文档内容
第 21 章 一元二次方程
【考点01】一元二次方程的相关概念
【考点02】一元二次方程的解
【考点03】解一元二次方程
【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【考点06】一元二次方程根与系数的关系
【考点07】变化率问题
【考点08】传播问题
【考点09】树枝分叉问题
【考点10】单循环和双循环问题
【考点11】销售利润与一次函数综合问题
【考点12】销售利润每每问题
【考点13】几何图形问题
【考点14】几何中动点问题
【知识点1】一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一
元二次方程。
【知识点2】一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次
项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
【知识点3】一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通
常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【知识点4】 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次
方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二
次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【知识点5】 解一元二次方程
1.直接开方
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如
果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，（2）求出判别式
4.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【知识点6】 一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
【知识点7】一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
【解题技巧】当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【知识点8】一元二次方程的实际应用
1. 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次
增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列
方程为 ²=b
2. 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n
n(n−1)
个人相互之间送卡片，总共要送 张卡片。
4. 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
5. 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6. 动点与几何问题
键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式
关
列出方程.
（2）
每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数 量
【考点01】一元二次方程的相关概念
1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
1
A．ax2 +bx+c=0 B．x2 +y=2 C．x2 =−1 D．x+ =4
y
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断是否是一
元二次方程即可；
【详解】解：A． ax2 +bx+c=0未说明a≠0，故A错误；
B． x2 +y=2有两个未知数，
∴不是一元二次方程，故B错误；
C． x2 =−1，含有1个未知数，最高次数是2，两边都是整式，是一元二次方程，故C
正确；
1
D． x+ =4含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误；
y
故选∶C．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
2
A．x−2=0 B．x2 =1 C．2x−3 y=1 D． =1
x−1
【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作判断即可．
【详解】解：x−2=0是一元一次方程，故A不符合；
x2 =1是一元二次方程，故B符合；
2x−3 y=1是二元一次方程，故C不符合；
2
=1是分式方程，故D不符合，
x−1
故选：B．
3．一元二次方程x2−2x−1=0的一次项系数是（ ）
A．1 B．−2 C．−1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形
式．
根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解．
【详解】解：一元二次方程x2−2x−1=0的一次项系数是−2．
故选：B
4．将一元二次方程3x+4=2x2化为一般形式为（ ）
A．2x2−3x+4=0 B．2x2−3x−4=0
C．2x2 +3x−4=0 D．2x2 +3x+4=0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为
ax2 +bx+c=0(a≠0)是解题的关键．
将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式．
【详解】解：一元二次方程3x+4=2x2化为一般形式为2x2−3x−4=0，
故选：B．
5．将一元二次方程4x2−3x=15化成一般形式正确的是（ ）
A．4x2−3x−15=0 B．4x2−3x+15=0 C．4x2−3x=15
D．4x2 =3x−15
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为ax2 +bx+c=0（其中a、b、c是常数且a≠0），据此求解即可．
【详解】解：4x2−3x=15，
∴4x2−3x−15=0，
故选：A．
【考点02】一元二次方程的解
1．关于x的一元二次方程x2 +ax+b=0，若1−a+b=0则方程必有一根为（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．2
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可．
【详解】解：∵x2 +ax+b=0，且1−a+b=0，
∴方程必有一根为x=−1；
故选B．
2．若x=a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a2 +a的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义得到a2−a−1=0，然后整理得
到−a2 +a的值．
【详解】解：∵x=a是方程x2−x−1=0的一个根，
∴a2−a−1=0，
∴−a2 +a=−1．
故答案为：−1．
3．关于x的方程5x2 +2x−m=0的一个根是2，则m= ．
【答案】24
【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，把x=2代入方程5x2 +2x−m=0，
得5×22 +2×2−m=0，即可求解；
【详解】解：把x=2代入方程5x2 +2x−m=0，得5×22 +2×2−m=0，
解得：m=24，
故答案为：24
4．已知m是方程x2−x−1=0的一个根，代数式5m2−5m+2019的值是 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得m2−m−1=0，再把
5m2−5m+2019变形为5m2−5m+2019=5(m2−m)+2019，然后利用整体代入的
方法计算．
【详解】解：∵ m是方程x2−x−1=0的一个根，
