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§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几
何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如
f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作 f ′ ( x )或y′| .
0 0
f′(x)＝lim ＝lim .
0
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x ，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′ ( x )( x － x )．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝ αx α － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝ － sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ a x ln a
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
[f(x)g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ cf ′ ( x ) ．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y ′ · u′，即y对
x u x
x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率．( × )
0 0
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(3)f′(x)＝[f(x)]′.( × )
0 0
(4)(cos 2x) ′＝－2sin 2x.( √ )
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
B．f′(x)＝3x＋2cos 2x
C．f′(x)＝＋cos 2x
D．f′(x)＝－2cos 2x
答案 A
解析 因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，
所以f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x.
2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 由题意得，f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，
又∵f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
答案 －
解析 由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得a＝－.
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.′＝
D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x
答案 ABD
解析 对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；
对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于C，′＝＝，故C错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确．
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于( )
A．1 B．－9 C．－6 D．4
答案 C
解析 因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，
把x＝1代入f′(x)，
得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，
所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.
思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利
用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)
B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1
C．若f(x)＝，则f′(x)＝
D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1答案 ACD
解析 f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；
f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；
f(x)＝，f′(x)＝＝，故C正确；
f(x)＝xln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确．
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝ .
答案 ＋
解析 ∵f′(x)＝2x＋f′cos x，
∴f′＝＋f′，
∴f′＝，∴f(x)＝x2＋sin x，
∴f ＝＋.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方
程为( )
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
答案 B
解析 因为f(x)＝2e2ln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x，
所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，
____________.
答案 y＝x y＝－x
解析 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x，y)，
0 0
则由y′＝，得切线斜率为，
又切线的斜率为，所以＝，
解得y＝1，代入y＝ln x，得x＝e，
0 0
所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝
________.
答案 e解析 设切点坐标为(t，aln(t＋1))，对函数y＝aln(x＋1)求导得y′＝，
所以解得t＝e－1，a＝e.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x ，(x ＋a) )，O为坐标原点，
0 0
依题意得，切线斜率k ＝y′| ＝(x ＋a＋1) ＝ ，化简，得x＋ax －a＝0.
OA 0 0
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x 的方程x＋ax －a＝0有两个不
0 0
同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋
∞)．
思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数
的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2
答案 A
解析 由题知f′(x)＝＝，
所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，
所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.
(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋b，则a的值是( )
A. B．－2 C．－ D．2
答案 D
解析 令y＝f(x)＝，则f′(x)＝，
曲线在点处的切线的斜率为f′(π)＝＝，解得a＝2.
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截
距b等于( )
A．0 B．1 C．e D．－e
答案 D
解析 设l与f(x)的切点为(x，y)，则由f′(x)＝ex－1，得l：y＝ ＋(1－x) .
1 1 1
同理，设l与g(x)的切点为(x，y)，
2 2
则由g′(x)＝，得l：y＝x＋e(ln x－1)．
2故
解得或 则l：y＝x或y＝ex－e.
因为k>1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e.
(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(
)
A．(0,2e] B.
C. D．[2e，＋∞)
答案 B
解析 设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x ，ln x －1)，(x ，ax)，其中
1 1 2
x>0，
1
对于y＝ln x－1有y′＝，则y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x－1)＝(x－x)，
1 1
即y＝＋ln x－2，
1
对于y＝ax2有y′＝2ax，则y＝ax2的切线方程为y－ax＝2ax(x－x)，即y＝2axx－ax，
2 2 2
所以则－＝ln x－2，
1
即＝2x－xln x(x>0)，
1 1
令g(x)＝2x2－x2ln x，
则g′(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝ ，
当x∈(0， )时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈( ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x) ＝g( )＝e3，故0<≤e3，
max
即a≥e－3.
思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线
上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用
两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝
f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于( )
A．－3 B．1 C．3 D．5
答案 D
解析 依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x，y)处的切线相同．
0 0
∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∴f′(x)＝2x，h′(x)＝－4，
∴
即
∵x>0，∴x＝1，m＝5.
0 0
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
答案 C
解析 根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋
1)(n>0)，
对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k＝em，
1
则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m) ，
即y＝emx＋em(1－m)－1，
对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k＝，
2
则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，
即y＝x＋ln n，
直线l是f(x)与g(x)的公切线，则
可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，
则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条．
课时精练
1．(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为( )
A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3
答案 A
解析 因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，
又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，
所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，
即y＝3x＋3.
