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专题 05 线段和角的动态问题（两种技巧精讲精练+过关检测）
类型一：线段中的动态问题
题型 01 与线段中点有关的动点问题
【典例分析】
【例1-1】（22-23七年级上·重庆梁平·期末）已知线段 ，点 是线段 上的一个动点，点 分别是
和 的中点．则 的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由点 分别是 和 的中点可得 ，再由 进行计算即可得到答案．
【详解】解： 点 分别是 和 的中点，
，
1
学科网（北京）股份有限公司，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，根据题意得出 是解题的关键．
【例1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知 ，点 为线段 上的一个动点， 分别
是 的中点；①若点 恰为 的中点，则 ；②若 ，则 ；
（2）如图，点 为线段 上的一个动点， 分别是 的中点；若 ，则 ；
【答案】 6 6
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，利用数形结合的思想，找出线段之间的关系是解此题的关
键．
（1）①根据线段的中点、线段的和差进行计算即可；②根据线段的中点、线段的和差进行计算即可；
（2）根据线段的中点、线段的和差进行计算即可．
【详解】解：（1）① 点 恰为 的中点， ，
，
分别是 的中点，
， ，
，
故答案为： ；
② ， ，
，
分别是 的中点，
2
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
故答案为： ；
（2） 分别是 的中点，
， ，
，
故答案为： ．
【例1-3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数如图所示，请按要求回答下列问题：
(1)线段 的中点D表示的数是几？
(2)线段 的中点E与点D的距离是多少？
(3)如果点B是线段 上的动点， 的长度有变化吗？为什么？
【答案】(1) ；
(2)4；
(3)没有，理由见解析．
【分析】本题考查线段的中点，数轴上的点之间的距离：
（1）先得出点A，B，C表示的数分别为 ， ， ，进而得出答案；
（2）根据数轴上两点之间的距离，即可得出答案；
（3）设点B表示的数为b，线段 的中点D表示的数是 ；线段 的中点E表示的数是 ，进而求出
的长度 ，即可得出答案．
3
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：∵点A，B，C表示的数分别为 ， ， ，
∴线段 的中点D表示的数是 ；
（2）解：∵点A，B，C表示的数分别为 ， ， ，
∴线段 的中点E表示的数是 ，
∴E与点D的距离是 ；
（3）解：设点B表示的数为b，
∴线段 的中点D表示的数是 ，
线段 的中点E表示的数是 ，
∴ 的长度 ，
∴ 的长度没有变化．
【变式演练】
【变式1-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）已知线段 ，点C是线段 上的动点，且P是 的中点，
Q是 的中点，则线段 的长是（ ）
A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差运算，解题的关键在于能够熟练掌握线段中点的定义．
如图所示，先根据线段中点的定义得到 ， ，再由
即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司∵P，Q分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
故选B．
【变式1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知 ，点C为线段 上的一个动点，D、E分
别是 、 的中点；
①若点C恰为 的中点，则 cm；
②若 ，则 cm；
（2）如图，点C为线段 上的一个动点，D、E分别是 的中点；若 ，则 ；
【答案】 6 6 /
【分析】本题考查了两点间的距离，注意同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半．根据线
段的中点性质，可得线段的中点分线段相等，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：（1）①∵ ，点C恰为 的中点，
∴ ,
∵D、E分别是 、 的中点,
∴ , ,
∴ ，
②∵ ， ，
∴ ,
∵D、E分别是 、 的中点,
5
学科网（北京）股份有限公司∴ , ,
∴ ，
故答案为：6，6；
（2）DE的长度与点C的位置无关；
因为点D、E分别是 、 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1-3】（23-24七年级上·全国·期末）已知a、b满足 ， ，且有理数a、b、c在数
轴上对应的点分别为A、B、C．
(1)则 ， ， ；
(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为 中点，当点D运动时，线段 的长度是否发生变化，
若变化，请说明理由，若不变，请求出其值．
【答案】(1)2， ，
(2)不变，
【分析】此题考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
（1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可；
（2）根据中点的定义得到 ， ，再根据 即可求解．
【详解】（1）解：∵a、b满足 ，
．
6
学科网（北京）股份有限公司解得 ．
．
故答案为：2， ， ；
（2）解：如图，当点D运动时，线段 的长度不发生变化，理由如下：
∵点E、点F分别为 中点，
∴ ， ，
，
，
∴当点D运动时，线段 的长度不发生变化，其值为 ．
题型 02 线段和差倍分关系中的动线段问题
【典例分析】
【例2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点
的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；
(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
【答案】(1)7
(2)3或5
【分析】本题主要考查了与线段中点的有关线段和差计算：
（1）根据 ， ，可求得 ， ，根据中点的定义求出 ，由线段的和差即可得到AD的
7
学科网（北京）股份有限公司长．
（2）分当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结
合的思想即可解题．
【详解】（1）解：∵ ， ，
， ，
为 中点，
，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当点 在点 的左侧，如图2，
∵ ， ，
点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，故图2（b）这种情况求不出；
如图3，当点 在点 的右侧，
8
学科网（北京）股份有限公司， ，
∴ ，
∴ ，
．
∵ ，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述： 的长为3或5．
【例2-2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点
在点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；
(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2) 的长为 或
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意得出 ， ，由线段的中点得出 ，再求出 的长，最后由 计算
即可得出答案；
（2）分两种情况：当点 在点 的左侧，当点 在点 的右侧，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为 中点时，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当点 在点 的左侧，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴图2（ ）这种情况求不出；
当点 在点 的右侧，
，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
10
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴图3（ ）这种情况求不出；
综上所述， 的长为 或 ．
【例2-3】（23-24七年级上·安徽蚌埠）已知点C在线段 上， ，点D、E在直线 上，点D在点E的左
侧，
(1)若 ， ，线段DE在线段 上移动，