∴ m2−m−1=0，即m2−m=1，
∴ 5m2−5m+2019=5(m2−m)+2019=5×1+2019=2024，
故答案为：2024．
【考点03】解一元二次方程
1．解一元二次方程：
(1)2x2−4x−1=0；
(2)x(x−2)=2−x．
❑√6 ❑√6
【答案】(1)x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
(2)x =2，x =−1
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择合适方法来解方程；
（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可；
（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：2x2−4x−1=0
1
移项，两边同除以2得：x2−2x=
2
1
配方：x2−2x+1= +1
2
3
(x−1) 2 =
2
❑√6
开平方：x−1=±
2
❑√6 ❑√6
解得x =1+ ，x =1− ．
1 2 2 2
（2）解：x(x−2)=2−x
移项：x(x−2)+(x−2)=0
因式分解：(x−2)(x+1)=0则x−2=0或x+1=0
解得x =2，x =−1．
1 2
2． 解方程∶
(1)(x+1) 2 =4x
(2)x2 +4x+2=0
【答案】(1)x =x =1
1 2
(2)x =−2+❑√2，x =−2−❑√2
1 2
【分析】（1）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可；
（2）利用公式法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x2 +2x+1=4x，
∴x2−2x+1=0，
∴(x−1) 2 =0，
∴
x =x =1；
1 2
（2）解：a=1，b=4，c=2，
−4±❑√42−4×1×2 −4±❑√8
∵x= = =−2±❑√2，
2×1 2
∴x =−2+❑√2，x =−2−❑√2．
1 2
3．按要求解方程：
(1)x2 +8x=9（配方法）．
1 1
(2) (x−1) 2 = (x−1)（因式分解法）．
3 2
【答案】(1)x =1,x =−9
1 2
(2)x =1,x =2.5
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题
的关键．
（1）方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求得未知数的
值即可；
（2）方程移项后运用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：x2 +8x=9，
x2 +8x+16=9+16，
(x+4) 2 =25，
x+4=±5，
∴
x =1，x =−9；
1 2
1 1
（2）解： (x−1) 2 = (x−1)，
3 2
1 1
(x−1) 2− (x−1)=0，
3 2
[1 1)
(x−1) (x−1)− =0，
3 2
1 1
x−1=0， (x−1)− =0
3 2
∴
x =1,x =2.5．
1 2
4．用适当的方法解下列方程：
(1)x2−6x+3=0；
(2)x2−3x=2x−6．
【答案】(1)x =3−❑√6，x =3+❑√6
1 2
(2)x =3，x =2
1 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法．
（1）把方程化为x2−6x+9=−3+9，再进一步用配方法即可求解．
（2）把方程化为x(x−3)−2(x−3)=0，再利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：x2−6x+3=0，
移项得：x2−6x=−3，
∴x2−6x+9=−3+9，
∴(x−3) 2 =6，
∴x−3=±❑√6，
解得：x =3−❑√6，x =3+❑√6．
1 2
（2）解：x2−3x=2x−6，整理得：x(x−3)−2(x−3)=0，
∴(x−3)(x−2)=0，
∴x−3=0或x−2=0，
∴
x =3，x =2．
1 2
【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
1．方程 x2−4x−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实根
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac．Δ>0，一元二次方程有两个不相等的
实数根；Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ<0，一元二次方程没有实数根．
熟练掌握是解决问题的关键．
求出Δ的值即可判断．
【详解】∵x2−4x−3=0，
∴Δ=(−4) 2−4×1×(−3)=28>0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．关于x的一元二次方程x2 +kx−2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断
一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于ax2 +bx+c=0(a≠0)，当Δ>0时，方
程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程没
有实数根，据此即可解答．
【详解】解：∵ x2 +kx−2=0，∴Δ=b2−4ac=k2−4×1×(−2)=k2 +8>0，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．定义运算：a※b=a2−2ab−b．例如：4※2=42−2×4×2−2=−2．则方程
x※2=−4的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．无实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化
为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况．
【详解】由题意得方程x※2=−4，即 x2−4x−2=−4．
整理得：
x2−4x+2=0
计算判别式：
Δ =(−4) 2−4⋅1⋅2=16−8=8
由于Δ=8>0，方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数
1．若关于x的一元二次方程kx2 +2x−1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>−1 B．k≥−1
C．k≥−1且k≠0 D．k>−1且k≠0
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．根据一元二次方
程的定义得到k≠0，由根的判别式得到△=22 +4k≥0，由此求得k的值．
【详解】解：当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴△≥0，即△=22 +4k≥0，解得k≥−1．综上所述，k的取值范围是k≥−1且k≠0
故选：C．
2．关于x的一元二次方程(k−1)x2 +4x+1=0无实数根，则k的取值范围（ ）
A．k<5 B．k<5且k≠1
C．k>−5且k≠1 D．k>5
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程ax2 +bx+c（a≠0）根的判别式的应用；根据一
元二次方程根的判别式Δ<0， 计算求值即可；
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2 +4x+1=0无实数根，
∴k−1≠0且Δ=42−4(k−1)<0，，
解得：k>5．
故选： D．
3．关于x的一元二次方程kx2 +2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
（ ）
A．k>−1 B．k<−1 C．k>−1且k≠0 D．k≥−1且k≠0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况
