文档内容
专题 02 一元二次方程的解法（配方法）（3 个知识点 7 种题型
2 个易错点中考 4 种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：直接配平方法（重点）
知识点2：配方法（重点）
知识点3：配方法的应用（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
题型2：用配方法解一元二次方程
题型3：用配方法求字母的值
题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
题型6：用配方法判断三角形的形状
题型7：利用换元法解方程
【方法三】 差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
【方法四】 仿真实战法
考法1．解一元二次方程-直接开平方法
考法2：解一元二次方程-配方法
考法3：换元法解一元二次方程
考法4：配方法的应用
【方法五】 成果评定法【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：直接配平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例1.（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（ ）
A．x ＝x ＝2 B．x ＝x ＝﹣2 C．x ＝2，x ＝﹣2 D．x ＝4，x ＝﹣4
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据直接开平方解方程即可．
【解答】解：直接开平方得：x＝±2，
∴方程的解为：x ＝2，x ＝﹣2，
1 2故选：C．
【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为
相反数．
知识点2：配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
a2 2abb2 (ab)2
（3）配方法的理论依据是完全平方公式 ．
例2．用配方法解一元二次方程
x2 +2x−4=0
.
解：
x2 +2x=4
移常数项
x2 +2x+(1) 2 =4+(1) 2
两边配上一次项系数一半的平方
(x+1) 2 =5 (x+m) 2 =n
转化为 的形式
x+1=√5或x+1=−√5 (x+m) 2 =n
转化为 的形式
x=√5−1或x=−√5−1
解得 求解
x =√5−1或x =−√5−1
所以原方程的根是 1 2 ．
例3.如何用配方法解方程
2x2 +2x−4=0解：
2x2 +2x=4
移常数项
x2 +x=2
方程两边同除以二次项系数
1 1
x2 +x+( ) 2 =2+( ) 2
2 2
两边配上一次项系数一半的平方
1 5
(x+ ) 2 =
2 2 (x+m) 2 =n
转化为 的形式
1 √10 1 √10
x+ = 或x+ =−
2 2 2 2
开平方
√10 1 √10 1
x= − 或x=− −
2 2 2 2
解得 求解
√10 1 √10 1
x = − ,x =− −
2 2 2 2 2 2
所以原方程的根是 .
知识点3：配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出
大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字
母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着
广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系
的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【方法二】实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
例4.解方程(x-3)2=49．
【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．
由x-3=7，得 x=10．
由x-3=-7，得 x=-4．
所以原方程的根为x=10或x=-4．
【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的
方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接
开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．
例5．（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】（1）首先将方程整理为x2＝ ，再利用平方根的意义直接开方求解即可；
（2）首先将方程整理为（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．
【解答】解：（1）4x2＝49，
x2＝ ，
∴ ，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2
（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
∴2x﹣1＝±5，
∴x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：
x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且
a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程
解”．例6.解关于 的方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】整理方程，即得 ，直接开平方法解方程，得：
即方程两根为 ， ．
【总结】直接开平方法解形如 方程两根即为 ．
例7.解关于 的方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】整理方程，即得 ，直接开平方法解方程，得： ，
即方程两根为 ， ．
【总结】直接开平方法解形如 方程两根即为 ．
例8.解关于 的方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】整理方程，即得 ，直接开平方法解方程，得： ， 得
或 ，即方程两根为 ， ．
【总结】直接开平方法解形如 的方程，将 当作一个整体，可得 或
．
例9.解关于 的方程： ．
【答案】 ， ．【解析】直接开平方法解方程，即得 ，得 或 ， 即得方程
两根为 ， ．
【总结】直接开平方法解形如 的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得
或 ．
