4）2＝6，
故选：D．
5．用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出
m、n的值即可得到答案．
【解答】解：x2+6x+3＝0，
x2+6x＝﹣3，
x2+6x+9＝6，
（x+3）2＝6，
∴m＝3，n＝6，
∴m﹣n＝3﹣6＝﹣3，
故选：D．
6．珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（
）
A．正确 B．不正确，p的值应为﹣2
C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4
【分析】把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，
∴p＝﹣2，q＝6，
故选：B．
7．无论a，b为何值，代数式a2+b2+4b+6﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．0 D．负数
【分析】把a2+b2+4b+6﹣2a分组配方出两个完全平方式，再根据完全平方式是非负数得出结论．
【解答】解：a2+b2+4b+6﹣2a
＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1
＝（a﹣1）2+（b+2）2+1．
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，
∴a2+b2+4b+6﹣2a≥1．
故选：B．
8．已知关于y的多项式（n+2）y|n|+2+（n﹣1）y+3是四次三项式，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+n＝0
有实数根为a，则3a2﹣3a+m的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】先根据多项式的有关概念得出关于n的方程和不等式，求出n的值，再根据方程解的定义求出
a2﹣a，再根据方程有解的条件求出m的范围，最后根据整体思想求解．
【解答】解：由题意得：|n|+2＝4，n+2≠0，n﹣1≠0，
解得：n＝2，
∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+n＝0有实数根为a，
∴Δ＝1﹣4（2﹣m）≥0，a2﹣a＝m﹣2，
∴4m≥7，
∴3a2﹣3a+m＝3m﹣6+m＝4m﹣6≥7﹣6＝1，
故选：A．
9．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25﹣|c﹣5|，则周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据平方数的非负性，绝对值的非负性，分别求出a，b，c的值，由此即可求解．
【解答】解：已知a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25﹣|c﹣5|，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+|c﹣5|＝0，整理得，（a﹣3）2+（b﹣4）2+|c﹣5|＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
10．如果一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美
数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．以下4个结论中，正确的有（ ）（1）数61不是“完美数”；
（2）数100是“完美数”；
（3）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝2；
（4）若S＝5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），S为“完美数”，则k值是9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）把61分为两个整数的平方即可；
（2）把100分为两个整数的平方即可；
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可判断；
（4）先根据S的前四项进行配方，再根据相等的条件求解．
【解答】解：（1）∵61＝52+62，
∴61是“完美数”，故（1）错误；
（2）∵100＝82+62，
∴100是“完美数”，故（2）正确；
（3）已知等式变形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，
即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
解得：x＝2，y＝﹣1，
则：x+y＝2﹣1＝1．故（3）错误；
（3）∵S＝5x2+y2+2xy+12x+k
＝x2+y2+2xy+（4x2+12x+9）
＝（x+y）2+（2x+3）2，
∴k＝9；故（4）正确；
综上，有2个是正确的，
故选：B．
11．对于实数a，b，定义一种运算“ ”为：a b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1） （3m）＝0没有实
数根，则实数m的取值范围为 m ＜ 0 ．
⊕ ⊕ ⊕
【分析】根据定义的新运算可得：（x+1）2﹣6m＝0，从而可得（x+1）2＝6m，然后利用解一元二次方
程﹣直接开平方法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵（x+1） （3m）＝0，
∴（x+1）2﹣6m＝0，
⊕
∴（x+1）2＝6m，
∵方程（x+1） （3m）＝0没有实数根，
∴6m＜0，
⊕
∴m＜0，故答案为：m＜0．
12．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 1 1 ．
【分析】先把常数项移到等号的另一边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方后得新方程，根据题
目中两个方程相等确定a、c，最后求出a+c．
【解答】解：x2+6x+c＝0，
移项，得x2+6x＝﹣c，
配方，得x2+6x+9＝9﹣c．
∴（x+3）2＝9﹣c．
∵一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，
∴a＝3，9﹣c＝1．
∴c＝8．
∴a+c＝3+8＝11．
故答案为：11．
13．已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝ ﹣ 5 或 2 ．
【分析】将m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn逐步变形为（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，根据非负数的性质即可
得出结果．
【解答】解：∵m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，
∴（m2+2mn+n2）+3（m+n）＝10，
∴（m+n）2+3（m+n）﹣10＝0，
∴（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，
∴m+n＝﹣5或m+n＝2，
故答案为：﹣5或2．