的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，
必须满足Δ=b2−4ac>0．利用此条件转化即可解得参数的范围．
{4+4k>0)
【详解】解：依题意列得 ，
k≠0
解得k>−1且k≠0．
故选：C．
【考点06】一元二次方程根与系数的关系
1 1
4．若一元二次方程x2−2x−1=0的两个根分别为x ，x ，则 + 的值为（ ）
1 2 x x
1 2
1
A．2 B．−1 C．− D．−2
2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．先由一元二次方程得出两根之间1 1 x +x
的关系，得x +x =2，x x =−1，再将 + 进行通分得到 1 2 ，代入原式可得
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
到结果．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：x +x =2，x x =−1，
1 2 1 2
1 1 x +x 2
∴ + = 1 2= =−2．
x x x x −1
1 2 1 2
故选：D．
5．若m，n是一元二次方程x2−3x−1=0的两个根，则m+n的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程
b
ax2 +bx+c=0(a≠0)的两根为x 和x ，则x +x =− 是解题的关键．利用一元二次
1 2 1 2 a
方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2−3x−1=0的两个根，
−3
∴
m+n=− =3．
1
故答案为：3．
6．已知关于x的方程x2 +mx+m−2=0．
(1)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值；
【答案】(1)见解析
1
(2)
2
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程
根的关系是解题的关键．
（1）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可；
（2）直接把x=1代入方程x2 +mx+m−2=0求出m的值．
【详解】（1）解：∵
Δ=m2−4×1×（m−2）=m2−4m+8=（m−2） 2 +4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）根据题意，将x=1代入方程x2 +mx+m−2=0，得：1+m+m−2=0，
1
解得：m= ．
2
7．已知关于 x 的方程x2 +(2k−1)x+k2−1=0 有两个实数根．
(1)求实数 k 的取值范围；
(2)若这两个实数根的平方和等于9，求 k 的值．
5
【答案】(1)k≤
4
(2)k=−1
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系．
（1）由Δ=(2k−1) 2−4×1×(k2−1)=4k2−4k+1−4k2 +4=−4k+5≥0，进一步
求解即可．
（2）由x 2 +x 2 =(x +x ) 2−2x x =(1−2k) 2−2(k2−1)=2k2−4k+3，再进一步建
1 2 1 2 1 2
立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵关于 x 的方程x2 +(2k−1)x+k2−1=0 有两个实数根，
∴Δ=(2k−1) 2−4×1×(k2−1)=4k2−4k+1−4k2 +4=−4k+5≥0，
5
解得：k≤ ．
4
（2）解：设方程的两根为x ，x ，
1 2
则 x +x =−(2k−1)=1−2k，x x =k2−1，
1 2 1 2
x 2 +x 2 =(x +x ) 2−2x x =(1−2k) 2−2(k2−1)=4k2−4k+1−2k2 +2=2k2−4k+，3
1 2 1 2 1 2
由题意，2k2−4k+3=9，
即2k2−4k−6=0 ，
∴k2−2k−3=0，
解得：k =−1，k =3，
1 2
5
∵ k≤ ，
4
∴k=−1．8．已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2 +1=0有两个不相等的实数根；
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x ，x ，且x ⋅x =10，求k的值．
1 2 1 2
3
【答案】(1)k>
4
(2)3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟
练运用根的判别式确定参数的取值范围，并结合根与系数的关系求解参数的值．
（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式Δ>0，计算判别式并
解不等式，得到k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，结合方程的两根之积为10，列方程求解k，再根据（1）
中k的范围进行验证取舍．
【详解】（1）解：根据题意可得：Δ=[−(2k+1)] 2−4×1×(k2 +1)>0
即：4k−3>0
3
解得：k> ；
4
（2）解：在方程x2−(2k+1)x+k2 +1=0中，a=1,c=k2 +1，
所以x ⋅x =k2 +1．
1 2
已知x ⋅x =10，因此：
1 2
k2 +1=10
移项得：k2 =9
解得：k=3或k=−3．
3
由（1）知k> ，所以k=−3不符合条件，舍去．
4
因此，k的值为3．
9．关于x的一元二次方程x2 +2(m−1)x+m2 =0的两实根为x ，x ．
1 2
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内取最大整数时，求x2 +x2的值．
1 21
【答案】(1)m≤
2
(2)4
【分析】本题考查了一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根的判别式和根与系数的
关系，Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相
等的实数根；当Δ<0，方程没有两实数根．
（1）根据一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac的意义得到
Δ≥0，然后解不等式即可得到m的取值范围；
（2）在（1）中m的取值范围中找到最大整数为0，原方程为x2−2x=0，由根与系数
的关系可知x +x =2，x x =0，再由x2 +x2 =(x +x ) 2−2x x 整体代入即可求解．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2 +2(m−1)x+m2 =0有两实根，
1
∴Δ=[2(m−1)] 2−4m2≥0，解得m≤ ，
2
1
∴m的取值范围为m≤ ；
2
1
（2）∵m的取值范围为m≤ ，
2
∴m的取最大整数为0，
∴方程变形为：x2−2x=0，
∴x +x =2，x x =0，
1 2 1 2
∴x2 +x2 =(x +x ) 2−2x x =22−0=4．
1 2 1 2 1 2
【考点07】变化率问题
1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷
开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．
设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16(1+x) 2 =23 B．23(1−x) 2 =16
C．23−23(1−x) 2 =16 D．23(1−2x)=16【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为
23(1−x)万元，5月份的售价为23(1−x) 2万元，进而可列方程．
【详解】解：依题意得，23(1−x) 2 =16，
故选：B．
2．某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，2024年度拨出专项经
