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专题 07 一元一次方程应用的九种类型（九种技巧精讲精练+过关检
测）
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学科网（北京）股份有限公司题型 01 和、差、倍、分问题
【典例分析】
【例1-1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，
还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（ ）
A．66件 B．67件 C．68件 D．72件
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每
个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一
元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设分派站现有包裹x件，
依题意得： ，
解得： ，
故选：A．
【例1-2】（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队
的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现
有的工作人数为 人，乙处现有的工作人数为 人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可．
【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为 人，乙处现有的工作人数为 人．
根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得： ，
故答案为：
【例1-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·阶段练习）列方程解应用题
某检测站要做规定的时间内检测一批产品，原计划每天检测 30 件产品，则在规定的时间内只能检测完总数的 ，
现在每天实际检测 50 件，结果不仅比原计划提前来1天完成任务，还可以多检测 25 件，
2
学科网（北京）股份有限公司(1)求规定时间是多少天？
(2)求这批产品共有多少件？
【答案】(1)6天
(2)这批产品共有225件
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，设出未知数，根据题目中的关键语句列出方程．
（1）设规定时间是x天，根据题意列出方程解答即可；
（2）将 代入等式解答即可．
【详解】（1）解：设规定时间是x天，根据题意，得
解得 ，
答：规定时间是6天；
（2）解： （件）
答：这批产品共有225件．
【变式演练】
【变式1-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则余5个；若每个
小朋友分4个则少10个，问苹果有多少个？”若设共有 个苹果，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据人数始终不变的相等关系列方程即可得．
【详解】由题意可得， ，
故选：C．
【变式1-2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小
3
学科网（北京）股份有限公司数点错了一位，则这笔款是 元．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设笔款是 元，根据现金多了273.6元列方程即可．
【详解】解：设笔款是 元，则现在数量为 （元），
由题意可得， ，
解得 ，
答：这笔款是 元，
故答案为： ．
【变式1-3】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）为了鼓励同学们加强体育锻炼，某校准备举行冬季长跑比赛． 为
奖励长跑优胜者，学校准备购买一些亚运会吉祥物的水杯和徽章，据了解，某商店水杯的单价比徽章的单价多12元，
若买3个徽章和2个水杯共需64元． 徽章和水杯的单价各是多少？
【答案】徽章的单价为8元，水杯的单价为20元．
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设设徽章的单价为 元，水杯的单价为 元．根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设徽章的单价为 元，水杯的单价为 元．
根据题意，得 ．
解得 ．
（元）．
答：徽章的单价为8元，水杯的单价为20元
题型 02 工程问题
【典例分析】
【例2-1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）整理一批数据，由一人做 完成，现在计划先由x人做 ，再增
加5人做 ，完成这项工作的 ，可列方程（ ）
4
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，先确定1人的工作效率为 ，即可得出x人做 的工作量，及增加5人
做 的工作量，根据工作量之和等于 ，列出方程即可．
【详解】根据题意，得
．
故选：B．
【例2-2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）整理一批图书，由一个人做要 完成，现计划由一部分人先做 ，然
后增加2人与他们一起做 ，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x
人先做 ， 列方程是
【答案】
【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，设全部工作量是1，由一个人做要30小时完成，即一个人一小
时能完成全部工作的 ，这部分共有x人，根据本题中的等量关系“这部分人4小时的工作量+增加2人后所有人5
小时的工作量=全部工作量”即可得方程
【详解】解：由题意，得
．
故答案为： ．
【例2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，
合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元．
(1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？
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学科网（北京）股份有限公司(2)现两人合作了这项工程的 ，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？
【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程
(2)调走甲更合适
【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题．
（1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论；
（2）先求出完成 需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙
独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论．
【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天．
则 ，解得 ．
因为 ，
所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程；
（2）解：设两人合作a天完成工程的 ．
则
解得 ．
若调走甲，则乙还需 （天）；
若调走乙，侧甲还需 （天）．
因为 （天） 天，
（天） 天，
所以调走甲更合适．
【变式演练】
【变式2-1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）制作一件手工制品，如果由一个人完成需10小时，现在由一部分人先
做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，完成这项工作的 ，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，
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学科网（北京）股份有限公司那么下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设先安排x人工作，根据前一个小时完成的工作量+后两个小
时完成的工作量=总工作量的 ，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设先安排x人工作，
依题意，得： + ．
故选：B．