例10.解关于 的方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】整理方程，即为 ，直接开平方法解方程，即得
，得 或 ，解得方程两根 分为 ，
．
【总结】直接开平方法解形如 的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得
或 ．
例11.解关于 的方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】整理方程，即为 ，直接开平方法解方程，即得 ， 得 ：
或 ，解得方程两根分为 ， ．
【总结】直接开平方法解形如 的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得
．
题型2：用配方法解一元二次方程
例12.用配方法解方程： ．
【答案与解析】
解：∵ ，∴
∴ ，
∴
∴ ．
【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次
xm2 nn≥0
项系数一半的平方，配成 的形式，然后用直接开平方法求解即可．
例13.用配方法解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以原方程的解为： ， ．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．
例14.用配方法解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 ，所以 或者 ，
所以原方程的解为： ， ．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．
例15.用配方法解方程： ．【答案】 ， ．
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 ， 所以原方程的解为： ， ．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．
例16.用配方法解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】由 ，得 ，即 ，
配方，得： ，即 ，解得： ，
所以原方程的解为： ， ．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．
例17.用配方法解方程： ．
【答案】 ．
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 ，所以原方程的解为： ．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．
例18.用配方法解关于x的方程： ．
【答案】 ．
【解析】由 ，得 ，即 ，
解得： ，所以原方程的解为： ．
【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．题型3：用配方法求字母的值
例19.若把代数式 化为 的形式，其中m、k为常数，则 ．
【答案】5．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值．
例20.已知 ，求 的值．
【思路点拨】采用配方法求出 的值，代入计算即可得到答案．
【答案与解析】
解：由题意可得：
∴ ，
∴
将 代入得：
【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为
0，每个非负数都为0是解题的关键．
题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值
例21.用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.
【答案与解析】
x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，
故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.
【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.
例22求代数式 x2+8x+17的最小值
【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，
∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
例23.某工厂今年 月份产品数是 万件，要求 月份达到 万件，求这个工厂 月份和 月份的月平均
增长率．
【答案】20％．
【解析】设2月份和3月份的月平均增长率是x，
则根据题意可得：
50(1+x) 2 =60.5 ，解：x=0.2（负值舍去）
答：这两个月平均每月增长的百分率是20％．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．
题型6：用配方法判断三角形的形状
例24.已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程 的两根，当k为何值时，
△ABC是等腰三角形？
【答案】 ．
【解析】由 ，得 ，所以 或者 ．
当 时， 和 ，满足三角形三边关系，
当 时， 和 ，不满足三角形三边关系．
所以 时，△ABC是等腰三角形
【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．
7：利用换元法解方程
题型
例25.用配方法解方程： （要求用整体法的思想求解）．
【答案】 ．
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以原方程的解为： ．
【总结】本题考查整体思想的运用，把 看成一个整体进行配方．【方法三】差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
若把代数式 化为 的形式，其中m、k为常数，则 ．
【答案】5．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值．
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
如何用配方法解方程
2x2 +2x−4=0
解：
2x2 +2x=4
移常数项
x2 +x=2
方程两边同除以二次项系数
1 1
x2 +x+( ) 2 =2+( ) 2
2 2
两边配上一次项系数一半的平方
1 5
(x+ ) 2 =
2 2 (x+m) 2 =n
转化为 的形式
1 √10 1 √10
x+ = 或x+ =−
2 2 2 2
开平方
√10 1 √10 1
x= − 或x=− −
2 2 2 2
解得 求解
√10 1 √10 1
x = − ,x =− −
2 2 2 2 2 2
所以原方程的根是 .
