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专项 02 菱形中线段和最小值问题【考点1 线段最小值】
【典例1】如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点则
AE长的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【变式1-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的
一动点，则AP的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，
G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B＝45°，BC＝2 ，则GH的最小值为
（ ）
A．. B． C．2 D．3【变式1-3】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一
点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，
则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【考点2 两定点，一动点】
【典例2】（2021春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，
F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，
则这个最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-1】（2020春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB
＝4，BD＝4 ，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（
）
A．4 B．2 C．2 D．8
【变式2-2】（2021•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）A．2 B．2 C．4 D．4
【考点2 一定点，两动点】
【典例3】如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的
动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．
【变式3-1】（2021春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3
，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（
）
A．2 B．3 C．2 D．
【变式3-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝
8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【考点3 三条线段和最小值】
【典例4】如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）BD的长是 ；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是 ．
【变式4-1】（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC＝3，∠ADC＝120°，点
E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 ．
【变式4-2】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC
＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的
一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点
B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
2．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB
于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在
点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．84．在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝
8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C．2 D．6
5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重
合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝ °，△BEF面积的最小值
为 ．
6．如图，菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是
∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值
是 ．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，点E为OA的中
点，点F为BC上一点，且BF＝3CF，点P为BD上一动点，连接PE、PF，则|PF﹣PE|
的最大值为 ．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝ ，则GH的最小值为 ．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC＝120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重
合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为 ．
10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且
BE＝AF．则EF长度的最小值等于 ．
11．如图，在菱形 ABCD 中，∠D＝60°，AD＝10．点 E 是菱形 ABCD 内一点，则
AE+BE+CE的最小值等于 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动
点，连接PA和PM，则PA+PM的最小值是 ．13．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝6cm，P为AC上任一点，则PD+ PA
的最小值是 cm．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是
AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 ．
15．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC
上一动点，则EF+BF的最小值为 ．（提示：根据轴对称的性质）专项 02 菱形中线段和最小值问题【考点1 线段最小值】
【典例1】如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点则
AE长的最小值为（ ）A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解答】解：∵点E是BC边上的一动点，
∴AE⊥BC时，AE有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3，BO＝DO＝ BD＝4，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵S菱形ABCD ＝ ×AC×BD＝BC×AE，
∴AE＝ ，
故AE长的最小值为 ，
故选：B．
【变式1-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的
一动点，则AP的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
【答案】B
【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3，BO＝DO＝ BD＝4，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵S菱形ABCD ＝ ×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝ ＝4.8，
故选：B．
【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，
G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B＝45°，BC＝2 ，则GH的最小值为
（ ）
A．. B． C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2 ，
∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝ AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝ AB＝ ×2 ＝2 ，
∴GH＝ ，
即GH的最小值为 ，
故选：A．
【变式1-3】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一
点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，
则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【答案】B
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝3，OC＝ AC＝4，
∴BC＝5，∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC ＝ OB×OC＝ BC×OP，
∴OP＝2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：B．
【考点2 两定点，一动点】
