文档内容
专题 05 线段和角的动态问题（两种技巧精讲精练+过关检测）
类型一：线段中的动态问题
题型 01 与线段中点有关的动点问题
【典例分析】
【例1-1】（22-23七年级上·重庆梁平·期末）已知线段 ，点 是线段 上的一个动点，点 分别是
和 的中点．则 的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．6
【例1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知 ，点 为线段 上的一个动点， 分别
是 的中点；①若点 恰为 的中点，则 ；②若 ，则 ；
（2）如图，点 为线段 上的一个动点， 分别是 的中点；若 ，则 ；
【例1-3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数如图所示，请按要求回答下列问题：
1
学科网（北京）股份有限公司(1)线段 的中点D表示的数是几？
(2)线段 的中点E与点D的距离是多少？
(3)如果点B是线段 上的动点， 的长度有变化吗？为什么？
【变式演练】
【变式1-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）已知线段 ，点C是线段 上的动点，且P是 的中点，
Q是 的中点，则线段 的长是（ ）
A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定
【变式1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知 ，点C为线段 上的一个动点，D、E分
别是 、 的中点；
①若点C恰为 的中点，则 cm；
②若 ，则 cm；
（2）如图，点C为线段 上的一个动点，D、E分别是 的中点；若 ，则 ；
【变式1-3】（23-24七年级上·全国·期末）已知a、b满足 ， ，且有理数a、b、c在数
轴上对应的点分别为A、B、C．
(1)则 ， ， ；
(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为 中点，当点D运动时，线段 的长度是否发生变化，
若变化，请说明理由，若不变，请求出其值．
2
学科网（北京）股份有限公司题型 02 线段和差倍分关系中的动线段问题
【典例分析】
【例2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点
的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；
(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
【例2-2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点
在点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；
(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
3
学科网（北京）股份有限公司【例2-3】（23-24七年级上·安徽蚌埠）已知点C在线段 上， ，点D、E在直线 上，点D在点E的左
侧，
(1)若 ， ，线段DE在线段 上移动，
①如图1，当E为 中点时，求 的长；
②当点C是线段 的三等分点时，求 的长；
(2)若 ，线段 在直线上移动，且满足关系式 ，求 ．
【变式演练】
【变式2-1】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段 上， ， ．
(1) ； ．
(2)若点D、E在过线 上，点D在点E的左侧，线段DE在线段 上移动， ．
①如图1，当E为 中点时，求 的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段 上， ， ，画出图形，求 的长；
4
学科网（北京）股份有限公司【变式2-2】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）已知点C在线段 上， ，点D、E在直线 上，点
D在点E的左侧，若 ，线段 在线段 上移动，
(1)如图1，当E为 中点时，求 的长；
(2)当点C是线段 的三等分点时，求 的长．
【变式2-3】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段 上， ，线段 在直线 上移动（点
D，E不与点A，B重合）．
(1)若 ， ，线段 在线段 上移动，且点D在点E的左侧，
①如图，当点E为 中点时，求 的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段 上， ， ，求 的长；
(2)若 ， ，请直接写出 与 存在的数量关系．
5
学科网（北京）股份有限公司题型 03 线段中的存在性探究问题
【典例分析】
【例3-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ， 在数轴上的位置如图所示，点 是数轴上的一动点．
(1)若 ，则点 表示的是什么数？
(2)若 ，且点 是 的中点，求线段 的长．
(3)是否存在点 ，使 的值最小？若存在，则点 在数轴上的什么位置？ 的最小值是多少？
【例3-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】
数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点 表示的数分别为 ，则
两点之间的距离 ；线段 的中点表示的数为 ．
【知识运用】
（ ）点 表示的数分别为 ，若 与 互为倒数， 与 互为相反数．则 两点之间的距离为______；
线段 的中点表示的数为______．
【拓展迁移】
（ ）在（ ）的条件下，动点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿数轴向左运动，动点 从点 出发以每秒 个单
位的速度沿数轴向左运动，点 是线段 的中点．
①点 表示的数是______（用含 的代数式表示）；
②在运动过程中，点 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间 ；
③线段 的长度随时间 的变化而变化，当点 在点 左侧时，是否存在常数 ，使 为定值？若存
6
学科网（北京）股份有限公司在，求常数 及该定值；若不存在，请说明理由．
【例3-3】（21-22七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿
线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），
当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出
PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B