费20万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，2026年度拨出专项经费
28.8万元．若专项经费年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．20(1+2x)=28.8
B．20(1+x) 2 =28.8
C．20+20(1+x) 2 =28.8
D．20+20(1+x)+20(1+x) 2 =28.8
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设专项经费年平均增长率为x，根据题意
列出方程20(1+x) 2 =28.8即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设专项经费年平均增长率为x，
根据题意得，20(1+x) 2 =28.8，
故选：B．
3．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了
某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，
且从3月份到5月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
(2)777.6【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，
正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：375(1+x) 2 =540，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：540×(1+20%) 2 =777.6（个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是777.6个．
4．为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年
该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元．
(1)求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率；
(2)按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用．
【答案】(1)20%
(2)8640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为x，增长率的定义列式，求解即
可，
（2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可．
【详解】（1）解：设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为x，
根据题意，得5000(1+x) 2 =7200，
解得x =0.2=20%,x =−2.2（不符合题意，舍去），
1 2
答：2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为20%．
（2）解：由题意，得7200×(1+20%)=8640（元）．
答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元．
【考点08】传播问题
1．流行性感冒传染迅速，每轮传染中平均一人可传染x人，若开始时有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，可列方程为（ ）
A．(x+1) 2 =100 B．1+(x+1) 2 =100
C．x+x(1+x)=100 D．1+x+x2 =100
【答案】A
【分析】本题主要考查了用一元二次方程解决实际问题，根据数量关系列出一元二次
方程是解题的关键．
根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人
数，而已知第二轮传染后患流感的人数为100，故可得方程．
【详解】解：根据题意，得第一轮传染后的患病人数是(1+x)，
第二轮传染后的患病人数是1+x+x(1+x)，
则可得方程1+x+x(1+x)=100，即(1+x) 2 =100，
故选：A．
2．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人
患此流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人
(2)1000人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适
的未知数，找出等量关系，列方程求解．
（1）设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可
求解；
（2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
由题意得：1+x+x(1+x)=100，即：(1+x) 2 =100
解得：x =9，x =−11，
1 2
∵x>0，
∴x =−11不合题意，舍去，
2
∴x=9，答：每轮传染中平均一个人传染9个人．
（2）第一轮的患病人数为：1+9=10人，
第二轮的患病人数为：10+9×10=100人，
则，第三轮的患病人数为：100+9×100=1000人．
3．某卫生部门为了控制某流行病的传染，对该传染病进行研究后发现，若一人患了该病，
经过两轮传染后共有121人患该病．
(1)请问：每轮一人传染了多少人？
(2)若按这样的传染速度，第三轮有多少人患了该病？
【答案】(1)每轮一人传染了10人
(2)第三轮有1331人患了该病
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解
题的关键：
（1）设每轮一人传染的人数为x人，根据两轮传染后共有121人患该病，列出方程进
行求解即可；
（2）根据（1）中计算的结果即可解决问题．
【详解】（1）解：设每轮一人传染的人数为x人，
则1+x+(1+x)x=121，
解得x =10，x =−12(舍去)，
1 2
答：每轮一人传染了10人．
（2）由(1)知，
121+121×10=1331(人)，
所以第三轮有1331人患了该病．
【考点09】树枝分叉问题
1．某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支
干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支的数目是（ ）个
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设每个支干长出小分支的数目为x个，依题意得，1+x+x2 =91，计算求出满足要求的
解即可．【详解】解：设每个支干长出小分支的数目为x个，
依题意得，1+x+x2 =91，
整理得，(x−9)(x+10)=0，
解得，x=9或x=−10（舍去），
故选：C．
2．某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，
每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每
个支干长出的小分支个数是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，
根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
1+x+x2 =57，
解得：x =7,x =−8（舍去），
1 2
∴这种植物每个支干长出7个小分支，
故答案为：7．
3．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、
支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总
数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
【答案】(1)7，13，21
(2)①1+x;②x2;③1+x+x2