①如图1，当E为 中点时，求 的长；
②当点C是线段 的三等分点时，求 的长；
(2)若 ，线段 在直线上移动，且满足关系式 ，求 ．
【答案】(1)①7；② 或
(2) 或 ．
【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关
键．
（1）根据已知条件得到 ，①由线段中点的定义得到 ，求得 ，由线段的和差得到
；②当点C线段DE的三等分点时，可求得 或 ，则
或 ，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段 之间时，设 ，则 ，求得 ，设 ，得到
，求得 ，当点E在点A的左侧，设 ，则 ，设 ，求得
，得到 ，于是得到结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）∵ ，
∴ ，
①∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵点C是线段DE的三等分点， ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（2）当点E在线段 之间时，如图，
设 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ x，
∴ ；
当点E在点A的左侧，如图，
设 ，同理 ，
设 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
当点E在线段 上及点E在点B右侧时，无解，
13
学科网（北京）股份有限公司综上所述 的值为 或 ．
【变式演练】
【变式2-1】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段 上， ， ．
(1) ； ．
(2)若点D、E在过线 上，点D在点E的左侧，线段DE在线段 上移动， ．
①如图1，当E为 中点时，求 的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段 上， ， ，画出图形，求 的长；
【答案】(1)12，6
(2)①7；② 的长为3或5．
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
（1）根据 ， ，可求得 ， ；
（2）①根据中点定义求出 ，由线段的和差即可得到 的长；
②点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，确定点 是 的中点，即可求 的长．
【详解】（1）∵ ， ，
， ；
（2）如图1，
为 中点，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司；
②Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2，
， ，
点 是 的中点，
，
，
；
，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧，
，
，
，
，
．
，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述： 的长为3或5．
【变式2-2】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）已知点C在线段 上， ，点D、E在直线 上，点
D在点E的左侧，若 ，线段 在线段 上移动，
(1)如图1，当E为 中点时，求 的长；
(2)当点C是线段 的三等分点时，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)7
(2) 或
【分析】（1）根据已知条件得到 ， ，由线段中点的定义得到 ，求得 ，由线段的和差得到
；
（2）当点 线段 的三等分点时，可求得 ，则 ，由线段的和差即可得到结论．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
为 中点，
，
，
，
；
（2）解： 点 是线段 的三等分点， ，
当点 靠近 点时， ，
，
；
当点 靠近点 时， ，
．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解
【变式2-3】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段 上， ，线段 在直线 上移动（点
D，E不与点A，B重合）．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ， ，线段 在线段 上移动，且点D在点E的左侧，
①如图，当点E为 中点时，求 的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段 上， ， ，求 的长；
(2)若 ， ，请直接写出 与 存在的数量关系．
【答案】(1)① ；② 的长为 或
(2) 或 或 或
【分析】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答．
（1）根据已知条件得到 ， ，
①由线段中点的定义得到 ，求得 ，由线段的和差得到 ；
②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；
（2）分点E在点C右侧，点D在点E左右两侧，点E在点C左侧，点D在点E左右两侧共四种情况，分别讨论可得．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
① 为 中点，
，
，
，
；
②如图1，
当点F在点C的右侧时，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
；
当点F在点C的左侧时，
，
，
，
，
；
综上所述， 的长为 或 ．
（2）解：①点E在点C右侧，点D在点E左侧时， 如图3所示，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
②点E在点C右侧，点D在点E右侧时，如图4所示，
， ， ，
18
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
，
；
③点E在点C左侧，点D在点E左侧时，如图5所示，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
④点E在点C左侧，点D在点E右侧时，如图6所示，
， ， ，
，
，
19
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
；
综上所述， 或 或 或 ．
题型 03 线段中的存在性探究问题
【典例分析】
【例3-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ， 在数轴上的位置如图所示，点 是数轴上的一动点．
(1)若 ，则点 表示的是什么数？
(2)若 ，且点 是 的中点，求线段 的长．
(3)是否存在点 ，使 的值最小？若存在，则点 在数轴上的什么位置？ 的最小值是多少？
【答案】(1)3或9
(2) 或
(3)存在，P在A、B两点之间，8
【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可；
（2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别 的长，再根据点Q是 的中点，求得线段 的长即可；
（3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时， 的值最小，据此判断并求解即可．
20
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：①点P在点B的左边时，
∵ ， ，
∴点P表示的是3．
②点P在点B的右边时，
∵ ， ，
∴点P表示的是9．
综上，可得点P表示的是3或9．
（2）解：∵ ，
∴线段 的长度是8．
①点P在点B的左边时，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴线段 的长是 ．
②点P在点B的右边时，
∵ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴线段 的长是 ．
综上，可得线段 的长是2.5或5.5．
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：如图：当点P在A、B两点之间时， 的值最小，
此时 ，
所以 的最小值是8．
【例3-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】
数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点 表示的数分别为 ，则
两点之间的距离 ；线段 的中点表示的数为 ．
【知识运用】
（ ）点 表示的数分别为 ，若 与 互为倒数， 与 互为相反数．则 两点之间的距离为______；
线段 的中点表示的数为______．
【拓展迁移】