【典例2】（2021春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，
F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，
则这个最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此
时EP+FP的值最小，
∴PN＝PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，
∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，
∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN＝CF，
在△ANP和△CFP中
∵ ，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP＝CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN＝BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF＝AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝4，BO＝ BD＝3，
由勾股定理得：AB＝ ＝5，
故选：C．
【变式2-1】（2020春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB
＝4，BD＝4 ，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（
）A．4 B．2 C．2 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，设AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD＝2 ，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
连接DE交AC于点P，连接BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴EM＝ AO＝1，BM＝ BO＝ ，
∴DM＝DO+OM＝ BO＝3 ，
∴DE＝ ＝ ＝2 ，
故选：C．
【变式2-2】（2021•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【解答】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8 ，
∴CE′＝2 ，
在Rt△BCE′中，BE′＝ ＝2，
∵BE＝EA＝2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2 ，
故选：B
【考点2 一定点，两动点】
【典例3】如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的
动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（ ）A． B． C．10 D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝5，∠ABC＝∠ADC，
∵菱形ABCD的面积为20，边长为5，
∴AM＝4，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：
BM＝ ＝3，
以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，
∴B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），
∵PC＝CQ，BC＝CD，
∴BP＝DQ，
在△ABP和△ADQ中，
，∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP＝AQ＝A′P，
连接A′D，AP，A′P，
∵A′P+PD＞A′D，
∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，
∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D＝ ＝ ．
故选：B．
【变式3-1】（2021春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3
，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（
）
A．2 B．3 C．2 D．
【答案】D
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝
2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH＝ BC＝3，
∴HG＝3﹣2＝1，
∴Rt△BHG中，BG＝ ＝ ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是 ．
故选：D．【变式3-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝
8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解答】解：连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P，
则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝4，
∴AO＝ ＝3，
∴AC＝6，
∵S菱形ABCD ＝ AC•BD＝AB•CP，
∴CP＝ ＝ ，
∴AQ+PQ的最小值为 ，
故选：B．【考点3 三条线段和最小值】
【典例4】如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，过线段BD上的一个动点P
（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）BD的长是 ；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是 ．
【答案】8 ；4 ．
【解答】解：（1）连接AC，交BD与点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝8，
根据菱形性质得：AO＝CO＝ AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
根据勾股定理得：BD＝2OB＝2× ＝8 ；
（2）延长FP交BC于点M，则FM⊥BC．∵PM＝PE，
∴PE+PF＝PF+PM＝FM，
又∵S菱形ABCD ＝ AC•BD＝BC•FM，
∴ ×8×8 ＝8•FM，即FM＝4 ，
∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．
当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小．
此时PB＝BO＝DO＝ BD＝4 ．
故答案为：8 ；4 ．
【变式4-1】（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC＝3，∠ADC＝120°，点
E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：以点A为旋转中心，将△AED旋转60°到△AE'D'，连接EE'，作BH⊥D'A
于H．
则D'E'＝DE，D'A＝DA，AE＝AE'，
∴△AEE'为等边三角形，
∴AE＝EE'，
∴EA+EB+ED＝EE'+EB+E'D'≥BD'，
即EA+EB+ED的最小值为BD'．
∵∠ADC＝120°，四边形ABCD为菱形，
∴∠DAB＝60°，∠DAC＝30°，∴∠D'AE'＝30°，
∴∠D'＝30°，
∴∠DAC＝90°，
∴∠HAB＝60°，
∵AC＝3，
∴AD＝AC＝ ＝AB＝BC，
∴AH＝ AB＝ ，
∴HB＝ AH ＝ ，
∴BD'＝2HB＝2× ＝3，
即EA+EB+ED的最小值为3．
【变式4-2】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC
＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝ ＝ ＝3 ，
∴2DE＝6 ．
∴MA+MB+MD的最小值是6 ．
故选：D．
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的
一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点
B向点C移动时，线段MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴MN＝ EF，
∴EF取最小值时，MN最小，
∵E在BC上运动，∴E与C重合时，EF最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝DC＝4，
∵DF＝1，
∴CF＝DC﹣DF＝3，
∴EF最小值为3，
∴MN的最小值为1.5，
故选：B．
2．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB
于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【解答】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，
∴BA＝BC＝6，S△ABC ＝ S菱形ABCD ＝12，
∵S△ABC ＝S△PAB +S△PBC ，
∴ ×6×PE+ ×6×PF＝12，
∴PE+PF＝4，
故选：A．3．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在
点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，
∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD⊥AC，
∵AM⊥AC，
∴AM∥BD，
∴AM∥EF，
∵AM＝EF，AM∥EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE＝FM，
∴AE+CF＝FM+FC＝CM，
根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°