(3)10个【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理
解题意是解题的关键．
（1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可；
（2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1+x；②在每个支干又长出了
数目相同的小分支后，小分支的个数为：x2；③在每个支干又长出了数目相同的小分
支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：1+x+x2；
（3）由题意得1+x+x2 =111，再解方程即可．
【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为
1+2+22 =7；
主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为1+3+32 =13；
主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为1+4+42 =21；
则填表为：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数 7 13 21
（2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1+x；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：x2；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：
1+x+x2；
（3）解：由题意得，1+x+x2 =111，
解得：x =10，x =−11（不合题意，舍去）
1 2
答：每个支干长出10个小分支．
【考点10】单循环和双循环问题
1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为
单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等
量关系．设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了1
x(x−1)场比赛，即可列出方程，求解即可．
2
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
1
x(x−1)=15，
2
x2−x−30=0，
解得：x =6,x =−5（舍），
1 2
则共有6个班级参加比赛，
故选：C．
2．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张
贺卡，设该小组共有x人，则可列方程
【答案】x(x−1)=72
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，
列出方程．
设该小组共有x人，则每人需送出(x−1)张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出．
【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出(x−1)张贺卡，
依题意得：x(x−1)=72．
故答案为：x(x−1)=72．
3．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人
数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发
送短信中，平均一个人向x个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ．
【答案】(1+x)x=90
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送
人数与接收人数列方程即可．
【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，
则(1+x)x=90，
故答案为：(1+x)x=90
4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之
间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个商家参加了交易会，利用签订
合同的总数=参加会议的商家数×(参加会议的商家数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数．
【详解】解：设共有x个商家参加了交易会，
1
依题意得： x(x−1)=45，
2
整理得：x2−x−90=0，
解得：x =10，x =−9（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：10．
【考点11】销售利润与一次函数综合问题
1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，
平均日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/
… 90 80 70 …
元
日销售量y/ … 10 20 30 …
件
(1)求y与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）
(2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理
由．
【答案】(1)y=−x+100
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可．
【详解】（1）解：设y=kx+b，
由题意，把(90,10),(80,20)，代入，得：
{90k+b=10) {k=−1)
，解得： ，
80k+b=20 b=100
∴y=−x+100；
（2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下：
由题意，得：(x−40)(−x+100)=1000，
整理，得：x2−140x+5000=0，
∵Δ=(−140) 2−4×5000=−400<0，∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元．
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单
价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系
如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160
元？
【答案】(1)y=−0.1x+14
(2)当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出函
数解析式是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)．
{50k+b=9)
把点(50,9)和(70,7)代入，得 ，
70k+b=7
{k=−0.1)
解得 ，
b=14
∴y与x之间的函数关系式为y=−0.1x+14；
（2）解：根据题意，得(x−40)(−0.1x+14)=160．
解得x =60，x =120．
1 2
∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，
∴40≤x≤80．
∴x=120不符合题意，舍去．
答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160
元．
3．（2025·湖南常德·三模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售
量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x
25 30
（元）
销售量y（件） 150 100
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商家每天想获得2000元的利润，应将销售单价定为多少元？
【答案】(1)y=−10x+400
(2)20或30元