（ ）在（ ）的条件下，动点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿数轴向左运动，动点 从点 出发以每秒 个单
位的速度沿数轴向左运动，点 是线段 的中点．
①点 表示的数是______（用含 的代数式表示）；
②在运动过程中，点 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间 ；
③线段 的长度随时间 的变化而变化，当点 在点 左侧时，是否存在常数 ，使 为定值？若存
在，求常数 及该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（ ） ； ；（ ） ； 或 ； 存在， ，此时定值 ．
【分析】（ ）根据题意，求出 ，再根据结论解答即可求解；
（ ） 根据题意，表示出 秒后点 表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；
根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解；
根据两点之间的距离公式求出 ，得到 ，当 时即可求出常数 的
值，进而求出定值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（ ）∵ 与 互为倒数， 与 互为相反数，
∴ ， ，
∴ ；
线段 的中点表示的数为 ；
故答案为： ； ；
（ ） 秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
∵点 是线段 的中点，
∴点 表示的数是 ，
故答案为： ；
当点 为 中点时，则 ，
解得 ，不合，舍去；
当点 为 中点时，则 ，
解得 ；
当点 为 中点时，则 ，
解得 ；
∴运动时间 的值为 或 ；
当点 在点 左侧时， ， ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
23
学科网（北京）股份有限公司此时，定值 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算
公式是解题的关键．
【例3-3】（21-22七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿
线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），
当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出
PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)t为2或 时，点C为线段PQ的中点
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由 即可求出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动
时，即 时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B
往C点第一次返回时，即 时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即 时，同理求出
t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即 时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据
，求出 即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，同理求出 即可；③当Q由C
往B第二次运动时，即 时，同理求出 即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
【详解】（1）解：当 时，
∵
24
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
故答案为：3.5．
（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴ ．
∵
∴ ．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∵点C为线段PQ的中点，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
解得： ，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
25
学科网（北京）股份有限公司解得： ；
综上可知，t为2或 时，点C为线段PQ的中点；
（3）根据（2）可知 ．
∵点M是线段CQ的中点，
∴CM=QM．
①当Q由C往B第一次运动时，即 时，
此时 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即 时，
此时 ， ，
∴ ，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关
键．
【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B
两点间的距离可以记作 或 ．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间
的距离表示为 ．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为 ，0， ．
(1)直接写出结果， ， ；
(2)设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段 的中点，则 ；
②若点P为线段 上的一个动点，则 的化简结果是 ；
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的
速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，
使得 ？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①1；②
(3)存在，t＝1， ，7或
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案；
（2）①根据想断中点的定义，得到 ，列方程并求解，即得答案；
②若点P为线段 上的一个动点，则 ，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案；
（3）先求出点M表示的数， 的长，然后分 和 两种情况，分别求出 的长，再列方程分别求
解，即得答案．
【详解】（1）（1） ， ，
27
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ．
（2）① 点P为线段 的中点，
，
，
解得 ；
故答案为：1．
② 点P为线段 上的一个动点，
；
故答案为： ．
（3）点M表示的数为 ， ，
当 时，点N表示的数为 ， ，
当 时，点N表示的数为 ， ，
当 时， |解得 或 ；
当 时， ，解得 或 ；．
存在t值， ， ，7或 ，使得 ．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的
应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
【变式3-2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是 和3，将这两点在数
轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用 表示以点A、点B为端点的线段的长，
、 表示的含义以此类推），且满足 （k为正整数），我们称 两点完成了一次“准相向运动”．
如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达 ， 两点，且满足 （k为正整数）我们称
两点完成了二次“准相向运动”…．
28
学科网（北京）股份有限公司(1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．
①当 时，M，N两点表示的数分别为 、 ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；
(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达 ， 两点，若k不变，求 ， 两点所
表示的数（用含k的式子表示）；
(3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达 两点，当 时是否存在点 ，使其表示的数为
65？如果存在，求完成的次数n和此时点 所表示的数；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)①5， ；②M点为 ，N点为
(2) 为 ， 为
(3)存在，n为5， 为
【分析】（1）①由题意可得 ，从而得到 ，再由 ，可得 ，