【变式2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）师徒两人合作完成了540个零件的加工任务，其中徒弟加工了3小时，
师傅加工了5小时．已知师傅每小时比徒弟多加工12个，徒弟每小时加工( )个，师傅每小时加工(
)个．
【答案】 60 72
【分析】此题考查了工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系以及学生对列方程、解方程的熟练掌握程度，关键
是要找到等量关系式．根据题意，可以设徒弟每小时加工 个，则师傅每小时加工 个，根据工作量 工作时间
工作效率这一公式，可以列出等量关系式为： ．
【详解】解：设徒弟每小时加工 个，则师傅每小时加工 个．
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学科网（北京）股份有限公司师傅： （个），
故答案为： ， ．
【变式2-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾
需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要 天，乙车队单独运完需要 天．乙车
队先运了 天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金 元，比乙车队少 元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【答案】(1) 天
(2) 元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键；
（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送 ，乙车效率为每天运送 ，据此设甲、乙两车合作还需要 天运
完垃圾，然后进一步列出方程求解即可；
（2）根据甲车队每天的租金 元，比乙车队少 元，计算求解即可；
【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要 天运完垃圾，
根据题意得： ，
解得： ，
答：甲、乙两车合作还需要 天运完垃圾．
（2）解：乙队一共工作了 天，甲队一共工作了 天，
，
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金 元．
题型 03 配套问题
【典例分析】
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学科网（北京）股份有限公司【例3-1】（23-24七年级上·福建福州·期末）制作一张桌子需1个桌面和4条桌腿． 木材可制作20个桌面，或者
制作400条桌腿．现有 木材制作桌子，设用 木材制作桌面，根据制成的桌面与桌腿刚好配套，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，求出用 木材制作桌面时，制作的桌面数、桌腿数，根据一张桌子需
1个桌面和4条桌腿，列方程即可．
【详解】解：设用 木材制作桌面， 木材制作桌腿，则可制作桌面 个，制作桌腿 个，
由一张桌子需1个桌面和4条桌腿，可得： ，
故选A．
【例3-2】（22-23七年级上·内蒙古兴安盟·期中）某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部
件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排 人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好
配套?
【答案】25
【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，
列出方程组，再求解．需注意：两个甲种部件和三个乙种部件配成一套的等量关系为： 甲种部件的个数 乙种
部件的个数．两个等量关系为：加工的甲部件的人数 加工的乙部件的人数 ； 加工的甲部件的人数 加
工的乙部件的人数 ．
【详解】解：设加工的甲部件的有 人，加工的乙部件的有 人．
可得： ，
解得： ，
．
所以加工的甲部件的有25人，
故答案为：25．
【例3-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2
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学科网（北京）股份有限公司个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则
生产甲、乙零件的工人数各多少人？
【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配 人
生产甲种零件， 人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产
甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解．
【详解】解：设应分配 人生产甲种零件，则应分配 人生产甲种零件，由题意得：
，
解得 ，
（人 ．
答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓配两个螺母的产品，每人每天
生产螺栓16个或螺母22个．若分配 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则
下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，解题的关键是要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓
数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍 螺母数量．
【详解】解：若分配 名工人生产螺栓，则 名工人生产螺母，
根据题意有 ，
故选 D．
∶
【变式3-2】（23-24七年级上·四川成都）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15
个或螺帽10个，应分配 人生产螺栓， 人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．
（每个螺栓配两个螺帽）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 15 45
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设应分配x人生产螺栓， 人生产螺帽，根据“生产的螺栓和螺帽刚好
配套，每个螺栓配两个螺帽，”列方程求解即可．
【详解】解：设应分配x人生产螺栓， 人生产螺帽，
由题意得， ，
解得 ，
∴ （人），
∴应分配15人生产螺栓，45人生产螺帽，
故答案为：15，4
【变式3-3】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架
和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使
每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排 人生产脚踏板，根据“每人每天
平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解．
【详解】解：设安排x人生产支架，则安排 人生产脚踏板，
由题意，得 ，
解得 ，
（人）．
答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套
题型 04 数字问题
【典例分析】
【例4-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，
新的两位数比原两位数小18，则x的值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，个位上的数是1，十位上的数是x，则这个数为 ；把个位上的数与十
位上的数对调得到的数为 ，根据新两位数比原两位数小18列出方程，解出即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ，
故选：C．
【例4-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一列数，按一定规律排列成 ，其中某三个
相邻数的和是 ，则这三个数中最小的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分
别为 ， ，根据三个数之和为 ，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入 ，
中，取其中最小值即可得出结论．
【详解】解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为 ， ，依题意，得：
