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考点 10 平面向量（核心考点讲与练）
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度
向量 如a，AB
(或模)
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0
给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫
单位向量 a＝
0
做向量a的单位向量，可记作a
0
向量a与b
共线(平 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共
平行记作
行)向量 线或平行
a ∥ b
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向
相等向量 如AB＝a
量
相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝ b ＋ a.
加法 求两个向量和的运算
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝ a ＋ ( b ＋ c )
减去一个向量相当于
减法 加上这个向量的相反 a－b＝a＋(－b)
向量
(1)|λa|＝ |λ | |a |；
(2)当λ＞0时，λa的方 λ(μa)＝ λμ a；
数乘 求实数λ与向量a 向与a的方向相同；当λ (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a；
的积的运算 ＜0时，λa的方向与a的
方向相反；当λ＝0时， λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
λa＝03.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b ＝ λ a.
二、向量的分解与向量的坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果e和e是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a，a，
1 2 1 2
使a＝ae ＋ a e.
1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e，e}.ae＋ae叫做向量a
1 2 1 2 1 1 2 2
关于基底{e，e}的分解式.
1 2
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ (x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ (x － x ， y － y )，λa＝ (λ x ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ (x － x ， y － y )，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b xy － x y ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
三、平面向量的数量积及其应用 ⇔
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ A OB 称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，
b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是 [ 0 ， π ]，且 〈 a ， b 〉 ＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作OA＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O，A，则 向量 O 1A1 叫做向
1 1
量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数
量.
OA＝a在轴l上正射影的坐标记作a，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦
l
定义有a＝ |a |co s__θ.
l3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝xx＋yy.
1 2 1 2
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos θ＝＝.
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 xx＋yy＝0.
1 2 1 2
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |xx＋yy|≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
4.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
1.向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相
接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形
法则要素是“起点重合”.
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是OA＋OB＋OC＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则AB＋DC＝2EF；(3)对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，满足OP＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则P，A，B共
线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是
向量的坐标表示的基础.
4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ e ＋λ e 的形式.
1 1 2 2
6.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义
的应用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
平面向量的概念及线性运算及基本定理
1.（2020安徽滁州市定远县育才学校月考）如图，D、E、F分别是 ABC的边AB、BC、CA的中点，则下
列等式中错误的是（ ） △A． ＋ ＋ ＝0 B． ＋ ＋ ＝0
C． ＋ ＋ ＝ D． ＋ ＋ ＝
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
B．向量 与向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C． 中，D是BC中点，则
D．若 ，则 使
3. （2020湖南省娄底市模拟）已知 ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
平面向量的数量积及其应用
1. （2022河北省沧州市高三9月教学监测）如图， 中， ， ， 分别是 的三
等分点，若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 3 D. 6
2.（2022湖北省黄石市高三9月调研）已知向量 的夹角为 ， ， ，则 （）
A． B．21 C．3 D．9
3.（2022贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量 ，且 ，则 （
）
A． B． C．2 D．-2
4.（多选题）已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得
B．存在 ，使得
C．对于任意 ， ，
D．对于任意 ， ，
5. （2022北京八一学校高三上学期开学考试）设函数 ，其中向量 ，
．
（1）求函数 的最小正周期与单调递减区间；
（2）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，已知 ， ， 的面积为
，判断 的形状，并说明理由．1. （2021年全国高考乙卷）已知向量 ，若 ，则 _________．
1. （2021年全国高考乙卷）已知向量 ，若 ，则 __________．
3. （2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
4. （2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A. B.
C. D.
一、单选题
1. （2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形
ABCDEFGH，如图所示，若 ，则 （ ）A. B. C. D.
2. （2022·全国·模拟预测） 已知抛物线 ，P为直线 上一点，过P作抛物线的两条切线，切
点分别为A，B，则 的最小值为（ ）
A. B. -1 C. D. -2
3. （2022·山东济宁·一模）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则
的最大值为（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 11
4. （2022·辽宁大东·模拟预测） 中 ， ，D为AB的中点， ，则
（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -4
5. （2022·山东临沂·一模）设向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. －3 B. 0 C. 3 D. 3或－3
6. （2022·全国·模拟预测）已知等边△ 的边长为 ，点 ， 分别为 ， 的中点，若
，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.7. （2022·广东高州·二模）已知向量 ， ，且 ，则m的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
8. （2022·浙江·模拟预测）《跳舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳
聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点．玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转 ，且
为顺时针、逆时针交替转向．如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从 点前进到 点有两条路径：①
和②．假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证．这个定理
是（ ）
A. 平面向量基本定理 B. 共线向量基本定理
C. 有一内角为直角的平行四边形是矩形 D. 两直线平行，同旁内角互补
二、多选题
9. （2022·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ， ，则下列说法正确的是（
）
A. 若 ，则 有最小值
B. 若 ，则 有最小值
C. 若 ，则 的值为
D. 若 ，则 的值为110. （2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中， ，E是BC的中点，
连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. （2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
12. （2022·广东韶关·一模）已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则向量 可以表示平面内任一向量
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 与 的夹角是锐角
13. （2022·重庆·模拟预测）已知 中， 在 方向上的投影为 为 的中点， 为
的中点，则下列式子有确定值的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题14. （2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则
______.
15. （2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
___________.
16. （2022·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，则实数
______．