两点间的距离可以记作 或 ．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间
的距离表示为 ．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为 ，0， ．
(1)直接写出结果， ， ；
(2)设点P在数轴上对应的数为x．
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学科网（北京）股份有限公司①若点P为线段 的中点，则 ；
②若点P为线段 上的一个动点，则 的化简结果是 ；
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的
速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，
使得 ？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是 和3，将这两点在数
轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用 表示以点A、点B为端点的线段的长，
、 表示的含义以此类推），且满足 （k为正整数），我们称 两点完成了一次“准相向运动”．
如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达 ， 两点，且满足 （k为正整数）我们称
两点完成了二次“准相向运动”…．
(1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．
①当 时，M，N两点表示的数分别为 、 ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；
(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达 ， 两点，若k不变，求 ， 两点所
表示的数（用含k的式子表示）；
(3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达 两点，当 时是否存在点 ，使其表示的数为
65？如果存在，求完成的次数n和此时点 所表示的数；如果不存在，说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【变式3-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·期末）【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在长方形 的边AB上存在一动点G，点P、Q分别是 、
的中点，连接 、 ．当点G在线段AB边上移动时，试探究三角形 的面积是否发生变化？
设 ， ，且a、b满足 ．
①直接写出 __________， __________；
②小明同学认为当点G在线段AB边上移动时，线段 的长度并没有发生变化，故三角形 的面积也不发生变化．
请你根据小明同学的解题思路，求出三角形 的面积；
【类比分析】
（2）王老师在问题（1）的基础上将图1的长方形改成正方形．设点O是正方形的中心，并提出了下面的问题，请你
解答．如图2，在边长为m的正方形 中，动点G在AB边上，点P、Q分别是 、 的中点，连接 、 ．
当点G移动的过程中，三角形 的面积是否发生变化？如果不变化，请求出这个三角形的面积（用含m的代数式
表示），如果变化，请说明理由；
【学以致用】
（3）如图3，在正方形 中，设点O是正方形的中心，点G、H分别在AD、AB边上，点P是 的中点，连接
、 ．当四边形 的面积为正方形 面积的 时，请写出线段 、 、 三者之间的数量关系，
并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司类型二：角中的动态问题
题型 01 求角度问题
【典例分析】
【例4-1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，
欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图
2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为 ， 两点，两脚脚跟位置分别为 ， 两点，定义 ， ， ， 平
面内 为定点，将手脚运动看作绕点 进行旋转：
(1)填空：如图2， ， ， 三点共线，且 ，则 ______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然 ， ， 三点共线，却不在水平方向上，且 ．
她经过计算发现， 的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，
请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且 ，开始运动前 、 、 三点在同一水平线上，
、 绕点 顺时针旋转， 旋转速度为 ， 旋转速度为 ，当 旋转到与 重合时，运动停止，
如图4
①运动停止时，直接写出 ______；
②请帮助乐乐求解运动过程中 与 的数量关系．
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学科网（北京）股份有限公司【例4-2】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）一套三角尺（分别含 ， ， 和 ， ， 的角）按如
图所示摆放在量角器上，边 与量角器 刻度线重合，边 与量角器 刻度线重合，将三角尺 绕量角器中
心点P以每秒 的速度顺时针旋转，当边 与 刻度线重合时停止运动，设三角尺 的运动时间为t．
(1)当 时，边 经过的量角器刻度线对应的度数是___________度；
(2)若在三角尺 开始旋转的同时，三角尺 也绕点P以每秒 的速度逆时针旋转，当三角尺 停止旋转时，
三角尺 也停止旋转．
①当t为何值时，边 平分 ．
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使 ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【例4-3】（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将 边重合
在直线 上， 边在直线 的两侧．
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学科网（北京）股份有限公司(1)保持 不动，将 绕点O旋转至如图②所示的位置，则 ， ；
(2)若 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转， 按每分钟 的速度也绕点O逆时针方向旋转， 旋
转到射线 上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求 的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持 不动，将 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线 平分 ，射线 平分 ，