，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【例4-3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，康康将 ， ， ，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格
内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，其中 、 、 分别代表其中的一个数．
(1)求 ， ， 的值各为多少：
(2)将3，5， ， ，7， ，9， ，1这九个数字分别填入如图的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数的
和都相等．
12
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)见解析（答案不唯一）
【分析】考查了有理数的加法，注重考查学生的思维能力．九方格题目趣味性较强，从小到大排列，对角交换，旋转
一格，为九宫格通法．
（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可解答．
（2）九方格题目先将数字按从小到大的顺序填入方格后，将对角数字交换位置，再顺时针旋转一格即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∴ ；
（2）解：如图所示：
【变式演练】
【变式4-1】（24-25七年级上·广东佛山·期中）一个两位数，如果它的个位数字不为零，且正好等于其个位和十位上
数字和的 倍（ 为正整数），我们就说这个两位数是一个“ 喜数”．例如： 就是一个“ 喜数”，因为
； 就不是一个“ 喜数”，因为 ．小晖发现个位数字是十位数字 倍的两位数都是“
喜数”，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了新定义“ 喜数”和解一元一次方程，设十位上的数字为 ，则个位上的数字为 ，根据十位数、
个位数之和与个两位数之间的关系列出方程即可求解，理解和应用新定义是解题的关键．
【详解】解：设十位上的数字为 ，则个位上的数字为 ，
则这个两位数为 ，
这个两数是“ 喜数”，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ．
故选：C．
【变式4-2】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足 ，则这四个
偶数是 ．
【答案】100，102，104，106
【分析】本题主要考查了列一元一次方程的应用；解题的关键是准确表示出这四个数，正确列出方程来解答．首先用
字母m来表示出这四个数，然后根据等式 ，列出方程求解即可解决问题．
【详解】解： 、b、c、d是4个连续的偶数，
设最后一个数是 ，
，
，
，
，
，
故答案为：100，102，104，106
【变式4-3】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）观察下面三行数：
， ， ， ， ，…①
， ， ， ， ，…②
， ， ， ， ，…③
(1)第①行第 个数是______；第②行第 个数是______；第③行第 个数是_____；
(2)已知 是其中的数，则它是第______行的第______个数；
(3)取每行的第 个数，若这三个数的和是 ，求 的值．
【答案】(1) ， ， ．
(2)③， ．
14
学科网（北京）股份有限公司(3) 为 或 ．
【分析】本题考查代数式排列的规律，乘方以及一元一次方程，能用含 的代数式表示出每行数中的第 个数是解题
的关键．
（1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）分两种情况列出关于 的等式即可．
【详解】（1）观察所给数可知，
第①行中的第 个数可表示为 ，
第②行中的第 个数可表示为 ，
第③行第 个数可表示为 ，
∴第①行第 个数是 ，
第②行第 个数是 ，
第③行第 个数是 ．
故答案为： ， ， ．
（2）因为 ，
所以 不在第①行和第②行中．
当 ，
解得 ．
所以 是第③行的第 个数．
故答案为：③， ．
（3）设第二行的第 个数为 ，则第一行的第 个数为 ，第三行的第 个数为 ，
当 为奇数时，
解得
15
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 为偶数时，
解得
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上可得， 为 或 ．
题型 05 日历问题
【典例分析】
【例5-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数a,b,c，并求出它们的和是 ，则这三
个数在日历中的位置不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键
【详解】解：设最小的数 ，
对于 选项， ，可得 ，
解得： ，故本选项不符合题意；
对于B选项， ，
，
16
学科网（北京）股份有限公司解得：x=6，故本选项不符合题意；
对于C选项， ，
，
解得： ，故本选项不符合题意；
对于D选项，
可得 ，
解得： ，故本选项符合题意；故选D
【例5-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个
数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69．
【答案】23
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为
和 ，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为 和 ，由题意得：
解得： ；故答案为：23
【例5-3】（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
(2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周
年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由；
【答案】(1)小明是星期二出发的
(2) 的值不能等于74，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用：
（1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可；
（2）根据月历的特点可得另外三个数为 ，则解方程 得到 ，
由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论．
【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天，
根据题意得： ，
解得 ，
∴小明出发的日期是10月的第3天，
由月历表可知，10月3号为星期二，
答：小明是星期二出发的；
（2）解： 的值不能等于74，理由如下：
∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m，
∴另外三个数为 ，
若 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵10月15日在第一列，
∴此时不能出现“S型”
∴ 的值不能等于74．
【变式演练】
【变式5-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数
（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．98 C．126 D．161
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为x，根据题意列出方程求解即可判断，
解题的关键是正确找出题中的等量关系．
【详解】设最中间的数为x，
∴这7个数分别为 、 、 、x、 、 、 ，
∴这7个数的和为： ，
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，
由图可知，当 时，右面没有数字，
∴ 时不符合题意，
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【变式5-2】（22-23七年级上·广西南宁）如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如
果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ．
【答案】21
【分析】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，
设中间的数为 ，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，
∴
∴
故答案为：21
【变式5-3】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问