即可求解；②根据 ，可得 ，即可．
（2）由（1）中②可得 两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据 点和 也关于AB中点1对称，且k
值不变即可求解．
（3）根据题意可得 ，根据 ，可得点 ， 到
的中点的距离相等，从而表达出对应 和 的值，从特殊取值过程中，研究n和 点以及 点的关系，总结
出一般规律进行解题．
【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵数轴上A，B两点表示的数分别是 和3，
29
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
又∵ ，
，
∴M点为5，N点为 ，
故答案为：5， ．
②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵数轴上A，B两点表示的数分别是 和3，
∴ ，且AB中点所对应的数为1，
又∵ ，
∴ 中点所对应的数也为1，
∵ ，
，
∴M点为 ，即 ，N点为 ，即 ；
（2）解：由（1）中②可得M点为 ，N点为 ， 点和 也关于 中点1对称，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ 为 ， 为 ．
30
学科网（北京）股份有限公司（3）解：存在，理由：
∵ ，A，B两点完成了n次“准相向运动”，
∴ ，
∵数轴上A，B两点表示的数分别是 和3，
∴ 的中点所表示的数为1，
∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴点 ， 到 的中点的距离相等，
当n为1时，根据（1）得：此时 点为5， 为 ，
当n为2时， 为 ， 为 ，
当n为3时， 为 ， 为 ，
当n为4时， 为 ， 为 ，
以此类推发现n为奇数时， 为正数，而正数的规律是 ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ． ．
当 表示的数为65时， ，
解得： ．
又∵ 和 关于1对称，
31
学科网（北京）股份有限公司∴ 为 ．
答：存在次数n使得 为65，此时n为5， 为 ．
【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能
力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键
【变式3-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·期末）【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在长方形 的边AB上存在一动点G，点P、Q分别是 、
的中点，连接 、 ．当点G在线段AB边上移动时，试探究三角形 的面积是否发生变化？
设 ， ，且a、b满足 ．
①直接写出 __________， __________；
②小明同学认为当点G在线段AB边上移动时，线段 的长度并没有发生变化，故三角形 的面积也不发生变化．
请你根据小明同学的解题思路，求出三角形 的面积；
【类比分析】
（2）王老师在问题（1）的基础上将图1的长方形改成正方形．设点O是正方形的中心，并提出了下面的问题，请你
解答．如图2，在边长为m的正方形 中，动点G在AB边上，点P、Q分别是 、 的中点，连接 、 ．
当点G移动的过程中，三角形 的面积是否发生变化？如果不变化，请求出这个三角形的面积（用含m的代数式
表示），如果变化，请说明理由；
【学以致用】
（3）如图3，在正方形 中，设点O是正方形的中心，点G、H分别在AD、AB边上，点P是 的中点，连接
、 ．当四边形 的面积为正方形 面积的 时，请写出线段 、 、 三者之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】（1）① ， ② ；（2）不变， ； （3）
32
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查绝对值得非负性，中点的定义，三角形的面积，能根据重点的定义计算是解题的关键．
（1）①根据绝对值的非负性计算即可；②根据中点的定义得到 ， ，然后根据
解题即可；
（2）根据中点得到 ， ，即可求出 长，根据面积公式计算即可；
（3）过点 作 ， ，设正方形边长为 ， ，可以推出 ，然后用x，a表示
的长即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ， ；
②∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 长度不变， 面积不变，为 ；
（2）不变，理由如下：
∵ 为 中点， 为 中点
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为正方形的中心，
33
学科网（北京）股份有限公司∴点 到AB距离与于 ，
∴ ；
（3）设正方形边长为 ， ，过点 作 ， ，
∴ ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
类型二：角中的动态问题
34
学科网（北京）股份有限公司题型 01 求角度问题
【典例分析】
【例4-1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，
欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图
2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为 ， 两点，两脚脚跟位置分别为 ， 两点，定义 ， ， ， 平
面内 为定点，将手脚运动看作绕点 进行旋转：
(1)填空：如图2， ， ， 三点共线，且 ，则 ______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然 ， ， 三点共线，却不在水平方向上，且 ．
她经过计算发现， 的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，
请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且 ，开始运动前 、 、 三点在同一水平线上，
、 绕点 顺时针旋转， 旋转速度为 ， 旋转速度为 ，当 旋转到与 重合时，运动停止，
如图4
①运动停止时，直接写出 ______；
②请帮助乐乐求解运动过程中 与 的数量关系．
【答案】(1)90
(2)正确，代数式的值为 ；
(3)① ；②当 时， ；当 时， ．
【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出 ，再由两角相等，可得出 ；
35
学科网（北京）股份有限公司（2）由 ，设 ，则 ，分别表达 和 ，再求比值，可
得结论；
（3）①算出运动停止时的时间，求出 运动的角度，进而求出 的度数；②由 的运动过程可知，需要分类
讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：90；
（2）∵ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
设运动时间为 ，则 ，则 ．
①运动停止时，即 时，OA旋转的角度为 ，
∴ ，
故答案为： ；
②当点C，O，A三点共线时， ；
∴当 时， ， ，
36
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
当 时， ，
，
∴ ．
综上，当 时， ；当 时， ．
【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键
【例4-2】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）一套三角尺（分别含 ， ， 和 ， ， 的角）按如
图所示摆放在量角器上，边 与量角器 刻度线重合，边 与量角器 刻度线重合，将三角尺 绕量角器中
心点P以每秒 的速度顺时针旋转，当边 与 刻度线重合时停止运动，设三角尺 的运动时间为t．
(1)当 时，边 经过的量角器刻度线对应的度数是___________度；
(2)若在三角尺 开始旋转的同时，三角尺 也绕点P以每秒 的速度逆时针旋转，当三角尺 停止旋转时，
三角尺 也停止旋转．
①当t为何值时，边 平分 ．
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使 ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或者
(2)① ，② 或 时，
【分析】（1）根据旋转的性质即可计算得出结论；
（2）由旋转知， 的旋转角为 ， 的旋转角为 ，
①根据PB平分 和平角的定义列出方程即可计算得出；
②分PA在PC左侧和右侧两种情况表示出 ，根据已知建立方程即可解得结论．
37
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）当 秒时， 旋转了：