求 的大小．
【变式演练】
【变式4-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，OB为 内一条射线， 的余角等于它自身．
(1)求 的度数；
(2)射线 从 开始，在 内以2°/s的速度绕着O点逆时针方向旋转，转到 停止，同时射线 在
内从 开始以3°/s的速度绕O点逆时针方向旋转转到 停止，设运动时间为t秒．
①若 ， 运动的任一时刻，均有 ，求 的度数；
② 为 内任一射线，在①的条件下，当 时，以 为边所有角的度数和的最小值为________．
【变式4-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图， 是直线 上一点，射线 绕点 顺时针旋转，从 出发，
12
学科网（北京）股份有限公司每秒旋转 ，射线 绕点 逆时针旋转，以相同的速度从 出发，射线 与 同时旋转，设旋转的时间为 秒，
当 旋转到与 重合时， 都停止运动．
(1)猜想： __________ ，并说明理由；
(2)已知射线 始终平分 ，射线 在 内，且满足 与 互余．
①当 秒时， __________ ；
②在运动过程中，试探究 与 之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【变式4-3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线 上一点，三角板（其中 ）的边
与射线 重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边 与 重合；同时射线 与 重合的位置开始绕O
点以每秒n°逆时针方向旋转至 ，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)若 ， ， 秒时， ________°；
(2)若 ， ，当 在 的左侧且平分 时，求t的值；
(3)如图2，在运动过程中，射线 始终平分 ．
①若 ， ，当射线 ， ， 中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出 ________
秒；
13
学科网（北京）股份有限公司②当 在 的左侧，且 与 始终互余，求m与n之间的数量关系．
题型 02 定值问题
【典例分析】
【例5-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，点О在直线 上，射线 分别在 两侧， ，
， 分别平分 和 ，下列四个结论：① ；② 为定值；③
；④ ．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案：
(1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若 ，则 ______ ， ______ ．
(2)图②中，将两个同样的三角尺 角顶点O叠放在一起，试判断 与 的和是否为定值？若是，请求出
这个定值；若不是，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【例5-3】（20-21七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板 的直角顶点 放在直尺
的边缘，将直角三角板绕着顶点 旋转．
（1）若三角板 在 的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现 的大小发生了变化，但它们
的和不变，即 ；
（2）若 分别位于 的上方和下方，如图 所示，则 之间的上述关系还成立吗?若不成立，则
它们之间有怎样的数量关系?请说明你的理由；
（3）射线 分别是 的角平分线，若三角板 始终在 的上方，则旋转过程中， 的
度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【变式演练】
【变式5-1】（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（ 、 ），
将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且 ，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在 内作 ，则 平分 ；
②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次；
④ 的角度恒为 ．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】（20-21七年级·四川成都·）已知 ， ， 平分 ， 平分 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图，当 、 重合时，求 的值；
（2）若 从上图所示位置绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒（ ），在旋转过程中 的
值是否会因 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
【变式5-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板 的直角顶点O放在直尺
的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
(1)若三角板 在 的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现 、 的大小发生了变化，但它们
的和不变，即 ______°．
(2)若 、 分别位于 的上方和下方，如图2所示，则 、 之间的上述关系还成立吗？若不成立，
则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
(3)射线 、 分别是 、 的角平分线，若三角板 始终在 的上方，则旋转过程中， 的
度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司题型 03 存在性探究问题
【典例分析】
【例6-1】（20-21七年级上·四川德阳·期末）已知 为直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
（1）如图1，若 ，则 ；
（2）当射线 绕点 逆时针旋转到如图2的位置时， 与 之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在图3中，若 ，在 的内部是否存在一条射线 ，使得 ？若
存在，请求出 的度数；若不存在，请说明理由．
【例6-2】（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线