题：
(1)我们用如图所示的“ ”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“ ”字型框架中的五
个数的和与 位上的数的关系．
例如： ________， ________；
不难发现，其结果都等于________；
(2)设“ ”字型框架中位置 上的数为 ，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明；
(3)在某月历中，“ ”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间 位上的数
________．
20
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)65；50；位置C上的数的5倍
(2)见解析
(3)20
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法计算，整式的加减计算：
（1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍；
（2）设“ ”字型框架中位置 上的数为 ，则位置A上的数为 ，位置B上的数为 ，位置D上的数为 ，
位置E上的数为 ，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论；
（3）根据题意可得最小的数为 ，最大的数为 ，根据最小数与最大数的和为40，得到 ，解方
程即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ，
∴“ ”字型框架中的五个数的和与 位上的数的关系为：“ ”字型框架中的五个数的和等于 位上的数的5倍，
故答案为：65；50；位置C上的数的5倍；
（2）证明：设“ ”字型框架中位置 上的数为 ，则位置A上的数为 ，位置B上的数为 ，位置D上的数
为 ，位置E上的数为 ，
∵ ，
∴“ ”字型框架中的五个数的和等于 位上的数的5倍；
（3）解：∵中间的数为c，
∴最小的数为 ，最大的数为 ，
∵最小数与最大数的和为40，
∴ ，
∴ ，
故答案为：20．
题型 06 方案选择问题
【典例分析】
21
学科网（北京）股份有限公司【例6-1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）某商场的婴儿奶粉专柜，为提升某品牌奶粉的知名度，打出了两种优惠
方案开展促销活动：方案甲是“买六厅奶粉， 折付款，并再送同款奶粉一厅”；方案乙是“买七厅奶粉， 折
付款”，按方案甲买七厅付了1701元．
(1)求这款品牌奶粉原销售价是多少元一厅；
(2)若你去买的这款奶粉的话，你认为该采用哪种方案较节省．
【答案】(1)该品牌奶粉原销售价是每厅378元
(2)按方案甲较节省
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）设该品牌奶粉原销售价是每厅 元，根据“买六厅奶粉， 折付款，并再送同款奶粉一厅”列方程即可求解；
（2）根据方案乙是“买七厅奶粉， 折付款”，计算出方案乙所需付款金额进行比较即可．
【详解】（1）解：设该品牌奶粉原销售价是每厅 元，
根据题意列方程得： ，
解得： ，
∴该品牌奶粉原销售价是每厅378元；
（2）∵按方案乙付款是： ，
∵ ，
∴按方案甲较节省，故选择方案甲．
【例6-2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）张老师需要办一种 套餐．运营商推出了两种包月套餐方案：
方案一：每月50元月租费，流量资费0.4元 ；
方案二：没有月租费，流量资费0.6元 ．
设张老师每月使用流量 ．
(1)张老师使用方案一套餐每月需花费__________元，使用方案二套餐每月需花__________元；（用含x的代数式表
示）
(2)张老师平均每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？
(3)若张老师平均每个月使用流量 ，选择哪种套餐比较合算？
22
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)第二种套餐
【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示选择每种
套餐分别花费的钱数是解题的关键．
（1）按第一种套餐，应由月租费加流量费计算花费的钱数，为每月 ，按第二种套餐，只有流量费，为每月
元，于是得到问题的答案；
（2）若两种套餐花费一样多，则 ，解方程求出 的值即可．
（3）分别计算出当 时， 的值及 的值，再将所求得的结果比较大小，即得到问题的答案；
【详解】（1）解：根据题意得，按第一种套餐每月 元，按第二种套餐每月 元，
故答案为： ， ．
（2）根据题意得 ，
解得 ，
答：张老师每月用 流量时，两种套餐花费一样多．
（3）当 时， ， ，
按第一种套餐需要130元，按第二种套餐需要120元，
120元 元，
答：选择第二种套餐比较合算．
【例6-3】（23-24七年级上·江西上饶·期末）为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定
购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队
服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．
(1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？
(2)甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八
折．若该校购买120套队服和a个足球（其中 且为整数），当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所花
的费用一样？
23
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)每套队服150元，每个足球100元
(2)购买的足球数a为60时在两家商场购买所花的费用一样
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，打折问题，正确理解，列出方程解答是关键．
(1)设每个足球的定价是x元，则每套队服是 元，根据题意得： ，解方程即可．
(2)甲商场购买所花的费用为： ，乙商场购买所花的费用为：
；两家商场购买所花的费用一样时， ，解方程即可．
【详解】（1）解：设每个足球的定价是x元，则每套队服是 元，根据题意得：
，
解得 ，
．
答：每套队服150元，每个足球100元．
（2）解：甲商场购买所花的费用为： ，
乙商场购买所花的费用为： ；
两家商场购买所花的费用一样时， ，
解得 ．
答：购买的足球数a为60时在两家商场购买所花的费用一样．
【变式演练】
【变式6-1】（23-24七年级上·江苏·期末）为筹备文艺会演，七（1）班计划在某店铺购买甲、乙两种演出道具，已
知该店铺甲道具每件标价10元，乙道具每件标价2元，现有以下两个促销方案：
方案一：买一送一（每买一件甲道具，送一件乙道具）
方案二：全场九折（即全部商品按标价的九折销售）
(1)若购买10件甲道具与30件乙道具，则两个方案所需的费用相差多少元？
(2)若购买甲道具的件数比乙道具少20件时，两个方案所需的费用相同，则此时购买两种道具各多少件？
24
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)两个方案相差4元；
(2)购买甲道具5件，则购买乙道具25件．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键：
（1）先求出两种方案的费用，再求差即可；
（2）设购买甲道具x件，则购买乙道具 件，根据题意列方程 ，求解
即可．
【详解】（1）解：方案一费用： ，
方案二费用： ，
两个方案相差 元，
答：两个方案相差4元；
（2）解：设购买甲道具x件，则购买乙道具 件，
根据题意可得： ，
解得： ，
，
答：购买甲道具5件，则购买乙道具25件．
【变式6-2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件
时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件．
(1)现有两种购买方案：
分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件；
①
一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由．
②
(2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买
该商品多少件？
【答案】(1)购买方案 费用较省，理由见解析
②
(2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件
25