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
此时，边 经过的量角器刻度线对应的度数是： 或 ，
故答案为： 或者 ；
（2）①由旋转知， 的旋转角为 ， 的旋转角为 ，
∴边 旋转的角度为： ；边 旋转的角度为： ；
∴依题意得： ，
即：
∴ 秒；
②根据①中已得： ， ， ， ，
当PA在PC左侧时，如图
由旋转知：
根据： ， ， ， ，
可得： ，
，
根据题意： ，
得： ，即： ，
38
学科网（北京）股份有限公司∴ 秒；
当PA在PC右侧时，如图所示：
根据： ， ， ， ，
可得： ， ，
若 ，则 ，
解得， （秒）．
当PB在PD的右侧时， ， ，
则 ，
解得， （秒），
此时PB在PD的左侧，不符合题意，舍去，
综上所述： 或 时， ．
【点睛】本题是几何综合题，主要考查了角度的和与差，旋转的知识，量角器的识别，表示出 是解的
关键．
【例4-3】（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将 边重合
在直线 上， 边在直线 的两侧．
39
学科网（北京）股份有限公司(1)保持 不动，将 绕点O旋转至如图②所示的位置，则 ， ；
(2)若 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转， 按每分钟 的速度也绕点O逆时针方向旋转， 旋
转到射线 上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求 的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持 不动，将 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线 平分 ，射线 平分 ，
求 的大小．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）①将 转化为 即可得；②依据 、
，将原式转化为 计算可得；
（2）设运动时间为t秒， ，只需表示出 即可得出答案，而 在 与 相遇前、
后表达式不同，故需分 与 相遇前后即 和 两种情况求解；
（3）设 绕点O逆时针旋转 ，则 也绕点O逆时针旋转 ，再分①射线 在射线 同侧；②射线
在射线 异侧，分别求解即可．
【详解】（1）①
，
②
；
故答案为： ；
（2）设旋转时间为t秒，则 ， ，
① 时， 与 相遇前， ，
∴ ；
40
学科网（北京）股份有限公司② 时， 与 相遇后， ，
∴ ；
（3）设 绕点O逆时针旋转 ，则 也绕点O逆时针旋转 ，
① 时，如图①，
在射线 同侧，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴
∴ ，
∴ ；
② 时，如图②，
41
学科网（北京）股份有限公司在射线 异侧，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴
∴ ，
∴ ．
综上， ．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用
【变式演练】
【变式4-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，OB为 内一条射线， 的余角等于它自身．
(1)求 的度数；
(2)射线 从 开始，在 内以2°/s的速度绕着O点逆时针方向旋转，转到 停止，同时射线 在
内从 开始以3°/s的速度绕O点逆时针方向旋转转到 停止，设运动时间为t秒．
①若 ， 运动的任一时刻，均有 ，求 的度数；
② 为 内任一射线，在①的条件下，当 时，以 为边所有角的度数和的最小值为________．
【答案】(1)
42
学科网（北京）股份有限公司(2)① ；②
【分析】（1）根据余角的定义列方程解答即可；
（2）①分别用 的代数式表示出 、 ， ，根据 列方程解答即可；
②当 与 重合时，以 为边所有角的度数和的有最小值，把 代入计算即可．
【详解】（1）解：设 ，则 的余角 ，
依题意有： ，
，
；
（2）解：① 运动时间为 秒，则
， ， ，
，
设 ，
又 ，
则有： ，
解得： ，
，
②当 与 重合时，以 为边所有角的度数和的有最小值，
当 时， ，
以 为边所有角的度数和的最小值为： ．
故答案为：
43
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要是考查了角的计算，能够根据题目，进行分类讨论，是解答此题的关键
【变式4-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图， 是直线 上一点，射线 绕点 顺时针旋转，从 出发，
每秒旋转 ，射线 绕点 逆时针旋转，以相同的速度从 出发，射线 与 同时旋转，设旋转的时间为 秒，
当 旋转到与 重合时， 都停止运动．
(1)猜想： __________ ，并说明理由；
(2)已知射线 始终平分 ，射线 在 内，且满足 与 互余．
①当 秒时， __________ ；
②在运动过程中，试探究 与 之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)180，理由见解析
(2)①60；② ，理由见解析
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，余角的定义：
（1）根据题意可得 ，再由 ，即可求解；
（2）①根据题意可得 ，再由余角的定义，即可求解；②根据题意可得 ，
再根据角平分线的定义可得 ，再由余角的定义，可得
，然后分别求出 与 的度数，即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下：
根据题意得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：180
（2）解：①当 秒时， ，
∵ 与 互余，
44
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
故答案为：60
② ，理由如下：
如图，
根据题意得： ，
∵射线 始终平分 ，
∴ ，
∵ 与 互余，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式4-3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线 上一点，三角板（其中 ）的边
与射线 重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边 与 重合；同时射线 与 重合的位置开始绕O
点以每秒n°逆时针方向旋转至 ，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)若 ， ， 秒时， ________°；
(2)若 ， ，当 在 的左侧且平分 时，求t的值；
45
学科网（北京）股份有限公司(3)如图2，在运动过程中，射线 始终平分 ．
①若 ， ，当射线 ， ， 中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出 ________
秒；
②当 在 的左侧，且 与 始终互余，求m与n之间的数量关系．
【答案】(1)100
(2)
(3)① 或30或48；②
【分析】（1）根据 ，即可求解；
（2）根据平分线的性质得 ，再由平角为 即可求解；
（3）①当 是 的角平分线，当 是 的角平分线时，当 是 的角平分线时，分三种情况进行
计算即可，
②由 与 始终互余，得出 ，进而可求解．
【详解】（1）解：当 ， ， 秒时，
， ，
，
；
故答案为：100；
（2）解： ，
又 在 的左侧且平分 ，
46
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
（3）解：①当 是 的角平分线时，如图所示：
又 始终平分 ，
，
当 是 的角平分线时，如图所示：
又 始终平分 ，
，此时射线 与 重合，
解得： ，
当 是 的角平分线时，如图所示：
47
学科网（北京）股份有限公司又 始终平分 ，
，
又 ，
，
解得： ，
故答案为： 或30或48；
②当 在 的左侧时，如图所示：
又 始终平分 ，
与 始终互余，
48
学科网（北京）股份有限公司，
化简得： ．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．
题型 02 定值问题
【典例分析】
【例5-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，点О在直线 上，射线 分别在 两侧， ，
， 分别平分 和 ，下列四个结论：① ；② 为定值；③
；④ ．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设 ，则 ， ，可得 ，
再根据角平分线的定义可得 ，故①正确；再由
，可得②正确；再分别求出 和 ，可得③
正确；然后求出 和 ，即可求解．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
49