【方法四】 仿真实战法
考法1．解一元二次方程-直接开平方法
1．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是 x ＝ 2 ， x ＝﹣ 4 ．
1 2
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，
x ＝2，x ＝﹣4．
1 2
故答案为：x ＝2，x ＝﹣4．
1 2
【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的
左边，把常数项移到等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解，本题直接开方
求解即可．
考法2：解一元二次方程-配方法
2．（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
考法3：换元法解一元二次方程
3．（2002•南京）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果设x2﹣x＝y，那么原方程变为
y 2 ﹣ 5 y +6 ＝ 0 ．
【分析】把原方程中的（x2﹣x）代换成y，即可得到关于y的方程．
【解答】解：根据题意x2﹣x＝y，把原方程中的x2﹣x换成y，
所以原方程变化为：y2﹣5y+6＝0
【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转
化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等
量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
考法4：配方法的应用
4．（2018•泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 3 ．
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．
【解答】解：依题意得： ，
解得∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3＝0，
解得a＝3．
故答案是：3．
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式
a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）小明解方程 的过程如图所示，他在解答过程中开
始出错的步骤是（ ）
解： ……①
……②
……③
， …④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤．
【详解】解：出错的步骤是③，
应该是在②步的基础上，两边同时加上4，
得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）将方程 配方成 的形式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
二、填空题
3．（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程 化成 （a，b 为常数）的形式，则
ab＝_____．
【答案】
【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．
【详解】解：方程 ，
变形得： ，
配方得： ，即 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2023·四川内江·校考一模）已知x，y，z为实数，满足 ，那么 的最小值是
___________
【答案】14
【分析】用含 的式子表示出 ，将 转化为只含 的代数式，利用配方法，求出最值即可．
【详解】解： ，
，得 ，则 ③，
，得 ，则 ④，
把③④代入 得，
；
∵ ，
∴ 的最小值是14，
故答案为14．
【点睛】本题考查配方法的应用．将代数式转化为只含 的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．
5．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点P在矩形 上
或其对角线 上运动， ，则 长为________．【答案】 或12或
【分析】根据点P在矩形 上或对角线 上，进行分类讨论即可．
【详解】解：如图： 四边形 是矩形，且 ， ，
∵
当点P在 上， ，
①
；
当点P在 ，连接 ，
② 是直角三角形，
，不满足
点P在 上情况不存在；
∴ 点P在 上，以点B为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
③
设 ，又 ， ，且 ，
∴
，
，
或 ，
，
或 （舍去），
点P在 上情况不存在；
∴
点P在 上，设点P为 ，
④
，
解得： ，
，
，
；当点P在 ， ， ，设 ，
⑤
，即 ，
，
设点 ，
∴
，
，
，且 ，
解得： 或 （舍去），
，
故答案为： ，12， ．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，点的坐标，解一元二次方程，建立平面直角坐标系，根据点的坐标
求线段长度列一元二次方程是解决本题的关键．
三、解答题
6．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中） （配方法）【答案】
【分析】根据配方法的步骤，进行配方求解即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握配方法，是解题的关键．
7．（2023·广西贵港·统考一模）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】方程移项，利用完全平方公式配方得到结果，即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）用配方法证明： 的最小值是 ．
【答案】见解析
【分析】将多项式先配方，然后利用完全平方式的非负性即可求证．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，∴ 的最小值是 ．
【点睛】本题考查配方法，利用配方法可以判断二次三项式的值与0的大小关系．
9．（2023·江苏宿迁·统考一模）先化简，再求值： ，其中满足a满足
．
【答案】 ，
【分析】根据分式的混合运算法则即可化简．再解方程，得出a的值，最后由分式有意义的条件确定a的
值，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
．
解方程： ，
，
，
，
解得： ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴原式 ．【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件．掌握分式的混合运算法则和解
一元二次方程的方法是解题关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知实数x满足 ，求 的值．
【答案】
【分析】先解一元二次方程，再整体代入求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】此题考查一元二次方程的解法，以及整体代入，解题关键是配方法解方程最为简单，然后直接代
入求值．
11．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）用配方法求解下列问题．
(1)求代数式 的最小值．
(2)求代数式 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）利用配方法进行求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
∵ ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ；（2）解：原式
；
∵ ，
∴
∴ ，
∴代数式 的最大值为 ．
【点睛】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，是解题的关键．
12．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式
子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用
到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成 （a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成 （a，b为整数）的形式；
(2)若 可配方成 （m，n为常数），求mn的值；
(3)已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据“完美数”的定义，进行求解即可；
（2）利用配方法将 转化为： ，进而得到： 的值，再进行计算即可；（3）将S转化为： 的形式，进而求出k值即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：
；
∵S为“完美数”，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查配方法的应用．理解并掌握“完美数”的定义，是解题的关键．
13．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）请阅读下列材料：
形如 的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使 ，即
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ，
由于 ，即 ，
所以 ．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空： __________．
(2)化简： （请写出计算过程）．【答案】(1)
(2) ；过程见解析
【分析】（1）根据题意，将 转化为完全平方式的形式，即可求解；
（2） ，根据题意求解即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：由 可得 ，这里 ,
∵ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的
运用．
14．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小聪同学用配方法解方程： 的过
程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得： ．①
二次项系数化为1，得： ．②
配方，得 ．③
即 .