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键．
（1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可；
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品 件．
分当 时，当 时，两种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下：
购买方案①所需费用为 （元），
购买方案②所需费用为 （元）．
∵ ，
∴购买方案②费用较省．
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品 件．
①当 时， ，
解得： ，
∵ ，
∴不合题意，舍去；
② 时， ，
解得： ，
∴ ．
答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．
【变式6-3】（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健
康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和 个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每
个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）：
方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的 付款．
(1)若 ，请计算哪种方案划算；
26
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，请用含 的代数式分别把两种方案的费用表示出来；
(3)请你帮助公司写出 取值不同时的所有划算的购买方案．
【答案】(1)方案一划算
(2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为 元， 元
(3)当 时，方案二划算；当 时，方案一划算；当 时，方案一和方案二一样划算；当
时，方案二划算
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．
（1）分别求出 时，两种优惠方案的费用，比较即可求解；
（2）根据两种优惠方案分别列式即可；
（3）若方案一和方案二的费用相等，当 时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得 ；当
时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得 ，再进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：当 时，
方案一： （元）．
方案二： （元）．
因为 ，
所以当 时，方案一划算．
答：若 ，方案一划算．
（2）解：当 时，
方案一： 元．
方案二： 元．
答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为 元， 元．
（3）解：若方案一和方案二的费用相等，
当 时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得 ，
27
学科网（北京）股份有限公司解得 ．
因为 ，
所以，当 时，方案二划算；当 时，方案一划算；
当 时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得 ，
解得 ．
所以，当 时，方案一划算；当 时，方案一和方案二一样划算；当 时，方案二划算．
综上可知，当 时，方案二划算；当 时，方案一划算；当 时，方案一和方案二一样划算；
当 时，方案二划算．
题型 07 分段计费问题
【典例分析】
【例7-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为 （ 以内
按起步价付费）， 后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为 ，
可得方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用：根据题意找相等关系列出方程是解题的关键．根据起步里程所花的费用
+超过 所花的费用 一共付的费用，列出方程即可．
【详解】解：设甲、乙两地的路程为 ，
由 可知 ，则超过 的路程为 ，此段路程收的费用为 元，某人乘出租车从甲地到乙地共
付费为16元，
可得方程 ，
故答案为： ．
【例7-2】（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一．
A：计时制： 元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费 元/分
28
学科网（北京）股份有限公司(1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用．
(2)用户选哪一种收费方式更合算？
【答案】(1)A种收费方式的费用为 元；B种收费方式的费用为 元；
(2)当上网时间低于 小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于 小时时，选择两种收费方式一样合算；当上
网时间高于 小时时，选择乙种收费方式合算
【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用：
（1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可；
（2）根据（1）所求分别求出 时， 时， 时的x的值或取值范围即可得到
答案．
【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为 元；
B种收费方式的费用为 元；
（2）解：当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
∴当上网时间低于 小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于 小时时，选择两种收费方式一样合算；当上
网时间高于 小时时，选择乙种收费方式合算
【例7-3】（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘 ； 到 时，超过
的部分按 元 的标准收费；超过 时，超过 的部分按2元 的标准收费．（不足 的按 计
算）
(1)若某人乘坐了 的路程，则他应支付的费用为 ；
(2)若某人乘坐了x（ 的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ；
(3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？
29
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 元
(2) 元
(3)
【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键．
（1）首先起步价覆盖前 ，费用为10元．剩余的 在 到 的范围内，按 元 收费，即
元．然后相加即可得出答案
（2）对于x（ 的整数）千米的路程：起步价覆盖前 ，费用为10元．接下来的 按 元
收费，即 元．超过 的部分按2元 收费，即 元．然后相加即可
（3）首先扣除起步价和 到 的费用，剩余的费用为超过 的部分产生的，按2元 计算，即可解答．
【详解】（1） ，
；
故答案为： 元
（2）解：
，
故答案为： 元．
（3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得；
元，
，
，
30
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
答：共行驶了6公里．
【变式演练】
【变式7-1】（24-25七年级上·山东枣庄·期中）为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每
立方米 元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米2.4元收费．小明家六月份交水费 元，则小明家六月
份实际用水 立方米．
【答案】19
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，由题意可得出小明家六月份超过15立方米，设小明家六月份实
际用水x立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴小明家六月份超过15立方米，
设小明家六月份实际用水x立方米，
根据题意得：
解得：
则小明家六月份实际用水19立方米．
故答案为：19．
【变式7-2】（24-25七年级上·湖南永州·期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，