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
，是定值，故②正确；
∵ ，
，
∴ ，故③正确；
∵ ，
，
∴ ，故④正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题
的关键．
【例5-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案：
50
学科网（北京）股份有限公司(1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若 ，则 ______ ， ______ ．
(2)图②中，将两个同样的三角尺 角顶点O叠放在一起，试判断 与 的和是否为定值？若是，请求出
这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)65，115．
(2)定值，
【分析】（1）根据角的和差即可求得．
（2）两个同样的三角尺 角顶点O叠放在一起，重叠部分是2个 ， 是定值．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
，
故答案为：65，115．
（2）是定值，
∵两个同样的三角尺 角顶点O叠放在一起，
∴重叠部分是2个 ，
∴一个 与 是 ，
另一个 与 是
∴ ，
【点睛】此题考查了三角板角度问题，解题的关键是熟知三角板各个角的度数．
【例5-3】（20-21七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板 的直角顶点 放在直尺
的边缘，将直角三角板绕着顶点 旋转．
（1）若三角板 在 的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现 的大小发生了变化，但它们
的和不变，即 ；
51
学科网（北京）股份有限公司（2）若 分别位于 的上方和下方，如图 所示，则 之间的上述关系还成立吗?若不成立，则
它们之间有怎样的数量关系?请说明你的理由；
（3）射线 分别是 的角平分线，若三角板 始终在 的上方，则旋转过程中， 的
度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）90°；（2）不成立， ，理由见解析；（3）是，135°
【分析】（1）根据平角和直角的概念分析求解；
（2）根据平角和直角的概念及角的和差关系分析求解；
（3）根据角平分线的定义及角的和差关系分析求解
52
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）由题意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180°
∴当三角板 在 的上方，
故答案为：90°．
（2）由题意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180°
若 分别位于 的上方和下方，
∴ ，即
故（1）中的关系不成立， 之间的数量关系为 ．
（3）射线 分别是 的角平分线，
∴∠AOM= ，∠BON= ，
∴
∵三角板 始终在 的上方，由（1）已得
∴
即 的度数是一个定值为135°．
．
【点睛】本题考查角的和差计算及角平分线的定义，题目难度不大，掌握相关概念正确推理论证是解题关键．
【变式演练】
【变式5-1】（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（ 、 ），
53
学科网（北京）股份有限公司将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且 ，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在 内作 ，则 平分 ；
②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次；
④ 的角度恒为 ．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得 ，所以 平分 ，①正确；
②当 时，设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时，设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
54
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③ 时 ， 时 ， 时 故③正确；
④当 时 ，当 时 ，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
【变式5-2】（20-21七年级·四川成都·）已知 ， ， 平分 ， 平分 .
（1）如图，当 、 重合时，求 的值；
（2）若 从上图所示位置绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒（ ），在旋转过程中 的
值是否会因 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）35°；（2）是定值，35°
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线
的定义得∠AOE=∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°），∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可
得．
【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
55
学科网（北京）股份有限公司∴∠AOE= ∠AOB= ×110°=55°，∠BOF= ∠COD= ×40°=20°，
∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2，
由题意∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°），∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°），
∴∠AOE-∠BOF= （110°+3t°）- （40°+3t°）=35°，
∴∠AOE-∠BOF的值是定值．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键
【变式5-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板 的直角顶点O放在直尺
的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
(1)若三角板 在 的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现 、 的大小发生了变化，但它们
56
学科网（北京）股份有限公司的和不变，即 ______°．
(2)若 、 分别位于 的上方和下方，如图2所示，则 、 之间的上述关系还成立吗？若不成立，
则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
(3)射线 、 分别是 、 的角平分线，若三角板 始终在 的上方，则旋转过程中， 的
度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)90
(2) ，理由见解析
(3) 的度数是一个定值，理由见解析
【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
（1）由平角的性质可求解；
（2）由补角和余角的性质可求解；
（3）由角平分线的定义和平角的性质可求解．
【详解】（1）解： ，
；
故答案为90；
（2）解： ，
理由如下： ， ，
；
（3）解： 的度数是一个定值，
理由如下： 射线 、 分别是 、 的角平分线，
， ，
．
题型 03 存在性探究问题
【典例分析】
【例6-1】（20-21七年级上·四川德阳·期末）已知 为直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
（1）如图1，若 ，则 ；
（2）当射线 绕点 逆时针旋转到如图2的位置时， 与 之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在图3中，若 ，在 的内部是否存在一条射线 ，使得 ？若
存在，请求出 的度数；若不存在，请说明理由．
57
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）56°；（2）∠BOE＝2∠COF，理由见解析；（3）存在，16°
【分析】（1）首先根据 ， 是直角，求出∠EOF＝62°，然后根据 平分 求出∠AOE＝
124°，最后根据平角的性质即可求出 的度数；
（2）首先根据 是直角， 平分 表示出∠AOE＝180°﹣2∠COF，然后根据平角的性质即可得到
与 之间的数量关系；
（3）首先根据 是直角， 平分 求出∠EOF＝25°，∠BOE＝130°，然后代入