14．已知代数式x2+2x+3可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+2，根据这种变形方法，代数式y2﹣6y+10
的最小值是 1 ．
【分析】依据题意，由y2﹣6y+10＝y2﹣6y+9+1＝（y﹣3）2+1，又对任意的y都有（y﹣3）2≥0，从而
y2﹣6y+10＝（y﹣3）2+1≥1，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵y2﹣6y+10＝y2﹣6y+9+1＝（y﹣3）2+1，
又对任意的y都有（y﹣3）2≥0，
∴y2﹣6y+10＝（y﹣3）2+1≥1．
∴y2﹣6y+10的最小值是1．
故答案为：1．
15．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 1 2 ．
【分析】首先利用完全平方公式将等式变形，根据偶次方的非负性，即可分别求出 a、b，再根据三角
形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
【解答】解：a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∵a﹣2≥0，b﹣5≥0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝2，b＝5，
∵2、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，
∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12．
故答案为：12．
16．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】（1）先把方程变形为（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先利用配方法得到（x﹣1）2＝ ，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ ，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x ＝1+ ，x ＝1﹣ ．
1 2
17．若x2+y2﹣8x+4y+20＝0，且（2x+m）（x+1）的展开式中不含x的一次项．
（1）求m的值；
（2）代数式（x﹣y）m的值．
【分析】（1）先将（2x+m）（x+1）展开得2x2+（m+2）x+m，再根据展开式中不含x的一次项可得
2+m＝0，即可求解；
（2）由（1）得：m＝﹣2，利用完全平方式得x2﹣8x+42+y2+4y+22＝（x﹣4）2+（y+2）2＝0，进而可得x＝4，y＝﹣2，再将其代入原式即可求解．
【解答】解：（1）（2x+m）（x+1）＝2x2+mx+2x+m＝2x2+（m+2）x+m，
∵展开式中不含x的一次项，
∴2+m＝0，
解得：m＝﹣2．
（2）由（1）得：m＝﹣2，
∵x2+y2﹣8x+4y+20＝0，
∴x2﹣8x+42+y2+4y+22＝（x﹣4）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣4＝0，y+2＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
∴ ．
18．在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接开平方，得x ＝﹣4+2 ，x ＝﹣4﹣2 ．
1 2
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x ＝c，x ＝d．
1 2
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 5 ， 3 ， 2 ， ﹣ 1 2 ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；
（2）利用“平均数法”解方程即可．
【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．
（x+5）2﹣32＝40，
（x+5）2＝40+32．
直接开平方并整理，得．x ＝2，x ＝﹣12．
1 2
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，
故答案为：5、3、2、﹣12；
（2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4．（x+2）2﹣42＝4，
（x+2）2＝4+42．
∴x＝﹣2±2 ，
∴x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 ．
1 2
19．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，
∵ ，
∴ ，当且仅当a＝b时取等号，
例如：当a＞0时，求 的最小值．
解：∵a＞0，
∴ ＝4
∴ ，即a＝2时取等号．
∴ 的最小值为4．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，求 的最小值；
（2）当m＞0时，求 的最小值．
【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可．
【解答】解：（1）当x＞0时， ，
∴ ，
∴ ，
即x＝1时， 的最小值为2；
（2） ，
∵m＞0，
∴ ，又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的最小值为 ．
20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或
几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
解决问题：（1）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），求m，n的值；
探究问题：（2）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，求x+y的值；
（3）已知s＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值．
【分析】（1）把3写成4﹣1的形式，然后4与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而
求出m，n的值即可；
（2）把10写成1+9的形式，然后把1分给含有x的项，9分给含有y的项，进行分解因式，根据偶次
方的非负性，求出x，y，从而求出答案即可；
（3）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列
出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1，
∴m＝2，n＝﹣1；
（2）x2+y2﹣2x+6y+10＝0，
x2﹣2x+1+y2+6y+9＝0，
（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0，
∴（x﹣1）2＝0，（y+3）2＝0，
x﹣1＝0，y+3＝0，
解得：x＝1，y＝﹣3，
∴x+y＝1+（﹣3）＝﹣2；
（3）∵s＝x2+9y2+4x﹣12y+k，
∴s＝x2+4x+4+9y2﹣12y+4+k﹣8
＝（x+2）2+（3y﹣2）2+k﹣8，
∵（x+2）2≥0，（3y﹣2）2≥0，s的最小值为2，
∴k﹣8＝2，解得：k＝10．