按如下标准缴费（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过 的部分 a元/
超过 但不超过 的部分 元/
31
学科网（北京）股份有限公司超过 的部分 元/
(1)当 时，明明家5月份用水量为 则该月需交水费 元；6月份明明家交了水费家交了水费36元，则6月份
用水量为 ；（直接写答案）
(2)设某户月用水量为n立方米时（ ），该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示）
【答案】(1)30；16
(2) 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
（1）当 时，明明家5月份用水量为 ，列式求出该月需交水费即可；再设明明家6月份用水量为 ，根据
6月份明明家交了水费家交了水费36元，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）当 时，列式求出该用户应缴纳的水费即可．
【详解】（1）解：当 时，明明家5月份用水量为 ，
则该月需交水费为： （元 ；
该户这个月应缴纳的水费为30元；
设明明家6月份用水量为 ，
由题意得： ，
解得： ，
即明明家6月份用水量为 ，
故答案为：30，16；
（2）解：当 时，
该用户应缴纳的水费为： （元 ，
答：该户这个月应缴纳水费是 元
【变式7-3】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示：
32
学科网（北京）股份有限公司计费方法A 计费方法B
每月基本服务费（元/月） 58元 88元
每月免费通话时间（分） 150分 350分
超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元
(1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元；
(2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）
(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
【答案】(1)65.5；88
(2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元；
(3)270分钟
【分析】（1）利用使用计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，可求出使用计费方法A的用户话费；由
3小时=180分<350分，可得出使用计费方法B的用户话费为88元；
（2）利用按计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法A的用户话
费；利用按计费方法B的用户话费=88+0.2×超过350分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法B的用户话费；
（3）设当通话时间为y分钟时，然后分150350两种情况考虑，根据按A、B两种计费方法所需的用户话
费相等，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意得：使用计费方法A的用户话费为58+0.25×（60×3-150）=65.5元，
3小时=180分<350分，所以使用计费方法B的用户话费为88元．
故答案为：65.5；88
（2）解：依题意得：按计费方法A的用户话费为58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元，
按计费方法B的用户话费为88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元；
（3）解：设当通话时间为y分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．若150350，
33
学科网（北京）股份有限公司0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合题意，舍去）．
答：当通话时间为270分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；
（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
题型 08 年龄问题
【典例分析】
【例8-1】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）今年儿子8岁，父亲32岁， 年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，
根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程．
根据题意，分别得出a年后父亲的年龄为 岁，a年后儿子的年龄为 岁，然后再根据题意：a年后父亲的
年龄是儿子年龄的3倍，列出方程，即可得出答案．
【详解】解：a年后父亲的年龄为 岁，a年后儿子的年龄为 岁，
∵a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，
∴ ．
故选：B．
【例8-2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）今年，小王同学的年龄比他妈妈小27岁，6年后妈妈的年龄是小王年龄
的5倍，设今年，小王同学的年龄是 岁，由题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得妈妈的年龄为 岁，6年后妈妈的年龄是 岁，小王年龄是 岁，列出方
程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键．
34
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设小王同学的年龄是 岁，妈妈的年龄为 岁，
6年后妈妈的年龄是 岁，小王年龄是 岁，
根据题意，得 ．
故答案为： ．
【例8-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和 岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的
3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是 岁，现在三人的年龄各是多少岁？
【答案】妹妹 岁、哥哥 岁、爸爸 岁
【分析】本题考查年龄问题，熟练掌握年龄变化的规律：“三人增长的岁数一样，也就是爸爸增长的岁数 哥哥的增
长岁数 妹妹增长的岁数”是解题的关键．当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是 岁，爸爸的年龄是 岁，当哥哥的年龄
是妹妹年龄的2倍，爸爸是 岁时，爸爸增长了 岁，分别列出妹妹和哥哥的年龄，根据哥哥的年龄是妹妹年
龄的2倍列出数量关系式求出 ，求出妹妹9岁时三人年龄，再求 岁时即可．
【详解】解：当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是 岁，爸爸的年龄是 岁，
当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，爸爸是 岁时，爸爸增长了 岁，
妹妹和哥哥也都增长了 岁，
这时候妹妹的年龄是 岁，哥哥的年龄是 岁，
根据“哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍”列式为： ，
解得： ，
则当妹妹9岁时，哥哥的年龄是 岁，
爸爸的年龄是 （岁），
三人年龄和为 （岁），
当三人年龄和为 时，三人每人增长 （岁），
则妹妹年龄为： （岁），
哥哥年龄为： （岁），
35
学科网（北京）股份有限公司爸爸年龄为： （岁），
答：现在妹妹 岁、哥哥 岁、爸爸 岁．
【变式演练】
【变式8-1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题：
周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十比个位正小三，个位六倍与寿符．
哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个
位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由两位数的特点结合题意列出方程即可，熟悉两位数的特点和找出等量关
系是解题的关键．
【详解】解：设这个两位数个位上的数字为x
则这个两位数十位上的数字为
由题意可列方程：
故选： ．
【变式8-2】（24-25七年级上·重庆）元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶．他们的年龄恰好是25个连续自然数，