求解即可．
【详解】解：（1）∵∠COF＝28°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝56°；
（2）结论：∠BOE＝2∠COF；
理由如下：
∵∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2∠COF）＝2∠COF；
（3）存在；
58
学科网（北京）股份有限公司∵∠COF＝65°，∠COE＝90°，
∠EOF＝25°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝25°，
∴∠BOE＝130°，
∵2∠BOD+∠AOF＝ （∠BOE﹣∠BOD），
即2∠BOD+25°＝ （130°﹣∠BOD），解得∠BOD＝16°．
【点睛】此题考查了角平分线的有关运算，平角和直角的性质，解题的关键是正确分析图形中各角之间的关系．
【例6-2】（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线
OE表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余
(1)①若m＝50，则射线OC的方向是 ；
②图中与∠BOE互余的角有 与∠BOE互补的角有 ．
(2)若射线OA是∠BON的角平分线，则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系？如果存在，请写出你的结论以及
计算过程，请说明理由．
【答案】(1)①北偏东 ；② ， ； ， ；
(2) ，理由见解析．
【分析】（1）①根据互余即可直接得出；
②根据题意结合等角的余角相等，等角得补角相等即可得出结果；
59
学科网（北京）股份有限公司（2）根据角平分线可得 ，结合（ ）中过程可得 ，由图中角之间的数量关系求
1
解即可得．
【详解】（1）解：① 与 互余，
∵
，
∴
当 时，
，
射线OC的方向是北偏东 ；
∴
② ，
∵
图中与 互余的角有 ，
∴
与 互余，
∵
，
∴
图中与 互余的角有 ， ；
∴
，
∵
图中与 互余的角有 ，
∴
，
∵
的补角 也是 的补角，
∴
的补角有 ， ；
∴
故答案为：①北偏东 ；② ， ； ， ；
（2）解： ，
射线OA是 的角平分线，
∵
，
∴
60
学科网（北京）股份有限公司， ，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∴
【点睛】题目主要考查方位角的计算，包括余角、补角的计算，利用角平分线计算等，理解题意，找准各个角之间的
数量关系是解题关键．
【例6-3】（23-24七年级上·广东广州·期末）已知： ，过点 引两条射线 ， ，且 平分 ．
(1)如图，若 ， ，且点 在 内部．
①请补全图形；
②求出 的度数；
(2)若 ，求出 ， ， 三者的等量关系．
(3)若 ，是否存在 与 互余？若存在，求 的度数（用 表示）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①见详解；②
(2) 或
(3)存在， 或
61
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
（1）①根据题意画出相应的图形即可；
②根据计算过程进行解答即可；
（2）分两种情况，分别画出相应的图形进行计算即可．
（3）分三种种情况，分别根据相应的图形进行计算即可．
【详解】（1）①解：补全图形如图所示：
②∵ ，
又∵ 平分 ，
（2）分两种情况：
当射线 、射线 在射线 的同侧时，如图1所示，
设
62
学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，
当射线 、射线 在射线 的异侧时，如图2所示，
设
∵ 平分 ，
综上， 或 ．
（3）若 ， ，
由（2）得当 时， ，故 ，
∴ ；
当 时， ，故 ，
∴
63
学科网（北京）股份有限公司由（1）中图得当 时，
，
故 ，
∴ ；
综上，存在， 或 ．
【变式演练】
【变式6-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知O为直线AB上的一点， 是直角， 平分 ．
(1)如图1，若 ，则∠BOE＝___；若 ，则∠BOE＝___； 与 的数量关系为___．
(2)在图2中，若 ，在 的内部是否存在一条射线 ，使得2∠BOD与∠AOF的和等于 与
的差的三分之一？若存在，请求出 的度数；若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由，
若不成立，求出 与 的数量关系．
64
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)66°， ， ；
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可知： ，由角平分线的性质可求得 ，所以
，即可求得答案．
（2）由（1）可知： ，进而求得 ，由于 平分 ，所以
，分别代入
解得 即可；
（3））由于 是直角，于是 ，而 平分 ，得出 ，
，由此可得出结论．
【详解】（1）解：（1）若 ，
∵ 是直角，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
若 ，
∵ 是直角，
∴ ，
∵ 平分 ，
65
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
∴ ；
故答案为：66°， ， ；
（2）存在；
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
解得 ；
（3） 和 的关系不成立．
设 ，则 ， ，
∴ ．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是利用角平分线认真观察图形，找出角的和差关系是解题关键．
【变式6-2】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示， ，将直角三角板的直角顶点放置在O点，
平分 ．
(1)若 ，则 ______， ______．
66
学科网（北京）股份有限公司(2)如果 ， ，试判断 ， 的数量关系，并说明理由．
(3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得 在 的内部， 在 的外部，若
， ， ， 是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出 ，
的数量关系．
【答案】(1) ；
(2) ；理由见解析
(3)不存在，此时 ， 满足 ；理由见解析
【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义．
（1）先根据 ，求出 ，根据角平分线定义得出 ，然后求出结
果即可；
（2）根据 ， ，得出 ，根据角平分线定义得出
，根据 ，即可得出答案；
（3）根据 ， ，得出 ，根据角平分线定义得出
，根据 ，得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
67
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
即 ．
（3）解：不存在，此时 ， 满足 ；理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
，
即 ，
故 ．
【变式6-3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙 上一点，魔法棒从 的位置开始绕点O
向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行
如下步骤的旋转．
第1步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ；
第2步，从 开始继续旋转 至 ；
第3步，从 开始继续旋转 至 ，
…．
68
学科网（北京）股份有限公司例如：当 时． ， ， ， 的位置如图2所示，其中 恰好落在 上， ；当
时， ， ， ， ， 的位置如图3所示，其中第4步旋转到 后弹回，即
，而 恰好与 重合．
根据以上材料，解决如下问题：
(1)若 ，则 度数是 ；
(2)若 ， 恰好与 重合，求 的值；
(3)若 ，是否存在对应的 值使 ？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．
（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出 的度数即可；
（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出 的度数即可．
【详解】（1）解：如图，当 ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
69
学科网（北京）股份有限公司（2）解：如图，∵ ，且 ，
∴ ，
由题可得： ，
解得： ；
（3）解：如图， 与 都不回弹时，
，解得 ；