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，一
元二次方程的应用，解题的关键是熟练根据题意列出相关式子．
（1）根据给出x，y的值，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）设销售单价定为x元，则单件利润为(x−10)元，销售量为(−10x+400)件，利
用“每天想获得2000元的利润”列式求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将x=25，y=150；x=30，y=100代入，
{150=25k+b)
得： ，
100=30k+b
{k=−10)
解得： ，
b=400
∴一次函数的解析式为y=−10x+400；
（2）解：设销售单价定为x元，则每天销售量为(−10x+400)件，
根据题意得：(x−10)(−10x+400)=2000，
解得：x =20，x =30，
1 2
所以，应将销售单价定为20或30元．
【考点12】销售利润每每问题
1．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，
2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，
设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为
多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为20%
(2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量=一月份
的销售量×(1+月均增长率) 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得
出结论；
（2）设每台售价定为y元，则每台的销售利润为(y−30)元，四月份可售出
[ 6 )
576+ (40−y) 台，利用总利润=每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关
0.5
于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：400(1+x) 2 =576，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%．
（2）设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
[ 6 )
依题意，得：(y−30) 576+ (40−y) =4800，
0.5
整理，得y2−118 y+3040=0，
解得y =38，y =80（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出
“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．
(1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率；
(2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定
降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少
元？
【答案】(1)20%
(2)20元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设月平均增长率为x，根据9月份的销售量×(1+x) 2 =11月份的销售量建立方程，
解方程即可得；
（2）设售价应降低a元，根据利润=每件的利润×销售量建立方程，解方程可得a的值，
再根据商家要求尽量减少库存即可得．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，
由题意得：500(1+x) 2 =720，
解得x=0.2=20%或x=−2.2<0（不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为20%．
（2）解：设售价应降低a元，
由题意得：(100−a−60)(20+2a)=1200，
整理得：a2−30a+200=0，
解得a=10或a=20，
∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，
∴a=20，
答：售价应降低20元．
3．（24-25九年级上·贵州·期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，
已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110
元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该
电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件；
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
【答案】(1)105
(2)y=−2x+240(70≤x≤99)(3)90元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）结合商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销
售量增加2件，进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，列式化简得y=−2x+240，结合成本价以及该电商在直播中承诺自
家商品价格永远不会超过99元/件，得出自变量的取值范围，即可作答．
（3）结合电商每天可盈利1200元，进行列出一元二次方程，再解得x =100,x =90，
1 2
然后进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：设当产品售价为x元/件时，销售量为30件，
依题意，得2×(110−x)+20=30，
解得x=105，
即当销售量为30件时，产品售价为105元/件；
（2）解：依题意，y=2×(110−x)+20=−2x+240，
∵已知该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超
过99元/件．
∴70≤x≤99，
∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y=−2x+240(70≤x≤99)．
（3）解：该产品的售价每件应定为x元，电商每天可盈利1200元，
由（2）得y=−2x+240，
则1200=(x−70)×y=(x−70)(−2x+240)，
整理得600=(x−70)(−x+120)，
∴600=−x2 +120x+70x−8400，
整理得x2−190x+9000=(x−100)(x−90)=0，
解得x =100,x =90，
1 2
∵为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
∴x=100>99（舍去）
即该产品的售价每件应定为90元，电商每天可盈利1200元．
4．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的
定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】(1)7770元
(2)房价定为300元或320元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题
意找到题目蕴含的相等关系，列出方程．
（1）根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得．
【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
( 30)
(200+30−20)× 40− =7770（元）；
10
（2）设每个房间的定价为a元，
( a−200)
根据题意，得：(a−20) 40− =8400，
10
解得：a=300或a=320．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
