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第 02 讲 解一元二次方程——直接开方与配方法
课程标准 学习目标
1. 掌握直接开方法，利用直接开方法解一元二次方程
①直接开方法解一元二次方程 2. 掌握配方法基本步骤，学会利用配方法解一元二次
②配方法解一元二次方程 方程
③利用配方法求最值 3. 学会利用一元二次方程的配方法求二次三项式的最
值
知识点01 直接开方法解一元二次方程
1. 直接开方法求 的一元二次方程：
由平方根的定义可知：
① 时，一元二次方程 有 2 个 不相等 的实数根，分别是 或
。他们互为 相反数 。
②当 时，一元二次方程 有 2 个 相等 的实数根，即 。
③当 时，一元二次方程 没有 实数根。
2. 直接开方法解 的一元二次方程：同样由平方根的定义可知：
①当 时，一元二次方程 有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一
次方程 或 。所以它的两个实数根分别是 或
。
②当 时，一元二次方程 有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一
次方程 ，所以一元二次方程的两个实数根为 。
③当 时，一元二次方程 没有 实数根。
题型考点：①利用直接开方法解方程。
②根据根的情况求字母的值或取值范围。
【即学即练1】
1. 方程x2＝1的根是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2
【解答】解：x2＝1，
x＝±1，
所以x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
故选：C．
2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x ＝3，x ＝9 B．x ＝﹣3，x ＝9
1 2 1 2
C．x ＝3，x ＝﹣9 D．x ＝﹣3，x ＝﹣9
1 2 1 2
【解答】解：∵（x+6）2﹣9＝0，
∴（x+6）2＝9，
则x+6＝±3，
∴x ＝﹣3，x ＝﹣9，
1 2
故选：D．
3．解方程：
（1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9．
【解答】解：（1）x2﹣81＝0，
x2＝81，
∴x＝±9，
∴x ＝9，x ＝﹣9；
1 2
（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝ ，
∴x﹣1＝± ，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【即学即练2】
4．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝ ．
【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，
解得m＝2，
故答案为：2．
【即学即练3】
5．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，
∴（x﹣a）2＝b+4，
∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥﹣4，
故选：D．
6．如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，
故答案为：m＜0．
知识点02 配方法解一元二次方程
1. 配方法的定义：
将一元二次方程化成 的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
2. 配方法解一元二次方程的具体步骤：
①将方程化成 一般式 。
②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系数的 倒数
。且将 常数项 移到等号的右边。
③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。
④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。
⑤根据直接开方法解方程。
题型考点：①判断完全平方式及根据完全平方式求值。
②利用配方法解一元二次方程。
【即学即练1】7．下列式子中是完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab+b2 B．a2+2a+2 C．a2﹣2b+b2 D．a2+2ab+1
【解答】解：a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故选：A．
8．若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，则k的值应是（ ）
A．4或﹣4 B．8 C．﹣8 D．8或﹣8
【解答】解：∵x2+kx+16是完全平方式，
∴kx＝±2•x•4，
解得：k＝±8，
故选：D．
9．若多项式4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．±11
【解答】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9，
又∵多项式4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或k＝﹣11，故B正确．
故选：B．
【即学即练2】
10．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9
【解答】解：用配方法解方程x2+6x+8＝0时，
配方结果为（x+3）2＝1．
故选：A．
11．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．11 D．7
【解答】解：∵x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，
则a＝﹣2，b＝9，
∴a+b＝﹣2+9＝7，
故选：D．
12．以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2移项：x＝±2+1
所以：x ＝3，x ＝3
1 2
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
移项得：x2﹣2x＝4，
配方：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
开平方得：x﹣1＝± ，
移项：x＝± +1，
所以：x ＝ +1，x ＝﹣ +1．
1 2
13．用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0．
【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，
x2+12x＝﹣25，
x2+12x+36＝﹣25+36，
（x+6）2＝11，
x+6＝± ，
x+6＝ 或x+6＝﹣ ，
， ；
（2）2x2+4x﹣1998＝0，
x2+2x﹣999＝0，
x2+2x＝999，
x2+2x+1＝999+1，
（x+1）2＝1000，
x+1＝±10 ，
x+1＝10 或x+1＝﹣10 ，
， ．
知识点03 配方法求二次三项式的最值
1. 配方法求二次三项式的最值：
利用配方法将二次三项式化成 的形式判断二次三项式的最值为 。若 ，则 为二次三
项式的 最小值 ；若 ，则 为二次三项式的 最大值 。2. 具体步骤：
①提公因式，即提 二次项系数 。
②配方，在一次项系数后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，在减去 一
次项系数一半的平方 。
③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以 再拿出来。
题型考点：①利用配方法求二次三项式的最值。
②比较式子的大小关系。
【即学即练1】
14．已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：x2+4x+5
＝x2+4x+4+1
＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴（x+2）2+1的最小值是1，
即x2+4x+5的最小值为1．
故选：D．
15．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0
【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，
当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，
故选：A．
【即学即练2】
16．已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，则m和n的大小关系中正确的是（ ）
A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n
【解答】解：∵m＝2b+2022，n＝b2+2023，
∴m﹣n＝2b﹣b2﹣1＝﹣（b﹣1）2≤0，
∴m≤n．
故选：D．题型01 直接开方法求一元二次方程
【典例1】
解方程
（1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16．
【解答】解：（1）∵x2﹣1＝80，
∴x2＝81，
∴x＝±9，
即x ＝9，x ＝﹣9；
1 2
（2）∵9x2+12＝16，
∴x2＝ ，
∵x＝± ，
即x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【典例2】
解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）
即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），