两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000.其中年龄最大的老人今年为 岁．
【答案】90
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先求出25位老今年的年龄和，设年龄居中的老人是n岁，根据等量关
系列方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意可知，两年以后，每位老人都增加了2岁，即增加的年龄和是 （岁），
36
学科网（北京）股份有限公司那么25位老人今年的年龄和是： （岁）．
设年龄居中的老人是n岁，
由题意可得： ，
整理，得： ，
解得 ，
那么最大的老人今年的岁数是 （岁），
故答案为：90．
【变式8-3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）父亲和女儿现在年龄和是 岁， 年前父亲年龄是女儿年龄
的 倍还多 岁．
(1)求父亲和女儿现在的年龄分别是多少？
(2)多少年后父亲年龄是女儿年龄的 倍？
【答案】(1)父亲现在的年龄为 岁，女儿现在的年龄为 岁；
(2) 年后父亲年龄是女儿年龄的 倍．
【分析】（ ）设女儿现在的年龄为 岁，则父亲现在的年龄为 岁，根据题意，可得一元一次方程方程
，解方程即可求解；
（ ）设 年后父亲年龄是女儿年龄的 倍，根据题意，可得一元一次方程方程 ，解方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设女儿现在的年龄为 岁，则父亲现在的年龄为 岁，
由题意可得， ，
解得 ，
∴ 岁，
答：父亲现在的年龄为 岁，女儿现在的年龄为 岁；
（2）解：设 年后父亲年龄是女儿年龄的 倍，
37
学科网（北京）股份有限公司则 ，
解得 ，
答： 年后父亲年龄是女儿年龄的 倍
题型 09 积分问题
【典例分析】
【例9-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒
扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ）
A．5道 B．6道 C．7道 D．8道
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分 不答或答错题的得分 分，列出
方程进行求解．
【详解】解；设答对的题数为x道
故：
解得： ．
故选：D．
【例9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）一份试题由50道选择题组成，每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，
小亮在这次考试中得了102分，他答对了 道题．
【答案】38
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，由每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，确定出答对
与答错的题目数量，由等量关系列方程求解即可得到答案．根据总分数为102分得出等式方程是解题关键．
【详解】解：设答对了 道题，
由题意可得 ，解得 ，
故答案为：38．
【例9-3】（22-23七年级上·河南信阳·期末）某校七年级 班组织生活小常识竞赛，共设 道选择题，各题分值相
同，每题必答．下表记录了其中 个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程．
38
学科网（北京）股份有限公司答错题
参赛者 答对题数 得分
数
A
B
C
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得 分、答错一道扣 分成为解答本题的关键．
根据题意发现答对一道得 分、答错一道扣 分，进而列方程求解即可；
【详解】解：因为共有 题，参赛者B答错 题，故答对 题，
因为参赛者 答对 题答错 题得 分，
所以答对 题得 分，
设答错 题扣 分，
由参赛者 的得分可得， ，
解得 ，
所以答错 题扣 分，
设参赛者 答对 题，
由题意得， ，
解得 ．
故参赛者答对 题，答错 题．
补全表格如下：
参赛者 答对题数 得分
答错题
39
学科网（北京）股份有限公司数
A
B
C
【变式演练】
【变式9-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积 分，平一
场积 分，负一场积 分，某班参加 场比赛始终保持不败的记录，共得 分，则该队胜了（ ）场
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该队胜了 场，
则平了 场，根据共得 分列式求解即可．
【详解】解：设该队胜了 场，
由于 场比赛始终保持不败的记录，
所以平了 场，
依题意，得： ，
解得： ，
即该队胜了 场．
故选：B．
【变式9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）某校七年级11个班开展篮球单循环比赛（每班需进行10场比赛），
比赛的规则是每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负1场得 分．已知七（2）班最终得到14分，则该班胜了
场．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，题解题意，列出方程是解答关键．
40
学科网（北京）股份有限公司设该班胜了 场，根据胜1场得3分，负1场得 分列出方程求解．
【详解】解：设该班胜了 场，由题意，
得 ，
解得 ．
故答案为：6．
【变式9-3】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选
择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了 三名学生的得分情况：
参赛学
答对题数 答错题数 得分
生
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 65
请结合表中所给数据，回答下列问题：
(1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分；
(2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分；
(3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）；
A．75；B．63；C．56；D．44
并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）
【答案】(1)5，2
(2)
(3)D，答对了12道题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系列出方程，再求解．
（1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分；
41
学科网（北京）股份有限公司（2）按照（1）中的答题得分计算即可；
（3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可；
【详解】（1）解：答对一题加： 分，
答错一题减： 分，
故答案为：5，2；
（2）小明的得分： 分，
（3）D，答对了12道题．
设他答对 道题，则答错 道题．
A．若 ，解得 ，故不符合题意；
B．若 ，解得 ，故不符合题意；
C．若 ，解得 ，故不符合题意；
D．若 ，解得 ，符合题意；
答：小刚同学答对了12道题
一、单选题
1．（23-24七年级上·全国·单元测试） 与 的和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的运用，根据题意列出方程求解，即可解题．
【详解】解：由题意得 ，
42
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
故选：C．
2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）某数x的 比它的一半少7，则列出求x的方程应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
故选：D．
3．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）儿子今年12岁，父亲今年39岁，（ ）父亲的年龄是儿子年龄的4倍．
（ ）
A．3年前 B．3年后 C．6年前 D．6年后
【答案】A
【分析】设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意列方程求解即可．
本题考查了列一元一次方程解决年龄问题．正确的找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意，得
，
，
∴3年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．
故选：A.