如图，当 在 的左边，
，
∴ ，
∴ ，解得： ，
70
学科网（北京）股份有限公司如图，当 在 的右边，
根据题意得： ，解得： ，
综上，对应的 值是 或 或 ．
一、解答题
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为 ，且
．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t ）．
(1)当 时， 的长为 ，点 P 表示的有理数为 ；
(2)当 时，求t的值；
(3)M为线段 的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，请
说明理由；若不变，求出线段 的长．
【答案】(1)2， ；
(2) 或 ；
(3)
【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻
松解决，但是要注意考虑问题要全面．
（1）根据点P的运动速度，即可求出；
71
学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧；
（3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变．
【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，
所以当 时， 的长为2，
因为点 A 对应的有理数为 ， ，
所以点P表示的有理数为 ；
（2）解：当 ，要分两种情况讨论，
点P在点B的左侧时，因为 ，所以 ，所以 ；
点P在点B的是右侧时， ，所以 ；
（3）解：MN长度不变且长为5．
理由如下：当 在线段 上时，如图，
∵M为线段 的中点，N 为线段 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
当 在线段 的延长线上时，如图，
同理可得： ；
综上： ．
72
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺 的直角顶点P在直线 上，点A，B在直线 的同侧．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，若 平分 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）由题意知 ，根据 ，计算求解即可；
（2）由角平分线可得 ， ．由 ，可得
，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知 ．
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，射线 绕点O从射线 顺时针向射线 转动，同时，点M从线段
73
学科网（北京）股份有限公司的端点E沿线段向端点F移动．如果当射线 转动到 的角平分线位置时，点M也恰好移动至线段 的
中点位置，我们称点M为射线 的半随点．
(1)若 ，射线 ，点M分别以 的速度如图所示方式运动，判断点M是否为射线
的半随点？请说明理由；
(2)已知 ，射线 ，点M分别以 的速度如图所示方式运动，若点M是射线 的半随点，求
线段 的长度（用含有m的式子表示）；
(3)若点E在 的边 上（不与点O重合），过点E作射线 交边 于点F，射线 绕点O从射线 顺时
针向射线 转动，交 于点M，请判断是否存在线段 ，使得M为射线 的半随点，若存在，请画出线段 ，
并简要说明画法：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点M不是射线 的半随点，理由见解析
(2)
(3)存在，图见解析
【分析】（1）分别求出射线OE运动到∠AOC的角平分线的时间和点M运动到EF中点的时间即可得到答案；
（2）先求出射线OE运动到∠AOC的角平分线的时间，由此可以求出EM的长，再根据线段中点的定义即可得到答案；
（3）如图所示，以O为圆心，以OE的长为半径画弧交OD于F，点F即为所求；
【详解】（1）解：点M不是射线 的半随点，理由如下：
当射线恰好为∠AOB的角平分线时，
∵∠AOB=60°，
∴ ，
74
学科网（北京）股份有限公司∴射线OC的运动时间为 ；
当点M恰好运动到EF的中点时，
∵ ，
∴ ，
∴点M的运动时间为 ，
∴当射线OC平分∠AOB时，点M不是恰好运动到EF的中点，
∴点M不是射线 的半随点；
（2）解：当射线OC恰好运动到∠AOB的角平分线的位置时，
∵OC平分∠AOB， ，
∴ ，
∴射线OC的运动时间为 ，
∵当射线OC运动都∠AOB的角平分线的位置时，点M恰好运动到EF的中点，
∴ ，
（3）解：如图所示，以O为圆心，以OE的长为半径画弧交OD于F，点F即为所求；
75
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，线段中点有关的计算，正确理解题意是解题的关键．
4．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三
角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，
将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？
若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
【答案】(1)∠BOC＝∠BOE．
(2)①存在，t=2.5或10或31；②40°
【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案；
（2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝
∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
76
学科网（北京）股份有限公司②根据角的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
（2）①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝ ∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关
键．
5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图 ， 三点在同一直线上，点 在线段 的延
长线上，且 ，请仅用一把圆规在图中确定 点的位置．
【认识概念】在同一直线上依次有 四点，且 ，那么称 与 互为“对称线段”，其中 为
77
学科网（北京）股份有限公司的“对称线段”， 亦为 的“对称线段”．
如图 ，下列情形中 与 互为“对称线段”的是 （直接填序号）．
； ； ．
【运用概念】如图 ， 与 互为“对称线段”，点 为 的中点，点 为 的中点，且 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的长；
【拓展提升】如图 ，在同一直线上依次有 四点， 且 （ 为常数），点 为 的中点，
点 在 上且 ．是否存在 的值使得 的长为定值？若存在，请求出 的值以及这个定值（用含 的
代数式表示）；若不存在，请说明理由．
【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】 ；【运用概念】（1） ，（2） ，【拓展提升】当
时, 为定值 ．
【分析】【感悟体验】 ：以点 为圆心以 长度为半径交直线 于点 即可求解；
【认识概念】 ，故①不符合题意； ， ，故
不符合题意； 设 ，则 ，同理可得 ，即可求解；
【运用概念】 设点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，则点 ， 对应的数为 ， ，
则点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，即可求解；
【拓展提升】设点 对应的数为： ，点 对应的数为： ，则点 、 对应的数分别为： ， ，求出
，即可求解；
本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键.
78
学科网（北京）股份有限公司【详解】【感悟体验】：以点 为圆心以 长度为半径交直线 于点
则点 为所求点，如下图：
【认识概念】 ，故 不符合题意；
，故 不符合题意；
设 ，则 ，
同理可得： ，故 符合题意，
故答案为： ；
【运用概念】设点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，则点 ， 对应的数为 ， ，
则点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，
（ ）当 ，即 ，则 ，
则 ，
（ ）当 ，即 ，
则 ，
【拓展提升】存在，理由：
设点 对应的数为： ，点 对应的数为： ，
则点 、 对应的数分别为： ， ，
则点 对应的数为 ，
而 ，
则点 对应的数为： ，
79
学科网（北京）股份有限公司则 ，
当 时， 为定值 ．
80
学科网（北京）股份有限公司
