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§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
课标要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几
何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作________或____________．
0
f′(x)＝lim ＝__________________________________.
0
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝lim .
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x 处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x ，f(x))处的切线的
0 0 0
________，相应的切线方程为________________________．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__________
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__________
f(x)＝sin x f′(x)＝__________
f(x)＝cos x f′(x)＝__________
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝__________
f(x)＝ex f′(x)＝__________
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝__________
a
f(x)＝ln x f′(x)＝__________
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝____________；
[f(x)g(x)]′＝________________________；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝____________.
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝____________，
x
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．在点处的切线与过点的切线的区别
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率．( )
0 0
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x)＝[f(x)]′.( )
0 0
(4)(e－x)′＝－e－x.( )
2．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
B．f′(x)＝3x＋2cos 2x
C．f′(x)＝＋cos 2x
D．f′(x)＝－2cos 2x
3．(选择性必修第二册P70T7改编)曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角是________．
4．(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂
直，则a的值为________.
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.′＝
D．(ln 2x)′＝(2)(2023·河南联考)已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)ln x＋(f′(x)为f(x)的导函数)，则f(e)等于(
)
A．e－1 B.＋1
C．1 D．－＋1
跟踪训练1 (多选)下列命题正确的是( )
A．若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x
B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x)＝2，则x＝e
0 0
C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e
D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，
__________________.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是( )
A．e B．e2 C. D.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是
____________________．
思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的
方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在
点(1,0)处的切线方程是( )
A．2x－y－2＝0 B．4x－y－4＝0
C．2x＋y－2＝0 D．4x＋y－4＝0
(2)若函数f(x)＝x－＋aln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是________．
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－
x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是( )
A．(0,2e] B.C. D．[2e，＋∞)
__________________________
跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)若曲线C ：f(x)＝x2＋a和曲线C ：g(x)＝4ln x－2x存在有公
1 2
共切点的公切线，则a＝________.
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