OE表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余
18
学科网（北京）股份有限公司(1)①若m＝50，则射线OC的方向是 ；
②图中与∠BOE互余的角有 与∠BOE互补的角有 ．
(2)若射线OA是∠BON的角平分线，则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系？如果存在，请写出你的结论以及
计算过程，请说明理由．
【例6-3】（23-24七年级上·广东广州·期末）已知： ，过点 引两条射线 ， ，且 平分 ．
(1)如图，若 ， ，且点 在 内部．
①请补全图形；
②求出 的度数；
(2)若 ，求出 ， ， 三者的等量关系．
(3)若 ，是否存在 与 互余？若存在，求 的度数（用 表示）；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
【变式6-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知O为直线AB上的一点， 是直角， 平分 ．
(1)如图1，若 ，则∠BOE＝___；若 ，则∠BOE＝___； 与 的数量关系为___．
19
学科网（北京）股份有限公司(2)在图2中，若 ，在 的内部是否存在一条射线 ，使得2∠BOD与∠AOF的和等于 与
的差的三分之一？若存在，请求出 的度数；若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由，
若不成立，求出 与 的数量关系．
【变式6-2】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示， ，将直角三角板的直角顶点放置在O点，
平分 ．
20
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，则 ______， ______．
(2)如果 ， ，试判断 ， 的数量关系，并说明理由．
(3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得 在 的内部， 在 的外部，若
， ， ， 是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出 ，
的数量关系．
【变式6-3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙 上一点，魔法棒从 的位置开始绕点O
向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行
如下步骤的旋转．
第1步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ；
第2步，从 开始继续旋转 至 ；
第3步，从 开始继续旋转 至 ，
…．
21
学科网（北京）股份有限公司例如：当 时． ， ， ， 的位置如图2所示，其中 恰好落在 上， ；当
时， ， ， ， ， 的位置如图3所示，其中第4步旋转到 后弹回，即
，而 恰好与 重合．
根据以上材料，解决如下问题：
(1)若 ，则 度数是 ；
(2)若 ， 恰好与 重合，求 的值；
(3)若 ，是否存在对应的 值使 ？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由．
一、解答题
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为 ，且
．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t ）．
(1)当 时， 的长为 ，点 P 表示的有理数为 ；
22
学科网（北京）股份有限公司(2)当 时，求t的值；
(3)M为线段 的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，请
说明理由；若不变，求出线段 的长．
2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺 的直角顶点P在直线 上，点A，B在直线 的同侧．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，若 平分 ， 平分 ，求 的度数．
3．（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，射线 绕点O从射线 顺时针向射线 转动，同时，点M从线段
的端点E沿线段向端点F移动．如果当射线 转动到 的角平分线位置时，点M也恰好移动至线段 的
中点位置，我们称点M为射线 的半随点．
23
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，射线 ，点M分别以 的速度如图所示方式运动，判断点M是否为射线
的半随点？请说明理由；
(2)已知 ，射线 ，点M分别以 的速度如图所示方式运动，若点M是射线 的半随点，求
线段 的长度（用含有m的式子表示）；
(3)若点E在 的边 上（不与点O重合），过点E作射线 交边 于点F，射线 绕点O从射线 顺时
针向射线 转动，交 于点M，请判断是否存在线段 ，使得M为射线 的半随点，若存在，请画出线段 ，
并简要说明画法：若不存在，请说明理由．
4．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三
角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，
将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
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学科网（北京）股份有限公司①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？
若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图 ， 三点在同一直线上，点 在线段 的延
长线上，且 ，请仅用一把圆规在图中确定 点的位置．
【认识概念】在同一直线上依次有 四点，且 ，那么称 与 互为“对称线段”，其中 为
的“对称线段”， 亦为 的“对称线段”．
如图 ，下列情形中 与 互为“对称线段”的是 （直接填序号）．
； ； ．
【运用概念】如图 ， 与 互为“对称线段”，点 为 的中点，点 为 的中点，且 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的长；
【拓展提升】如图 ，在同一直线上依次有 四点， 且 （ 为常数），点 为 的中点，
点 在 上且 ．是否存在 的值使得 的长为定值？若存在，请求出 的值以及这个定值（用含 的
代数式表示）；若不存在，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司26
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