2．记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案 A
解析 因为f(x)＝exsin 2x，则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，
所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.
3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的
切线方程为y＝x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意得f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
4．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(
)
A．－2 B．2 C．－e D．e
答案 B
解析 设切点坐标为(t，tln t)，∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t
＋1，
∴直线l的方程为y－tln t＝(ln t＋1)(x－t)，
将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，
∴直线l的斜率为f′(e)＝2.
5．已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a
＋的最小值为( )
A．2 B．2e C．e2 D.
答案 B
解析 设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n，kn)．
由f′(x)＝，有
解得m＝e，a＝ek.
又由g′(x)＝bex，有
解得n＝1，b＝，
所以a＋＝ek＋≥2＝2e，
当且仅当a＝e，b＝时等号成立．
6．(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x 叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有
0
一个“新不动点”的是( )
A．g(x)＝x·2x
B．g(x)＝－ex－2x
C．g(x)＝ln x
D．g(x)＝sin x＋2cos x答案 ABC
解析 对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，
由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，
解得x＝，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；
对于B，g′(x)＝－ex－2，
由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；
对于C，g′(x)＝，
根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；
对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，
由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，
得3sin x＝－cos x，
∴tan x＝－，
根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个解，
∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．
7．写出一个同时具有性质：①f(xx)＝f(x)＋f(x)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数
1 2 1 2
f(x)＝ .
答案 ln x(答案不唯一)
解析 若函数f(x)＝ln x，则f(xx)＝ln(xx)＝ln x ＋ln x ＝f(x)＋f(x)，满足①；f(x)＝ln x
1 2 1 2 1 2 1 2
的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝>0，满足②，故f(x)＝ln x符合题意．
8．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(3)＝________.
答案 12
解析 由题意得，f′(x)＝x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)＋(x－3)[x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)]′，
所以f′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12.
9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.
(1)求f′(e)及f(e)的值；
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．
解 (1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－＋，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，f′(e2)＝－＋，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
10．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x ，f(x))处的切线
1 1
也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x＝－1，求a；
1
(2)求a的取值范围．
解 (1)当x＝－1时，f(－1)＝0，
1
所以切点坐标为(－1,0)．
由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，
所以切线方程为y＝2(x＋1)，
即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，
得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，
得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，
解得a＝3.
(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线斜率k＝f′(x)＝3x－1，
1 1 1
又f(x)＝x－x，所以切线方程为
1 1
y－(x－x)＝(3x－1)(x－x)，
1 1
即y＝(3x－1)x－2x.
将y＝(3x－1)x－2x代入y＝x2＋a，
得x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，得
Δ＝(3x－1)2－4(a＋2x)＝0，
整理，得4a＝9x－8x－6x＋1.
令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.
则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．
由h′(x)＝0，得x＝－，0,1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，
x (－∞，－) － (－，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表知，当x＝－时，h(x)取得极小值h＝，
当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，
易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，
所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，
故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
11．已知曲线y＝ex在点(x ， )处的切线与曲线y＝ln x在点(x ，ln x)处的切线相同，则
1 2 2
(x＋1)(x－1)等于( )
1 2
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案 B
解析 已知曲线y＝ex在点(x， )处的切线方程为y－ ＝ (x－x)，
1 1
即y＝ x－ x＋ ，
1
曲线y＝ln x在点(x，ln x)处的切线方程为y－ln x＝(x－x)，
2 2 2 2
即y＝x－1＋ln x，
2
由题意得
解得x＝ ，
2
－ x＝－1＋ln x
1 2
＝－1＋ ＝－1－x，
1
则 ＝，
又x＝ ，
2
所以x＝，
2
所以x－1＝－1＝，
2
所以(x＋1)(x－1)＝－2.
1 212．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型分式，比如：当x→0时，的极限即
为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在 1696年提出洛必
达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
lim ＝lim ＝lim ＝limex＝e0＝1，则lim ＝ .
答案
解析 lim ＝lim ＝lim ＝lim＝ln 1＋＝.
13．已知a，b为正实数，直线y＝x－与曲线y＝ln相切，则的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．[1，＋∞) D．(0,1)
答案 D
解析 函数y＝ln的导函数为y′＝，令y′＝＝1，解得x＝1－，所以切点为，
代入y＝x－，得a＋b＝2，
因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，
则＝，
令g(a)＝，a∈(0,2)，则g′(a)＝>0，
则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)