∵ ，∴ ．④
∴ ， ．⑤
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】(1)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
(2)不正确，解答从第③步开始出错， ，
【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【详解】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）不正确，解答从第③步开始出错，
正确的步骤为：
配方，得 ．③
即
∵ ，
∴ ．④
∴ ， ．⑤
此方程的解为 ， ．
【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．
15．（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代
数式配成完全平方式，例如： ，∵ ，∴ ，∴
．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为 ＋______，所以当 ______时，代数式 有最______（填
“大”或“小”）值，这个最值为______；
(2)比较代数式 与 的大小．
【答案】(1) ，2，2，小，2
(2)大于
【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；
（2）利用求差法和配方法解答即可．
【详解】（1） ，
所以当 时，代数式 有最小值，这个最值为2，
故答案为： ；2；2；小；2；
（2）
则
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．
16．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）【材料阅读】
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
我们知道 ，所以代数式 的最小值为0，可以用公式 来求一些多项式的最小值．
例题：求代数式 的最小值．
解： ．∴代数式 的最小值为4．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)【类比探究】
的最小值为______；
(2)【举一反三】
代数式 有最______（填“大”或“小”）值为______；
(3)【灵活运用】
某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为 ），另
外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形．已知栅栏的总长度为 ，则可设较小
矩形的宽为 ，较大矩形的宽为 （如图）．当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)2
(2)大，16
(3)当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
【分析】(1)根据材料内容即可解答；
(2)根据材料内容即可解答；
(3)根据矩形的面积公式及配方法，即可列出代数式，再根据完全平方式的非负性，即可解答．
【详解】（1）解：
，
的最小值为2，
故答案为：2；（2）解： ， ，
代数式 有最大值为16，
故答案为：大，16；
（3）解：根据题意知：较大矩形的宽为 ，长为 ，
∵墙的长度为 ，
，
矩形养殖场的总面积为： ，
，
∴当 时，y取最大值，最大值为48，
答：当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，配方法，熟练掌握和运用完全平方式的非负性是解决本题的关
键．
17．（2023·全国·九年级专题练习）∵ ，∴我们把形如 的式子称为完全
平方式．请解决下列问题：
(1)代数式 中，当 时，代数式为完全平方式；
(2)代数式 中，当 时，代数式为完全平方式；
(3)代数式 为完全平方式，求m的值．
【答案】(1)9
(2)
(3)m的值为8或4
【分析】（1）根据完全平方式的特点即可求解；
（2）根据完全平方式的特点即可求解；
（3）根据完全平方式列出关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：代数式 中，当 时，代数式为完全平方式；
故答案为：9；（2）解：代数式 中，当 时，代数式为完全平方式；
故答案为： ；
（3）解：∵代数式 为完全平方式，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
， ，
经检验 ， 是原方程的解，
∴m的值为8或4．
【点睛】本题主要考查了完全平方式的定义，熟记完全平方公式是解答本题的关键．
18．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵ ，
∴ ，
因此，代数式 有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式 的最小值为 ；
(2)试比较 与 的大小关系，并说明理由；(3)已知： ，求代数式 的值．
【答案】(1)1
(2) ，见解析
(3)2
【分析】（1）将代数式 配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得： 代入 中，再利用配方法即可解决问题．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
即代数式 的最小值为1；
故答案为：1；
（2） ，理由如下：
，
∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最
值问题，属于中考常考题型．
19．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道 ，所以代数式 的最小值为0，
可以用公式 来求一些多项式的最小值．
例如：求 的最小值问题
解：∵
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比： 的最小值为_______．
(2)探究：代数式 有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的
棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)2
(2)大，1(3)当 米时，花圃面积有最大值50米2
【分析】（1）将原式配方即可；
