文档内容
第 21 章 一元二次方程
【考点01】一元二次方程的相关概念
【考点02】一元二次方程的解
【考点03】解一元二次方程
【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【考点06】一元二次方程根与系数的关系
【考点07】变化率问题
【考点08】传播问题
【考点09】树枝分叉问题
【考点10】单循环和双循环问题
【考点11】销售利润与一次函数综合问题
【考点12】销售利润每每问题
【考点13】几何图形问题
【考点14】几何中动点问题
【知识点1】一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一
元二次方程。
【知识点2】一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次
项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
【知识点3】一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通
常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【知识点4】 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次
方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二
次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【知识点5】 解一元二次方程
1.直接开方
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如
果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，（2）求出判别式
4.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【知识点6】 一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
【知识点7】一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
【解题技巧】当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【知识点8】一元二次方程的实际应用
1. 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次
增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列
方程为 ²=b
2. 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n
n(n−1)
个人相互之间送卡片，总共要送 张卡片。
4. 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
5. 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6. 动点与几何问题
键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式
关
列出方程.
（2）
每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数 量
【考点01】一元二次方程的相关概念
1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
1
A．ax2 +bx+c=0 B．x2 +y=2 C．x2 =−1 D．x+ =4
y
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
2
A．x−2=0 B．x2 =1 C．2x−3 y=1 D． =1
x−1
3．一元二次方程x2−2x−1=0的一次项系数是（ ）
A．1 B．−2 C．−1 D．2
4．将一元二次方程3x+4=2x2化为一般形式为（ ）
A．2x2−3x+4=0 B．2x2−3x−4=0
C．2x2 +3x−4=0 D．2x2 +3x+4=0
5．将一元二次方程4x2−3x=15化成一般形式正确的是（ ）
A．4x2−3x−15=0B．4x2−3x+15=0C．4x2−3x=15 D．4x2 =3x−15
【考点02】一元二次方程的解
1．关于x的一元二次方程x2 +ax+b=0，若1−a+b=0则方程必有一根为（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．2
2．若x=a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a2 +a的值为 ．
3．关于x的方程5x2 +2x−m=0的一个根是2，则m= ．4．已知m是方程x2−x−1=0的一个根，代数式5m2−5m+2019的值是 ．
【考点03】解一元二次方程
1．解一元二次方程：
(1)2x2−4x−1=0；
(2)x(x−2)=2−x．
2． 解方程∶
(1) (2)
(x+1) 2 =4x x2 +4x+2=0
3．按要求解方程：
1 1
(1)x2 +8x=9（配方法）． (2) (x−1) 2 = (x−1)（因式分解法）．
3 2
4．用适当的方法解下列方程：
(1)x2−6x+3=0； (2)x2−3x=2x−6．
【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
1．方程 x2−4x−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实根
2．关于x的一元二次方程x2 +kx−2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根3．定义运算：a※b=a2−2ab−b．例如：4※2=42−2×4×2−2=−2．则方程
x※2=−4的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．无实数根
【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数
1．若关于x的一元二次方程kx2 +2x−1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>−1 B．k≥−1
C．k≥−1且k≠0 D．k>−1且k≠0
2．关于x的一元二次方程 无实数根，则 的取值范围（ ）
(k−1)x2 +4x+1=0 k
A．k<5 B．k<5且k≠1
C．k>−5且k≠1 D．k>5
3．关于x的一元二次方程kx2 +2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
（ ）
A．k>−1 B．k<−1 C．k>−1且k≠0 D．k≥−1且k≠0
【考点06】一元二次方程根与系数的关系
1 1
1．若一元二次方程x2−2x−1=0的两个根分别为x ，x ，则 + 的值为（ ）
1 2 x x
1 2
1
A．2 B．−1 C．− D．−2
2
2．若m，n是一元二次方程x2−3x−1=0的两个根，则m+n的值为 ．
3．已知关于x的方程x2 +mx+m−2=0．
(1)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值；
4．已知关于 x 的方程 有两个实数根．
x2 +(2k−1)x+k2−1=0
(1)求实数 k 的取值范围；
(2)若这两个实数根的平方和等于9，求 k 的值．5．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
x x2−(2k+1)x+k2 +1=0
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x ，x ，且x ⋅x =10，求k的值．
1 2 1 2
6．关于x的一元二次方程 的两实根为 ， ．
x2 +2(m−1)x+m2 =0 x x
1 2
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内取最大整数时，求 的值．
x2 +x2
1 2
【考点07】变化率问题
1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷
开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．
设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
16(1+x) 2 =23 23(1−x) 2 =16
C． D．
23−23(1−x) 2 =16 23(1−2x)=16
2．某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，2024年度拨出专项经
费20万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，2026年度拨出专项经费
28.8万元．若专项经费年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．20(1+2x)=28.8
B．
20(1+x) 2 =28.8C．
20+20(1+x) 2 =28.8
D．
20+20(1+x)+20(1+x) 2 =28.8
3．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了
某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，
且从3月份到5月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？
4．为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年
该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元．
(1)求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率；
(2)按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用．
【考点08】传播问题
1．流行性感冒传染迅速，每轮传染中平均一人可传染x人，若开始时有一人患病，经过两
轮传染后共有100人患病，可列方程为（ ）
A． B．
(x+1) 2 =100 1+(x+1) 2 =100
C．x+x(1+x)=100 D．1+x+x2 =100