4．（21-22七年级上·宁夏银川·期末）某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，
一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排 名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是
（ ）
43
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则 人生产耳绳，
由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则 人生产耳绳，由题意得，
故选：C．
二、填空题
5．（21-22七年级上·广西河池·阶段练习）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，
一个队打了20场比赛，负了6场，共积32分，那么该队胜多少场？若设该队胜 场，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键．
设该队胜 场，所以平的场次为 ，再通过积分规则把分数相加的得到 分，即可列出方程．
【详解】解：设该队胜 场，所以平的场次为 ，
∴胜 场的得分为3x，平场次的得分为 ，
∴可列方程 ．
故答案为： ．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共
踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队共平了x场，则胜了 场，再根据总得分为19分，
列出方程即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
7．（24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式：
（1）比a的3倍大5的数是 ： ；
（2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了 元： ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
根据题意中的等量关系列方程即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得， ，
故答案为： ．
8．（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下：
用水量/立方米 单价/元
a
超过10的部分
李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费 元，则李阿姨12月份的用水量是 ．
【答案】16立方米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5
立方米，交水费11元，可知 ，根据李阿姨12月份交水费 元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，
设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案．
【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∵ ，
∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米，
设李阿姨家12月份用水量为x立方米，
则 ，
解得 ，
所以李阿姨家12月份用水量是16立方米．
故答案为：16立方米．
三、解答题
9．（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的 ，又增加女工人30
人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？
【答案】656人
【分析】设这个工厂原有男工x人，列出方程解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设这个工厂原有男工x人，
根据题意得： ，
解得 ，
答：这个工厂原有男工656人．
10．（23-24七年级上·湖北随州·期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电
不超过210度 超过210度（超出部分的收费）
量
收费标准 每度0.5元 每度0.8元
小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】小林家11月份的用电量为305度．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程是解题的关键．
设小林家11月份的用电量为x度，则超过210度部分为 度，然后根据“小林家11月份交付电费181元”列
一元一次方程求解即可．
【详解】解：由于 ，所以小林家11月份的用电量超过210度，
设小林家11月份的用电量为x度，则超过210度部分为 度，
由题意可得： ，解得： ．
答：小林家11月份的用电量为305度．
11．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间做了一个安排，他把计划复习重要
内容的时间用一个四边形圈起来，如图．他发现，用这样的四边形圈起来的5个数的和恰好是5的倍数，他又试了几
个位置，都符合这样的特征．
(1)若设这5个数中间的数为 ，请你用整式的加减说明其中的道理；
(2)这5个数的和能为150吗？若能，请写出中间的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了整式的加减，培养学生观察归纳找出规律的能力，关键是通过观察找出各数间的关系．
（1）由已知，通过观察得出：左右每个数比前面一个数都大1，上下每个数都比上面一个数都大7，因此设中间数为
，则根据以上规律可写出其它5个数．然后求和．
（2）由（1）求得的和的代数式，试求 是整数则可能，否则不可能．
【详解】（1）解：由题意得，其他4个数从小到大依次为 ， ， ， ，
所以这5个数的和为 ．
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学科网（北京）股份有限公司因为 为整数，所以 能被5整除，即被四边形圈起来的5个数的和是5的倍数．
（2）解：不能．
理由：由（1）知，若中间的数为 ，则 ，所以 ，
所以下面那个数为37，不符合实际意义，故这5个数的和不能为150．
12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游
的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案：
乘客 优惠方案
学生 凭学生证票价一律打六折；
非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折．
(1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元；
(2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元；
(3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：
车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？
【答案】(1)270
(2)1050
(3)10人；40人
【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关
键．
（1）根据题意，列出算式计算即可；
（2）根据题意，列出算式计算即可；
（3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客 人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客
若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可．
【详解】（1）解： 元．
答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： 元．
答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元；
（3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客 人．
分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即 ，
则可列方程为： ，
解得： ，符合题意，
人
所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人．
②非学生乘客若未达到团购人数，即 ，
则可列方程为： ，
解得： ，不符合题意舍去．
综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人．
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