（2）将原式配方即可判断；
（3）依题意设， ， ，根据矩形的面积公式列出关系式，再配方，即可求最大面
积．
【详解】（1） ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为1，
故答案为：大，1；
（3）依题意设， ， ，
∴长方形花圃的面积为 ，
，
∴当 米时，面积有最大值50米2．
答：当 米时，花圃面积有最大值50米2【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键．
20．（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小力：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小强：能，求解过程如下：
因为
，
而 ，
所以 的最小值是 ．
问题：你能否求出 的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．
【答案】 的最小值为 ，过程见解析
【分析】仿照题意利用配方法求解即可
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．
21．（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将
代数式配成完全平方式，例如： ，∵ ，∴ ，
∴ ．即： 的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式 最值；
(2)已知 ，求 的值；
(3)比较代数式 与 的大小．
【答案】(1)有最小值2
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；
（2）先配方，再求最值；
（3）作差后配方比较大小．
【详解】（1）解：
故当 ，即 时，代数式 最小值为2；
（2）∵ ，则 ，
∴ ，即 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（3） ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
22．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将
一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式 进行配方．
解： ．
我们定义：一个整数能表示成 （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完
美数”．理由：因为 ．再如， （x，y是整数），所以M也是
“完美数”．
(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ；
(2)【问题解决】若二次三项式 （x是整数）是“完美数”，可配方成 （m，n为常
数），则 的值为 ；
(3)【问题探究】已知“完美数” （x，y是整数）的值为0，则 的值为 ；
(4)【问题探究】已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出
符合条件的k值．
(5)【问题拓展】已知实数x，y满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)4（答案不唯一），是
(2)12
(3)
(4)25
(5)4
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得 和 的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（5）将 变形为 ，然后再配方即可求解．【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为4＝ ；
40是“完美数”，理由：因为 ．
故答案为：4（答案不唯一），是；
（2）∵
∴ ， ，
∴
故答案为：12；
（3）∵
∴ ， ，
∴
故答案为： ；
（4）
由题意得： ，
∴ ；
（5）∵
∴ ；
∴当 时， 的最小值为4．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
23．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的
图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，
它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，
正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为
15，中心数为5．(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，
可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新
三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的4倍，且 ，求 的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一
个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中 为9个数中
的最大数，且满足 求P及 的值．
【答案】(1)
(2)15
(3) ，
【分析】（1）由题意可知， ，解方程即可．
（2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数 ，幻和为： ，进而可得
，解方程即可．
（3）由 数中最大的数，可得 ， ， ， ，根据
， 可得 ，由 ， 得 ，可得②由 ，得 ，进而得 ，则
带入②得 ，求得 ，进而可求得 ， ，
可得 ， ．
【详解】（1）由题意可知， ，解得 ，
故答案为：4；
（2）解：由题意得：中心数 ，幻和为： ，
又∵新三阶幻方的幻和为 的4倍，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
（3）∵ 数中最大的数，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即： ，
又∵ ，
∴
又∵ ①
∴ ②
又∵ ，
∴ 即
∴ ，
∴ 带入②得
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中
考常考题型．