∴BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
在Rt△CAM中，CM＝ ＝
∴AE+CF的最小值为2 ．故选：A．
4．在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝
8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C．2 D．6
【答案】A
【解答】解：连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∠DAB＝60°，
∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE＝BG，AM＝CM，EN＝GN，
∴∠GAH＝30°，∠EBG＝∠DAB＝60°，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠BGE＝60°，
∴∠AHG＝90°，
∴四边形BNHM是矩形，GH＝ AG＝4，AH＝ GH＝4 ，
∴MN＝BH，当BH⊥AG时，BH最小，
∵∠GAH＝30°，
∴BH＝ AH＝2 ，
∴MN的最小值＝2 ；
故选：A．
5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重
合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝ °，△BEF面积的最小值
为 ．【答案】60; ．
【解答】解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝2，DF+CF＝2，
∴AE＝DF，
∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE＝BF，
∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝ ，
∴边BE上的高为 ，
△BEF面积的最小值为： ．
故答案为： ．
6．如图，菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值
是 ．
【答案】
【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝
OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，
∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP＝O′P，
∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，∠BAC＝ ∠BAD，OA＝OC＝ AC，OD＝OB＝ BD，∠AOD＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD＝AD＝3，
∴OD＝ BD＝ ，
∴AO＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝2OA＝3 ，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝ AC＝ ，
∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴OE∥AB，
∴∠EOF＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOF中，∠OAB＝ DAB＝30°，
∴OF＝ OA＝ ，
∴OO′＝2OF＝ ，
在Rt△EOO′中，O′E＝ ＝ ＝ ，
∴OE+PE＝ ，
∴OP+PE的最小值为 ，
故答案为： ．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，点E为OA的中
点，点F为BC上一点，且BF＝3CF，点P为BD上一动点，连接PE、PF，则|PF﹣PE|
的最大值为 ．【答案】
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，
在BC上取一点F，使得BF＝3CF，取OA的中点E，点P为BD上的一动点，
作E点关于BD的对称点E'，连接PE'，
∴PE＝PE'，
在△PFE'中，
PF﹣PE＝PF﹣PE'＜FE'，
则当点P、F、E'三点共线时，PF﹣PE取最大值，
∴PF﹣PE＝PF﹣[E'＝FE'，
取BC的中点H，连接HO，∵BF＝3CF，OA的中点E，
∴点F是HC的中点，E'是OC的中点，
∴FE'＝ HO，
∵HO＝ BC，
∴FE'＝ HO＝ BC＝ ．
故答案为： ．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别
为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝ ，则GH的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2 ，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝ AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝ AB＝ ×2 ＝ ，
∴GH＝ ，
即GH的最小值为 ，
故答案为： ．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC＝120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重
合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：连接BD，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝4，DF+CF＝4，
∴AE＝DF，
∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝2 ，
∴边BE上的高为 ×2 ＝3，
∴△BEF面积的最小值＝3 ．
故答案为：3 ．
10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且
BE＝AF．则EF长度的最小值等于 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠CAF＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠CAF，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE最小时，EF也最小，
当CE⊥AB时，CE最小，
此时∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE＝ BC＝2，
∴CE＝ ＝ ＝2 ，
∴EF的最小值为2 ，
故答案为：2 ．
11．如图，在菱形 ABCD 中，∠D＝60°，AD＝10．点 E 是菱形 ABCD 内一点，则
AE+BE+CE的最小值等于 ．
【答案】10
【解答】解：旋转△BEC到△BFG，旋转角为60°，
则BE＝BF，EC＝FG，
∵∠EBF＝60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴BE＝EF，
∴AE+BE+CE的最小值就是线段AG的长，∵AB＝BG，∠ABG＝120°，
∴∠BAG＝∠BGA＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AB＝10，
∴AG＝10×sin60°×2＝10× ×2＝10 ，
故答案为：10 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动
点，连接PA和PM，则PA+PM的最小值是 ．
【答案】3
【解答】解：作点M关于BD的对称点N，交CD于点N，连接AN，则AN就是PA+PM
的最小值，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，AC⊥BD，
∴∠ADC＝60°，DA＝DC，点N为CD的中点，
∴△DAC是等边三角形，AN⊥CD，
∴AC＝AD＝AB＝6，
∴AN＝ ＝ ＝3 ，
故答案为：3 ．13．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝6cm，P为AC上任一点，则PD+ PA
的最小值是 cm．
【答案】3
【解答】解：过P点作PH⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴PH＝ PA，
又∵菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD＝PB，
∴PD+ PA＝PD+PH
即当P，D，H三点在同一直线时，PD+ PA＝PH取最小值．
∵∠BAD＝60°，AD＝AB＝6，
∴△ABD是等边三角形，
过D点作DH'⊥AB，
∵AH'＝BH'＝3，在△AD'H中，DH'＝ ，即 最小值为3 ．
故答案为：3 ．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是
AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 ．
【答案】3
【解答】解：如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB＝AD＝CD＝BC＝6，
∵∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠B＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD＝∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AC上，此时EF+ED最小＝DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC＝90°，DC＝6，∠CDH＝ ∠ADC＝30°，
∴CH＝ DC＝3，DH＝ ＝ ＝3 ，
∴EF+DE的最小值＝DH＝3
故答案为3 ．15．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC
上一动点，则EF+BF的最小值为 ．（提示：根据轴对称的性质）
【答案】
【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴AE＝ AD＝1，DE＝ ＝ ，
∴EF+BF的最小值为 ．