2．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人
患此流感？3．某卫生部门为了控制某流行病的传染，对该传染病进行研究后发现，若一人患了该病，
经过两轮传染后共有121人患该病．
(1)请问：每轮一人传染了多少人？
(2)若按这样的传染速度，第三轮有多少人患了该病？
【考点09】树枝分叉问题
1．某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支
干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支的数目是（ ）个
A．7 B．8 C．9 D．10
2．某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，
每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每
个支干长出的小分支个数是 ．
3．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、
支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总
数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
【考点10】单循环和双循环问题
1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为
单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有x人，则可列方程
3．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人
数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发
送短信中，平均一个人向x个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ．
4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之
间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会．
【考点11】销售利润与一次函数综合问题
1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，
平均日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/
… 90 80 70 …
元
日销售量y/ … 10 20 30 …
件
(1)求y与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）
(2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理
由．
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单
价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系
如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160
元？
3．（2025·湖南常德·三模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．
小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售
量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x
25 30
（元）
销售量y（件） 150 100
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商家每天想获得2000元的利润，应将销售单价定为多少元？
【考点12】销售利润每每问题
1．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，
2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，
设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元
至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为
多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出
“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．
(1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率；
(2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100
元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定
降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少
元？
3．（24-25九年级上·贵州·期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，
已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110
元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该
电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件；
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
4．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的
定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一
个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【考点13】几何图形问题
1．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用12m长的篱
笆围成一个矩形ABCD场地，若垂直于墙的一边AB长为xm，它的面积为ym 2．(1)求矩形的面积y与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当AB长为4m时，求矩形场地的面积．
2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，
计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成
草坪．
(1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）；
(2)已知a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为312m 2，试求原来矩形场地的长与宽各
为多少米？
3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地
ABCD改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x
米的道路，如图所示，已知AD=50米，AB=32米，且停车区域(即阴影部分)的面积
为880米，求道路的宽度x(米)．4．（2024九年级下·广东潮州·学业考试）一农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边利
用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行
于住房墙的一边一扇2米宽的门．
(1)设矩形猪舍的一边AD的长为x米，则另一边AB长为 米（用含x的代数式表示）；
(2)若围成的矩形猪舍ABCD的面积为160平方米，求AD的长．
【考点14】几何中动点问题
1．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，
BC=7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的
速度为1cm/ s，点Q的速度为2cm/ s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运
动，当四边形APQC的面积为13cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A．3s B．5s C．3s或5s D．6s
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，
一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm 2；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，
BC=24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重
合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（小与点C重合）．
若P、Q两点同时移动t(s)；
(1)当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．
(2)设四边形APQC的面积为Scm2，当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
请说明理由．
4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A开
始沿AB边以3cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果
点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停
止运动．设运动时间为t（s）．(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为5cm；
(2)连接PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为直角三角形．
