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专题 09 投影与视图（7 知识&9 题型&2 易错&2 方法清单）【清单01】平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，
有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影
叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的
长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在
变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影
长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即： .
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
【清单02】中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就
是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、
投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物
体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，
影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在
同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
【清单03】正投影
正投影的定义：
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投
影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称
这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AB ，与线段AB的长相等；
1 1
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段AB ，长小于线段AB的长；
2 2
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平
面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，
是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.
(3)立体图形的正投影.
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立
体图形的最大截面全等.
【清单04】三视图的概念
（1）视图
从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
（2）正面、水平面和侧面
用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边
的面叫做侧面.
（3）三视图
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，
叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
【清单05】三视图之间的关系
（1）位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.
（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图
与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
【清单06】 画几何体的三视图
画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
【清单07】由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左
侧面，然后综合起来考虑整体图形.【题型一】平行投影
【典例1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（
）
A． B．
C． D．
【变式1】下列光线形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．台灯的光线 B．太阳光线 C．蜡烛的光线 D．路灯的光线
【变式2】下列投影中，属于平行投影的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（
）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【题型二】平行投影与相似三角形应用
【典例2】如图，身高1.5米的小明(AB)在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是
落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH．若量得CE=1.2米，EH=1.5米，求立柱CD的高．【变式1】古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一
根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似计算出金字塔的高度
OB．如果O′B′=1米，A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB．（说明：金字塔的影长AB为
露在外面的影长AC与金字塔底边的一半CB的长度的和．）
【变式2】星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你
的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完
成下列问题．
(1)画出此时妹妹在阳光下的影子；
(2)若哥哥身高为1.8m，哥哥和妹妹之间的距离为3.6m，而妹妹的影子长为3.2m，求妹妹的身高．【变式3】周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树AB，AB垂直于地面，满树金灿灿
的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上
（如图所示），此时测得地面上的影长BC为8米，坡面上的影长CD为4米，斜坡与水平地面所成的
锐角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据
❑√3≈1.732）
(1)求点D到水平地面的距离；
(2)求树的高度（结果精确到0.1米）．
【题型三】中心投影
【典例3】下列各种现象：①皮影戏中的影子；②物体在太阳光形成下的影子；③探照灯下的投影；④
路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式1】在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根
木杆在同一平面上，则光源所在位置是（ ）
A．A的左侧 B．A、B之间 C．C的右侧 D．B，C之间．
【变式2】在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏
煤油灯，则它的投影属于（ ）A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定
【题型四】中心投影与相似三角形应用
【典例4】如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是AB,CD．
(1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
(2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段EF表示）；
(3)若小李的身高为1.8m，他的影长AB为1m，他距路灯底部1.6m，求路灯的高度．（精确到0.1m）
【变式1】小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的
影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为(2,0)，则点E的坐标是 ．
【变式2】2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直
到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（BD）为1.7m，金博洋与
点A的距离AB为10.2m，他在聚光灯下的影子BC为3.4m．
（1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）；（2）聚光灯距离地面的高度OA为 m．
【变式3】如图，地面上有三根立柱AB、CD、EF，立柱AB、CD在光源O的照射下的影子分别为
BG、DH，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出
光源O和立柱EF的影子FI．
【题型五】正投影
【典例5】一个正方形的正投影不可能是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点
【变式1】由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投
影面上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）A． B． C． D．
【变式3】把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放，则投射线由正前方射到后方时所形成的影子是( )
A． B． C． D．
【题型六】判断简单几何体/组合体的三视图
【典例6】如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图所示直观图的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图所示几何体的俯视图为（ ）A． B． C． D．
【变式3】如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【题型七】由三视图还原几何体
【典例7】如图，是一个立体图形的三视图，这个立体图形是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
【变式1】一个立体图形从上面看是 ，从左面看是 ，从前面看是 ．这个
立体图形可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式2】某校图书阅览室的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也
称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱柱
【变式3】如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【题型八】画简单几何体的三视图
【典例8】画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图．
【变式1】某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图．【变式2】画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图．
【变式3】如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体的三视图．
(2)堆成该几何体需要__________块小正方体．
(3)该几何体的表面积（含下底面）为__________．
【题型九】已知三视图求侧面积或表面积
【典例9】某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．(1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？
(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【变式1】一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为8❑√3，则a的值为（ ）
2 ❑√3 3
A． ❑√3 B．2+ C． +❑√3 D．2
3 3 2
【变式2】如图为一个实心几何体的正视图和左视图，根据图示信息求出该几何体的体积和表面积．（结
果保留π）
【变式3】某品牌饮水机可以近似地看成一个长方体减去半个圆柱体的几何体，它从正面看和从上面看的
图形如图所示，长方体的长为5dm，宽为6dm，高为8dm，圆柱体的高为4dm， 底面直径为2dm．(1)求该几何体的体积；（结果保留π）
(2)现对该饮水机的正面区域进行涂色，求涂色面积．（结果保留π）
【题型01 ：平行投影与中心投影】
1.如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏
始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光
源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
2.下列投影中，属于中心投影的是（ ）A． B．
C． D．
【题型02：几何体的三视图】
1.如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2.在一个长方体上放着一个小正方体，这个组合体的俯视图如图所示，那么它的左视图是( )．
A． B． C． D．
3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A． B． C． D．
【题型一】投影类型
1.先判类型，再选方法
（1）看到“太阳光、平行光线”一平行投影，用「比例法」计算(物高/影长=定值);
（2）看到“灯光、点光源”一中心投影，用「相似三角形」求解(连接光源与物体顶点，找影子对应
边)。
2.关键信息抓 2 点
平行投影:注意“方向”(如上午/下午影子朝向)，同一时刻物体与影长成正比;
中心投影:找准“光源位置”(影子端点与物体端点连线交点)，避免用平行投影比例计算。
【题型二】视图类
1.三视图还原/判断:抓“三等关系’
（1）长对正(主视图与俯视图水平长度相等)、高平齐(主视图与左视图竖直高度相等)、宽相等(俯视图
与。左视图水平宽度相等);
（2）遇到正方体组合体:先看俯视图定底层布局，再按主视图、左视图补上层正方体个数。
2.视图画法:"看得见画实线，看不见画虚线。
（1）简单几何体(圆柱、圆锥、棱柱):主视图看“正面轮廓"，俯视图看“顶面形状”，左视图对应右侧
轮廓。
（2）避免漏画虚线(如正方体组合体中被遮挡的棱)
3.视图相关计算(表面积/体积)
（1）先根据三视图还原几何体(优先画草图)，再套用公式，
（2）注意:组合体表面积需减去重叠部分的面积(避免重复计算)