解得：y ＝ ，y ＝﹣ ．
1 2
题型02 根据完全平方式的特点求值
【典例1】
已知x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20
【解答】解：∵x2﹣mx+25是完全平方式，
∴﹣m＝±10，即m＝±10．
故选：B．
变式1：
若多项式x2+（a﹣1）x+9是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．3 B．7或﹣5 C．﹣5 D．﹣7或5
【解答】解：∵x2±6x+9是完全平方式，
∴若多项式x2+（a﹣1）x+9是一个完全平方式，则a﹣1＝±6．∴a＝7或﹣5．
故选：B．
题型03 配方法解一元二次方程
【典例1】
用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x+1）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【解答】解：x2+4x﹣3＝0，
x2+4x＝3，
x2+4x+4＝7，
（x+2）2＝7．
故选：C．
【典例2】
利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7，
∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2，
∴（x﹣3）2＝2，
∴m＝3，n＝2．
故选：D．
【典例3】
用配方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2+8x﹣9＝0；
（3）2t2﹣7t﹣4＝0； （4）2x2+3＝7x．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x+4＝5+4，
∴（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
∴x ＝5，x ＝﹣1；
1 2
（2）x2+8x＝9，
x2+8x+16＝9+16，
∴（x+4）2＝25，
∴x＝﹣4±5，
∴x ＝1，x ＝﹣9；
1 2（3）2t2﹣7t＝4，
t2﹣ t＝2，
t2﹣ t+ ＝2+ ，
∴（t﹣ ）2＝ ，
∴t﹣ ＝± ，
∴t＝ ± ，
∴t ＝4，t ＝﹣ ；
1 2
（4）x2+ ＝ x，
x2﹣ x＝﹣ ，
x2﹣ x+ ＝ ，
∴（x﹣ ）2＝ ，
x﹣ ＝ 或x﹣ ＝﹣ ，
∴x ＝3，x ＝ ．
1 2
题型04 配方法的应用
【典例1】
不论x，y取什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数
【解答】解：原式＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2
＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
故选：A．
变式1：
多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为 ．【解答】解：x2+2y2﹣2xy﹣8y+10
＝x2+y2﹣2xy+y2﹣8y+16﹣6
＝（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6．
∵（x﹣y）2+（y﹣4）2≥0，
∴（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6≥﹣6．
∴多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为﹣6．
故答案为：﹣6．
【典例2】
m、n为正整数，m2+n2+1＝2m+2n，则m+n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵m2+n2+1＝2m+2n，
∴m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝1，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝1，
∵（m﹣1）2≥0，（n﹣1）2≥0，m、n为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
∴m+n＝3，
故选：B．
【典例3】
若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，则A、B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B
【解答】解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣10）
＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+10
＝x2﹣2x+y2﹣6y+10
＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9
＝（x﹣1）2+（y﹣3）2，
∵（x﹣1）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x﹣1）2+（y﹣3）2≥0，
即A﹣B≥0，
∴A≥B．
故选：C．
1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）A．x＝3 B．x ＝x ＝3
1 2
C． D．x ＝3，x ＝﹣3
1 2
【解答】解：x2﹣9＝0，
则x2＝9，
∴x＝±3，
∴x ＝3，x ＝﹣3，
1 2
故选：D．
2．如果x＝﹣3是方程x2﹣m＝0的一个根，那么m的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
【解答】解：将x＝﹣3代入x2﹣m＝0，
∴9﹣m＝0，
∴m＝9，
故选：A．
3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝2
【解答】解：移项得：x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2．
故选：D．
4．一元二次方程x2+16＝8x可变形为（ ）
A．（x+4）2＝4 B．（x+4）2＝0 C．（x﹣4）2＝0 D．（x﹣4）2＝4
【解答】解：x2+16＝8x，
移项，可得：x2﹣8x+16＝0，
配方，可得：（x﹣4）2＝0．
故选：C．
5．把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n＝（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
【解答】解：x2+6x﹣5＝0，
x2+6x＝5，
x2+6x+9＝5+9，
（x+3）2＝14，
∴m＝3，n＝14，
∴m+n＝3+14＝17，
故选：A．
6．将代数式x2+4x﹣1化成（x+h）2+k的形式为（ ）A．（x﹣2）2+3 B．（x+2）2+4 C．（x+2）2﹣1 D．（x+2）2﹣5
【解答】解：x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5．
故选：D．
7．设M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，则M，N的大小关系是（ ）
A．M＜N B．M≥N C．M＝N D．M≤N
【解答】解：∵M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，
∴M﹣N
＝2x2﹣7x+6﹣（x2﹣3x+2）
＝2x2﹣7x+6﹣x2+3x﹣2
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2≥0，
∴M≥N，
故选：B．
8．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0
【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，
当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，
故选：A．
9．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2，
∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0，
∴x≥y．
故选：D．
10．如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019，则A的最小值是 ．
【解答】解：P＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019
＝x2+2xy+y2+y2﹣4y+4+2015
＝（x+y）2+（y﹣2）2+2015，
∵（x+y）2≥0，（y﹣2）2≥0，
A的最小值是2015．
故答案为：2015．
11．小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，将它化成（x﹣p）2＝q的形式，则p+q的值为 ．
【解答】解：把方程x2﹣6x+5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣6x＝﹣5，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9＝﹣5+9，
配方得 （x﹣3）2＝4，∴p＝3，q＝4，
∴p+q＝3+4＝7，
故答案为：7．
12．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0．
【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ ，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
