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专项 03 正方形中四个常考模型
模型一：正方形的“十字架”模型
模型二：正方形中过对角线交点的直角问题
正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点 分别在 上.若
为直角， 分别与 的延长线交于点 ，则△AOE≌△BOF，
△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且 .
模型三：正方形中的“三垂定理”模型
如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，
垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF模型四：正方形半角模型
条件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°
结论：
① EF=BE+DF ； (△ CEF 的 周 长 = 正 方 形
ABCD周长的一半）
②EA平分∠BEF
③FA平分∠DAE
☆：当∠EAF旋转到正方形ABCD外部时，则有：
条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°
结论：EF=DF-BE
【模型一：正方形的“十字架”模型】
【典例1】如图，ABCD是一个正方形花园， 是它的两个门，且 .要修建两
条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【探究】若去掉“ ”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结
论成立吗？
（1）若已知 ，则 成立吗？
（2）若已知 ，则 成立吗？【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，求证：
AE＝BF．
【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，
且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．
（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．
【变式1-3】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，过点D作
DF⊥AE交AB于F，垂足为G．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若点E是BC的中点，连接BG，请探究线段FG，BG，EG之间的数量关系．
【模型二：正方形中过对角线交点的直角问题】【典例2】如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点 又是正方形 的
一个顶点， 交AB于点 交BC于点F.
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
【变式2-1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别
是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°．
求证：AE＝BF．
【变式2-2】如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点M在AB边的延长线上，点N在BC边的延长线上，OM交BC于点 E，ON交CD于点 F，且∠MON＝90°，连接
MN．
（1）求证：EM＝FN；
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【模型三：正方形中的“三垂定理”模型】
【典例3】（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图 1，四边形ABCD是正方形，点
E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：
AE＝EF．
小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点H，连接HE，则可以证明AE
＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边
BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，
你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结
论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
【变式3-1】如图，一块边长为5的正方形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，
C，D，O在同一平面内，过点A作AE⊥OB于点E．（1）求证：△ABE≌△BCO；
（2）若OC＝3，求EO的长．
【变式3-2】如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM
＝DN
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．
【变式3-3】如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点
H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
【模型四：正方形半角模型】
【典例4】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝
BE．（1）求证：CE＝CF．
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所累积的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是
AB上一点，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的长．
【变式4-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，
过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．
（1）△GAB≌△FAD吗？说明理由．
（2）猜想线段DF、BE、EF之间的数量关系并说明理由．
【变式4-2】（2021•香洲区校级模拟）已知：正方形 ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕
点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，
如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量
关系？请写出你的猜想，并证明．
1.已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．2．如图，已知正方形 ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝
45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．
3．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AB＝4，CF＝1．
（1）求AE，EF，AF的长；
（2）求证：∠AEF＝90°．
4.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于
点G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝8，DE＝2，求AG的长．5．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边
BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
6．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与
DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．7．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方
形AEFG，连接DG．
（1）求证：DG＝BE；
（2）如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH、BE、DH三条线段之间的
数量关系，并说明理由．
8．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作
EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．9．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG
于点F．
（1）如图1，求证：AE＝BF；
（2）如图2，延长DE交AB于点M，延长BF交CD于点N，若AM＝2MB，在不添加
任何辅助线的情况下，请直接写出图2中3个面积等于△AED面积的图形．
10．已知：四边形ABCD是正方形．
（1）如图1，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点
F．求证：AE＝EF；
（2）如图2，若把（1）中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，
其余的条件不变，试证明AE＝EF仍然成立．11．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）连接DE，求∠PED的度数．
12．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．
求证：（1）BG＝DE；
（2）BG⊥DE．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，F是CD上一点，且DF＝3CF．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）求四边形AEFD的面积．14．综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连
接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小
值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
15．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，
且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关
系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，
若AB＝2，求QM的长度．16．如图，四边形 ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在
△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．
17．已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点
A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为
F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，
写出解答过程；若变化，试说明理由．18．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数
量关系为 ．
（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E，F，G 分别是边 AD，BC，CD 上的点，
BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，
BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的
长度．