【考点13】几何图形问题
1．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用12m长的篱
笆围成一个矩形ABCD场地，若垂直于墙的一边AB长为xm，它的面积为ym 2．
(1)求矩形的面积y与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当AB长为4m时，求矩形场地的面积．
【答案】(1)y=−2x2 +12x，07，不符合题意，舍去，
∴t=3，
故答案为：A．2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，
AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，
一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm 2；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
【答案】(1)5秒
8
(2)从出发到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
5
【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示，
（1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则PB=(16−3x)cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式求解即可；
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作QE⊥AB，垂足为E，则
PA=3t，CQ=BE=2t，有PE=|16−5t)，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm 2，
则PB=(16−3x)cm，QC=2xcm，
1
根据梯形的面积公式得 (16−3x+2x)×6=33(cm)，
2
解之得x=5，
答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm 2；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6c m，PQ=10cm，
∵PA=3tc m，CQ=BE=2tcm，
∴PE=AB−AP−BE=|16−5t)，
由勾股定理，得(16−5t) 2 +62 =102，
8 24
解得t = ，t = （舍去）．
1 5 2 58
答：从出发到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
5
3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，
BC=24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重
合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（小与点C重合）．
若P、Q两点同时移动t(s)；
(1)当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．
(2)设四边形APQC的面积为Scm2，当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
请说明理由．
【答案】(1)当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；
(2)当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．
（1）求运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计
算即可；
（2）令△ABC的面积减去△BPQ的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，
求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t<6），PB=AB−2t=12−2t，BQ=4t，
1
∴ S = PB⋅BQ=24t−4t2 =32，
△BPQ 2
解得：t =2，t =4．
1 2
答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；1
（2）解： S=S −S = AB⋅BC−(24t−4t2)=4t2−24t+144=108，
△ABC △BPQ 2
解得：t =t =3．
1 2
答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2．
4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A开
始沿AB边以3cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果
点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停
止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为5cm；
(2)连接PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为直角三角形．
3
【答案】(1)t=
4
3 7
(2)t=1或t= 或t=
4 4
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握
以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
（1）作QH⊥AB交AB于点H，利用矩形的性质得到BH=CQ=tcm，
QH=BC=3cm，再利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）分两种情况①∠DPQ=90°；②∠DQP=90°，根据矩形的性质和勾股定理分
别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：作QH⊥AB交AB于点H，则∠QHB=90°，
由题意得，AP=3tcm，CQ=tcm，
∵∠QHB=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQH是矩形，∴BH=CQ=tcm，QH=BC=3cm，
在Rt△PQH中，PH2 +QH2 =PQ2，
∴PH=❑√PQ2−QH2 =❑√52−32 =4(cm)，
∵AB=AP+PH+BH，
∴7=3t+4+t，
3
解得：t= ，
4
3
∴当t= 时，点P、Q之间的距离为5cm．
4
（2）解：①若∠DPQ=90°，作QE⊥AB交AB于点E，则∠QEB=90°，
由题意得，AP=3tcm，CQ=tcm，
∴DQ=CD−CQ=(7−t)cm，
在Rt△ADP中，DP2 =AP2 +AD2 =(3t) 2 +9，
∵∠QEB=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴BE=CQ=tcm，QE=BC=3cm，
∴PE=AB−AP−BE=(7−4t)cm，
在Rt△PQE中，PQ2 =PE2 +QE2 =(7−4t) 2 +9，
在Rt△DPQ中，DQ2 =DP2 +PQ2，
∴(7−t) 2 =(3t) 2 +9+(7−4t) 2 +9，
3
解得：t =1，t = ，
1 2 4
3
∴t=1或t= ；
4
②若∠DQP=90°，∵∠QPB=∠B=∠C=90°
，
∴四边形BCQP是矩形，
∴BP=CQ=tcm，QP=BC=3cm，
∴DQ=(7−t)cm，
由①得，DP2 =AP2 +AD2 =(3t) 2 +9，
在Rt△DPQ中，DP2 =DQ2 +PQ2，
∴(3t) 2 +9=(7−t) 2 +32，
7 7
解得：t = ，t =− （舍去负值），
1 4 2 2
7
∴t= ；
4
3 7
∴综上所述，当t=1或t= 或t= 时，△DPQ为直角三角形．
4 4
